CC BY
32УДК 629.786.2.051.062.2
использование псевдоспектрального метода для поиска траекторий оптимальных по расходу топлива разворотов международной космической станции
© 2019 г. прутько А.А.1, Атрошенков С.н.1, Богачев А.в.1, Старченко А.Е.2
'Ракетно-космическая корпорация «Энергия» имени С.П. Королёва (РКК «Энергия») Ул. Ленина, 4А, г. Королёв, Московская обл., Российская Федерация, 141070, e-mail: post@rsce.ru
2НИИ прикладной механики и электродинамики МАИ (НИИ ПМЭ МАИ) Ленинградское шоссе, 5, г. Москва, Российская Федерация, 125080, e-mail: riame@sokol.ru
Рассматривается задача поиска оптимальных по расходу топлива траекторий управления ориентацией Международной космической станции (МКС) при выполнении пространственных разворотов на большие углы с использованием реактивных двигателей ориентации. Создание подобных алгоритмов управления угловым движением МКС в настоящее время является актуальной задачей для российских разработчиков бортового программного обеспечения. Для формирования оптимальной траектории разворота в работе предлагается применить псевдоспектральный метод Лобатто. Этот метод позволяет привести постановку задачи оптимального управления к задаче нелинейного математического программирования, которая может быть решена при помощи метода последовательного квадратичного программирования. Результаты моделирования показали значительную экономию топлива и ресурса двигателей ориентации при разворотах орбитальной станции по сравнению с используемыми в настоящее время алгоритмами системы управления движением Российского сегмента МКС.
Ключевые слова: Международная космическая станция, проблема оптимального управления, управление угловым движением, псевдоспектральный метод, нелинейное программирование.
DOI 10.33950/spacetech-2308-7625-2019-4-121-133
using pseudospectral method to search
FOR propellant-optimal TRAJECTORIES OF THE INTERNATIONAL
space station attitude control maneuvers
prutko A.A.1, Atroshenkov S.N.1, Bogachev A.V.1, Starchenko A.E.2
1S.P. Korolev Rocket and Space Corporation Energia (RSC Energia) 4A Lenin str, Korolev, Moscow region, 141070, Russian Federation, e-mail:post@rsce.ru
2Research Institute of Applied Mechanics and Electrodynamics (RIAME) 5 Leningradskoye shosse, Moscow, 125080, Russian Federation, e-mail: riame@sokol.ru
The paper discusses the problem of searching for propellant-optimal trajectories of the international Space Station (ISS) attitude control maneuvers involving spatial turns through large angles using attitude control jet thrusters. Development of such algorithms for controlling the ISS angular motion is currently a crucial task for Russian developers of the onboard software. In order to generate the optimal trajectory for the attitude control maneuver, the paper proposes to use the Lobatto pseudospectral method. This method allows stating the optimal control problem as a nonlinear mathematical programming problem which can be solved using the method of sequential quadratic programming. Simulation results demonstrated significant savings of attitude control thrusters propellant and life during station attitude control maneuvers in comparison with the algorithms that are currently used in the motion control system of the ISS Russian Segment.
Key words: international Space Station, optimal control problem, angular motion control, pseudospectral method, nonlinear programming.
прутько А.А.
АТРОШЕНКОВ С.Н.
БОГАЧЕВ А.В.
СТАРЧЕНКО А.Е.
ПРУТЬКО Алексей Александрович — инженер-математик 1 категории РКК «Энергия», e-mail: aleksey.prutko1@rsce.ru
PRUTKO Aleksey Aleksandrovich — Engineer-mathematician 1 category at RSC Energia, e-mail: aleksey.prutko1@rsce.ru
АТРОШЕНКОВ Сергей Николаевич — ведущий инженер-математик РКК «Энергия», e-mail: sergey.atroshenkov@rsce.ru
ATROSHENKOV Sergey Nikolaevich — Lead engineer-mathematician at RSC Energia, e-mail: sergey.atroshenkov@rsce.ru
БОГАЧЕВ Алексей Викторович — кандидат технических наук, начальник сектора РКК «Энергия», e-mail: alexey.bogachev@rsce.ru
BOGACHEv Aleksey Viktorovich — Candidate of Science (Engineering), Head of Subdepartment at RSC Energia, e-mail: alexey.bogachev@rsce.ru
СТАРЧЕНКО Александр Евгеньевич — математик 1 категории НИИ ПМЭ МАИ, e-mail: aleksandr.starchenko@phystech.edu
STARCHENKO Aleksandr Evgenyevich — Mathematician 1 category at RIAME, e-mail: aleksandr.starchenko@phystech.edu
Введение
Выполнение ряда задач по программе полета Международной космической станции (МКС) (стыковка и расстыковка с транспортными кораблями, коррекции орбиты и др.) требует периодической смены ориентации станции. Любой пространственный разворот такой многотонной конструкции, какой является МКС, невозможен без интенсивной работы реактивных двигателей (РД) ориентации и, как следствие, значительного расхода топлива.
В настоящее время пространственные развороты МКС проводятся с использованием бортовых алгоритмов служебного модуля (СМ) Российского сегмента (РС) с применением двигателей ориентации РС МКС. Разворот проводится вокруг оси Эйлерова поворота, между текущим и конечным угловым положением МКС. С целью ограничения упругих колебаний конструкции [1] МКС и величин нагрузок
на конструкцию [2, 3], при управлении используется шаблон на включения/выключения двигателей Pulse-Train, разработанный американской стороной. При осуществлении таких разворотов расходы топлива МКС зависят от набора используемых двигателей. Например, при развороте МКС на угол ~180° вокруг местной вертикали и при выборе для управления по рысканию и тангажу по одному двигателю СМ, а для управления по крену — по два двигателя корабля «Прогресс», пристыкованного к узлу СО1 МКС, расход топлива составляет ~50 кг, а количество включений двигателей при этом — более 2 000.
Американской стороной также разработан метод выполнения разворотов МКС посредством механизма разгрузки гиродинов Американского сегмента (АС) МКС с использованием РД РС. Двигатели включаются по задаваемой из АС циклограмме. С использованием этого обходного пути проведены развороты МКС
под управлением АС по заранее рассчитанной траектории [4]. Оптимальные траектории разворота на угол ~180° вокруг местной вертикали были получены американскими специалистами в 2011 г. с помощью пакета DIDO [5]. При этом было принято, что МКС — твердое тело, управляемое «фиктивными» РД с полностью дросселируемой тягой. Начиная с 2012 г., выполнено несколько десятков таких разворотов МКС.
Российская сторона также проводит работы по созданию оптимальных алгоритмов управления угловым движением МКС. Разработан и введен в состав бортового программного обеспечения (ПО) СМ программный компонент отслеживания заданной траектории. Была численно решена задача оптимального по расходу топлива управления разворотами МКС как упругого тела с использованием РД РС МКС, с учетом импульсной работы РД и ограничений по нагрузкам на упругую конструкцию МКС [3]. При этом были использованы оригинальные алгоритмы оптимизации разработки компании DATADVANCE (г. Москва). Однако для практического применения полученных результатов требуется доработка бортового программного компонента.
Эта работа имеет целью создание алгоритмов, оптимальных по расходу топлива, для осуществления разворотов МКС с использованием РД [3], пригодных для совместной работы с программным компонентом отслеживания заданной траектории. Для оптимизации расхода топлива предлагается использовать гравитационный момент и гироскопические моменты сил, действующие на вращающуюся МКС.
Научная новизна работы заключается в разработанном алгоритме поиска оптимальных траекторий разворота МКС без использования пакета DIDO. Используется псевдоспектральный метод Лобат-то. Этот метод позволяет привести постановку задачи оптимизации к задаче нелинейного математического программирования, которая может быть решена при помощи метода последовательного квадратичного программирования. Практическая значимость работы заключается в значительной экономии топлива и ресурса двигателей ориентации при разворотах МКС по сравнению с используемыми в настоящее время алгоритмами системы управления движением РС МКС.
Постановка задачи и цель работы
Основной целью работы является создание оптимального по расходу топлива алгоритма разворотов МКС на большие углы с использованием РД РС МКС и учитывающего влияние окружающей среды. Алгоритм разворота будет использовать моменты сил гравитационного поля Земли и гироскопические моменты от вращения МКС для минимизации общего времени работы двигателей ориентации и сокращения расхода топлива. При решении представленной задачи будем считать МКС твердым телом, тягу РД — непрерывно изменяемой, кинетический момент гиродинов АС зафиксирован относительно инерционной системы координат.
На рис. 1 представлена связанная система координат (ССК) МКС. Она совпадает с орбитальной системой координат (ОСК) [6] в том случае, когда ось ОхССК направлена по вектору скорости, ось OyCCК направлена от центра Земли, а ось ОгССК дополняет ОхССК и ОуССК до правой тройки векторов.
Рис. 1. Связанная система координат (ССК) МКС
Требуется найти управление и траекторию, доставляющие минимум функционалу ] (1), при следующих дифференциальных ограничениях, которыми являются кинематическое (2) и динамическое (3) уравнения, а также при начальных (4) и конечных (5) условиях:
f
min/ = J uT udt;
(1)
1
ч = 2 (ч ° ш - ш°гь ° ч);
ш = X дй] + т' + tía и );
ч(0) = чо; ч(1 = -1
ш(0) = ш0; ш(^) =
(2)
(3)
(4)
(5)
где ч — кватернион ориентации МКС относительно ОСК; ш — угловая скорость МКС в ССК; шогЬ — орбитальная угловая скорость в ОСК; Д — тензор инерции МКС; Тй — матрица 6x3 моментов сил, создаваемых реактивными двигателями; и — 6-вектор управления реактивными двигателями; т' — гравитационный момент сил в ССК; Ц0 и —0 — кватернион ориентации и угловая скорость в начальный момент времени, соответственно;
и ш
1
кватернион ориентации и
угловая скорость в конечный момент времени, соответственно; 1 — длительность разворота.
Описанный функционал является квадратичным. Он дает следующее преимущество — при решении задачи функция угловой скорости будет иметь непрерывные производные на всем временном промежутке. Такое допущение возможно, так как в существующем бортовом алгоритме траектория закладывается в виде кватернионов ориентации станции относительно ОСК с интервалом Ы. = 55 с по умолчанию и количеством до ста точек.
Матрица управления Тй и вектор управления и задаются следующим образом:
с +К N и К
Т
Чк =
( т+к т+р Т+т Т-к т-р т-т
X X X X X X
Т+к т+р Т+т Т -к т-р т-т
У У У У У У
Т+к ^ г т+р г Т+т г Т-к г т-р г т-т г
, и
,+т
и-'
\ У
Столбцы матрицы Тй являются векторами моментов сил, создаваемых двигателями. В матрице приняты следующие обозначения: +К — +крен; +Р — +рысканье; +Т — +тангаж; -К--крен; -Р--рысканье; -Т — -тангаж. Вектор и задает тягу двигателей непрерывно на отрезке [0, 1]. В реальности двигатели имеют релейный характер включения, но такое допущение приемлемо, так как бортовой алгоритм отслеживания сейчас использует только
оптимальную траекторию разворота, а полученные с таким допущением траектории разворотов МКС дают существенно более низкий расход рабочего тела, чем используемые бортовые алгоритмы.
Гравитационный момент из выражения (3) задается по следующей формуле:
т' = 3<Д j х.П ],
где j — вектор местной вертикали; &огЬ — модуль вектора орбитальной угловой скорости; Д — тензор инерции МКС.
Псевдоспектральный метод Лобатто
Оптимизационные задачи могут быть решены численно, с использованием псевдоспектральных методов [7], которые дискретизируют задачу в выбранных точках.
Псевдоспектральный метод Лобатто [8] использует точки Лежандра-Гаусса-Лобатто (ЬСЬ) и полиномы Лежандра. Пусть
1 Г"
Р = —--г- (т2 -1)"
(6)
полином Лежандра степени N на отрезке [т0, тN] = [-1, 1]. Точки коллокации ЬОЬ т0 ... тN являются корнями производной полинома Лежандра (6) степени (N-1) — включая крайние точки
{-1, 1}. Преобразование к произвольному отрезку [£0, t] производится следующим образом:
Т(т) =
- Тд)Т + ^ +
2
Вектор состояния и функцию управления будем аппроксимировать на отрезке [-1, 1] при помощи следующих выражений:
x(t) - xN(t(т)) = Xx!ф!(т);
N
u(t) - UN(t(т)) = ^(х),
(7)
(8)
где вектор состояния x(t) = [ч(.) ш(.)] состоит из кватерниона ориентации и вектора угловой скорости; ф. — базисные полиномы Лагранжа, которые имеют следующий вид:
ф,(т) = П
N Т — Т.
Т. — Т.
]=Ч I ]
, (I = 0, ..., Я).
Значения базисных полиномов удовлетворяют условию Кронекера и определяются
+р
и
и
и
следующим образом при разложении по точкам коллокации:
фХт*) = 5а =
1
Фг
1, если I = к 0, если I ^ к'
(т2 - 1р(т)
М(М + 1)Ыт.)
Т - Т.
На рис. 2 представлено распределение 11 точек ЬСЬ. Как видно из рисунка, точки находятся более плотно к краям отрезка и более редко — к середине. Такое распределение позволяет избежать феномена Рунге [9] — эффекта нежелательных осцилляций, возникающего при интерполяции полиномами высоких степеней. Этот эффект особенно проявляется при интерполяции полиномами на равностоящих узлах.
При подобном разложении производная вектора состояния (7) может быть записана в следующем виде:
х (Т( х, )) « х*(Т(тк)) =
йхы йт
йт йТ
_2__
( Т 1 - Ч )
N
N 2
X Xххр/т.) = —— X 0,.х., к = 0, ..., N (9)
- 0
(/ - То)
г - 0
где — матрица дифференцирования
Лобатто размерности (Л+1)х(Л+1), которую можно вычислить по следующей формуле:
тж - т)
-, если К ^ 1,
ЩЫ+ 1) , если Ы = 1 = 0, 4
Ы(Ы + 1)
4
0
если К = 1 = N
в других случаях.
Функционал (1) численно интегрируется при помощи правила Гаусса-Лобатто:
=-— 2: Дх? и>? (10)
то 2
где весовые коэффициенты ж. в точках коллокации вычисляются из следующего уравнения:
2
да. =
г
М(М + 1>РД)]2
Рис. 2. Распределение 11 точек Лежандра-Гаусса—Лобатто
X
т
к
Постановка задачи нелинейного математического программирования
При помощи описанного выше метода задачу оптимизации можно привести к задаче нелинейного математического программирования (НЛП). Перепишем выражения (1)-(5) при помощи (9), (10) и сформулируем задачу НЛП следующим образом:
min J =
(tf То) 2
X uT u. w. ;
2
(f To)
S D a = 2 (q ° Ч - < ° ^ k = 0' •••' N
2 N
X da =j-1(-h * j«ki + +tf uk>,
(tf - to)
k = 0, ..., N;
qo = 4n = - ;
wo " wo;
®N = Wf •
Задача НЛП, описанная выше, была решена численно в среде MATLAB при помощи решателя задач НЛП — функции fmincon [10], входящей в пакет Optimization Toolbox• Для решения задачи использовался метод последовательного квадратичного программирования — при выборе параметра используемого алгоритма задается sqp.
Результаты решения оптимизационной задачи
Для решения задачи требуется задать начальное приближение в виде траекторий ориентации и функции угловой скорости. Для начального приближения был взят разворот вокруг оси Эйлера по рысканью на ~180° между начальным и конечным угловым положением МКС. Для разных знаков угловых скоростей в начальном приближении, т. е. для двух направлений разворота, получились различные решения, соответствующие глобальному и локальному минимумам функционала (1). Расходы топлива для всех решений существенно меньше расходов, которые дают существующие бортовые алгоритмы СМ.
При решении задачи было принято считать орбиту круговой. Таким образом, вектор орбитальной угловой скорости в ОСК равен uorb = (0 0 -0,0650)T °/c.
Тензор инерции орбитальной станции примем следующий:
'126 742 000 -1 859 948 -3 828 571^ -1 859 948 182 3 10 992 -808 606 -3 828 571 -808 606 68 706 280
\ У
Матрица управляющих моментов, создаваемых реактивными двигателями, равна:
\ т
"Н =
T+К Y
T+р
T+T T-К
T-р T-T
2 532 100 106 1147 4004 -25 -205 23 4 051 - 2 5 4 5 - 1 0 0 - 1 0 6 -1196 -4053 -25 -205 23 4005
Н-м.
Для управления по рысканию и тангажу выбрано по одному двигателю СМ, а для управления по крену — по два двигателя корабля «Прогресс», пристыкованного к узлу СО1 МКС. При каждом включении канала «крен» включается по одному «компенсирующему» РД СМ в канале рыскания.
Были рассмотрены два разворота длительностью 5 400 с. Прямой и обратный развороты назовем условными обозначениями, соответственно: +xV ^ -XV и -XV ^ +xV. Начальные и конечные кватернионы ориентации и угловые скорости этих разворотов соответствуют различным равновесным ориентациям МКС, в которых суммарный момент внешних сил близок к нулю, и управление ориентацией требует наименьших затрат топлива [11]. Для расчета прямого разворота использовались следующие значения начальных и конечных кватернионов ориентации и угловых скоростей:
(¡й = (-0,0346 0,0336 0,9988 0,0029); / = (0,9993 -0,0047 0,0260 0,0280);
е> й = (-0,0045 -0,0002 0,0649) °/с;
-/1 = (0,0034 0,0005 -0,0649) °/с.
И, соответственно, начальные и конечные параметры для обратного разворота:
-.2 = (0,9993 -0,0047 0,0260 0,0280); / = (-0,0346 0,0336 0,9988 0,0029); ий = (0,0034 0,0005 -0,0649) °/с;
N
= 0
N
ю/2 = (-0,0045 -0,0002 0,0649) °/с.
Для каждого из разворотов было получено два варианта решения, найденных в результате различных начальных приближений. Решения были получены для 81-ой точки дискретизации.
Полученные траектории могут быть использованы при управлении ориентацией МКС в специальном режиме, разработанном в рамках данной работы и реализованном в бортовом ПО СМ. В данном режиме МКС осуществляет разворот по некоторой заложенной на борт заданной траектории. Разворот осуществляется под управлением РС МКС, командная ориентация и угловая скорость рассчитываются из упорядоченного набора кватернионов ориентации орбитальной станции относительно ОСК в равностоящих точках вдоль траектории разворота. Интервал между точками, заложенный по умолчанию в ПО СМ, составляет № = 55 с. На каждом вычислительном такте рассчитывается командная ориентация относительно ОСК как результат поворота текущего кватерниона траектории q. на вектор конечного поворота
V - О
где Ь — текущее время в секундах; Ь. — время в секундах прохождения }-го кватерниона траектории; 0 + — вектор кратчайшего поворота между ]-м и (/+1)-м кватернионами траектории. Командная угловая скорость рассчитывается на каждом такте как сумма векторов орбитальной угловой скорости и 0^.+1/АЬ, перепроектируемых на оси Таким образом, система управления движением МКС в данном режиме разворота старается непрерывно отслеживать заложенную на борт траекторию.
На рис. 3-6 представлены решения в виде траекторий ориентации МКС относительно ОСК в углах Крылова в последовательности поворотов рысканье-тангаж-крен и функции вектора угловой скорости в ССК. Красными точками на рисунках обозначены полученные решения задачи нелинейного программирования.
Отметим, что решения, обозначенные «Вариант 1», соответствуют локальному минимуму функционала (1). Для них характерны максимальные отклонения в канале крена на ~20°, а в канале тангажа — на
~40°. Решения, обозначенные «Вариант 2», соответствуют глобальному минимуму. Для них характерны полный переворот в канале крена на 360°, а в канале тангажа — отклонения на ~70°.
0 1000 2 000 3000 4000 Время, с
Рис. 3. Прямой разворот +хУ ^ -XV. Вариант 1
Рис
О 1000 2 ООО 3000 4 000 Бремя, с
4. Прямой разворот —XV. Вариант 2
Рис
О 1000 2 000 3000 4000 Время, с
5. Обратный разворот —XV ^ + XV. Вариант 1
О 1000 2 000 3000 4000 Время, с
Рис. 6. Обратный разворот —XV ^ + XV. Вариант 2
верификация траекторий на наземном комплексе отработки
Для первичной верификации траекторий разворотов было проведено математическое моделирование разворотов МКС на наземном комплексе отработки (НКО) [12]. На НКО установлена летная версия бортового ПО СМ МКС, включающая в себя логику управления в режиме разворота по траектории. Также в ПО НКО реализованы модели динамики и кинематики углового и посту-
пательного движений МКС; модели реактивных двигателей, в т. ч. двигателей ориентации; модель датчика угловой скорости; модель атмосферы Земли. Результаты моделирования на НКО, представленные в табл. 1, показали значительную экономию топлива и ресурса двигателей ориентации по сравнению со штатным алгоритмом разворота РС МКС, а также показали результаты лучше, чем текущие алгоритмы АС управления угловым движением орбитальной станции.
Таблица 1
результаты моделирования на наземном комплексе отработки
Расход топлива, кг Количество включений двигателей
Варианты Предложенный вариант Американский сегмент МКС Российский сегмент МКС Предложенный вариант Американский сегмент МКС Российский сегмент МКС
+xV^-xV Вариант 1 7,04 8,02 349 384
+xV^-xV Вариант 2 3,78 4,68 >40 201 287 >1 000
-xV^+xV Вариант 1 6,40 6,88 309 360
-xV^+xV Вариант 2 2,66 8,08 145 450
Статистическое моделирование
Для вторичной верификации полученных результатов требовалось провести статистическое моделирование, которое представляет собой множественный прогон траекторий на моделирующем комплексе МКС-МА (МКС-модули автономные) [3] при варьировании параметров задачи. В моделирующем комплексе МКС-МА, разработанном одним из авторов данной статьи, реализована бортовая логика управления в режиме разворота по траектории, а также более точная, чем на НКО, модель атмосферы [13]. Вариации задавались по следующим параметрам: начальной ориентации МКС в виде углов Крылова, начальной угловой скорости, тензору инерции МКС, тягам двигателей ориентации и параметрам модели атмосферы — аэродинамическим коэффициентам сил C и моментов сил m. Погрешности параметров относительно исходных представлены в табл. 2. Причем, при варьировании одного параметра остальные были фиксированными и равными исходным значениям. Вариация задавалась случайно с равномерным распределением.
Таблица 3
Сводная информация по расходу топлива по результатам статистического моделирования
Варианты Параметры Расход топлива, кг
Минимальный Максимальный Средний
+xV— -%У Вариант 1 Начальная ориентация 5,70 8,12 6,68
Начальная угловая скорость 5,39 7,72 6,63
Тензор инерции 5,46 6,69 6,31
Тяга двигателей ориентации 5,35 7,34 6,32
Аэродинамические коэффициенты 5,57 6,80 6,35
+xV— -xV Вариант 2 Начальная ориентация 3,93 6,32 4,82
Начальная угловая скорость 3,97 5,32 4,70
Тензор инерции 4,26 4,72 4,49
Тяга двигателей ориентации 3,85 5,06 4,50
Аэродинамические коэффициенты 4,31 5,05 4,69
-xV— +xV Вариант 1 Начальная ориентация 5,70 8,36 6,46
Начальная угловая скорость 5,65 7,34 6,36
Тензор инерции 5,70 6,33 6,05
Тяга двигателей ориентации 5,38 6,71 6,04
Аэродинамические коэффициенты 5,78 6,37 6,00
-%У — +xV Вариант 2 Начальная ориентация 2,75 5,80 3,84
Начальная угловая скорость 2,92 4,53 3,70
Тензор инерции 2,81 3,99 3,44
Тяга двигателей ориентации 2,80 3,99 3,43
Аэродинамические коэффициенты 3,08 3,86 3,46
Таблица 2
погрешности варьируемых параметров
Параметр Задаваемые погрешности
Начальная ориентация ±1°
Начальная угловая скорость ±0,005 °/с
Тензор инерции ±2%
Тяга двигателей ориентации ±10%
Аэродинамические с ±15%
коэффициенты т ±25%
Было проведено по 200 прогонов моделирования при варьировании каждого из параметров для каждой из траекторий. Таким образом, всего прогонов четырех траекторий было осуществлено 4 000. В табл. 3 и 4 приведена сводная информация по результатам статистического моделирования, которые показали незначительные отклонения от средних значений по расходу топлива и количеству включений двигателей, что не является критичным для использования полученных траекторий, описанных в статье.
Сводная информация по включениям двигателей ориентации по результатам статистического моделирования
Варианты Параметры Количество включений двигателей ориентации
Минимальное Максимальное Среднее
+xV^ -xV Вариант 1 Начальная ориентация 376 281 318
Начальная угловая скорость 357 283 318
Тензор инерции 317 280 301
Тяга двигателей ориентации 341 265 302
Аэродинамические коэффициенты 319 275 304
+xV^ -xV Вариант 2 Начальная ориентация 290 217 243
Начальная угловая скорость 270 208 239
Тензор инерции 240 214 228
Тяга двигателей ориентации 263 203 229
Аэродинамические коэффициенты 259 216 237
-xV^+xV Вариант 1 Начальная ориентация 210 307 245
Начальная угловая скорость 215 283 242
Тензор инерции 202 255 225
Тяга двигателей ориентации 198 251 224
Аэродинамические коэффициенты 213 238 223
-xV^+xV Вариант 2 Начальная ориентация 161 265 202
Начальная угловая скорость 171 240 199
Тензор инерции 164 213 188
Тяга двигателей ориентации 156 220 187
Аэродинамические коэффициенты 171 221 194
заключение
При помощи псевдоспектрального метода Лобатто задача оптимального по расходу топлива разворота МКС была приведена к задаче нелинейного математического программирования. Эта задача была решена при помощи решателей, которые используют метод последовательного квадратичного программирования. Были получены четыре гладкие траектории управления разворотом, которые могут быть использованы на МКС при помощи бортового алгоритма слежения за траекторией. Результаты моделирования на наземном комплексе отладки и статистического моделирования показали значительную экономию топлива и ресурса двигателей ориентации при разворотах МКС по сравнению с используемыми в настоящее время алгоритмами системы управления движением РС. Разработанный компонент можно использовать для маневров с другими начальными и конечными условиями, такими как ориентация и угловая скорость, а также
Таблица 4
с другой продолжительностью маневра. В дальнейшем планируется добавить учет аэродинамических моментов сил [13], а также производить контроль нагрузок на критические элементы конструкции [2], возникающих от работы двигателей ориентации. Результаты работы могут быть использованы при разработке систем управления перспективных орбитальных станций и других космических аппаратов.
Список литературы
1. Прутько А.А., Сумароков А.В. Использование спектральных методов для анализа собственных частот колебаний конструкции МКС и амплитуды шумов измерителя угловой скорости // Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. Приборостроение. 2018. № 4. C. 59-68. DOI 10.18698/0236-3933-2018-4-59-68.
2. Прутько А.А., Сумароков А.В. О нагрузках на элементы конструкции многоцелевого лабораторного модуля на автономном участке полета // Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер.
Приборостроение. 2017. № 2. C. 123-138. DOI 10.18698/0236-3933-2017-2-123-138.
3. Атрошенков С.Н., Платонов В.Н., Губарев Ф.В., Саратов А.А. Оптимальный по расходу топлива алгоритм разворота МКС с помощью реактивных двигателей с учетом ограничений по нагрузкам на конструкцию // Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. Приборостроение. 2017. № 4. C. 118-138. DOI 10.18698/ 0236-3933-2017-4-118-138.
4. Bhatt S, Bedrossian N., Nguyen L. Optimal propellant maneuver flight demonstrations on ISS // AIAA Guidance, Navigation, and Control (GNC) Conf. 2013. DO110.2514/6.2013-5027.
5. Elissar Global. DIDO Software. Режим доступа: http://www.elissarglobal.com/ industry/products/software-3/ (дата обращения 26.06.2019 г.).
6. Борисенко Н.Ю., Сумароков А.В. Об ускоренном построении орбитальной ориентации грузовых и транспортных кораблей серий «Союз МС» и «Прогресс МС» // Известия РАН. Теория и системы управления. 2017. №5. С. 131-141. DOI 10.7868/S0002338817050110.
7. Garg D, Patterson M.A., Hager W.W., Rao A.V., Benson D.A., Huntington G.T. An overview of three pseudospectral methods for the numerical solution of optimal control problems // 2009 AAS/AIAA Astrodynamics Specialist Conference, 10-13 August 2009, Pittsburgh, PA.
8. Bedrossian N., Bhatt S., Kang W., Ross M. Zero-propellant maneuver guidance // IEEE Control Systems. 2009. V. 29. № 5. P. 53-73. DO110.1109/MCS.2009.934089.
9. Runge C. Über empirische Funktionen und die Interpolation zwischen äquidistanten Ordinaten // Zeitschrift für Mathematik und Physic. 1901. 46. P. 224-243.
10. Find minimum of constrained nonlinear multivariable function // MATLAB Documentation. Режим доступа: https://www. mathworks.com/help/optim/ug/fmincon.html (дата обращения 23.08.2018 г.).
11. Зубов Н.Е., Микрин Е.А., Мисри-ханов М.Ш., Рябченко В.Н., Тимаков С.Н., Черемных Е.А. Идентификация положения равновесной ориентации международной космической станции как задача матричного пополнения с устойчивостью / / Известия РАН. Теория и системы управления. 2012. № 2. С. 130-144.
12. Микрин Е.А. Бортовые комплексы управления космических аппаратов. М.: Издательство МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2014. 254 с.
13. Атрошенков С.Н., Прутько А.А., Крылов А.Н., Крылов Н.А., Губарев Ф.В. Моделирование сил и моментов сил набегающего потока атмосферы в целях верификации динамических режимов системы управления движением и навигации МКС и синтеза оптимального управления // Космическая техника и технологии. 2017. № 4(19). С. 72-88. Статья поступила в редакцию 24.01.2019 г.
Reference
1. Prut'ko A.A., Sumarokov A.V. Ispol'zovanie spektral'nykh metodov dlya analiza sobstvennykh chastot kolebanii konstruktsii MKS i amplitudy shumov izmeritelya uglovoi skorosti [The use of spectral methods for the analysis of natural frequencies of the ISS structure vibration and the noise amplitude of the angular velocity meter]. Vestnik MGTU im. N.E. Baumana. Ser. Priborostroenie, 2018, no. 4, pp. 59-68. DO110.18698/0236-3933-2018-4-59-68.
2. Prut'ko A.A., Sumarokov A.V. O nagruzkakh na elementy konstruktsii mnogotselevogo laboratornogo modulya na avtonomnom uchastke poleta [About loads on structural elements of a multipurpose laboratory module in the autonomous flight phase]. Vestnik MGTU im. N.E. Baumana. Ser. Priborostroenie, 2017, no. 2,pp. 123-138. DO110.18698/0236-3933-2017-2-123-138.
3. Atroshenkov S.N., Platonov V.N., Gubarev F.V., Saratov A.A. Optimal'nyi po raskhodu topliva algoritm razvorota MKS s pomoshch'yu reaktivnykh dvigatelei s uchetom ogranichenii po nagruzkam na konstruktsiyu [Algorithm optimal in terms of the fuel consumption for the ISS rotation using jet engines with regard to the structural load limitations]. Vestnik MGTU im. N.E. Baumana. Ser. Priborostroenie, 2017, no. 4, pp. 118-138. DO110.18698/0236-3933-2017-4-118-138.
4. Bhatt S, Bedrossian N., Nguyen L. Optimal propellant maneuver flight demonstrations on ISS. AIAA Guidance, Navigation, and Control (GNC) Conf, 2013. DO110.2514/6.2013-5027.
5. Elissar Global. DIDO Software. Available at: http://www.elissarglobal.com/industry/products/software-3/ (accessed 26.06.2019).
6. Borisenko N.Yu., Sumarokov A.V. Ob uskorennom postroenii orbital'noi orientatsii gruzovykh i transportnykh korablei serii «Soyuz MS» i «Progress MS» [About the accelerated construction of the orbit orientation of cargo and transport spacecraft of the Soyuz MS and Progress MS series]. Izvestiya RAN. Teoriya i sistemy upravleniya, 2017, no. 5, pp. 131-141. DOI 10.7868/S0002338817050110.
7. Garg D., Patterson M.A., Hager W.W., Rao A.V., Benson D.A., Huntington G.T. An overview of three pseudospectral methods for the numerical solution of optimal control problems. AAS/AIAA Astrodynamics Specialist Conference, 10-13 August 2009, Pittsburgh, PA.
8. Bedrossian N., Bhatt S, Kang W., Ross M. Zero-propellant maneuver guidance. IEEE Control Systems, 2009, vol. 29, no. 5,pp. 53-73. DOI 10.1109/MCS.2009.934089.
9. Runge C. Über empirische Funktionen und die Interpolation zwischen äquidistanten Ordinaten. Zeitschrift für Mathematik und Physic, 1901, 46, pp. 224 -243.
10. Find minimum of constrained nonlinear multivariable function. MATLAB Documentation. Available at: https://www.mathworks.com/help/optim/ug/fmincon.html (accessed 23.08.2018).
11. Zubov N.E., Mikrin E.A., Misrikhanov M.Sh., Ryabchenko V.N., Timakov S.N., Cheremnykh E.A. Identifikatsiya polozheniya ravnovesnoi orientatsii mezhdunarodnoi kosmicheskoi stantsii kak zadacha matrichnogo popolneniya s ustoichivost'yu [Identification of the position of the International Space Station equilibrium orientation as a task of the matrix replenishment with stability]. Izvestiya RAN. Teoriya i sistemy upravleniya, 2012, no. 2, pp. 130-144.
12. Mikrin E.A. Bortovye kompleksy upravleniya kosmicheskikh apparatov [Onboard spacecraft control systems]. Moscow, MGTUim. N.E. Baumanapubl., 2014. 254p.
13. Atroshenkov S.N., Prutko A.A., Krylov A.N., Krylov N.A., Gubarev F.V. Modelirovanie sil i momentov sil nabegayushchego potoka atmosfery v tselyakh verifikatsii dinamicheskikh rezhimov sistemy upravleniya dvizheniem i navigatsii MKS i sinteza optimal'nogo upravleniya [Aerodynamic forces and torques simulation for the verification of International Space Station Guidance, Navigation and Control System dynamic modes and optimal control synthesis]. Kosmicheskaya tekhnika i tekhnologii, 2017, no. 4(19),pp. 72-88.
