CC BY
54
8. Chemovolov, V. A. Optimizaciya razmescheniya stacionarnyh dozhdevatelej metodom ma-tematicheskogo modelirovaniya [Tekst]/ V. A. Chemovolov, L. V. Kravchenko // Tehnicheskoe i kadrovoe obespechenie innovacionnyh tehnologij v sel'skom hozyajstve: materialy mezhdunar. nauch. -- prakt. konf., g. Minsk, 23-24 oktyabrya 2014 g. / NII M}SX BGATU. - Minsk, 2014. - S. 114-116.
9. Chernovolov, V. A. Raschet pokazatelej ravnomernosti dozhdevaniya po rezul'tatam ispytaniya apparata radial'nym metodom [Tekst]/V. A. Chernovolov, L. V. Kravchenko, D. N. Prota-sov // Nauchnyj zhurnal Rossijskogo NII melioracii. - 2016. - №1(21). - S. 182-195.
10. Shernovolov, V. A. The uniformity of irrigation with single-jet sprinkler apparatus of rie action / V. A. Chernovolov, L. V. Kravchenko // Applied and Fundamental Studies. - 2014, November 29-30. - St. Louis, Missouri, USA. - P. 199 - 210.
E-mail: [email protected]
УДК 631.6
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ СОЛЕВОГО РЕЖИМА ПРИ ФЕРТИГАЦИИ В ПОЧВОГРУНТАХ ФРАКТАЛЬНОЙ СТРУКТУРЫ
MATHEMATICAL MODELING OF THE SALT REGIME AT FERTIGATING
IN SOIL FRACTAL STRUCTURES
Е.В. Мелихова, кандидат технических наук E.V. Melikhova
Волгоградский государственный аграрный университет Volgograd State Agrarian University
В статье рассмотренные подходы математического моделирования и возможность численной реализации на ЭВМ с использованием интегро-дифференциальных уравнений, учитывающих фрактальную структуру почвогрунтов. Актуальность проведенного аналитического исследования обусловлена необходимостью моделирования сложных процессов влаго- и соле-переноса при оптимизации параметров ресурсосберегающих технологий орошения, в том числе с применением фертигации. При этом использован математический аппарат дробного дифференцирования и показатель фрактальной размерности, определяемый по методу Херста, а также гамма-функция Эйлера и функция Миттаг-Леффлера. Рассмотренные подходы, допускающие численное решение исследуемых уравнений, позволяют моделировать процессы влаго- и соле-переноса при возделывании сельскохозяйственных культур, в том числе с использованием технологии фертигации, обосновывать основные параметры режимов орошения и повышать эффективность процессов и технологий орошаемого земледелия.
In the article, the considered approaches of mathematical modeling and the possibility of numerical implementation on a computer using integro-differential equations that take into account the fractal structure of soil. The urgency of the conducted analytical research is caused by the necessity of modeling complex processes of moisture and salt transfer while optimizing the parameters of resource-saving irrigation technologies, including with the use of fertigation. In this case, the mathematical apparatus of fractional differentiation and the fractal dimension indicator, determined by the Hurst method, as well as the Euler gamma function and the Mittag-Leffler function are used. The approaches considered allowing a numerical solution of the equations under study allow modeling the processes of moisture and salt transfer in the cultivation of crops, including using fertigation technology, substantiating the main parameters of irrigation regimes, and improving the efficiency of irrigated farming processes and technologies.
Ключевые слова: математическое моделирование, орошение, солевой режим, фертигация, почвогрунт, фрактальная структура, ресурсосбережение.
Key words: mathematical modeling, irrigation, salt regime, fertigation, soil, fractal structure, resource saving.
Введение. Для совершенствования технологий локального орошения, в том числе с использованием фертигации, требуется применение математических моделей, использующих современные методические подходы к описанию сложных физических процессов влаго- и солепереноса [7, 2]. Известны различные подходы к построению математических моделей влаго- и солепереноса при локальных способах орошения [3, 5, 6].
Для исследования характерных для технологий фертигации процессов переноса солей с учетом их растворения и перемещения поливной водой, разрабатываемую математическую модель необходимо дополнить дифференциальными уравнениями соле-переноса. При этом ряд авторов рекомендуют учитывать почву как сложную пористую фрактальную структуру [8]. Существуют различные определения фрактала [13, 14, 4]. Понятие фрактала ввел около 30 лет тому назад французский математик Б. Мандельб-рот, который определяет фракталы как раздробленные объекты, форма которых воспроизводится в любом масштабе [4]. Это определяющее свойство фракталов называют масштабной инвариантностью. Несколько иное определение фрактала, как специфической структуры, состоящей из частей, которые в некотором смысле подобны целому, иными словами, выглядят одинаково, в каком бы масштабе её ни наблюдать, представлено в работе [12].
Материалы и методы. Целью фрактального анализа является обнаружение наличия в нем фрактальных свойств, оценка их глубины, а также значения показателя Херста Н. Термин «R/S - анализ» встречается под названием «метод нормированного размаха (HP) Херста» .
При рассмотрении метода нормированного размаха проанализируем ряд n последовательных величин xi,...,xn. Каждое xr, r = 1,n, определяет собой временное изменение уровня исследуемой величины.
Среднее значение ряда xm определяется как:
n
Л — 7 Л m / 1 r
т
r=1
Стандартное отклонение Sn рассчитывается по формуле:
1 n
Sm =A- T С
(1)
r=1
I
n— (2)
n r=1
Проведем центрирование данных вычитанием среднего значения, в результате чего получим ряд:
Z „ = x — xm (3)
r r m у-*)
со средним значением, равным нулю.
Для дальнейшего рассмотрения используется кумулятивный ряд:
Y1 = Z1 + Zr, r = 2, n (4)
При этом последнее значение Yn всегда будет равно нулю, так как Zr = 0 . Размах определяется разностью между максимальным и минимальным значениями Yr:
Rn = maxft,...,Yn)—min ). (5)
Вследствие того, что Y отрегулирован до среднего значения, равного нулю, максимальное значение Y всегда будет неотрицательным, а минимальное значение - неположительным. При этом условии величина Rn будет всегда неотрицательной.
Величина Rn, по существу, является расстоянием, которое проходит система за временной интервал n. Херстом предложена более общая формула уравнения (1), имеющая вид:
(R / S),, = c • nH, (6)
где с - константа; Н - показатель Херста.
R/S называется нормированным размахом, так как имеет нулевое среднее и выражается в виде локального среднеквадратического отклонения. Нормировка размаха делением на среднеквадратичное отклонение позволяет сравнивать различные явления, а также периоды времени.
После логарифмирования выражения (1) приходим к следующему результату:
log (R / S )n = log c + H log n, (7)
который может быть использован для построения графика log(R / S )n, в зависимости от
log n и нахождения наклона с помощью регрессии. Угловой коэффициент в выражении (8) дает оценку показателя Херста.
Для практического расчета показателя Херста в прикладных исследованиях приведем подробную методику.
1. Обозначим длину временного ряда (ВР) - М. Преобразуем его во временной ряд длиной N=M-1 следующим образом:
N = log (м{1+1) / м) i = 1, (м -1) (8)
2. Разделим этот временной период на А смежных подпериодов длиной n таких, что A*n=N. Обозначим каждый подпериод через Ia, a = 1, A каждый элемент в Ia обозначим как Nka, к = 1, n. Для каждого Ia длиной n среднее значение определяется как:
1 п
ea Nka (9)
n к=1
3. Для каждого подпериода Ia находим накопленные отклонения от среднего значения в виде:
к
Xka =Yu(Na - ea ) (10)
i=1
4. В каждом периоде Ia определяется размах:
RIn = maX (Xka )- min (Xka ) (11)
5. Для каждого подпериода Ia вычисляем среднеквадратическое отклонение:
-,0.5
\2
Sj =
1 п
- ea )2
п к=1
(12)
6. Вычислительный размах Rj нормируется делением на соответствующее значение Sj . В итоге нормированный размах для каждого подпериода Ja определяется как
Rj / S j . Вследствие того, что имеется А смежных подпериодов длиной n, среднее значение R/S для длины n находим как:
(Л/ 5\ = А £ (д., / 5,,) (13)
а=1
7. Длина п увеличивается до следующего более высокого значения таким образом, чтобы величина (М-1)/п оставалась целым числом. Здесь используются значения п, которые включают начальные и конечные точки ряда. Затем шаги с 1 по 6 повторяются до тех пор, пока п=(М-1)/2.
Теперь можно использовать уравнение (7) и регрессионный анализ для оценки показателя Херста. При этом качестве независимой переменной выступает log(и), а зависимой - служит 1о§(Я / 5),. Угловой коэффициент регрессионного уравнения дает
оценку показателя Херста [12].
Для описания фрактальных структур разработан математический аппарат, основанный на понятии дробного интегрирования и дифференцирования [8]. Он основан на базовой зависимости (1) для определения фрактальной размерности D, которая определяется по методу Херста:
D=2-Н, (14)
где Н - показатель Херста, вычисляемый из зависимости (15):
Я
5
v 2 У
(15)
где R - размах вариации временного ряда за период T; S - стандартное отклонение; (Т/2) - половина рассматриваемого периода временного ряда. Иногда используется показатель d, определяемый из спектра Фурье временного ряда, характеризующегося показателем Херста H и определяемым по значениям этого же временного ряда по формуле (16):
d =2H +1. (16)
Однако, метод Херста малопригоден в ряде случаев исследования мелиоративных процессов в связи с ограниченным числом дискретных экспериментальных значений временного ряда.
Кроме того, в дальнейшем при описании фрактальных свойств, моделируемых почвогрунтов используется понятие гамма-функция Эйлера, определяемой как зависимость (17):
tZ~ie~tdt' (17)
где L - произвольный контур на комплексной плоскости, обходящий точку t = 0 в направлении против часовой стрелки, концы которого уходят в бесконечность вдоль положительного направления вещественной оси.
В качестве базового математического описания солепереноса в почвогрунтах, которое учитывает влияние фрактальной структуры почвенной среды на солевой режим, можно использовать дифференциальное уравнение дробного порядка [8] следующего вида:
^ = DfdSMf.O - + F [и] (18)
где Do^" и до* - операторы дробного интегро-дифференцирования, u=u(x,t) - концентрация почвенного раствора в момент времени t в точке x для слоя почвы 0... r; Df - коэффициент фрактальной диффузии; a = v0/m1 - фактическая скорость движения воды в порах грунта; v0 -постоянная скорость фильтрации; m1 - порозность; um - предельная концентрация насыщения.
Функция F(u) может определятся, как F(u)=b(um-u) или F(u)=b[um-S(t)]; Ь - коэффициент растворимости.
Усредненное содержание солей 8(ь) для почвенного слоя размером т определяется по формуле (19)
8(ь) =^^и(х,ь)йх . (19)
При этом предполагается, что значение а равно либо пропорционально фрактальной размерности D исследуемого почвенного слоя, относящегося к полусегменту ]п-1, п], п = 1, 2,... В зависимости (5) использован оператор дробного дифференцирования порядка а, который преобразует функцию ф(х) из области определения £(£«) с Ь[а,Ъ], где Ь[а,Ъ] - пространство действительных функций ф(х) с конечной
нормой ||^||0 = /д согласно выражению (20)
_ = «^с)/*^^ (20)
где а а,Ь и с £ [а,Ь] действительные числа; [а] - целая часть а, удовлетворяющая неравенству [а] < а < [а] + 1; Г- гамма-функция Эйлера (4).
Оператор дробного дифференцирования порядка а, а Ф 0,1,2,..., определяют с началом в точке с и концом в точке х [8]. По определению = ф(ь), =
^(п)(0, п = 1,2,.. При а < 0 оператор совпадает с оператором дробного (в смысле Римана-Лиувилля) интегрирования порядка а, который иногда обозначают в виде /¿г/* если х > с.
Если х < с, то оператор обозначают в виде [10].
В монографии [8] показано, что при а>0 и предположениях относительно гладкости функции ф(х) £ можно принимать
й&ф) = з1дпЫ+1(х - (21)
Результаты. Для практического определения среднего солесодержания ё^) в работах [7, 2] предложен следующий подход с использованием качественного анализа уравнения в частных производных дробного порядка а. Используя базовое уравнение (5) математической модели движения солей для всех ае]п - 1, п], рассмотрен случай зональных почв с фрактальной размерностью D, причем 2.4 < D < 3.22 и 2.4 < а < 3.22.
Для случая стационарного распределения солей в почвенном слое, взято уравнение (9)
д$хи(0 - шаи'(х) = 0, 0 <х<г (22)
где ^а = тг.
При решении задачи Коши используют формулу (23), позволяющую определить градиент концентрации солей в любой точке х почвы с фрактальной размерностью а £]2,3[:
и'(х) = ь(х) = Еа_1[шаха~1]с1 + хЕ1/(а_1)[шаха~1-, 2]с2, (23)
-п гк
где с = у(0), с2 = ^'(0); Е1/(а_1) [г; 2] = ££-{} Г(+fc(a_1)) - функция Миттаг-Леффлера.
Обсуждение. Для исследования нестационарной модели переноса солей в почве можно использовать зависимость:
6'(ь) = Огд$хи(%, €)-аих , 1 < а <2 (24)
с граничным условием 0^их(0,Ь) = ф(ь), 0 <Ь<Т.
Для определения распределения солей в почвенном слое мощности г получена формула (12), принимая в = а - 1, т = ^ /0Г т(х)йх, т(х) = и(х, 0) - среднее значение концентрации почвенного раствора в начальный момент времени, получаем зависимость (25):
= тб^ЦхРЯ+Р] Г_о^_] (25)
Для численного решения и исследования зависимости (25) необходимо определить значения а, соответствующие зональным почвам, используемым для возделывания сельскохозяйственных культур. Это может определяться экспериментальными методами, описанными, например, в работе [1] по методикам ФГБНУ «Агрофизический научно-исследовательский институт» (Санкт-Петербург). После определения значения а возможно построение алгоритма численной схемы, реализующей зависимость (25).
Заключение. Таким образом, рассмотренные подходы, математические модели и алгоритмы их численной реализации на ЭВМ позволяют моделировать процессы вла-го- и солепереноса при возделывании сельскохозяйственных культур с использованием фертигации, обосновывать основные параметры режимов орошения и повышать эффективность процессов и технологий орошаемого земледелия.
Библиографический список
1. Анализ динамики гумусного состояния почв фрактальными методами [Электронный ресурс] / К.Г. Моисеев, Л.В. Бойцова, В.Д. Гончаров // ГНУ АФИ Россельхозакадемии. - Режим доступа: https://www.researchgate.net/publication/273133769_analyses_of_soil_humus_ dinamics_ by_fractal_methods
2. Иванишин, И.Б. Постановка задачи физического и математического моделирования поведения жидкостей в пористых средах [Текст]/ И.Б. Иванишин, Е.В. Шеляго, И.В. Язынина // Нефтяное хозяйство. - 2015. - № 1. - С. 71-73.
3. Киреев В.А. О моделировании фильтрации жидкости в пористой среде методом решеточных уравнений Больцмана [Текст]/ В.А. Киреева // Решетневские чтения. - 2013. - Т. 2. № 17. - С. 103-105.
4. Мандельброт, Б. Фрактальная геометрия природы: пер. с англ. [Текст] / Б. Ман-дельброт. - М.: Институт компьютерных исследований, 2002. - 656 с.
5. Мелихова, Е.В. Математическое моделирование процессов влагопереноса при капельном и внутрипочвенном орошении [Текст] / Е.В. Мелихова // Известия Нижневолжского агроуниверситетского комплекса: наука и высшее профессиональное образование. - 2016. - № 1 (41). - С. 228-234.
6. Мелихова, Е.В. Моделирование контура увлажнения при капельном орошении с использованием дифференциальных уравнений в частных производных [Текст]/ Е.В. Мелихова // Фундаментальные исследования. - 2015. - № 9-2. - С. 282-285.
7. Моделирование процесса управления водно-солевым режимом почв в условиях орошения [Текст] / В.В. Бородычев, Э.Б. Дедова, М.А. Сазанов, М.Н. Лытов // Известия Нижневолжского агроуниверситетского комплекса: наука и высшее профессиональное образование. -2016. - № 2 (42). - С. 26-33.
8. Нахушев, А.М. Дробное исчисление и его применение [Текст]/ А.М. Нахушев. -М.: ФИЗМАТЛИТ, 2003. - 272 с.
9. Перепелица, В.А. Структурирование данных методами нелинейной динамики для двухуровневого моделирования [Текст]/ В.А.Перепелица, Ф.Б. Тебуева, Л.Г. Темирова. -Ставрополь: Ставропольское книжное издательство, 2006. - 284 с.
10. Самко, СУ. Интегралы и производные дробного порядка и некоторые их приложения [Текст] / С. У. Самко, А. А. Килбас, О. И. Маричев. - Минск, 1987. - 688 с.
11. Стенд для моделирования процессов влагообмена в пористой среде: заявка на полезную модель № 2017112144 [Текст]/ Е.В. Мелихова и др. Заявл.07.04.2017.
254
12. Фракталы в физике: Труды VI Международного симпозиума по фракталам в физике (МЦТФ, Триест, Италия, 9-12 июля 1985) [Текст]/ Пер. с англ; Под ред. Л. Пьетронеро, Э. Тозатти. - М.: Мир, 1988. - 672 с.
13. Mikailsoy F. D., Pachepsky Y.A. Average Concentration of Soluble Salts in Leached Soils inferred from the Convective-Dispersive Equation // Irrigation Science, 2010. Vol. 28. No. 5. pp. 431-434.
14. Rolston D.E. Historical development of soilwater physics and solute transport in porous media // Water Sci Technol Water Supply, 2007. Vol. 7. pp: 59-66.
References
1. Analiz dinamiki gumusnogo sostoyaniya pochv fraktal'nymi metodami [Jelektronnyj resurs] / K. G. Moiseev, L. V. Bojcova, V. D. Goncharov // GNU AFI Rossel'hozakademii. - Rezhim dostupa: https://www.researchgate.net/publication/273133769_analyses_of_soil_humus_ dinamics_ by_fractal_methods
2. Ivanishin, I. B. Postanovka zadachi fizicheskogo i matematicheskogo modelirovaniya povedeniya zhidkostej v poristyh sredah [Tekst]/ I. B. Ivanishin, E. V. Shelyago, I. V. Yazynina // Neftyanoe hozyajstvo. - 2015. - № 1. - S. 71-73.
3. Kireev V. A. O modelirovanii fil'tracii zhidkosti v poristoj srede metodom reshetochnyh uravnenij Bol'cmana [Tekst]/ V. A. Kireeva // Reshetnevskie chteniya. - 2013. - T. 2. № 17.- S. 103-105.
4. Mandel'brot, B. Fraktal'naya geometriya prirody: per. s angl. [Tekst] / B. Man-del'brot.
- M.: Institut komp'yuternyh issledovanij, 2002. - 656 s.
5. Melihova, E. V. Matematicheskoe modelirovanie processov vlagoperenosa pri kapel'nom i vnutripochvennom oroshenii [Tekst] / E. V. Melihova // Izvestiya Nizhnevolzhskogo agrouniversitetskogo kompleksa: nauka i vysshee professional'noe obrazovanie. - 2016. - № 1 (41). -S. 228-234.
6. Melihova, E. V. Modelirovanie kontura uvlazhneniya pri kapel'nom oroshenii s ispol'zovaniem differencial'nyh uravnenij v chastnyh proizvodnyh [Tekst]/ E. V. Melihova // Funda-mental'nye issledovaniya. - 2015. - № 9-2. - S. 282-285.
7. Modelirovanie processa upravleniya vodno-solevym rezhimom pochv v usloviyah orosheniya [Tekst] / V. V. Borodychev, Je. B. Dedova, M. A. Sazanov, M. N. Lytov // Izvestiya Nizh-nevolzhskogo agrouniversitetskogo kompleksa: nauka i vysshee professional'noe obrazovanie. - 2016.
- № 2 (42). - S. 26-33.
8. Nahushev, A. M. Drobnoe ischislenie i ego primenenie [Tekst]/ A. M. Nahushev. -M.: FIZMATLIT, 2003. - 272 s.
9. Perepelica, V. A. Strukturirovanie dannyh metodami nelinejnoj dinamiki dlya dvuhurovnevogo modelirovaniya [Tekst]/ V. A. Perepelica, F. B. Tebueva, L. G. Temirova. - Stavropol': Stavropol'skoe knizhnoe izdatel'stvo, 2006. - 284 s.
10. Samko, S. U. Integraly i proizvodnye drobnogo poryadka i nekotorye ih prilozheniya [Tekst] / S. U. Samko, A. A. Kilbas, O. I. Marichev. - Minsk, 1987. - 688 s.
11. Stend dlya modelirovaniya processov vlagoobmena v poristoj srede: zayavka na poleznuyu model' № 2017112144 [Tekst]/ E. V. Melihova i dr. Zayavl.07.04.2017.
12. Fraktaly v fizike: Trudy VI Mezhdunarodnogo simpoziuma po fraktalam v fizike (MCTF, Triest, Italiya, 9-12 iyulya 1985) [Tekst]/ Per. s angl; Pod red. L. P'etronero, Je. Tozatti. - M.: Mir, 1988. - 672 s.
13. Mikailsoy F. D., Pachepsky Y.A. Average Concentration of Soluble Salts in Leached Soils nferred from the Convective-Dispersive Equation // Irrigation Science, 2010. Vol. 28. No. 5. pp. 431-434.
14. Rolston D.E. Historical development of soilwater physics and solute transport in porous media // Water Sci Technol Water Supply, 2007. Vol. 7. pp: 59-66.
E-mail: [email protected] 255
