CC BY
110
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ВЛИЯНИЯ МЕХАНИЧЕСКИХ СВОЙСТВ ОСНОВАНИЯ НА ИЗГИБ ОРТОТРОПНЫХ ПЛИТ С ПЕРЕМЕННЫМ КОЭФФИЦИЕНТОМ
ЖЕСТКОСТИ
В. Л. Бурковский, Н.Н. Некрасова
Рассматривается математическое описание процесса воздействия механических свойств основания на физические параметры ортотропных плит в условиях шарнирно опёртой плиты с постоянным и переменным коэффициентом жёсткости
Ключевые слова: ортотропная плита, упругое основание, контактное взаимодействие, переменная жесткость
В строительстве широко применяются плиты с переменным коэффициентом жёсткости или с ослаблениями в виде отверстий прямоугольной формы. При
проектировании плит, изменение жёсткостей (толщин) которых необходима для того, чтобы были выполнены требования технологического характера, т. е. снижении их материалоемкости, обеспечении надежности, долговечности и экономичности. При этом назначаемые усилия существенно зависят от модели грунтового основания. К настоящему времени предложено большое число неклассических моделей упругих оснований. Развитие их вызвано, стремлением приблизить результаты расчета к реальным условиям взаимодействия фундаментных
конструкций с грунтом.
В данной работе рассматривается влияние неоднородности сжимаемой толщи основания и изменение свойств
ортотропии на напряженно-
деформированное состояние шарнирно опертой плиты со ступенчато-переменной толщиной.1
Дифференциальное уравнение
изогнутой поверхности ортотропной плиты с переменными коэффициентами, находящейся под действием поперечной нагрузки и опирающейся на упругое основание имеет вид [1]
Бурковский Виктор Леонидович - ВГТУ, д-р техн. наук, профессор, тел. (4732) 43-76-60
Некрасова Наталия Николаевна-ВГАСУ, аспирант, тел. (4732) 71-62-53
д
дх2
+ 4
гд 2W
д
V 2
дх
2 +V2'
ду у
+
дхду
DK •
д 2W л дхду
+
ду
D •
у
2 +V1
д 2W^
'“ч 2 1 '“ч 2
ду дх
= Ч у)-Р y), (1)
где Ж (х, у) - вертикальное перемещение срединной плоскости плиты, ч(х,у) -интенсивность внешней нагрузки, Р(х,у) - контактное давление; Е], Е2, V], У2 -модули упругости и коэффициенты Пуассона материала плиты соответственно; G - модуль сдвига, к - толщина
плиты; Dx,
D
цилиндрические
жесткости изгиба; DK - жесткость
кручения:
D., =
Exh3
Eyh3
12(1 -viV), у 12(1 -vi^ 2)’
Dk =
Gh
12
Для главных направлений упругости жесткости изгиба Ох, Оу и жесткость
кручения ОК связаны соотношениями:
О3 = + 2ОК = + 2ОК .
Как и в традиционных подходах [1, 2] трение в области контакта не
учитывается, считаем, что вертикальные перемещения плиты и поверхности основания равны между собой. Для пространственной контактной задачи это приводит к интегральному уравнению для определения контактного давления
Ц Р(%, прЛ п = Ц д(, п)л п,
Ш (х, у ) = Ш (х, у)+А+Вх+Су =
1 2
1-Ю
пЕг
Я®( у&п)р
(2)
где А, В, С - параметры перемещения плиты как жесткого целого; Ед, Уд -модуль упругости и коэффициент Пуассона основания. Функция Со(х,у,^ ,ц)
выбирается в зависимости от принятой модели основания. В данной работе в качестве моделей основания используем упругое линейно-деформируемое
полупространство:
0)( х, у ,%,п) = 1/Я,
Я = у1(х -^)2 + (у -п)2;
(3)
упругий клин (слой переменной толщины):
ф, уЛ,ч)=1/Я-(1/(Б /((Я/ Я) +
_________к=1 (4)
+Ы)2), Я ^(х+#)2 +(у-п)2.
Для контактной модели (4) параметры Л, ак (к = 1,4) зависят от величины угла наклона жесткого подстилающего слоя а и коэффициента Пуассона У0 . В работе [3] даны подробные таблицы для параметров модели (4).
Рассматривается шарнирно опёртая плита, т. е. граничные условия имеют вид
Ж=0, Мп = 0, (х, у )е Г (5)
где Мп - изгибающий момент.
Замыкает задачу система уравнений равновесия для плиты, загруженной внешней распределенной нагрузкой ч(х,у):
5
Ц Р(%, пр& п = Я пр& п
5
Я Р(%, = Я П^&П, (6)
5 Е
где 5 - область контакта плиты и основания, Е - область действия внешней распределенной нагрузки.
Нахождение точных решений сформулированной пространственной задачи представляет значительные трудности. Для упругого полупространства и упругого клина ранее в [4, 5] были численно решены контактные задачи для ортотропных и изотропных плит постоянной толщины с различными граничными условиями на контуре плиты. Показано преимущество метода конечных разностей перед методом конечных элементов и приближенным решением М.И. Горбунова-Посадова с
использованием разложения в степенные ряды. По сравнению с конечноэлементными подходами предложенный алгоритм имеет более простую структуру, требует меньших затрат времени счета и подготовки исходных данных. Для получения приемлемой с практической точки зрения точности расчёта достаточно использовать для квадратных плит конечно-разностную сетку 10x10.
Предложенный в [4, 5]
приближенный численный расчет на основе сочетания метода сеток и метода граничных элементов проиллюстрируем результатами расчетов для плит с переменным коэффициентом жесткости. Причем рассматривается конечноразностная схема (типа сквозного счета), которая характеризуется тем, что граница областей с различными механическими свойствами явно не выделяется. Для жесткостей, входящих в выражения коэффициентов конечно-разностных
уравнений в узлах сетки применяем принцип сглаживания, т.е. осреднение жесткостей проведем с использованием их значений в полуцелых узлах.
Сначала рассмотрим квадратную, изотропную шарнирно опёртую плиту со стороной а = 16 м ступенчатопеременной толщины (в наших расчетах изменение жесткости плиты обусловлено изменением её толщины). Расположена плита на упругом клине с углом наклона
а = зо0, центр плиты удален от ребра клина на расстояние хс = 9м. Для учета свойств ортотропии плиты полагаем:
Еі = 2,5Е, Vі = 2,5у , Е2 = Е, = V,
О = 0,429 ■ Е, Е = 2 ■ 104 МПа,
V = 0, 167 . Характеристики основания: Ео = 29,1МПа, Vo = 0,25 . Нагрузка равномерно распределена по всей
5 2
поверхности плиты q = 10 Н / м . Граница раздела х = р ступенчатого изменения толщин параллельна оси ОУ, р изменяется в пределах а/2 < р < 7а/ 8.
Толщину той части плиты, которая расположена ближе к ребру клина обозначим за Ні, а толщину оставшейся
части - Н2. Положим Н2 = 2 ■ Ні. При проведении расчетов принято, что объем плиты, сохраняется постоянным, равным
з
V = 256м . На рис. 1,а построены
изолинии прогибов для случая, когда р = а / 2. Изолинии прогибов вытянуты
вдоль границы раздела жесткостей. С увеличением р происходит смещение
контуров изолиний в сторону линии скачка изменения толщины (рис. 1,б, в). В тоже время на рис. 1,г для р= 8а /7 картина
изолиний практически симметрична, несмотря на переменность толщины плиты и неоднородность основания. Численные результаты для рассматриваемого примера сведены в таблице. Полученные
численные результаты для плиты переменной толщины были сопоставлены с результатами расчетов для шарнирно опертой плиты постоянной толщины (Н = 1м) того же объема. На рис.2 представлены изолинии равных прогибов
для изотропной плиты,
взаимодействующей с упругим
полупространством (рис. 2, а) и слоем
переменной толщины (рис. 2,б) для
а = 30° и хс = 9м.
Таблица
р/a h¡, м Wmax, см
0,5 0,667 0,9623
5/8 0,727 0,9474
11/16 0,762 0,9219
13/16 0,842 0,9082
7/8 0,889 0,9012
Как следует из представленных данных, неравномерная сжимаемость основания сказывается, в первую очередь, на
характере распределения прогибов. При взаимодействии с упругосжимаемым
клином происходит смещение контуров изолиний в сторону увеличения толщины неоднородно сжимаемого слоя.
Проанализируем влияние на напряженно-деформированное состояние плиты не только модели основания, но и изменения ортотропных свойств материала плиты. Рассмотрим шарнирно опертую ортотропную плиту, взаимодействующую с упругим слоем переменной толщины.
Возьмем границу x = 7а/ 8 ступенчатого
изменения толщин, расположенной
параллельно оси OY. Предполагаем также, что соотношения между толщинами плиты h2 / h¡ = 2 (hl = 0,889м - толщина той
части плиты, которая лежит ближе к ребру упругого клина). На рис. 3,а приведены расчетные данные для прогибов, полученные для ортотропной плиты, когда Ex = E1, а на рис. 3,б рассмотрена
ситуация, когда та же плита повернута относительно своего центра на прямой угол (т.е. Ey = Ei ). Учет ортотропных свойств
материала плиты переменной жесткости также важен для оценки характеристик контактного взаимодействия. Как видно, при выбранных значениях расчетных параметров изменение ориентации осей ортотропии приводит к незначительной
Рис. 1. Изолинии равных прогибов Ж, см шарнирно опертой изотропной плиты с кусочно-постоянной функцией толщины
на упругом клине (а = 30° , хс = 9 м):
а) р = а/г; б) р = 5^8; в) р = 3^; г) Р = 1а/^ ■
Рис. 2. Изолинии равных прогибов Ж, см шарнирно опертой изотропной плиты постоянной толщины на упругих основаниях: а) полупространство; б) слой переменной толщины.
Рис. 3. Изолинии равных прогибов Ж, см шарнирно опертой ортотропной плиты с кусочно-постоянной функцией толщины на упругом клине (а = 30° ,ХС=9м) при р = 7: а) упругое полупространство Ех = 2,5Е, Еу = Е ; б)
упругий клин Еу = 2,5Е , Ех = Е ■
ассиметрии изолиний прогибов вдоль оси изменения упругих характеристик плиты по сравнению с плитами постоянной толщины.
Приведенные примеры расчета подтверждают применимость разработанного алгоритма для анализа изгиба прямоугольных плит на упругих пространственно-
неоднородных основаниях и иллюстрируют его возможности применительно к
проектированию фундаментных плит в сложных инженерно-геологических условиях.
Разработанный программный комплекс может быть применен при исследовании более сложных случаев нагружения и других возможных сочетаниях граничных условий на контуре плиты. Кроме того, использование контактной модели упругого основания реализовано отдельным блоком и не требует
перестройки всего алгоритма для любой другой контактной модели.
Литература
1. Лехницкий С.Г. Анизотропные пластины. - М.-Л.: Гостехиздат, 1947.-355 с.
2. Горбунов-Посадов М.И., Маликова Т.А., Соломин В.И. Расчет конструкций на упругом основании.- М.: Стройиздат, 1984.-679 с.
3. Рекомендации по расчету осадок и кренов прямоугольных фундаментов на клиновидном основании/ НИИОСП Госстрой СССР.- М.-1985.- 29 с.
4. Алейников С.М., Некрасова Н.Н. Изгиб ортотропных фундаментных плит, расположенных на упругих неклассических основаниях. Известия ВУЗов. Строительство, 1996 г. №9, с. 65-71.
5. Алейников С.М., Гончаров М.Д., Некрасова Н.Н. Сходимость решений при расчёте плит на упругом полупространстве методом сеток// Современные методы статистического и динамического расчета сооружений и конструкций.- Воронеж, ВГАСА, 1993.-С. 61-67.
Воронежский государственный технический университет Воронежский государственный архитектурно-строительный университет
THE MATHEMATICAL MODELING OF MECHANICAL CHARACTERISTICS INFLUENCE OF FOUNDATION ON BENDING OF ORTHOTROPHIC PLATES WITH FLOATING FACTOR OF RIGIDITY
V.L. Burkovsky, N.N. Nekrasova
The article deals with the mathematical description of influence’s process of mechanicfl characteristics of foundation on physical properties of orthotrophic plates in conditions of articulate leaning plate with constant and variable stiffness factor
Key words: orthotrophic plate, resilient foundation, contact interaction, variable rigidity
