Математическое моделирование температурного состояния пространственных стержневых конструкций. Стационарные задачи Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 536.24

Математическое моделирование температурного состояния пространственных стержневых конструкций.

Стационарные задачи

© И.В. Станкевич

МГТУ им. Н.Э. Баумана, Москва, 105005, Россия

Рассмотрены особенности построения основных матричных соотношений в рамках конечно-элементной технологии решения стационарных температурных задач применительно к стержневым конструкциям, имеющим сложное пространственное оформление. На основе этой технологии разработан комплекс программ, который позволяет решать широкий класс задач научного и прикладного характера, исследовать особенности влияния различных конструктивных, технологических и эксплуатационных факторов на температурное состояние стержневых конструкций. В качестве примеров применения конечно-элементной технологии и возможностей созданного комплекса прикладных программ представлено решение ряда температурных задач.

Ключевые слова: стержневая конструкция, стационарная температурная задача, конечно-элементная технология, комплекс прикладных программ.

Введение. В энергомашиностроении, технологическом и электронном машиностроении, транспортной, авиационной и аэрокосмической технике достаточно широко распространены стержневые конструкции, имеющие сложное пространственное оформление и работающие в условиях теплового нагружения различной интенсивности [1-4]. Первый и весьма ответственный этап общей оценки работоспособности таких конструкций — определение их температурного состояния. В настоящее время перспективным является применение современных методов численного анализа для определения температурного состояния стержневых конструкций. В рамках настоящей работы рассмотрены особенности построения конечно-элементной технологии для определения температурного состояния стержневых конструкций со сложным пространственным оформлением.

Постановка стационарной задачи теплопроводности. Рассмотрим простейшую стержневую систему, представляющую собой однородный изотропный криволинейный стержень (рис. 1). Введем одномерную пространственную (относительно глобальной системы координат 0х!х2х3) криволинейную систему координат О'ц, у которой координата ^ отсчитывается вдоль оси стержня (см. рис. 1). Запишем в терминах криволинейной системы координат О'ц вариант краевой

стационарной задачи теплопроводности, но с учетом предположения о том, что в поперечных сечениях стержня отсутствуют градиенты температуры. Имеем

1(т(л),л),л + яу(л) = 0,л е (Л1,Л2); (1)

1Т (л),л1л=Л1 = ^; (2)

Ж(Л),л1л=л2 = (Т/ - Т(Л)) ц2 , (3)

где 1 — коэффициент теплопроводности материала стержня; Т(л) — температура стержня; цу (л) — мощность внутренних источников (стоков) теплоты; Лъ Л2 — координаты торцевых поверхностей Я2 и стержня соответственно (л1 < Л2); ^ — численное значение плотности теплового потока на поверхности Я2, в данном случае принято, что > 0, если теплота отводится от поверхности Я2 стержня (Т(л),Л|Л=Л1 > 0); а^ и Tf — коэффициент теплоотдачи и температура внешней среды вблизи поверхности соответственно. Здесь и далее запятой с индексом обозначена операция дифференцирования по соответствующим координатам.

Рис. 1. Построение пространственной криволинейной системы координат О'л

Численное решение задачи (1)-(3) предполагает использование соответствующего дискретного аналога. Построим дискретный аналог с помощью процедур МКЭ, основанных на вариационной формулировке [5, 6]. Для этого рассмотрим функционал, имеющий следующую структуру:

Ф [^1 = 2/ [1 (Т,л)2 - Т] д№а^ 1Т - Т^ Т ¿8.

С 52 й'з

(4)

В дальнейшем выражение (4) примем за основное и, по мере построения рабочих соотношений, будем делать необходимые обобщения.

Матричные соотношения МКЭ. Аппроксимируем ограниченную замкнутую область С С К3, в которой решается задача (1)-(3), ограниченной замкнутой областью Си С К3, состоящей из объединения

_ _ ку _

ку конечных элементов , т. е. С и = 0 ^(е), где (е) - идентифика-

е=1

ционная метка конечного элемента. Другими словами, аппроксимируем рассматриваемую стержневую систему совокупностью конечных элементов. Для этого необходимо выбрать тип конечного элемента. Чтобы аппроксимировать форму стержневой системы, воспользуемся одномерными конечными элементами (рис. 2).

Рис. 2. Типы одномерных конечных элементов (1-4 — локальная нумерация узлов)

Достаточно часто распределение температуры вдоль осевых линий стержней аппроксимируют с помощью тех же конечных элементов, как и при аппроксимации их геометрической формы. Совокупность конечных элементов образует конечно-элементную модель стержневой системы. На рис. 3 представлен пример конечно-элементной модели стержневой системы. При описании топологии (геометрических связей) конечно-элементной модели применяют локальную и глобальную нумерацию узлов. При локальной нумерации узлы нумеруют только в пределах множества узлов, принадлежащих данному рассматриваемому элементу (е), в отличие от глобальной нумерации узлов, при которой нумеруются все узлы конечно-элементной модели, причем совместные узлы элементов — только один раз. На рис. 2 показана локальная нумерация узлов различных типов конечных элементов. На рис. 3 приведен пример глобальной нумерации узлов конечно-элементной модели и локальной нумерации для элемента с номером 7 (номера элементов указаны в круглых скобках). Таким образом, чтобы задать конечно-элементную модель, необходимо построить две таблицы: в одной таблице привести описание геометрических связей между конечными элементами, т. е. связь глобальных и локальных номеров узлов для каждого элемента, а в другой — глобальные координаты узлов в прямоугольной декартовой системе координат Ох1х2х3.

В выражение функционала (4) входят два интеграла, предполагающие интегрирование по торцевым поверхностям ¿2, S3 стержня, на которых заданы условия теплообмена. Формально эти интегралы можно

Рис. 3. Глобальная нумерация узлов конечно-элементной модели

использовать и в том случае, когда граничные условия заданы на выделенных участках боковой поверхности рассматриваемого стержня. Для эффективной реализации процедур численного интегрирования удобно в рассмотрение ввести так называемые поверхностные конечные элементы, которые будут аппроксимировать торцевые и боковые поверхности стержневой системы. В дальнейшем поверхностные конечные элементы обозначены Б(е\ Объединение всех поверхностных

к3 ^

конечных элементов образует границу дСи области: дСи = и & ,

е=1

где кз — число поверхностных элементов в сетке конечно-элементной модели. В то же время

дСи = Shl^Sh2{JShз,

где Би1, ¿и2, ¿из — поверхности, аппроксимирующие поверхности Б1, Б2, Б3, на которых заданы граничные условия 1-3-го рода соответственно. Предположим, что любой поверхностный конечный элемент целиком лежит на какой-либо одной поверхности. Описание этих элементов приведено ниже.

После построения сетки конечно-элементной модели и учитывая выражение (4), имеем функционал

Фи = 11 [1 (Т,л)2 - 2дуТ] ¿V + I дшTds + ^ а^ 1Т - Т^ Tds.

(5)

Здесь все данные, входящие в формулировку задачи (1)-(3), отнесены к области Си и ее границе дСи.

Функционал ФН в силу свойства аддитивности можно представить в виде

ку^ к ^

ф*=е ф$+фё ,

е=1

е=1

где

Ф

(е)

НУ

1(е) (е ) ,л) - (е ) (е) С С,

У (в)

ф

( ) НЯ

/ $Т(е)^, Ме) С Я2;

Я(в)

5 с® (1Т(е) - т)е)) Т(е)Ж, 5(е) С Яз.

(6)

(7)

Здесь кУ, — число объемных и поверхностных элементов в конечно-элементной модели соответственно.

Таким образом, заданная пространственная стержневая конструкция аппроксимируется конечно-элементной моделью, состоящей из конечных элементов двух видов — объемных и поверхностных. Поверхностные конечные элементы позволяют учесть граничные условия 2-го и 3-го рода. Особенности учета граничных условий 1-го рода рассмотрены ниже.

Функции Т(е) и их производные Т(е) , в формулах (6) и (7), можно выразить через глобальный вектор узловых температур {Т}, компонентами которого являются температуры всех ки узлов сетки конечно-элементной модели. Для этого используем основное интерполяционное соотношение МКЭ [6].

Таким образом, при интегрировании объемных элементов получаем

Т(е) (Л)

К

( )

У

К

т(е) (л)

где

N

( )

У

Ф/ ¿Т(е) (л) йц

^1е) N.

{т (е)}

: [В ( е)] { Т ( е)}

( )

( )

{Т};

[В(е)]

(е) У

{Т }

(8) (9)

(е)

N

1 ( )

( )

(в)

— матрица-строка функций

матрица геометрических связей

гр(е) г^(е)

т

( )

(в)

формы конечного элемента (е);

объемного конечного элемента (е); [Т(е)|

матрица-столбец (локальная) значений температуры в узлах конечного элемента (е); {Т} = [ Т1 Т2 ... Тки ] — матрица-столбец (глобальная) значений температуры в узлах конечно-элементной мо-

матрица градиентов

дели; [В(е)] = [ ),л ^ ),ц ... N объемного конечного элемента (е), компонентами которой являются

( ), (в) ,л

производные функций формы

(е)

к ,Л'

к = 1, р(е) (р(е) —

число узлов

1

2

объемного конечного элемента (е), зависящее от типа элемента (см. рис. 2)).

Аналогично при интегрировании поверхностных элементов имеем

где

N.

(е)'

Т(е) =

(е) Л7(е)

N.

(е)'

,(е)'

{Т} ,

(10)

М(е) N2

N

(е)

,(в)

— матрица-строка функций

формы конечного элемента (е), (р(е) — число узлов поверхностного конечного элемента (е)); а^ — матрица геометрических связей поверхностного конечного элемента (е).

Как показывает практика численных исследований, число кв поверхностных конечных элементов существенно меньше числа ку объемных элементов. Если интегрирование ведется по боковой поверхно-

сти, то

N.

( )

я

К

( )

у . Различие возникает при интегрировании по торцевым поверхностям стержневой системы, при этом каждая торцевая поверхность рассматривается как самостоятельный поверхност-

ный конечный элемент. В этом случае

м:

( )

я

[11

11

1 и р'

( )

1.

Теперь, если в выражение (6) для Ф^у подставить соотношения (8) и (9), получим

Ф

( ) НУ

2 «г }т

( ) 1у

[В(еЧт [£(е)] [В(е)] -2у

(е)1ГД(е)1

N.

( е)

V

( )

у (в)

{Т} ¿V,

(11)

где — матрица размерности 1 х 1 имеет вид [Щ = (1(е)

— коэффициент теплопроводности материала конечного элемента (е)).

Аналогично при подстановке в выражение (7) соотношения (10) находим

Ф

( ) НЯ

( е)

<ш

м:

( е)

,(е)

{Т} ¿я,

^2е) с &

Н2;

-.(е)

а

(е)

N.

( е)

( е)

{Т} - Т(

( е)

К

(е)

1(е)

{Т })

¿8,

¿3 ) С 5Нз.

(12)

Минимизируя функционал (5), получаем уравнение

Я / ку к3 \

8Фн = 8 {Т }т ^ Ф'$ + £ Ф!3]

6'

6'

1

6'

6'

2

3

0

Математическое моделирование температурного состояния пространственных. . . из которого в силу произвольности вариации 6 {Т} имеем

д

д {Т}

(ку к3 \

ФНе)+£ фЙ = {0}.

е=1 е=1

(13)

Подставляя выражения (11) и (12) в соотношение (13) и группируя слагаемые, получаем

£ [оУе)]т (I [в(е)]т [д(е)] [в(е)] [аУе)] {Т} +

е=1 У (в)

=1

кв

+ > 1«Яе)

=1

с

(е) Ш

N.

(е)'

N.

( )

?(в) ку

Е [<

е=1

¿3^

( )

{Т }

( ) У

( )

м:

( )

У

¿V —

У (в)

к3

.(е)'

=1

( е)

N.

( е)

?(в)

¿з - ! аЩ)т/е)

я(в)

ж:

(е)

(14)

Запишем глобальную матрицу теплопроводности [К] и глобальный вектор узловых тепловых сил {Я}:

ку

[К] = ^\а =1

£ КТ( (е)]т ^ ^

( )

+

£ [«

=1

+ > 1«Яе)

( е) Ш

(15)

ку „

{*} = £ КТ /

е=1 У(в)

(е)

(е )' У

кв

Е [

=1

( е)

N.

( е)

Я

¿V —

йз - аЩ>Т^

( )

Я

Я

(в)

я:

(в)

(16)

Я2 Я3

Тогда уравнение (14), характеризующее тепловое равновесие в узлах сетки конечно-элементной модели, принимает вид матричного уравнения

т

т

т

т

т

Я

2

3

Я

3

т

т

[К] {Т} = {Щ .

(17)

Методы численного решения уравнения (17) рассмотрены в работах [6, 7]. Отметим, что учет граничных условий 1-го рода осуществляется на этапе численного решения уравнения (17). Например, при решении данного уравнения каким-либо итерационным методом необходимо в векторе {Т} зафиксировать и поддерживать постоянными при выполнении итераций те компоненты, которые соответствуют глобальным номерам узлов конечно-элементной модели с заданными значениями температуры.

Особенности численного интегрирования матричных соотношений МКЭ. При построении соотношений (15) и (16) предполагаем —

1, 'Р(е)

Р(е), ру

число узлов ко-

лось, что функции формы ^ке) (л) (к нечного элемента (см. рис. 2)) зависят от криволинейной координаты Л. Однако при вычислении интегралов применять криволинейную систему координат О'л крайне неудобно. Как правило, интегралы, входящие в выражения (15) и (16), вычисляют с помощью квадратурных формул Гаусса [7]. При этом для каждого рассматриваемого конечного элемента (е) используют нормированную локальную систему координат с осью 0'%, -1 ^ X ^ +1 (см. рис. 3 и 4). В этой нормированной локальной системе координат записывают функции формы конечных элементов ^ке) (X) и их производные

^ке) (X)) ,х

= ^ке) (X) ¿1

которые затем используют при построении матриц градиентов [В(е в этой системе координат также фиксируют координаты гауссовых точек X [6, 7]. В пространственной криволинейной системе координат О'Л вычисляют координаты узлов конечных элементов, представленных на рис. 2 и 4, например, для четырехузлового кубического конечного элемента (см. рис. 2, в и 4, в) координаты узлов имеют следующие значения:

( ) ( ) Л1 ) =0; л2 )

м

=1

( е)

лЗ)

+ 3 3 +1

/ л л4е) = /*

1 =1

1

=1

где производные глобальных координат

Жг,1 = -¿Г, г =1, 3 а%

3

Рис. 4. Геометрические характеристики и системы координат конечных элементов

по локальной координате X (см. рис. 2 и 3) определятся формулой

г = йхг = е (Х) „(е) + + (Х) ^(е = г^(е Г „(е) .

^Х = = + ■■■ + —^ХгР(в) = [О \ [Хг \ .

_ (18)

Здесь Хг(е, г = 1, 3, к =1, р(е\ р(е = 2, 4 — координаты узлов конечного элемента (е) в глобальной системе координат Ох1х2х3; г — номер оси глобальной системы координат; к — локальный номер узла конечного элемента; р(е — число узлов конечного элемента (см. рис. 2). Матрица-строка составлена из производных функций формы

(X) по локальной координате X, а компонентами вектор-столбца

Хг-е) | являются глобальные координаты узлов X^ элемента (е).

Таким образом, координаты лке) узлов конечного элемента (е) в криволинейной локальной системе координат О'ц, связанной с осью конечного элемента (е), представляют собой длины дуг от начального узла к = 1 данного элемента до рассматриваемого узла к этого же элемента, при этом координата начального узла к = 1 для любого конечного элемента всегда равна нулю: ц]е) = 0 (см. рис. 4).

Интегрирование по объему. Обозначим интегралы, входящие в выражения (15) и (16), следующим образом:

I

(е)

В

'V М

[Б(е)]т [Д(е)] [В(е)] ЛV;

т

IV (£)

(е)

N.

(е) V

¿V.

Элемент объема с1ь запишем в виде

¿V = А(е) (X) ^ = А(е ) (X)

\

x)2dX,

(19)

(20)

(21)

i=l

где А(е (X) — площадь поперечного сечения конечного элемента (е) (см. рис. 4), а производные г = 1,3 определяются формулой (18).

Площадь поперечного сечения А(е) (X) можно аппроксимировать с помощью функций формы

К

( )

V

{А(е)} .

(22)

Здесь {А(е)} - вектор, составленный из площадей поперечных сече-

ний А^, к =1, р(е), отнесенных к узлам элемента (е) (см. рис. 4). Матрица градиентов имеет вид

[в(е)] = Ме),Ц ... ж1

Для вычисления производных

( ),

(23)

N.

( )

Ле/ dNl

( )

к >л

¿Ц

необходимо использовать соотношение

¿мке] _ <1Ще) ¿ц

( )

¿X

¿Ц ¿X;

отсюда

N1

( )

Ле/ ¿И,

( е)

к 'Ц

¿Ц

1_ ¿Мк

( е)

(%)

-1 ¿4е)

(24)

(25)

т

Производная ¿л/(Щ, в данном случае является одномерным аналогом матрицы Якоби преобразования координат. Для вычисления используется соотношение, которое по конструкции аналогично выражению (19), имеем

^Щ) (е)

¿1

л!' +... +

(X) (е) Цр(в)

СIX

( )

^р(е)

( ) л! )

(е) . Лр(е)

[С(е)] {л(е)} . (26)

Здесь л к = 1, р(е), р(е) = 2, 4 — координаты узлов конечного элемента (е ) в локальной одномерной криволинейной системе координат 0'л; к — локальный номер узла конечного элемента; р(е) — число узлов конечного элемента. Компонентами вектор-столбца |л(е)} явля-

( )

ются координаты узлов л^ .

Матрица [Д(е)], состоящая в общем случае из компонент тензора теплопроводности, в данном случае является скаляром:

[0(е)] = [1(е )]1Х1 = 1(е ). (27)

Используя аппарат функций формы, коэффициент теплопроводности 1(е) и мощность внутренних источников ду, входящих в выражения (19) и (20), можно представить в нормированной локальной системе координат 0'%, связанной с рассматриваемым конечным элементом (см. рис. 3 и 4), следующим образом:

1(е) (X) ?Уе) (X)

К

( )

у

{1(е)};

К

( ) у

( ) Яу)

(28) (29)

где — вектор, составленный из значений коэффициента тепло-

проводности 1 к = 1, р(е), отнесенных к узлам конечного элемента (е ); |ду"*! — вектор, составленный из значений мощности внутренних источников дУу1, к =1, р(е), взятых в узлах конечного элемента (е ). Здесь координата X определяет точку, принадлежащую образу конечного элемента в нормированной локальной системе координат 0'% (см. рис. 4).

Таким образом, с учетом выражений (21) - (29), имеем

г(е) 1В

£

1=1

1(е) фА^ (X) [В(е)]т [В(е)]

\

3

^^ x)2 =1

Нг.

X=Xl

1=1

д(у) (X) ^(е) (X)

ж,

( )

V

\

i=1

Н,

%=%1

где п — число гауссовых точек; I — номер гауссовой точки; X« — координата гауссовой точки в нормированной локальной системе координат 0'%; Щ — весовой коэффициент квадратурной формулы.

Интегрирование по поверхности. Введем следующие обозначения:

[^ое)]

г(в)

а

( )

К

( )

к

( )

{'¿М=у

(в)

а

1е)Т/

( ) =

-.м

,(е) Чад

м:

N.

(е)

( е)

ds:

(30)

При интегрировании по боковой поверхности элемент площади

¿8 = Р(е) (X)

\

(31)

=1

где Р(е) (X) — периметр боковой поверхности поверхностного конечного элемента (е).

Используя функции формы, периметр Р(е) (X) можно интерполировать на поверхностном конечном элементе следующим образом:

Р(е ) (X)

м:

( )

{.р (е)}.

(32)

Здесь {Р(е)} - вектор, составленный из значений периметра боковой поверхности Рке), к = 1,р(е), взятых в узлах поверхностного конечного элемента (е) (см. рис. 4 и 5).

Для интерполяции в нормированных локальных координатах 0'% на рассматриваемом поверхностном элементе (е) коэффициента теплоотдачи а( (X), температуры окружающей среды Т(е) (X) или плот-

ности теплового потока ) (X) также используют функции формы

а # (X)

Т(е) (X)

$ (X)

м:

( )

я

а

( ); Ж ( ;

К

( )

К

я ( )

я

гр(е)

1/

( )

(33)

(34)

(35)

где {а — вектор, составленный из значений коэффициента тепло-

т

2

т

3

т

3

т

2

отдачи а , к = 1,р(е), отнесенных к узлам поверхностного конечного элемента ( е); {т/;е) | — вектор, составленный из значений тем-

пературы окружающей среды Тд,, к = 1, р(е), отнесенных к узлам

поверхностного конечного элемента (е ); || — вектор, составленный из значений плотности теплового потока , к = 1, р(е), взятых в узлах поверхностного конечного элемента (е ) (рис. 5, а, б).

Квадратурные формулы для вычисления интегралов (30) по боковой поверхности с учетом соотношений (31) - (35) имеют вид

К] = £ а^Р(е)©

N.

(е)'

N.

( )

=1

\

X)

=1

н

X=Xl

т(е) 1 awTf

£ а ^^Т^&Р (e)(X)

N.

(е)'

N.

(е)'

=1

\

X )

=1

н

X=Xг

Ю] = £ ^©Р(e)(X)

ж:

( )

ж:

( )

=1

\

x)

=1

н.

X=Xг

где п — число гауссовых точек; I — номер гауссовой точки; XI — локальная координата гауссовой точки; Н — весовой коэффициент квадратурной формулы.

При исследовании температурных полей стержневых элементов конструкций граничные условия по теплообмену могут быть заданы не только на боковых, но и на торцевых поверхностях (рис. 5, в). При задании граничных условий на торцевых поверхностях интегралы (30) вычисляют по следующим формулам:

( ) а»

а(е) С(е)

г(е) = а(е)т(е) С(е) 1 = т ' С

( ) ЯШ

>) С(е)

где С2е) и С3е) — площади торцевых поверхностей (см. рис. 5, в); а^,

/-п(е) (е)

Т / и — параметры граничных условий на соответствующих торцевых поверхностях.

Значение Iсуммируют со значением элемента главной диагонали матрицы [ К], номер которого равен глобальному номеру узла, размещенного непосредственно на рассматриваемой торцевой поверхности стержневой конструкции. Аналогичным образом значения

и заносят в вектор |Д|.

т

2

т

2

т

2

Рис. 5. Способы задания граничных условий теплообмена

Примеры расчета температурного состояния стержневых конструкций. Изложенная выше методика математического моделирования температурного состояния стержневых конструкций была реализована в виде комплекса прикладных программ, который применялся для исследования ряда конструкций. Ниже представлены некоторые результаты. На рис. 6-8 показаны стационарные температурные поля трех вариантов пространственных стержневых конструкций, подверженных симметричному (рис. 6, а; 7, а; 8, а) и несимметричному тепловому нагружению (рис. 6, б; 7, б; 8, б). В качестве конечных элементов были выбраны квадратичные элементы (рис. 2, б). В зонах А и Б на боковых поверхностях стержней были заданы граничные условия 3-го рода: ajj = 100Вт/(м2 ■ K), т(А) = 800K и ajj = 50Вт/(м2 ■ K),

Т.

(Б)

f

500 К. Значение коэффициента теплопроводности 1 и площади поперечных сечений А всех стержней для всех конструкций были приняты одинаковыми и равными 30Вт/(К • м) и 0,0001 м2 соответственно.

Рис. 6. Температурное поле стержневой конструкции (вариант 1)

Рис. 7. Температурное поле стержневой конструкции (вариант 2)

Рис. 8. Температурное поле стержневой конструкции (вариант 3)

Выводы. Рассмотрены особенности построения конечно-элементной технологии решения стационарных температурных задач применительно к пространственным стержневым конструкциям, имеющим сложное геометрическое оформление. На основе данной технологии разработан комплекс прикладных программ, который позволяет решать широкий класс задач научного и прикладного характера; исследовать особенности влияния различных конструктивных, технологических и эксплуатационных факторов на температурное состояние стержневых конструкций. В качестве примеров применения конечно-элементной технологии и возможностей созданного комплекса прикладных программ представлено решение ряда температурных задач.

Работа выполнена при финансовой поддержке гранта Президента РФ для государственной поддержки ведущих научных школ (проект НШ-255.2012.8).

ЛИТЕРАТУРА

[1] Гинзгеймер С.А., Гладышев Ю.А., Дворянчикова Ю.В., Сначев А.В., Хомут-ский В.А. О расчете характеристик процесса выравнивания температуры в простейших пространственных стержневых системах. Научные труды КГПУ им. К.Э. Циолковского. Сер. Естественные науки, 2006, с. 43-47.

[2] Денисов О.В., Калинин Д.Ю., Резник С.В. Моделирование температурного состояния элементов композитных стержневых космических конструкций. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. Машиностроение, 2008, спец. выпуск, с. 183-192.

[3] Веселовский В.Б., Колесник И.А. Тепловыделение в стержневых элементах конструкций при циклическом нагружении. Металлургическая теплотехника, 2010, № 2, с. 23-31.

[4] Пахомов Б.М., Садовсков К.В. Учет взаимной затененности стержней при расчете температурного состояния крупногабаритного трансформируемого рефлектора. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. Машиностроение, 2012, спец. выпуск, с. 15-21.

[5] Власова Е.А., Зарубин В.С., Кувыркин Г.Н. Приближенные методы математической физики. Москва, Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2001, 700 с.

[6] Котович А.В., Станкевич И.В. Решение задач теплопроводности методом конечных элементов. Москва, Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2010, 84 с.

[7] Галанин М.П., Савенков Е.Б. Методы численного анализа математических моделей. Москва, Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2010, 591 с.

Статья поступила в редакцию 20.06.2013

Ссылку на эту статью просим оформлять следующим образом:

Станкевич И.В. Математическое моделирование температурного состояния пространственных стержневых конструкций. Стационарные задачи. Инженерный журнал: наука и инновации, 2013, вып. 8. URL: http://engjournal.ru/catalog/mathmodel/technic/893.html

Станкевич Игорь Васильевич — д-р техн. наук, проф. кафедры «Прикладная математика» МГТУ им. Н.Э. Баумана. e-mail: aplmex@yandex.ru