Математическое моделирование теплопереноса в процессе хемосорбции Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 53.082.6

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ТЕПЛОПЕРЕНОСА В ПРОЦЕССЕ ХЕМОСОРБЦИИ П.В. Балабанов, С.В. Пономарев, А.В. Трофимов

Кафедра «Автоматизированные системы и приборы», ГОУВПО «ТГТУ»

Ключевые слова и фразы: математическая модель; процесс регенерации воздуха; теплоперенос.

Аннотация: Приведен вывод дифференциального уравнения теплоперено-са при движении газовой смеси, содержащей углекислый газ и влагу, через патрон цилиндрической формы, заполненный регенеративным продуктом. Предложены двухмерная и одномерная математические модели теплопереноса в регенеративном патроне цилиндрической формы.

В практике использования средств регенерации воздуха широко представлены процессы, протекающие в пористых системах (в насыпных слоях зерненых регенеративных продуктов), внутри которых происходят физико-химические превращения, сопровождающиеся выделением теплоты.

Экспериментальные исследования тепловых режимов работы регенеративных продуктов (РП) для различных конструкций патронов предполагают значительные затраты материальных ресурсов, что существенно ограничивает возможности проведения таких исследований. Поэтому математическое моделирование процессов теплопереноса в системах патрон-продукт представляется наиболее перспективным.

Дифференциальное уравнение теплопереноса при продувании газовой смеси через регенеративный патрон цилиндрической формы

При выводе дифференциального уравнения теплопроводности допустим, что теплофизические свойства РП (шихты) не зависят от температуры. В действительности, в ходе процесса регенерации происходит ряд химических превраще-

Обозначения

с - удельная теплоемкость, Дж/(кг-К);

Я0 - радиус обечайки патрона, м;

Т - температура, К;

Тс - температура среды, К;

Т0 - начальная температура, К;

Твх(г, т) - функция распределения температуры во входном сечении патрона, К; Ш - объемная мощность внутренних источников теплоты, Вт/м3;

^ - локальная скорость потока газа в порах шихты, м/с;

Q - количество теплоты, Дж; а - коэффициент теплоотдачи, Вт/(м2-К); 8 - порозность;

X - теплопроводность, Вт/(м-К); р - плотность, кг/м3; ш, г - индексы, обозначающие вещество шихты и газ в порах шихты.

Введение

ний, в результате которых меняется химический состав исходной шихты. Однако, в определенном интервале температур изменениями теплофизических свойств можно пренебречь в целях упрощения последующего решения краевой задачи теплопроводности.

При выводе дифференциального уравнения теплопереноса использовалась методика, описанная в [1, 2]. Выделим в рассматриваемой среде элементарный параллелепипед объемом АхАуА (рис. 1). Через левую грань параллелепипеда площадью АуАг за время Ат проходит количество теплоты

где вш, вХ - количество теплоты, проходящее за счет теплопроводности через частицы шихты и через поры, заполненные газом, расположенные на левой грани;

- количество теплоты, проходящее через левую грань за счет конвективного движения потока газа.

Количество теплоты, проходящее через частицы шихты за счет теплопроводности

где дх - тепловой поток, втекающий в левую грань через частицы шихты, расположенные на поверхности левой грани; / - доля площади левой грани, зани-

маемая частицами шихты.

Количество теплоты, проходящее через левую грань за счет теплопроводности газа, заполняющего поры между частицами шихты

где дтх - тепловой поток, втекающий в левую грань через поры (заполненные газом), образуемые частицами шихты на поверхности левой грани; /г = (1 - /ш) -доля площади левой грани, занимаемая порами.

Количество теплоты, проходящее через левую грань за счет движения потока

газа

QX = qX дудzf г Дт,

Az

y

а)

б)

Рис. 1. К выводу дифференциального уравнения теплопереноса:

а - элементарный параллелепипед; б - левая грань параллелепипеда

вх = ™хс Р ТхАУАг/ Ат,

г

где Wx - локальная скорость потока газа в порах шихты; с - удельная теплоем-

Г т»Г ~

кость газа; р - плотность газа; Тх - температура газа на левой грани.

Аналогично определяем количество теплоты вх+Ах, выходящее через правую грань параллелепипеда

вх+Ах = бх+Ах + вх+Ах + бхс+Ах

или

вх +Ах = ?х+АхАуА/ш Ат + Ч\+АхАуА/гАт + ^Р^х+АхАУА/ТАт .

Количество теплоты, выделяемое при химической реакции регенерации, равно

ву = Ж(х, у, г, т)АхАуАг(1 - е)Ат ,

где Ж(х, у, г, т) - объемная мощность внутренних источников теплоты, действующих в единице объема частиц шихты; е - порозность слоя шихты, вычисляемая по формуле

е = (АхАуАг - V ш )/(АхАуАг),

где Vш - объем, занимаемый частицами шихты в элементарном параллелепипеде.

Таким образом, в элементарном параллелепипеде аккумулируется количество теплоты, равное

вх - вх+Ах + Оу = ((ё - Ч'х+Ах)АуАг/шАт + (?х - Чх+Ах)АуАг/ТАт +

+ WxCгРг ( - Тхг+Ах))гАт + Ж(х,у, г, т)АхАуАг(1 - е)Ат.

Разложим функции й+Ах , Тх+Ах в ряды Тейлора

ш ш дч_ш гг ддгх г г дТхг

Чх+Ах = Чх + ~^ёх +..., Чх+Ах = Чх +~Гйх + ..., Тх+Ах = Тх + ~^ёх +....

дх дх дх

Перейдем от конечных приращений к дифференциалам А ^ ё . С учетом разложения в ряд Тейлора запишем выражение для вх - вх+Ас + ву в следующем виде

дпш дог

вх — вх+ёх + ву =-------ёхёуёг/ ёт-----ёхёуёг/ ёт —

дх дх

г г дТхг г

- wxcгрг —— йхйуйг/гёт + Ж(х, у, 2, т)ёхёуёг(1 - е)ёт.

дх

дТ

Согласно закону теплопроводности Фурье [3] чх = -X—. Поэтому, послед-

дх

нее выражение можно записать в виде

д 2т ш д 2Т г

вх - вх+ёх + ву = Хш--------ёхёуёг/ш ёт + Хг------ёхёуёг/г ёт -

дх2 дх2

- wxcг рг дТ йхйуйх( - /ш ) + Ж(х, у, г, т)йхйуйг(1 - е)йт. дх

Количество теплоты, аккумулирующееся в элементарном параллелепипеде, можно определить как сумму теплот, аккумулируемых частицами шихты и газом в порах между ними

дТш дТг

Ош + Qг _ сшршйхйуйг(1 -е)------йт + сгргйхйуйге-----йт .

дт дт

Таким образом, уравнение теплового баланса для элементарного параллелепипеда можно записать в следующем виде

д2Тш д2Тг

Хш-----— йхйуйг/ш йт + Хг — йхйуйг/г йт -

дх2 дх2

- ^хсгрг йхйуйг^ - /ш )т + Ж(х, у, г, т)йхйуйг(1 - е)йт _

ш ш дТ ш г г дТ г

_ сшршйхйуйг(1 - е)-------йт + сгргйхйуйге---йт.

дт дт

Сократив последнее выражение на йхйуйгйт и, учитывая, что /г _ (1 - /ш), получим

Г /ш д~ТГ + Хг ( - /ш )" - ^грг д- (1 - /ш ) + Ж(х, у, г, т)(1 - е) _

дТш дТг

ш ш г г

_с Р (1 -е)^^ + с Р е^“.

дт дт

Так как частицы шихты и поры, заполненные газом, имеют небольшие размеры, то можно допустить, что передача теплоты от шихты к газу (и обратно)

осуществляется практически мгновенно, то есть Тг и Тш _ Т . Кроме того, можно допустить, что /г и е . С учетом этих допущений получим следующее дифференциальное уравнение теплопереноса 2

[ (1 - е) + Хге] - сгрге^ дТ + Ж(х, у, г, т)(1 - е) _ [сшрш (1 - е) + сгРге].

дх2 дх дт

Обозначим: сэрэ _ [сшрш (1 -е) + сгрге] - эффективная объемная теплоемкость слоя шихты, поры которого заполнены газом; Xэ _ [хш (1 - е) + Хге] - эффективная теплопроводность пористого слоя шихты; ду _ Ж(х, у, г, т)(1 -е) - объемная мощность внутренних источников тепла, отнесенная к единице объема насыпного слоя шихты.

Так как локальную скорость потока газа wx в порах шихты на практике измерить невозможно, то введем среднюю скорость ~^х, рассчитанную по известному расходу газа О через цилиндрический патрон и площади сечения £ _ пЯ0 патрона по формуле ^х _ О / £ . С учетом известных значений средней скорости ^х и порозности е насыпного слоя шихты значение локальной скорости wx газа между частицами шихты можно вычислить по формуле wx _ шх / е _ О /(е£).

С учетом введенных обозначений дифференциальное уравнение теплопере-носа окончательно можно записать в виде

X.

д 2T

dx

± гг— dT , л dT

2 - c p wx^T + qv(x, y, z, т) = cэp^^-.

2 ox

дт

Если повторить рассмотренный выше вывод для переноса теплоты через другие грани параллелепипеда, расположенные нормально к осям у иг , то получим трехмерное дифференциальное уравнение теплопереноса в декартовой системе координат в виде

id2T д2T

dx2 dy2

d 2T A dz 2

Г ГI dT

c p I wx----------------+ w

І dx

- dT - dT ^

y

dy

+wz "drJ+qv(x, y, z т)=cэPэ

dT

дт

По аналогии с изложенным выше, достаточно несложно осуществить вывод приведенного ниже дифференциального уравнения для цилиндрической системы пространственных координат.

Двухмерная математическая модель теплопереноса в регенеративном патроне

Рассмотрим нестационарное температурное поле в регенеративном патроне цилиндрической формы (рис. 2). Начало координат поместим на оси симметрии во входном сечении патрона. Ось г направим в направлении движения потока газа, а ось г - по радиусу патрона.

Для упрощения расчетов по математической модели сформулируем следующие допущения.

1. Перенос теплоты вдоль оси г за счет теплопроводности пренебрежимо мал по сравнению с переносом теплоты за счет конвективного движения газа.

2. Температурное поле симметрично относительно координаты г.

3. Объемная мощность внутренних источников тепла зависит только от продольной координаты г и времени.

Для двумерного нестационарного температурного поля в регенеративном патроне цилиндрической формы с учетом сформулированных допущений дифференциальное уравнение переноса теплоты запишется в виде

( ) dT (r, z, т) Х

О^э )-------V------" = Х=

дт

^d 2T (r, z, т) + 1 dT (r, z, т)

dr 2

dr

— г г dT(r, z, т) , 4

-wc p —^+ qv(z,т), (1) dz

2 > 0, 0 < г < Я0, т> 0.

Дополним дифференциальное уравнение (1) начальным и граничными условиями [3]. Примем, что начальная температура в патроне одинакова в любой его точке, то есть

T (r, z,0) = T>.

(2)

Рис. 2. К постановке краевой задачи теплопереноса в цилиндрическом патроне

+

r

На внешней цилиндрической поверхности патрона задан теплообмен с окружающей средой в виде граничных условий третьего рода

Х dT(Ro,z,т) Гт(0 ) т л

-Хэ------0------= а[ (Ro, z, т)-тс ],

dr

(3)

где Т (Я0, 2, т) - функция, определяющая распределение температуры на внешней поверхности патрона.

Во входном сечении патрона при 2 = 0 задано распределение температуры

Т(гД т) = Твх (г,т) , а при г = 0 задано условие симметрии температуры

дТ (0,2, т)

dr

=0.

(4)

(5)

Одномерная математическая модель теплопереноса в регенеративном патроне

Для получения одномерной математической модели в цилиндрическом па-

2

троне умножим обе части уравнения (1) на ——г и проинтегрируем по г на от-

$

резке [0; Я0 ]

( ) d

дт

2

—— j T (r, z, т)rdr R2

00

э 41- д

R0 0 r dr

dT (r, z, т)

- г г d

-wc p —

dz

2

—2 j T(r, z, %)rdr R2

00

dr

Ro

rdr -

-qv(z, т)— j

R2

rdr.

00

Обозначим

(б)

T (z, т) =-

j T (r, z, т)Ыг

~0

j rdr 0

R

и

j T (r, z, %)rdr

00

(7)

где Т(2, т) - среднеинтегральная температура в сечении цилиндрического патрона.

С учетом введенного обозначения (7), уравнение (6) примет вид

(c p 4dT(z,т) =Х 2

(cэpэ) - =Х э 2

Ro2

dT (r, z, т) dr

Ro

— г г dT (z, т)

-wc p

dz

+ qv (z, т)

(8)

Первый член в правой части уравнения (8) равен

э

Ro2

dT (r, z, т) dr

<0 . 2 dT(Ro,z,т)

= ------

R

dr

Примем во внимание, что граничное условие (3) можно представить в виде

2

r

0

2

0

- Aэ dT(tZ, т) = a[T(Ro, z, т) - Tc ] * а [т(z, т)- Tc ], dr

где а — скорректированное значение коэффициента теплообмена, позволяющее в граничном условии третьего рода (3) использовать введенное формулой (7) среднеинтегральное значение температуры Т (2, т) вместо температуры Т(Яо, 2, т) внешней поверхности регенеративного патрона. Тогда уравнение (8) примет вид

( )дТ (2, т) 2а [ ) Т ] — г г дТ (2, т) + ( )

(сэРэ)---г-— = -— Т(2,т)-Тс-™ Р -я-+ Чу(2,т). (9)

дт Я0 д2

При практическом использовании уравнения (9) его необходимо дополнить

начальным условием

Т(2,о) = То, (10)

а во входном сечении патрона при 2 = 0 необходимо задать функцию

Т (0, т) = Твх (т) . (11)

Таким образом, нами получена двухмерная математическая модель теплопе-реноса в регенеративном патроне цилиндрической формы, представленная в виде уравнений (1) — (5), а также одномерная математическая модель, представленная в виде уравнений (9) — (11). В настоящее время разрабатывается комплекс технических средств, предназначенных для экспериментальной проверки адекватности предложенных математических моделей.

Список литературы

1. Журавленко, В.Я. Дифференциальные уравнения процесса охлаждения горного массива при движении жидкости через подземный пористый слой /

B.Я. Журавленко, А.В. Шурчков // Аналитические методы решения задач переноса тепла и вещества : респ. межведомств. сб. — Киев, 1967. — С. 63—71.

2. Фатеев, Г.А. Перенос тепла в реагирующем пористом теле при наличии фильтрации газа / Г.А. Фатеев // Тепло- и массообмен при фазовых и химических превращениях / под ред. А.В. Лыкова, Б.М. Смольского. — Минск, 1968. —

C. 100—114.

3. Пономарев, С.В. Теоретические и практические аспекты теплофизических измерений. Кн. 1 / С.В. Пономарев, С.В. Мищенко, А.Г. Дивин. — Тамбов : Изд-во Тамб. гос. техн. ун-та, 2006. — 204 с.

Mathematical Modeling of Heat Transfer During Chemosorption

P.V. Balabanov, S.V. Ponomarev, A.V. Trofimov

Department “Automated Systems and Devices ", TSTU

Key words and phrases: heat transfer; mathematical model; process of air regeneration.

Abstract: The paper presents the conclusion of the differential equation of heat transfer during the flow of gas mixture containing carbon dioxide and moisture through the cylinder-shaped chuck filled with regenerative product. Two-dimensional and

one-dimensional mathematical models of heat transfer in regenerative cylinder-shaped chuck are offered.

Matematische Modellierung der Warmetibertragung im Laufe der Chemosorption

Zusammenfassung: Es ist die Schlussfolgerung der Differentialangleichung der Warmetibertragung bei der Bewegung der Gasmischung, die das kohlensauere Gas und die Feuchtigkeit hat, durch die Patrone der zylindrischen Form, die vom regenerativen Produkt angeftillt ist, angeftihrt. Es sind die eindimensionalen und zweidimensionalen matematischen Modelle der Warmetibertragung in der regenerativen Patrone der zylindrischen Form angeboten.

Modulation mathematique du transfert de chaleur au processus de la chemosorption

Resume: Est citee la conclusion de l’equation du transfert de chaleur lors du mouvement du melange gazeux contenant le gaz carbonique et l’humidite a travers le mandrin de la forme cylindrique rempli d’un produit regenere. Sont proposes les modeles mathematiques bidimensionnel et unidimensionnel du transfert de chaleur dans le mandrin regenere de la forme cylindrique.