CC BY
66
УДК 624.073.2.04
АНАЛИЗ АДЕКВАТНОСТИ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ ИЗГИБА ФУНДАМЕНТНЫХ ПЛИТ НА ОСНОВЕ ИНСТРУМЕНТАЛЬНОЙ СИСТЕМЫ А^У8
Н.Н. Некрасова, В. Л. Бурковский, В.М. Флавианов
В статье проводится сравнительный анализ результатов математического моделирования фундаментных плит на упругом основании и данных, полученных в инструментальной системе на основе конечно-элементного моделирования. Сделан вывод о достаточном уровне адекватности математической модели
Ключевые слова: фундаментная плита, упругое основание, конечно-элементное моделирование
где Ж (Х,у ) срединной
В работе осуществлен анализ эффективности математической модели
взаимодействия фундаментных плит переменной и постоянной толщины с упругим в общем случае неклассическим основанием с расчетами, проведенными в инструментальной системе на основе конечно-элементного моделирования.
Разработанная математическая модель изгиба плит на упругом основании основана на гипотезах Кирхгофа-Лява. При этом
предполагается, что прогибы плиты и вертикальные перемещения упругого
основания в контактной зоне совпадают, взаимодействие плиты и основания происходит без отставания, а касательные напряжения в области контакта отсутствуют.
Математическая модель
рассматриваемой задачи сводится к следующей системе интегро-дифференциальных уравнений [1]: 1
_д_
дх2
Д.,
( д2Ж
дх
V
2-2 ду
д
2
+ ■
д2
ду2
Д
ґд 2Ж
2- + П
д 2Ж
дхду \
д2Ж л дхду
у
•Л 2 1 ^ 2
ду дх
= Ч (х у)-Р (х у )
Ж (х, у) = Ж (х, у) + А + Вх + Су =
1 -V
пЕ,
Л^(х, у,£,п)р
Некрасова Наталия Николаевна - ВГАСУ, аспирант, тел. (4732) 71-62-53
Бурковский Виктор Леонидович - ВГТУ, д-р техн. наук, профессор, тел. (4732) 43-76-60
Флавианов Владимир Михайлович - ВГАСУ, магистрант тел. (4732) 71-52-30
вертикальное перемещение плоскости плиты, Ч(х,У) -
интенсивность внешней нагрузки,
Р(х,у)
контактное давление;
Е1, Е
V
1,
2 -
модули упругости и коэффициенты Пуассона материала плиты соответственно; С - модуль сдвига, И - толщина плиты; О, Ву -
цилиндрические жесткости изгиба; О жесткость кручения
к
плиты:
3
Д =■
ЕМ2 п = Е,Ъ-3 _ ОЪ
'^у ~ л ч ^к ~
12(1 — уу) ' 12(1 — уу)' * 12
Для главных направлений упругости жесткости изгиба и жесткость кручения связаны
соотношениями: = ДуЛ + 2 Д
к-
Д =
Для
ДхУі + 2 ДК = изотропной плиты:
Е1 = Е2 = Е ,У1 = У2 = V, Вк = 2(1 — у) С = Е/2(1 +у), Бх = Ву = О =
= ЕИ /12(1 — у2) . А, В, С - параметры перемещения плиты как жесткого целого; Ео, Уд - модуль упругости и коэффициент Пуассона основания. Функция 0)(х,у,^,ц) выбирается в зависимости от принятой модели основания, £ — область контакта плиты и
основания.
Для численной реализации данной модели разработана процедура, базирующаяся на сочетании метода сеток и метода граничных элементов. При этом применяется конечноразностная схема (типа сквозного счета), которая характеризуется тем, что граница областей с различными механическими свойствами явно не выделяется. Для жесткостей, входящих в коэффициенты конечно-разностных уравнений в узлах сетки
применяем принцип сглаживания.
Математическая модель, а также результаты апробации данной процедуры отражены в работах [3, 4], где проведен подробно анализ способа аппроксимации коэффициентов
жесткости , Оу, Ок по трем типам, а
также проанализировано влияние
механических свойств основания на изгиб плит переменной и постоянной толщины. Для доказательства адекватности предложенной математической модели был осуществлен
вычислительный эксперимент с
использованием инструментальной системы
конечно-элементного моделирования ЛК8У8. В качестве объекта моделирования рассмотрена изотропная плита, защемленная по контору, с меняющейся по диагонали толщиной. Характеристики плиты: модуль упругости
Е = 2 ■ 10 4 МПа, коэффициент Пуассона У = 0,167 и размеры 16х16х1(или х2) м . Плита покоится на грунтовом основании, которое рассматривается как упругое полупространство с характеристиками:
Ед = 29,1МПа, Уд = 0,25. На плиту
действует равномерно распределенная нагрузка
5 2
интенсивностью Ц = 10 Н / м . Толщина
плиты скачкообразно меняется относительно диагонали квадрата рис. 1. В области 1
толщина плиты И1 = 1м, а в области 2 и на
самой диагонали И2 = 2м. Объем плиты
V = 384 м . Показатель гибкости для изотропной плиты равен:
г=3■пЕ0а3 (у2)/ЕИ (У)=29,12.
Рис. 1. Плита со скачкообразным изменением толщины
Численные результаты, полученные на основе базовой модели, приведены в работе [4].
На рис. 2 показаны изолинии прогибов этой плиты, полученные в инструментальной системе Л№У8.
0,000 5,000 10,000 (т)
0,000 5,000 10,000 (т)
2,500 7,500
Рис. 2. Изолинии прогибов изотропной защемленной плиты в системе ЛЫБУБ
Представленные расчетные данные
свидетельствуют о том, что скачкообразное изменение толщины плиты приводит к существенной ассиметрии в распределении прогибов. Область максимальных прогибов
смещается в область плиты с меньшей
толщиной и приобретает форму эллипса с большей осью в направлении границы раздела жесткостей (толщин). На рис. 3 представлены графики численных расчетов проведенных по соответствующим моделям. Которые на качественном и количественном уровнях
практически совпадают. Различие предельных значений, полученных, в рамках
вычислительного эксперимента не
превосходят 1,5 - 3%.
г
о
ю
S
|_
о
Ряді Ряд 2
Рис. 3. График сходимости значений прогибов, полученные на основе базовой модели (ряд 1) и инструментальной системе
ЛШУБ (ряд 2)
Таким образом, сравнительный анализ полученных результатов показал достаточный уровень адекватности предложенной математической модели, программная реализация которой позволяет учитывать механические свойства материала плиты и основания, способы нагружения, различные комбинации граничных условий на контуре. Кроме того, предложенная контактная модель упругого основания реализована отдельным программным блоком, что не требует его корректировки в условиях альтернативной контактной модели. Разработанный
программный комплекс может быть применен при исследовании более сложных вариантов нагружения плиты и других возможных видов граничных условий на контуре плиты, а также, к решению практически важных задач оптимального проектирования по весу плит,
большой опорной площади и переменной толщины, расположенных на линейно деформируемых грунтовых основаниях.
Литература
1. Варвак П.М., Варвак Л. П. Метод сеток в задачах расчета строительных конструкций. М.:Стройиздат, 1977. - 154с.
2. Бурковский В.Л., Некрасова Н.Н. Численная
реализация модели цилиндрического изгиба
ортотропных плит переменной жесткости на упругом основании// Вестник Воронеж. гос. технического ун-та, 2009г., т.5, №10, с. 101-107.
3. Бурковский В. Л., Некрасова Н.Н. Математическое моделирование влияния механических свойств основания на изгиб ортотропных плит с переменным коэффициентом жесткости// Вестник Воронеж. гос. технического ун-та, 2009г., т.5, №10, с. 117-122.
Воронежский государственный архитектурно-строительный университет Воронежский государственный технический университет
ANALYSIS OF ADEQUACY OF MATHEMATICAL MODEL OF BEDPLATES BENDING ON BASIS OF INSTRUMENTAL SYSTEM ANSYS
N.N. Nekrasova, V.L. Burkovsky, V.M. Flavianov
The article deals with comparative analysis of the results of mathematical modeling of bedplates on rigid foundation of data in instrumental system received on basis of final pertaining to element modeling. It was drawn a conclusion about sufficient level of adequacy of mathematical model
Key words: foundation slab, elastic foundation, FE modelling
