CC BY
30
УДК 631.6
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ВЛАГОПЕРЕНОСА ПРИ ЛОКАЛЬНОМ ОРОШЕНИИ В ПОЧВАХ ФРАКТАЛЬНОЙ СТРУКТУРЫ
MATHEMATICAL MODELING OF MOISTURE TRANSFER IN LOCAL IRRIGATION IN SOILS OF FRACTAL STRUCTURE
Е.В. Мелихова1, кандидат технических наук
В.В. Бородычев2, академик РАН, доктор сельскохозяйственных наук, профессор
E.V. Melikhova1, V.V. Borodychev2
1Волгоградский государственный аграрный университет 2Всероссийский научно-исследовательский институт гидротехники и мелиорации им. А.Н. Костякова (Волгоградский филиал)
1 Volgograd State Agrarian University 2All-Russian Scientific Research Institute of Hydraulic Engineering and Reclamation named after A.N. Kostyakov (Volgograd Branch)
Рассмотрены дифференциальные уравнения влагопереноса с учетом фрактальных свойств почвы как пористой среды. В качестве базового уравнения движения почвенной влаги принято уравнение диффузии М. Аллера, которое учитывает наличие потоков, ориентированных против потенциала влажности. Описание фрактальной скорости, обуславливающей изменение влажности, позволяет получить модифицированные уравнения влагопереноса, позволяющие учесть такие характеристики почвенных коллоидов, как фрактальность и соответствующие начальные и краевые условия. Получены аналитические выражения, учитывающие фрактальные свойства почв, обеспечивающие удовлетворительное, количественное описание процессов влагопереноса при сравнении с экспериментально полученными значениями. Установленные в процессе проведенных опытов значения водопроницаемости почвы соответствуют удовлетворительному уровню водопроницаемости почвы.
The differential equations of moisture transfer are considered in the article, taking into account the fractal properties of the soil, as a porous medium. As the basic equation of motion of soil moisture, the M. Aller diffusion equation is adopted, which takes into account the presence of flows oriented against the moisture potential. The description of the fractal speed, which causes a change in humidity, allows one to obtain modified equations of moisture transfer, allowing to take into account such characteristics of soil colloids as fractality, and the corresponding initial and boundary conditions. Analytical expressions are obtained that take into account the fractal properties of soils, which provide a satisfactory, quantitative description of the processes of moisture transfer when compared with the experimentally obtained values. The values of water permeability of soil established in the course of the experiments correspond to a satisfactory level of water permeability of the soil.
Ключевые слова: дифференциальные уравнения влагопереноса, моделирование влагопереноса, математическая модель, фрактальные свойства почв.
Key words: differential equations of moisture transfer, modeling of moisture transfer, mathematical model, fractal properties of soils.
Введение. Совершенствование технологий орошения сельскохозяйственных культур требует модернизации методов моделирования физических процессов в почвах [3, 9, 11]. Благодаря развитию численных методов и ЭВМ достигнуты значительные успехи в разработке компьютерного анализа математических моделей процессов увлажнения и фильтрации в пористых средах [5, 8]. Как правило, в основе применяемых моделей лежат зависимости, описываемые дифференциальными уравнениями (ДУ) 2-го порядка по временной и по пространственной переменным, а также их конечно-разностные аналоги. Развитие численных методов решения ДУ, описывающих
математические модели процессов влаго- и солепереноса во фрактальных средах [10, 12, 13], накопление данных об агрофизических свойствах различных почв и создание многопараметрических информационно-аналитических систем [6, 7] обусловливают актуальность и рост интереса исследователей к аппарату фрактального анализа [1, 2-4].
Материалы и методы. Существуют различные подходы к определению категории фрактала. Достаточно наглядным является определение фрактала Б. Мандельбро-том [1] как «структуры, состоящей из частей, которые в каком-то смысле подобны целому», иначе говоря, фрактальные структуры выглядят одинаково, в любом масштабе. В исследуемой нами предметной области гидротехнических мелиораций наглядным примером фракталоподобной системы является поликапиллярное коллоидное капиллярно-пористое тело, в частности, его часть, образующая выраженное поровое пространство.
Прикладной интерес представляет разработка математических моделей (ММ), учитывающих обоснованное физическими закономерностями влияние фрактальной структуры на водный и солевой режимы почв.
С позиции системного анализа водно-солевой режим почв является важнейшей подсистемой в рамках системы автоматизированного проектирования (САП) мелиоративных и водохозяйственных структур. Одним из наиболее динамично изменяющихся параметров по времени t является влажность почвы ю, которая представляет собой одну из наиболее важных характеристик, определяющую фрактальные качества почвенных коллоидов. В свою очередь, почвенный раствор является структурированным фрактальным коллоидным образованием, существенно влияющим на такие свойства почв, как инфильтрационные и фильтрационные характеристики.
Результаты и обсуждение. Базовым ДУ движения почвенной влаги с учетом начальных и краевых условий является уравнение диффузии М. Аллера, которое описывает наличие потоков влажности против её потенциала. Введение М. Аллером понятия «фрактальной скорости» для изменения влажности позволяет получить модифицированные уравнения влагопереноса (1), позволяющие учесть такие характеристики почвенных коллоидов, как фрактальность.
Базовое уравнение влагопереноса имеет вид:
% *(*, т) = ± [ЯМ ^ + V« (1)
где ш(х, т) - безразмерная влажность при х принимающего значения 0 < х <г от начального (1 = 0) до полученного 0=Т); д^ - оператор регуляризованный Римана-Лиувилля порядка а£]0,1], D(ю) - коэффициент диффузитивности, к - обобщенный коэффициент М. Аллера.
Краевые условия (локальные и нелокальные), сопутствующие упомянутому коэффициенту М. Аллера, задаются зависимостями:
% -С ш(х' = 0 < а < 1; (2)
шх(г,Ь) =-фг(Ь); (3)
шх(0,1)-шх(г,1)=/1(1); (4)
где шх(х, Ь) = Эх .
Регуляризованный оператор Римана-Лиувилля д^, представляющий собой оператор дробного дифференцирования (в смысле М. Капуто) порядка по переменной
времени t, определяется в работе [2] следующим образом.
Пусть L[0,Т] - множество некоторых функций абсолютно суммируемых на временном интервале [0,Т]; оператор [а] - целое действительного числа а; Dot - оператор дробного интегродифференцирования (в смысле Римана-Лиувилля), порядок которого равен [а]. Началом его действия является времени t = 0, а концом - текущий момент t > 0, действующий на зависимость ф(1) £ L[0,T] согласно:
С v(T)dT а < 0
где
<p(t),a = 0, (5)
JTmTI Dot V,a>0,
r(z) = Z2U, + С tZ_1 exp(-t) dt, z Ф 0, -1, -2,... (6)
- гамма-функция Эйлера.
_ дпю
По определению = Dgt П~^>п — 1 < а < n = 1,2,... (7)
Для случая п = 1,0 < а < 1, то
d0> = D0>— ^^ (8)
Выражение (7) является производной Капуто от функции 9(t) порядка а. Для моделирования динамики изменения объемной влажности почвы 0 = 0(x,t), характеризующей запасы влаги в точке с координатой х для момента времени t, можно использовать линейное уравнение смешанного вида [1, 4]:
0 = c0sign(tii — t)|t, — t\P 0,0 < t < T, (9)
с краевым условием нелокального типа:
Doê/0r e(x,t)dx = cr\t — u\Psign(t. — 0 (10)
где со, р, D0 и сг - числовые параметры, t* - момент времени достижения максимального допустимого значения объемной влажности.
Задача определения влагосодержания для слоя 5(t), согласно начальному условию 5(0) = So, эквивалентна сведению к линейному интегральному уравнению Вольтер-ра второго рода. Последнее имеет вид:
ад - ОоеЗДад = 50 + 00Т7(т)
с использованием оператора Римана-Лиувилля D^*.
Последнее сопоставляет входным данным 50, c(t), f(t) единственное значение ö(t), итерационно определяемое, например, методом Зейделя, с произвольной наперед заданной точностью.
Для случая c(t) = с = const, моделируемое влагосодержание произвольного почвенного слоя в требуемый момент времени t вычисляется по формуле:
ад F(ji)Ea[c(t-ii)a]dii, (11)
где
t
^(r)dr
F(t) = 5o + D0-ta/ = 50+rlT|
Г(а) J (t-т)1""' о
œ к k=0
- функция Миттаг-Леффлера.
Характеристика светло-каштановых почв опытного участка, где проводились экспериментальные исследования, представлена в таблице 1. По морфологическому описанию и агрохимическим показателям почву можно отнести к типичной светло-каштановой. В соответствии с гранулометрическим составом почвы, находятся её водно-физические свойства (таблица 1). Значения как плотности сложения, так и пористости говорят о среднем уровне плотности почвы для всех горизонтов. Значение объемной массы верхнего пахотного слоя почвы изменяется от 1,14 до 1,18 г/см3 (таблица 2), возрастая по мере углубления и достигая величины 1,33 г/см3 на глубине 1,0 м.
Таблица 1 - Гранулометрическая характеристика почв опытного участка
Содержание (% массы сухой почвы) частиц
Глубина взятия образцов, м разной к рупности, мм Характеристика поч-вогрунта по гранулометрическому составу
1-0,25 0,25-0,05 0,05-0,01 0,01-0,005 0,005-0,001 менее 0,001 более 0,01 менее 0,01
0,1-0,2 - 32,4 35,7 9,9 6,1 15,9 68,1 31,9 средний суглинок
0,3-0,4 - 30,7 28,0 13,8 11,3 16,2 58,7 41,3 средний суглинок
0,4-0,5 - 33,3 30,1 12,4 10,5 13,7 63,4 36,6 средний суглинок
0,7-0,8 - 35,9 37,9 7,0 2,9 16,3 73,8 26,2 легкий суглинок
0,8-1,0 - 36,0 31,8 7,1 5,1 10,0 77,8 22,2 легкий суглинок
Водно-физические свойства почвы также находятся в некоторой зависимости от её гранулометрического состава (таблица 2). Плотность твердой фазы почвы в основном определяется её минералогическим составом и содержанием гумуса. Почвы опытного участка в пределах почвенного слоя глубиной 1,0 м изменяются в диапазоне 2,40...2,56 т/м3. С увеличением глубины отмечается уменьшение порозности, при этом, возрастает плотность сложения. Приведенные значения порозности и плотности сложения свидетельствуют о среднем уровне плотности сложения почвы во всех исследованных горизонтах. Значение объемной массы верхнего горизонта изменяется в пределах 1,13.1,18 т/м3 (таблица 2). В последующих горизонтах по глубине значение объемной массы увеличивались, до 1,40 г/см3на глубине 1,5 м.
По водно-физическим данным получено уравнение регрессии зависимости глубины почвенного слоя от плотности:
у = 0,3817х3 - 1,0422х2 + 0,9538х + 2,2868, при R2 = 0,9371. (12) _Таблица 2 - Водно-физические свойства почвы_
Горизонт почвы, м Плотность почвы, г/см3 Плотность твердой фазы почвы, г/см3 Порозность, % Максимальная гигроскопическая влага, % Влажность в % от сухой массы при
НВ ВЗ
1 2 3 4 5 6 7
0,0.0,1 1,13 2,39 52,71 7,8 26,1 11,7
0,1.0,2 1,13 2,41 53,11 8,1 25,7 12,2
0,2.0,3 1,18 2,49 52,61 8,4 24,6 12,6
0,3.0,4 1,23 2,55 51,76 8,7 23,9 13,1
0,4.0,5 1,27 2,52 49,60 12,4 23,4 18,6
0,5.0,6 1,29 2,56 49,61 11,5 23,1 17,3
0,6.0,7 1,30 2,61 50,19 10,9 22,7 16,4
0,7.0,8 1,31 2,58 49,22 10,8 22,2 16,2
***** ИЗВЕСТИЯ ***** № 4 (48}, 2017
НИЖНЕВОЛЖСКОГО АГРОУНИВЕРСИТЕТСКОГО КОМПЛЕКСА: НАУКА И ВЫСШЕЕ ПРОФЕССИОНАЛЬНОЕ ОБРАЗОВАНИЕ
Окончание таблицы 2
1 2 3 4 5 6 7
0,8.0,9 1,33 2,58 48,45 10,9 21,9 16,4
0,9.1,0 1,37 2,57 46,69 10,5 21,8 15,8
1,0.1,1 1,39 2,58 46,12 10,7 19,1 16,1
1,1.1,2 1,39 2,58 46,12 10,4 18,5 15,6
1,2.1,3 1,39 2,61 46,74 11,2 18,3 16,8
1,3.1,4 1,40 2,63 46,77 11,5 17,2 17,3
1,4.1,5 1,40 2,62 46,56 11,4 17,3 17,1
0,0.0,5 1,19 2,47 51,82 8,8 24,74 13,2
Уравнение регрессии зависимости глубины почвенного слоя от плотности твердой фазы почвы, г/см :
у = -0,0084х3 - 0,1178х2 + 0,4133х + 1,0756, при R2 = 0,9816 0. (13)
Уравнение регрессии зависимости глубины почвенного слоя от пороз ности:
у = 7,5247х3 - 14,819х2 + 1,5389х + 52,928, при R2 = 0,9427. (14)
_Таблица 3 - Показатели водопроницаемости почвогрунта_
Скорость впитывания мм/мин Интервалы наблюдений, ч
1 2 3 4 5 6
Экспериментальные 0,815 0,621 0,510 0,433 0,369 0,357
Теоретические 0,716 0,701 0,631 0,542 0,310 0,201
Уравнение регрессии зависимости скорости впитывания от времени t:
y = 0,0196x2 - 0,2265x + 1,0128, при R2 = 0,9965. (15)
В первый час наблюдений в процессе исследований скорость впитывания составляла 0,82 мм-мин"1, а спустя 5 час. - 0,37 мм-мин"1. По классификации Н.А. Качин-ского эти показатели соответствуют удовлетворительной водопроницаемости почвы
Заключение. Таким образом, полученные аналитические выражения, учитывающие фрактальные свойства почв как пористых тел, обеспечивают удовлетворительное качественное и количественное описание процессов влагопереноса при сравнении с экспериментально полученными значениями. Установленные в процессе проведенных опытов значения водопроницаемости почвы по классификации Н.А. Качинского соответствует удовлетворительному уровню водопроницаемости почвы.
Библиографический список
1. Беданокова, С.Ю. О некоторых уравнениях движения почвенной влаги [Текст]/ С.Ю. Беданокова, Е.Б. Чуяко // Вестник Адыгейского госуниверситета. Сер. 4: Естественно-математические и технические науки. - 2013. - № 4 (125). - С. 36-40.
2. Влияние влажности на фрактальные свойства почвенных коллоидов [Текст]/ Т.Н. Федотов, Ю.Д. Третьяков, В.К. Иванов и др. // ДАН. - 2006. - Т. 409.2. - С. 199-201.
3. Комбинированное орошение сельскохозяйственных культур [Текст]/ А.С. Овчинников, В.В. Бородычев, М.Ю. Храбров и др. // Известия Нижневолжского агроуниверситетского комплекса: наука и высшее профессиональное образование. - 2015. - № 2 (38). - С. 6-13.
4. Мелихова, Е.В. Математическое моделирование и оптимизация режима орошения корнеплодов на светло-каштановых почвах волгоградской области [Текст]/ Е.В. Мелихова // Известия Нижневолжского агроуниверситетского комплекса: наука и высшее профессиональное образование. - 2009. - № 1(13). - С. 126-132.
5. Потапов, А.А. Фракталы в радиофизике и радиолокации [Текст] /А.А. Потапов. - М.: Университетская книга, 2005. - 848 с.
6. Рогачев, А.Ф. Сравнительная эффективность подходов к построению глобальной информационно-аналитической системы сбора и обработки агрометеоданных в АПК [Текст]/ А.Ф. Рогачев, А.Г. Гагарин // Управление экономическими системами: электронный научный журнал. - 2007. - № 11. - С. 13-23.
7. Рогачев, А.Ф. Нечетко-множественное моделирование и оценка экологической безопасности сельскохозяйственных земель при радиационном загрязнении [Текст]/ А.Ф. Рогачев, Е.В. Мелихова // Глобальная ядерная безопасность. - 2016. - № 1 (18). - С. 7-18.
8. Сербина, Л.И. Об одной математической модели переноса субстанции во фрактальных средах [Текст]/ Л.И. Сербина // Математическое моделирование. - 2003. - Т. 15. 9. - С. 17-28.
9. Техника и технологии фертигации при возделывании сельскохозяйственных культур [Текст]/ Е.В. Мелихова, А.Ф. Рогачев, В.В. Бородычев и др. // Научная жизнь. - 2017. -№ 5. - С. 4-15.
10. Фрактальные коллоидные структуры в почвах различной зональности [Текст]/ Г.Н. Федотов, Ю.Д. Третьяков, В.К. Иванов и др. // ДАН. - 2005. - Т. 405.3. - С. 351-354.
11. Шейн Е.В. Курс физики почв [Текст] / Е.В. Шейн. - М.: Издательство МГУ, 2005. - 432 с.
12. Perepelitsa V.A. Recognition of fractal graphs / V.A. Perepelitsa, A.M. Kochkarov, I.V. Sergienko // Cybernetics and Systems Analysis. 1999. Т. 35. № 4. С. 572-585.
13. Rogachev A.F. Optimization of the resources allocation between the strategic business unites on the basis of dynamic programming // A.F. Rogachev, I.V. Skopina // Экономика и математические методы. 2005. Т. 41. № 1. С. 132-135.
Reference
1. Bedanokova, S. Yu. O nekotoryh uravneniyah dvizheniya pochvennoj vlagi [Tekst]/ S. Yu. Bedanokova, E. B. Chuyako // Vestnik Adygejskogo gosuniversiteta. Ser. 4: Estestvenno-matematicheskie i tehnicheskie nauki. - 2013. - № 4 (125). - S. 36-40.
2. Vliyanie vlazhnosti na fraktal'nye svojstva pochvennyh kolloidov [Tekst]/ T. N. Fedotov, Yu. D. Tret'yakov, V. K. Ivanov i dr. // DAN. - 2006. - T. 409.2. - S. 199-201.
3. Kombinirovannoe oroshenie sel'skohozyajstvennyh kul'tur [Tekst]/ A. S. Ovchinnikov, V. V. Borodychev, M. Yu. Hrabrov i dr. // Izvestiya Nizhnevolzhskogo agrouniversitetskogo kompleksa: nauka i vysshee professional'noe obrazovanie. - 2015. - № 2 (38). - S. 6-13.
4. Melihova, E. V. Matematicheskoe modelirovanie i optimizaciya rezhima orosheniya korneplod-ov na svetlo-kashtanovyh pochvah volgogradskoj oblasti [Tekst]/ E. V. Melihova // Izvestiya Nizhnevolzh-skogo agrouniversitetskogo kompleksa: nauka i vysshee professional'noe obrazovanie. - 2009. - № 1(13). -S. 126-132.
5. Potapov, A. A. Fraktaly v radiofizike i radiolokacii [Tekst] /A. A. Potapov. - M.: Universi-tetskaya kniga, 2005. - 848 s.
6. Rogachev, A. F. Sravnitel'naya jeffektivnost' podhodov k postroeniyu global'noj infor-macionno-analiticheskoj sistemy sbora i obrabotki agrometeodannyh v APK [Tekst]/ A. F. Rogachev, A. G. Gagarin // Upravlenie jekonomicheskimi sistemami: jelektronnyj nauchnyj zhurnal. - 2007. - № 11. - S. 13-23.
7. Rogachev, A. F. Nechetko-mnozhestvennoe modelirovanie i ocenka jekologicheskoj be-zopasnosti sel'skohozyajstvennyh zemel' pri radiacionnom zagryaznenii [Tekst]/ A. F. Rogachev, E. V. Melihova // Global'naya yadernaya bezopasnost'. - 2016. - № 1 (18). - S. 7-18.
8. Serbina, L. I. Ob odnoj matematicheskoj modeli perenosa substancii vo fraktal'nyh sredah [Tekst]/ L. I. Serbina // Matematicheskoe modelirovanie. - 2003. - T. 15. 9. - S. 17-28.
9. Tehnika i tehnologii fertigacii pri vozdelyvanii sel'skohozyajstvennyh kul'tur [Tekst]/ E. V. Melihova, A. F. Rogachev, V. V. Borodychev i dr. // Nauchnaya zhizn'. - 2017. - № 5. - S. 4-15.
10. Fraktal'nye kolloidnye struktury v pochvah razlichnoj zonal'nosti [Tekst]/ G. N. Fedotov, Yu. D. Tret'yakov, V. K. Ivanov i dr. // DAN. - 2005. - T. 405.3. - S. 351-354.
11. Shejn E. V. Kurs fiziki pochv [Tekst] / E. V. Shejn. - M.: Izdatel'stvo MGU, 2005. - 432 s.
12. Perepelitsa V.A. Recognition of fractal graphs / V.A. Perepelitsa, A.M. Kochkarov, I.V. Sergienko // Cybernetics and Systems Analysis. 1999. T. 35. № 4. S. 572-585.
13. Rogachev A.F. Optimization of the resources allocation between the strategic business unites on the basis of dynamic programming // A.F. Rogachev, I.V. Skopina // }konomika i ma-tematicheskie metody. 2005. T. 41. № 1. S. 132-135.
E-mail: [email protected]
