CC BY
19УДК 531.383:(629.783:528.8) DOI 10.33950/spacetech-2308-7625-2019-3-66-76
математическое моделирование точностных характеристик стабилизации и производительности космического аппарата дистанционного зондирования земли
© 2019 г. платонов в.н., Сумароков А.в.
Ракетно-космическая корпорация «Энергия» имени С.П. Королёва (РКК «Энергия») Ул. Ленина, 4А, г. Королёв, Московская обл., Российская Федерация, 141070, e-mail: [email protected]
В работе проведено математическое моделирование динамики контура управления ориентацией космического аппарата дистанционного зондирования Земли в процессе проведения съемок. Аппарат предназначен для осуществления съемок полосы вдоль трассы полета, стереосъемок, площадных и коридорных съемок под углом к трассе полета. Для обеспечения высокой маневренности аппарата в процессе съемок предполагается, что в контуре управления в качестве исполнительных органов используются двухстепенные силовые гироскопы. Проведены исследования возможностей выполнения данным аппаратом серий площадных и коридорных съемок. В контуре управления ориентацией были выбраны параметры управления, обеспечивающие заданные технические характеристики. Результаты моделирования подтвердили возможность выполнения аппаратом данных видов съемок и обеспечение заданных точностных характеристик.
Ключевые слова: космический аппарат дистанционного зондирования Земли, гиродины, двухстепенные силовые гироскопы, кинетический момент, стабилизация, угловая скорость, прецессия.
math simulation of attitude stabilization accuracy and performance for an earth remote sensing spacecraft
platonov v.N., Sumarokov A. v.
S.P. Korolev Rocket and Space Public Corporation Energia (RSC Energia) 4A Lenin str., Korolev, Moscow region, 141070, Russian Federation, e-mail: [email protected]
The paper discusses a math simulation of an Earth remote sensing spacecraft attitude control loop dynamics during imaging. The spacecraft is intended for imaging a swath along the flight path, stereo imaging, area and corridor imaging at an angle to the flight path. To provide the spacecraft with high maneuverability during imaging it is assumed that the control loop uses as its effectors one-axis powered gyros. Studies were conducted of the feasibility of using this spacecraft for performing a series of area and corridor surveys. Selected for the attitude control loop were the control parameters which allow meeting the specified performance. Simulation results have confirmed that the spacecraft is capable of performing these kinds of surveys and meeting the specified accuracy levels.
Key words: Earth remote sensing spacecraft, control moment gyros, single-axis powered gyros, kinetic momentum, stabilization, angular rate, precession.
ПЛАТОНОВ Валерий Николаевич — доктор технических наук, начальник отдела РКК «Энергия», e-mail: [email protected]
PLATONOV Valery Nikolaevich — Doctor of Science (Engineering), Head of Department at RSC Energia, e-mail: [email protected]
СУМАРОКОВ Антон Владимирович — кандидат физико-математических наук, старший научный сотрудник РКК «Энергия», e-mail: [email protected] SUMAROKOV Anton Vladimirovich — Candidate of Science (Physics and Mathematics), Senior research scientist at RSC Energia, e-mail: [email protected]
ПЛАТОНОВ в.н.
СУМАРОКОВ А.В.
Введение
В настоящее время РКК «Энергия» проводит исследования в области создания современных автоматических систем, предназначенных для съемок поверхности Земли из космоса. Результатом этих исследований становится разработка новых технологических платформ космических аппаратов (КА) дистанционного зондирования Земли (ДЗЗ) [1], а также использование уже имеющихся возможностей для отработки новых технологий ДЗЗ [2, 3]. Одним из перспективных путей развития систем ДЗЗ является наращивание возможностей КА в части осуществления различных видов съемок. Наиболее распространенными являются съемки полосы вдоль трассы полета (рис. 1, а) и стереосъемки (рис. 1, б). Однако, современные тенденции [4] требуют, чтобы КА ДЗЗ был способен также осуществлять площадные (рис. 1, в) и коридорные (рис. 1, г) съемки под углом к трассе полета.
Требование реализации таких видов съемок приводит к тому, что традиционно используемая на КА система маховиков для управления угловым движением [1] перестает справляться с задачей переориентации ввиду необходимости быстрых динамичных разворотов за короткое время. Одним из способов решения данной проблемы является использование в качестве основных исполнительных органов двухстепенных силовых
гироскопов (гиродинов). Использование гиродинов позволяет резко увеличить количество съемок в сеансах наблюдений. За счет того, что управляющий момент, действующий на КА, создается, в основном, путем поворота ротора гироскопа, имеющего постоянную скорость вращения вокруг оси подвеса, управляющий момент системы гиродинов на порядки превосходит управляющий момент маховиков. В этом случае время, необходимое для набора и гашения угловой скорости во время проведения разворотов КА, значительно сокращается (до 2-3 с). Это приводит к ускорению проведения программных разворотов.
В работе рассматривается КА, предназначенный для съемки заданных районов земной поверхности с высоким пространственным разрешением (1,0 м при съемке в надир), использующий гироди-ны для управления угловым движением. Космический аппарат должен обеспечивать проведение всех вышеописанных видов съемок. Орбита функционирования КА предполагается круговой солнечно-синхронной с высотой 600-700 км. Считается, что съемки могут проводиться в диапазонах углов ±45° перпендикулярно трассе полета, ±30° — по направлению вдоль трассы полета, и что за один сеанс наблюдений продолжительностью ~20 мин должно обеспечиваться проведение до восьми площадных или коридорных съемок.
При построении алгоритмов управления предполагается, что система управления движением и навигации (СУДН) рассматриваемого высокоманевренного КА (рис. 2) построена на основе бесплатформенной инерциальной навигационной системы (БИНС), измерительным элементом которой является датчик угловой скорости ГИВУС (имеющий четыре измерительных канала). Для коррекции БИНС используются три звездных датчика. Для определения положения аппарата в пространстве используется аппаратура спутниковой навигации. В качестве исполнительных органов на начальном этапе используются двигатели ориентации, в условиях штатной эксплуатации — гиродины.
Сброс накопленного кинетического момента гиродинов осуществляется тремя электромагнитными исполнительными органами. Для коррекции орбиты используются электрореактивные двигатели. При проведении съемок предполагается одновременная работа двух звездных датчиков.
При математическом моделировании считалось, что моменты инерции твердого тела вокруг осей x, у, z равны, соответственно, 800, 500, 800 кгм2. Для достижения заданных параметров съемки поверхности Земли при ее проведении требуется обеспечивать погрешность поддержания угловой скорости вокруг осей, перпендикулярных оптической оси аппаратуры, не более 0,001 °/с.
Имеющиеся в настоящее время в РФ двухстепенные силовые гироскопы производства «Научно-исследовательского института командных приборов» [5], прошедшие летную квалификацию и способные решать поставленные задачи, имеют кинетический момент 60 Нмс. Данная величина превосходит требуемую для рассматриваемого КА приблизительно в четыре раза. Минимальный управляющий момент таких гиродинов составляет 0,0072 Нм и приводит к значительной величине управляющих ускорений для КА с такими массово-инерционными характеристиками (~0,0007 °/с2). Это обстоятельство затрудняет выполнение заданных точностных характеристик стабилизации КА при проведении съемок.
Ситуация дополнительно усугубляется ограниченностью измерительного диапазона датчика угловой скорости -1,6...1,6 °/с. Решение задачи расширения измерительного диапазона датчика ГИВУС приведено в работе [6].
В результате этого возникает задача управления угловым движением такого КА с избыточным управляющим воздействием и недостаточным измерительным диапазоном ГИВУС. Следует также отметить, что минимальное управляющее воздействие таких силовых гироскопов на порядок превышает аналогичный показатель маховиков. Это значительно затрудняет выполнение заданных точностных характеристик стабилизации КА при проведении съемок.
Рис. 2. Приборный состав системы управления движением рассматриваемого космического аппарата
Закон управления системой гиродинов
Предполагается расположить гироди-ны попарно параллельно, т. е. следующим образом: оси прецессии двух из них параллельны оси ОХ КА, а двух других — оси ОУ КА.
Алгоритмы управления системой, включающей четыре гиродина с попарно параллельными осями прецессии, приведены в работах [6-9]. Область вариации кинетического момента данной схемы имеет отчетливо выраженную вытянутую форму. Размеры области вариации для выбранных гиродинов по осям связанной
системы координат ОХ, ОУ, ОХ составляют ±120, ±120, ±240 Нмс, соответственно. Для управления ориентацией данного КА будет использоваться только часть области вариации кинетического момента, не превышающая сферы радиусом 60 Нмс и с центром в начале области вариации кинетического момента, так как для приборов, входящих в контур управления ориентацией, максимальная допустимая угловая скорость составляет не более 3,5 °/с. Данное обстоятельство позволяет при штатном варианте управления с использованием всех четырех гиродинов избегать попадания гиросистемы в особые точки.
Расчет требуемого управляющего момента гиродинов также осуществляется по алгоритмам, описанным в работах [6, 10].
Пусть угловое рассогласование задается кватернионом N = (»0 » »2 »3)т, тогда при малом угловом рассогласовании
и выполнении условия ^2а1;|®;| > ©; (к2/ки),
где ©; « 2». — угловое рассогласование по ¿-му каналу управления (I = х, у, z); аи - проекция ускорения по ¿-му каналу; а1 = 0,75а; а — максимальное ускорение, развиваемое гиросистемой. Закон формирования управляющего момента по этому каналу управления имеет вид:
МгеЧг = -Д^2» + кН(Ш* - Ш«» + ^^ i = х, у, z,
где /¿(¿ = х, у, z) — моменты инерции твердого тела вокруг осей х, у, z КА, соответственно; ки и k2¿ — соответственно, коэффициенты усиления по угловой скорости и углу; шн — компоненты вектора угловой скорости КА, вычисленные по результатам динамической фильтрации измерений датчика угловой скорости; шв. — компоненты вектора требуемой угловой скорости в исполняемом режиме ориентации (например, скорость орбитального движения); в = Дш + Н — суммарный вектор кинетического момента корпуса КА и гиросистемы.
В режиме переориентации разворот осуществляется вокруг вектора конечного разворота (оси Эйлера) за минимальное время. Расчет требуемого управляющего момента гиродинов при отработке углового рассогласования в этом режиме осуществляется следующим образом:
М . = -/ к..(
rea¿ ^ ¿ 1¿ ^
й,
Ш
ы
шре) + (шхв)г
¿ = х, у, z,
здесь шр = а— расчетная скорость разворота вокруг вектора конечного поворота е = (ех еу е2)т, причем Ь = 0 в момент начала разворота.
Для управления системой гироди-нов используется закон управления скоростями прецессии системы, включающей п силовых гироскопов, описанный в работах [6-9]. Закон управления скоростями прецессии имеет вид:
8 = ШфБ^М /к +
4 ' req'
1
+ у р(Вт(ВВт)-1Б - Е)£
(1)
где Е — единичная матрица; р(5) > 0 -весовая функция, имеющая размерность угловой скорости; Б = (т1, т2, т3, т4) — матрица Якоби размером 3х4, столбцы которой — единичные векторы управляющих моментов гиродинов m¿ = (дН. /дЬ)/к; 8 = (81, $2, 83, 84)т — четырехмерный вектор скоростей прецессии гиродинов; М* = М + шхН — требуемый от сис-
req req 1 ^
темы гиродинов управляющий момент;
= -дФ/д5¿, где Ф — следующая функция от углов прецессии гиродинов:
Ф = - (т1хт2 )2 - (т3хт4)2,
где индексами 1, 2 обозначены гиродины с осями прецессии, параллельными ОХ КА, а индексами 3, 4 — гиродины с осями прецессии, параллельными ОУ КА. Дополнения алгоритмов управления, исключающие вырождение при расчете обратной матрицы в уравнении (1) и ограничивающие скорости прецессии, приведены в работах [6-8].
В процессе управления осуществляется максимизация управляющего момента, развиваемого системой гиродинов. Применительно к данному КА можно полагать, что во всей используемой для управления сфере управляющий момент составляет не менее 30 Нм в произвольном направлении.
На стадии разработки СУДН перспективного КА были проведены расчеты частот и форм упругих колебаний конструкции КА. Наибольшее влияние на динамику КА по осям X и X оказывают частоты колебаний солнечных батарей ~2 Гц. В качестве фильтра упругих колебаний используется фильтр нижних частот Баттерворта 2-го порядка.
С использованием теории оптимального управления [11, 12] были выбраны параметры управления, наблюдателя и фильтра упругих колебаний, обеспечивающие заданные технические характеристики при проведении съемок.
Математическое моделирование режимов проведения различных видов съемок
Для оценки точности стабилизации КА при осуществлении различных видов съемок было проведено математическое моделирование. При моделировании использовались штатные бортовые программы контура управления ориентацией. Величина такта управления предполагалась равной 0,2 с. Применялись циклограммы обмена бортового компьютера с моделью прибора ГИВУС и моделью гиродинов, соответствующие протоколам обмена между реальной аппаратурой.
При проведении моделирования в динамической модели КА учитывались упругие тоны колебаний конструкции КА до 10 Гц с максимальными разбросами динамических параметров.
Передаточная функция привода прецессии гиродина так же, как в работе [4], представлялась в виде колебательного звена:
ш(5)/шс(5) = 1/(7^ + 27^ +1), (2)
где шс — задаваемая угловая скорость прецессии; ш — реальная скорость прецессии.
Максимальная задаваемая угловая скорость прецессии гиродина составляет 57,3 °/с, минимальная — 0,0069 °/с. При моделировании считалось, что возможно задание любой скорости в диапазоне от минимальной до максимальной с шагом, равным минимальной скорости. К динамике привода прецессии (2) прибавлялась дополнительная ошибка отработки, которая предполагалась равной ±(1%+0,0069 °/с) от заданной скорости. Следует также отметить, что при математическом моделировании учитывались возмущающие моменты, создаваемые приводами главной оси гиродинов в процессе поддержания скоростей вращения роторов.
моделирования
Основными целями являлись:
• расчет длительностей разворотов при переходе из дежурной ориентации в ориентацию для проведения съемок;
• расчет длительности разворотов при смене объектов наблюдений и видов съемок;
• расчет длительностей переходных процессов от момента окончания гашения угловой скорости разворота до достижения заданных точностных характеристик ориентации и стабилизации.
Ниже в качестве иллюстрации приводятся результаты моделирования съемки полосы вдоль трассы полета (рис. 3, 4) и стереосъемки (рис. 5, 6). Результаты моделирования площадной и коридорных съемок были ранее представлены в работах [6, 10].
На рис. 3 представлены графики изменений компонент угловой скорости КА относительно требуемой угловой скорости при проведении одиночной съемки вдоль трассы полета в осях связанной системы координат. В момент времени 72 с задается разворот для перехода из орбитальной ориентации [13, 14] в ориентацию для начала коридорной съемки. Съемка осуществляется в интервале 128.144 с. По окончании съемки задается разворот в ориентацию для следующей съемки.
Рис
120
Время, с
3. Изменение угловой скорости КА в процессе съемки полосы вдоль трассы полета
На рис. 4 приведен сам процесс съемки. Из рисунка видно, что при проведении съемки по всем осям КА обеспечиваются угловые скорости стабилизации менее 0,001 °/с.
На рис. 5 представлены графики изменений компонент угловой скорости КА относительно требуемой угловой скорости при проведении стереосъемки в осях
связанной системы координат. В момент времени 252 с задается разворот для перехода из орбитальной ориентации в ориентацию для начала коридорной съемки. Съемка осуществляется в интервалах 338.354 с (первый кадр) и 448.464 с (второй кадр). По окончании съемки задается разворот в ориентацию для следующей съемки.
130 132 134 136 138 140 142 144
Время, с
Рис. 4. Точность поддержания угловой скорости КА после разворота и в процессе съемки полосы вдоль трассы полета
Рис. 5. Изменение угловой скорости КА в процессе стереосъемки
На рис. 6 приведен сам процесс стереосъемки обоих кадров. Из рисунка видно, что при проведении съемки по всем осям КА обеспечиваются угловые скорости стабилизации менее 0,001 °/с.
Оценка производительности КА
Так как наиболее длительным режимом является режим площадной съемки, в работе рассматривается производительность КА в части обеспечения как возможности необходимого количества таких съемок за сеанс наблюдений, так и требуемых точностных характеристик стабилизации в течение самих съемок. Размер участка площадной съемки составляет 48*60 км. Данную съемку можно представить как последовательность четырех съемок полос 12*60 км и трех разворотов в промежутках между съемками (см. рис. 1, в). Длительность съемки одной полосы составляет ~11 с. Величина угла разворота между съемками ~20°, при этом разворот проводится, в основном, по тангажу. Для обеспечения последовательной съемки четырех полос требуемое время на проведение разворота составляет 20-22 с. Так как предполагается, что в течение сеанса наблюдений (~20 мин) должно обеспечиваться проведение восьми площадных съемок, то моделировалась именно такая ситуация.
На рис. 7 приведены графики изменений компонент угловой скорости КА относительно требуемой угловой скорости при проведении серии площадных съемок (см. рис. 1, в) в осях связанной системы координат. Рассматривается следующая последовательность операций по смене ориентации. На 400-ой секунде задается разворот из инерциальной ориентации в ориентацию орбитальной системы координат. На 600-ой секунде задается разворот в ориентацию для съемки первой площадки. Далее развороты на каждую последующую из 31 площадки задаются, соответственно, в моменты времени: 725; 756; 789; 821; 882; 914; 946 979; 1 040; 1 071; 1 104; 1 136; 1 197; 1 229 1 261; 1 294; 1 355; 1 386; 1 419; 1 451; 1 512 1 544; 1 576; 1 609; 1 670; 1 701; 1 734; 1 766 1 827; 1 859; 1 891 с.
На рис. 8 и 9 представлены изменения угловых скоростей по каждой из осей КА при проведении сеанса наблюдений. Требуемые точностные характеристики при проведении съемок выполняются. На рис. 8 и 9 в качестве примеров показаны, соответственно, окончание разворота и стабилизация во время съемки первой полосы второй площадки и окончание разворота и стабилизация во время съемки третьей полосы пятой площадки. Из представленных рисунков видно, что ошибка стабилизации по угловым скоростям во время съемок не превышает 0,001 °/с.
Рис
Время, с
6. Точность поддержания угловой скорости КА после разворота и в процессе стереосъемки
Рис. 7. Изменение угловой скорости КА в процессе серии площадных съемок
Рис. 8. Точность поддержания угловой скорости КА после разворота и в процессе съемки (съемка проводится на интервале 866...881 с)
Рис. 9. Точность поддержания угловой скорости КА после разворота и в процессе съемки (съемка проводится на интервале 1405.1419 с)
заключение
В работе проведено моделирование режимов наблюдений КА ДЗЗ при проведении различных видов съемок. Для обеспечения высокой производительности КА предполагается, что в системе управления движением и навигации в качестве исполнительных органов используются гиродины. Величина кинетического момента используемых гиродинов превышает требуемую для данного КА приблизительно в четыре раза. В контуре управления ориентацией КА выбраны параметры управления, наблюдателя и фильтра упругих колебаний, обеспечивающие заданные технические характеристики как по точности стабилизации в процессе съемок, так и по быстродействию. Приведенные результаты математического моделирования подтверждают возможность обеспечения требуемой точности стабилизации и производительности КА.
Исследование выполнено при финансовой поддержке РФФИ в рамках научных проектов № 17-08-01635 и 18-08-01379.
Список литературы
1. Платонов В.Н. О точности стабилизации космического аппарата дистанционного зондирования Земли без использования информации инерциальных датчиков // Космическая техника и технологии. 2014. № 3(6). С. 33-38.
2. Сумароков А.В. Наведение камеры высокого разрешения при видеосъемке поверхности Земли с МКС // Навигация и управление движением. Матер. XVII конф. молодых ученых «Навигация и управление движением» / Под. общ. ред. В.Г. Пешехонова. СПб.: ГНЦ РФ ОАО «Концерн «ЦНИИ «Электроприбор», 2015. С. 561-568.
3. Сумароков А.В. О наведении камеры высокого разрешения, установленной на борту МКС, посредством двухосной поворотной платформы // Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. «Приборостроение». 2016. № 4. С. 85-97.
4. Wie B., Bailey D., Helberg C. Rapid multitarget acquisition and pointing control of agile spacecraft // J. Guidance, Control, and Dynamics. 2002. V. 25. № 1. P. 96-104.
5. Мкртычян А.Р., Башкеев Н.И., Акашев Д.И., Вишталь С.Н. Разработки АО «НИИ командных приборов» для систем управления движением космических
аппаратов дистанционного зондирования Земли и другого назначения // Тезисы докладов VI Междунар. науч.-тех. конф. «Актуальные проблемы создания космических систем дистанционного зондирования Земли». М.: АО «Корпорация «ВНИИЭМ», 2018. C. 43-45.
6. Платонов В.Н., Сумароков А.В. Исследование возможности обеспечения точностных характеристик стабилизации перспективного космического аппарата дистанционного зондирования Земли // Известия РАН. Теория и системы управления. 2018. № 4. C. 140-150.
7. Кульба В.В., Микрин Е.А., Павлов Б.В., Платонов В.Н. Теоретические основы проектирования информационно-управляющих систем космических аппаратов. М.: Наука, 2006. 582 с.
8. Платонов В.Н. Закон управления системой гиростабилизаторов // Труды V научно-технической конференции молодых специалистов предприятия. Королёв: НПО «Энергия», 1977. С. 57-69.
9. Crenshaw J.W. 2-speed, a single-gimbal moment gyro attitude control system // AIAA Pap. 1973. № 895. P. 1-10.
10. Платонов В.Н., Сумароков А.В. Обеспечение точностных характеристик стабилизации перспективного космического аппарата при проведении площадных съемок поверхности Земли // Космонавтика и ракетостроение. 2017. № 3. С. 125-132.
11. Брайсон А., Хо Ю-ши Прикладная теория оптимального управления. М.: Мир, 1973. 544 с.
12. Александров В.В., Болтянский В.Г., Лемак С.С., Парусников Н.А., Тихомиров В.М. Оптимальное управление движением. М.: Физматлит, 2005. 376 с.
13. Борисенко Н.Ю., Сумароков А.В. Об ускоренном построении орбитальных кораблей серий «Союз МС» и «Прогресс МС» // Известия РАН. Теория и системы управления. 2017. № 5. С. 131-141. DOI: 10.7868/S0002338817050110.
14. Ефимов Д.А., Сумароков А.В., Тима-ков С.Н. О гиростабилизации спутника связи в отсутствие измерений угловой скорости // Известия РАН. Теория и системы управления. 2012. № 5. С. 119-128. Статья поступила в редакцию 12.12.2018 г.
Reference
1. Platonov V.N. O tochnosti stabilizatsii kosmicheskogo apparata distantsionnogo zondirovaniya zemli bez ispol'zovaniya informatsii inertsial'nykh datchikov [About accuracy of an Earth remote sensing spacecraft attitude-keeping without using data from inertial sensors]. Kosmicheskaya tekhnika i tekhnologii, 2014, no. 3(6), pp. 33-38.
2. Sumarokov A.V. Navedenie kamery vysokogo razresheniya pri videos"emke poverkhnosti Zemli s MKS [Pointing a high-resolution camera during video recording of the Earth surface from the ISS]. Ed. by V.G. Peshekhonov. Proceedings of the XVIIth Conference of Young Scientists Navigation and Motion Control. Saint-Petersburg, GNTS RF OAO «Kontsern «TSNII «Elektropribor» publ., 2015. Pp. 561-568.
3. Sumarokov A.V. O navedenii kamery vysokogo razresheniya, ustanovlennoy na bortu MKS, posredstvom dvukhosnoy povorotnoy platformy [About pointing of the high-resolution camera installed onboard the ISS by means of a two-axis rotating platform]. Vestnik MGTU im. N.E. Baumana. Ser. Priborostroenie, 2016, no. 4, pp. 85-97.
4. Wie B., Bailey D., Helberg C. Rapid multitarget acquisition and pointing control of agile spacecraft. J. Guidance, Control, and Dynamics, 2002, vol. 25, no. 1, pp. 96-104.
5. Mkrtychyan A.R., Bashkeev N.I., Akashev D.I., Vishtal' S.N. Razrabotki AO «NII komandnykh priborov» dlya sistem upravleniya dvizheniem kosmicheskikh apparatov distantsionnogo zondirovaniya zemli i drugogo naznacheniya [Developments of JSC NII of Command Instruments for motion control systems of spacecraft for remote sensing of the Earth and other purposes]. Heads of the reports of the 6th International Scientific-Technical Conference Urgent problems of creating space systems for remote sensing of the Earth. Moscow, AO «Korporatsiya «VNIIEM» publ., 2018. P. 43-45.
6. Platonov V.N., Sumarokov A.V. Issledovanie vozmozhnosti obespecheniya tochnostnykh kharakteristik stabilizatsii perspektivnogo kosmicheskogo apparata distantsionnogo zondirovaniya Zemli [Investigation of the capability of ensuring the accuracy parameters to stabilize the advanced spacecraft for remote sensing of the Earth]. Izvestiya RAN. Teoriya i sistemy upravleniya, 2018, no. 4, pp. 140-150.
7. Kul'ba V.V., Mikrin E.A., Pavlov B.V., Platonov V.N. Teoreticheskie osnovy proektirovaniya informatsionno-upravlyayushchikh sistem kosmicheskikh apparatov [Theoretical foundations of designing spacecraft information and control systems design]. Moscow, Naukapubl., 2006. 582p.
8. Platonov V.N. Zakon upravleniya sistemoy girostabilizatorov [The Control Law of gyrostabilizer system]. Proceedings of the Vth Scientific and Technical Conference of Young Specialists of the Enterprise. Korolev, NPO «Energiya» publ., 1977. P. 57-69.
9. Crenshaw J.W. 2-speed, a single-gimbal moment gyro attitude control system. AIAA Pap., 1973, no. 895, pp. 1-10.
10. Platonov V.N., Sumarokov A.V. Obespechenie tochnostnykh kharakteristik stabilizatsii perspektivnogo kosmicheskogo apparata pri provedenii ploshchadnykh s"emok poverkhnosti Zemli [Ensuring the accuracy parameters of stabilizing the advanced spacecraft when making area surveys of the Earth surface]. Kosmonavtika i raketostroenie, 2017, no. 3, pp. 125-132.
11. Brayson A., Kho Yu-shi. Prikladnaya teoriya optimal'nogo upravleniya [The applied optimizing control theory]. Moscow, Mir publ., 1973. 544 p.
12. Aleksandrov V.V., Boltyanskiy V.G., Lemak S.S., Parusnikov N.A., Tikhomirov V.M. Optimal'noe upravlenie dvizheniem [Optimizing motion control]. Moscow, Fizmatlit publ., 2005. 376 p.
13. Borisenko N.Yu., Sumarokov A.V. Ob uskorennom postroenii orbital'noy orientatsii gruzovykh i transportnykh korabley seriy «Soyuz MS» i «Progress MS» [On the accelerated construction of orbital orientation of cargo and transport vehicles of the Soyuz MS and Progress MS series]. Izvestiya RAN. Teoriya i sistemy upravleniya, 2017, no. 5, pp. 131-141. DOI 10.7868/S0002338817050110.
14. Efimov D.A., Sumarokov A.V., Timakov S.N. O giro stabilizatsii sputnika svyazi v otsutstvie izmereniy uglovoy skorosti [On gyrostabilization of the communication satellite in the absence of the angular velocity measurements]. Izvestiya RAN. Teoriya i sistemy upravleniya, 2012, no. 5, pp. 119-128.
