Методика вычисления эффективных коэффициентов в уравнении теплопроводности композиционного тела Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 536.2

Вестник СПбГУ. Сер. 4. Т. 2 (60). 2015. Вып. 4

А. С. Кравчук, А. И. Кравчук, И. А. Тарасюк

МЕТОДИКА ВЫЧИСЛЕНИЯ ЭФФЕКТИВНЫХ КОЭФФИЦИЕНТОВ В УРАВНЕНИИ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ КОМПОЗИЦИОННОГО ТЕЛА

Белорусский государственный университет, Белоруссия, 220030, Минск, пр. Независимости, 4

Впервые получено уравнение теплопроводности для композиционного тела. Выдвинуто предположение, что его макроточка, т. е. элементарный макрообъём, в котором статистические параметры распределения неоднородностей совпадают с соответствующими значениями, заданными для тела в целом, мала по сравнению с геометрическими размерами самого тела. Получена вилка типа Рейсса—Фойгта для определения границ изменения теплопроводности, которая далее сужена до вилки Кравчука—Тарасюка. Получены эффективные коэффициенты теплопроводности в виде среднего арифметического значения вилки Кравчука—Тарасюка, а также эффективные коэффициенты теплоёмкости и количества теплоты, выделяемой телом в единице объёма за единицу времени при связанных физических процессах. Найденные усреднённые физические параметры можно использовать при решении конкретных физических задач для неоднородных тел. Библиогр. 6 назв. Ил. 1.

Ключевые слова: композиционное тело, теплопроводность, теплоёмкость, концентрации компонент.

A. S. Kravchuk, A. I. Kravchuk, I. A. Tarasyuk

PROCEDURE OF CALCULATING THE EFFECTIVE COEFFICIENT IN THE HEAT EQUATION OF COMPOSITE BODY

Belarussian State University, 4, pr. Nezavisimosti, Minsk, 220030, Belorussia

For the first time we obtained the heat conduction equation for the composite body. Using the assumption that its macropoint, i.e. elementary macrovolume in which statistical parameters of the distribution of inhomogeneities coincide with the corresponding values which set for the whole body, is small compared to the geometric dimensions of the body itself. A range of Reuss—Voigt type was obtained to define the boundaries of changing of thermal conductivity. Further this range narrowed to Kravchuk—Tarasyuk range. The effective thermal conductivity was calculated as the arithmetic mean of boundaries of Kravchuk—Tarasyuk range, the effective coefficients of heat capacity and the heat of the body per unit of volume per unit of time during the flow-related physical processes. The averaged physical parameters found can be used in solution of specific physical problems for inhomogeneous bodies. Refs 6. Fig 1.

Keywords: composite body, thermal conductivity, heat capacity, the concentration of the component.

Введение. Задача о распространении тепла является одной из ключевых в университетском курсе уравнений математической физики [1, 2]. Поэтому она выбрана в качестве модельной для демонстрации универсальности методики получения оценочной «вилки» разброса теплопроводности неоднородных тел, применённой авторами для описания композиционных стержней и балок и теории усреднения механических характеристик трёхмерного упругого твёрдого тела [3-5]. Несмотря на существенные различия между упомянутыми физическими задачами, общий подход при получении результирующих уравнений демонстрирует свою гибкость и универсальность. Его наглядность настолько сильна, что не требует от исследователя никаких специальных знаний из физики композиционных материалов, а простота получаемых зависимостей сравнима разве что с известными решениями из сопротивления материалов.

Постановка задачи. Для решения задачи определения эффективных коэффициентов уравнения теплопроводности композиционного тела рассматривается прямоугольный элемент композиционного материала, на границе которого задаются воздействия, имитирующие те, что возникают в экспериментальных установках при определении полного набора физических коэффициентов однородного изотропного материала [3-5]. Макроточкой в теории композиционных материалов называется элементарный макрообъём (параллелепипед), размеры которого значительно превосходят характерные размеры неоднородностей, однако существенно меньше размеров тела [3-5]. Только в этом случае можно рассматривать дифференциальные уравнения физического процесса, иначе (если размеры макроточки сопоставимы с размерами тела) необходимо рассматривать, либо разностные аналоги дифференциальных уравнений либо переходить к интегральным уравнениям с областью интегрирования, не меньшей, чем объём макроточки [6].

Таким образом, для решения задачи определения эффективных характеристик теплопроводности элемента композиционного материала в качестве макроточки примем прямоугольный параллелепипед объёмом ¿х\dx2dxз. Размеры параллелепипеда значительно превосходят характерные размеры неоднородностей, но пренебрежимо малы в сравнении с характерными размерами тела, занимающего пространственную одно-связную область V.

Будем считать, что параллелепипед состоит из п изотропных (в смысле характеристик теплопроводности) компонент, и предполагается, что значения концентраций у^ компонент композиционного материала известны для всего материала и они же являются объёмными долями компонент для любой макроточки тела. Применение гипотезы термической изотропности компонент композиционного материала означает, что для каждой компоненты к (к = 1 , п) материала известны постоянные коэффициенты теплопроводности , теплоёмкости С и плотности ри. Кроме того, внутренние источники теплоты равномерно распределены в теле. Под внутренними источниками теплоты понимаются тепловыделения, например, в тепловыделяющих элементах атомных реакторов или при прохождении тока в электрических проводниках. Внутренние источники теплоты характеризуются величиной ци — количеством теплоты, которое выделяется в единице объёма компоненты композиционного материала в единицу времени.

Совокупность значений температур всех точек тела в данный момент времени называется температурным полем. В общем случае уравнение температурного поля имеет вид

и = и(х\, Х2, хз, I),

где и — температура тела; £ — время.

В основу вывода положен закон сохранения энергии, согласно которому среднее значение теплоты, выделенной внутренними источниками и внесённой извне

в среднем в элементарный объём путём теплопроводности за время dт, идёт на

изменение внутренней энергии вещества с!{и}, содержащегося в этом объёме [2]:

d{QBн.) + d{Qт} = d{U}. (1)

Под термином «в среднем» понимается процедура статистического усреднения по дискретной случайной величине с распределением, определяемым концентрациями у^ компонент композиционного материала. Это очень важное замечание, непосредственно связанное с тем, что кроме всего предполагается, что распределение материала обладает свойствами стационарности и эргодичности, а следовательно, воспроизводится при

любом распределении материала. И исследователю остаётся только выбрать наиболее удобный для него вариант распределения для построения оценочного решения. Как и в механике твёрдого тела, в качестве наиболее удобного будем использовать поперечную (аналог гипотезы Рейсса) или продольную (аналог гипотезы Фойгта) слоистую структуру материала элементарного объёма йV [3-5].

Гипотеза о непрерывной дифференцируемости распределения градиента температур в композиционном теле. По аналогии с гипотезой Фойгта в механике композиционных материалов [5] предполагаем, что распределение градиента температур в элементарном объёме не зависит от наличия в той или иной точке включений из других материалов и является непрерывно дифференцируемой функцией.

Будем рассматривать грани параллелепипеда, перпендикулярные направлению Ох1, и считать, что на левой грани теплота поступает в параллелепипед, а на правой грани покидает его.

Согласно гипотезе Фурье количество тепла, которое проходит путём теплопроводности через элементарную площадку левой грани площадью йх-2 х йхз за время & [2],

«в)ф = {¿X2 х ¿сз)<й. (2)

ах1

При этом к-й материал элементарного объёма композиционного материала поглощает количество теплоты ^ЛВк в направлении Ох1, пропорциональное коэффициенту теплопроводности Хк:

¿ЯГк = -Ък^^ Ых2 х ¿х3Ш. (3)

' ах1

Обозначим количество теплоты, проходящее через правую грань, ф. Анало-

гично (2) оно вычисляется по формуле

= -МФ7Г- («>Ф + X <Ь3)Л. (4)

™ --<» (м.

Предположим, что при этом к-й материал элементарного объёма композиционного материала выделяет количество теплоты в направлении Ох1, пропорциональное

коэффициенту теплопроводности Хк:

= (<«>ф + (г1х2 х ¿х3ум. (5)

Домножая (3) и (5) на относительные концентрации ук к-го композиционного материала и суммируя левые и правые части уравнений по индексу к получаем для всего объёма макроточки композиционного материала, исходя из (2) и (4), следующие равенства:

п п п

й{ЯГ)ф = Еч^ЯЛВк, = £Ук{Х)ф = £уьХк. (6)

к=1 к=1 к=1

Очевидно, что уравнения, аналогичные (2)-(6), можно получить и для остальных граней параллелепипеда. Определим из (1)

3

йШф = Е {й{ЯГ)ф - (7)

г=1

Исходя из (7), для (1) получаем следующую формулу

= (8) i=1 ®

Отметим, что уравнения (7) и (8) физически возможны и автоматически выполняются, например, для слоистого или волокнистого вдоль направления Ох1 композиционного материала.

Гипотеза о непрерывности распределения количества тепла в элементарном объёме. Эта гипотеза аналогична гипотезе Рейсса в механике твёрдого тела. Вернёмся к рассмотрению граней элементарного параллелепипеда, перпендикулярных направлению Ох1. Будем считать, что на левой грани теплота поступает в параллелепипед, а на правой грани покидает его.

Согласно гипотезе Фурье количество тепла, которое проходит путём теплопроводности через элементарную площадку левой грани площадью ¿х-2 х ¿хз за время & [2]:

в)р = -(^)р^Г^ ((1x2 X ¿х3Ш. (9)

ах1

Исходя из принятого предположения, будем считать, что при этом к-й материал элементарного объёма композиционного материала поглощает количество теплоты в направлении Ох1 , определяемое формулой

о

Л(ЯТ)р = (¿Х2 X сЬз)<Н. (10)

ах1

Тогда из (10) получаем:

Г- ¿{Я?)р = (¿Х2 х ¿х3)Л. (И)

Хк дхл

Суммируя (11) по к, получаем:

1

<хь>= Ер >(и)р = Т,т- (12)

\к=1 к/ к=1

Обозначим количество теплоты, проходящее через правую грань, соответственно р. Аналогично (9) оно вычисляется по формуле

¿{0??)р = ((и)р + (^2 х сЬз)(Н. (13)

Очевидно, что уравнения типа (10)—(13) можно получить и для остальных граней параллелепипеда. Определим из (2)

3

¿Ш р = 53 р - ¿{ЯГ) рУх^ (14)

i=1

Исходя из (14) для (1) получаем

= (15)

i=1 i

Физически уравнения (9)-(15) соответствуют случаю поперечно слоистого элементарного объёма при исследовании теплопроводности.

Оценка среднего коэффициента теплопроводности. Значения (к)ф и (к) Р, определяемые по (6) и (12) соответственно, представляют собой аналог вилки Рейс-са—Фойгта для теплопроводности композиционных материалов. Её недостатком является широкий разброс оценочных значений эффективных свойств композита. Для сужения указанной вилки до вилки Кравчука—Тарасюка будем использовать подход, разработанный авторами для усреднения механических свойств упругого композиционного в среднем изотропного материала [5].

Исходя из (8), (15) согласно общему подходу теории композиционных материалов [5] в качестве определения из (1) рассмотрим выражение

Х 3 д2и

¿(дт) = сцдт)ф + (1 - а)^(дт) Р = а(х>ф +

\ i=l дх2

+ (1 (16)

¿=1 ® /

Предполагая, что для гомогенного материала выполнена гипотеза Фойгта, т. е.

3 „о 3

д2и д2(и)р

Ей и

Ят 2 ~~ 2-^1 '

. дх2 ^ дх2

¿=1 ¿ ¿=1 ¿

получаем окончательное выражение для ¿(^т):

3

^_

дх2

3 д2и

а{Ят) = (а(Х)ф + (1 - а)(к)Р) ]Г ^ (17)

1

Далее допускаем, что распределение количества тепла в композиционном

материале однородно, тогда из (8) и (15) получаем:

Интегрируя выражения

по а на интервале [0,1], можно с очевидностью [5] получить «вилку» Кравчука—Тарасюка [Л1, Л2] для оценки коэффициента теплопроводности композиционного материала (см. рисунок):

д _ (К)ф(Х)р (Х)ф _1П\ , 1 Л\

(У.и-(У.)РЫШ' 2 2

В силу малости «вилки» Кравчука—Тарасюка в качестве эффективного значения теплопроводности композиционного изотропного материала достаточно принять среднее арифметическое двух значений (Л1 + Л2)/2.

(Я), Вт/(м'К)

20(

25(

30(

15(

10(

Зависимость средних значений теплопроводности от концентрации у первого материала в двухкомпонентной смеси с коэффициентами теплопроводности = 320 Вт/(м-К), Х2 = 92 Вт/(м-К):

штрихпунктирная линия — {X) ф; пунктирная линия — {X) р; точечная линия — Л1; сплошная линия — Л2

0,2 0,4 0,6

0,8

1,0

Вывод уравнения теплопроводности композиционного тела в случае, когда его макроточка несопоставимо мала по сравнению с размерами области исследования. Рассуждая совершенно аналогично (2)-(6), можно получить, что количество теплоты, которое выделилось в элементарном объёме композиционного материала за счёт внутренних источников, определяется по формуле:

где дУ,к — количество теплоты, которое выделяется в единице объёма в единицу времени для к-го материала.

Приращение средней внутренней энергии ¿и можно выразить через массу к-го материала параллелепипеда рк¿V, его теплоёмкость Ск и приращение температуры:

Подставляя (16), (18)-(20) в (1) получаем уравнение теплопроводности композиционного тела:

Выводы. Впервые получено уравнение теплопроводности для композиционного тела. Предположено, что его макроточка, т. е. элементарный макрообъём, в котором статистические параметры распределения неоднородностей совпадают с соответствующими значениями, заданными для тела в целом, мал по сравнению с геометрическими размерами самого тела.

Получена вилка типа Рейсса—Фойгта для определения границ изменения теплопроводности. Далее вилка сужена до вилки Кравчука—Тарасюка.

Получены эффективные коэффициенты теплопроводности в виде среднего арифметического значения вилки Кравчука—Тарасюка, а также эффективные коэффициенты теплоёмкости и количества теплоты, выделяемой телом в единице объёма за единицу времени при протекании связанных физических процессов.

Найденные усреднённые физические параметры можно использовать при решении конкретных физических задач для неоднородных тел.

п

(19)

п

(20)

Литература

1. Араманович И. Г., Левин В. И. Уравнения математической физики. М.: Наука, 1969. 288 с.

2. Лекции по теплотехнике. URL: http://stringer46.narod.ru (дата обращения 16.11.2014).

3. Кравчук А. С., Кравчук А. И. Применение простейшей модели деформируемого покрытия постоянной толщины в механике твёрдого тела // APRIORI. Серия: Естественные и технические науки. 2014. № 1. URL: http://apriori-journal.ru/seria2/1-2014/Kravchuk-Kravchuk.pdf (дата обращения 16.11.2014).

4. Кравчук А. С., Томило Е. В. Чистый изгиб слоистых и композиционных призматических брусьев из линейно-упругих материалов // Веста Национальнай академии наук Беларусь Сер. физ.-тех. навук. 2014. № 3. С. 15-20.

5. Тарасюк И. А., Кравчук А. С. Сужение «вилки» Фойгта—Рейсса в теории упругих структурно неоднородных в среднем изотропных композиционных тел без применения вариационных принципов // APRIORI. Серия: Естественные и технические науки. 2014. № 3. URL: http://apriori-journal.ru/seria2/3-2014/Tarasyuk-Kravchuk.pdf (дата обращения 16.11.2014).

6. Eringen A. C. On differential equations of nonlocal elasticity and solutions of screw dislocation and surface waves //J. Appl. Phys. 1983. Vol. 54, N 9. P. 4703-4710.

References

1. Aramanovich I. G., Levin V. I. Uravneniia matematicheskoi fiziki [Partial differential equations]. Moscow, Nauka, 1969. 288 p. (In Russian)

2. Lektsii po teplotekhnike [Lectures on heating engineering]. Available at: http://stringer46.narod.ru (accessed: 16.11.2014). (In Russian)

3. Kravchuk A. S., Kravchuk A. I. Primenenie prosteishei modeli deformiruemogo pokrytiia postoiannoi tolshchiny v mekhanike tverdogo tela [Application of the elementary model of a deformable covering of constant thickness in mechanics of a solid body]. APRIORI. Seriia: Estestvennye i tekhnicheskie nauki [APRIORI. ¡Series: Natural and technical sciences], 2014, no. 1. Available at: http://apriori-journal.ru/seria2/1-2014/Kravchuk-Kravchuk.pdf (accessed: 16.11.2014). (In Russian)

4. Kravchuk A. S., Tomilo E. V. Chistyi izgib sloistykh i kompozitsionnykh prizmaticheskikh brus'ev iz lineino-uprugikh materialov [Pure bend of layered and composite prismatic bars from linearly-elastic materials]. Vesti Natsional'nai akademii nauk Belarusi. Ser. fiz.-tekh. navuk [Reports of National Academy of Sciences of Belarus. Series: Physical and technical sciences], 2014, no. 3, pp. 15—20. (In Russian)

5. Tarasiuk I. A., Kravchuk A. S. Suzhenie vilki Foigta—Reissa v teorii uprugikh strukturno neodnorod-nykh v srednem izotropnykh kompozitsionnykh tel bez primeneniia variatsionnykh printsipov [Narrowing of Foygt—Reyss' fork in theories elastic structurally non-uniform in average of isotropic composite bodies without application of the variation principles]. APRIORI. Seriia: Estestvennye i tekhnicheskie nauki [APRIORI. Series: Natural and technical sciences], 2014, no. 3. Available at: http://apriori-journal.ru/seria2/3-2014/Tarasyuk-Kravchuk.pdf (accessed: 16.11.2014). (In Russian)

6. Eringen A. C. On differential equations of nonlocal elasticity and solutions of screw dislocation and surface waves. J. Appl. Phys., 1983, vol. 54, no. 9, pp. 4703-4710.

Стaтья пoступилa в pедaкцию 16 ноября 2014 г.

Контактная информация

Кравчук Александр Степанович — доктор физико-математических наук, доцент; e-mail: [email protected]

Кравчук Анжелика Ивановна — кандидат физико-математических наук, доцент; e-mail: [email protected]

Тарасюк Иван Александрович — магистрант; e-mail: [email protected]

Kravchuk Alexander Stepanovich — Doctor of Physics and Mathematics, Associate Professor; e-mail: [email protected]

Kravchuk Anzhelika Ivanovna — Ph. D., Associate Professor; e-mail: [email protected]

Tarasyuk Ivan Alexandrovich — student of Master's degree; e-mail: [email protected]