CC BY
27Математика й Математическое
моделирование
УДК 536.24
Математическое моделирование температурного состояния пространственных слоистых стержневых конструкций
Станкевич И. В.1' 'ар1тех@у апатии
1МГТУ им. Н.Э. Баумана, Москва, Россия
В работе рассмотрены особенности конечно-элементной технологии численного решения нестационарных и нелинейных температурных задач применительно к слоистым стержневым конструкциям, имеющим сложное пространственное оформление. На основе данной технологии разработан комплекс прикладных программ, который позволяет решать широкий класс задач научного и прикладного характера; исследовать влияния различных конструктивных, технологических и эксплуатационных факторов на температурное состояние слоистых стержневых конструкций. В качестве примера применения конечно-элементной технологии и возможностей созданного комплекса прикладных программ представлено решение нестационарной температурной задачи для слоистой стержневой конструкции.
Ключевые слова: слоистая стержневая конструкция, нестационарная температурная задача, нелинейная температурная задача, конечно-элементная технология, комплекс прикладных программ
Введение
Дальнейшее интенсивное развитие таких областей как авиация, ракетостроение, судостроение, химическое, энергетическое, транспортное машиностроение, строительная индустрия непосредственно связано с ростом требований к эксплуатационным характеристикам наиболее ответственных элементов конструкций и сооружений. Требуется, чтобы современные изделия сохраняли свою работоспособность в условиях высоких термомеханических нагрузок, при воздействии радиационного облучения и химически агрессивных сред, при этом имели оптимальные массогабаритные показатели и были относительно недорогими при изготовлении.
Практика создания объектов современного машиностроения показывает, что проектирование конструкций из однородных конструкционных материалов при современных
Ссылка на статью: // Математика и Математическое моделирование. МГТУ им. Н.Э. Баумана. Электрон. журн. 2016. № 01. С. 28-37.
Б01: 10.7463/шаШш.0116.0837776
Представлена в редакцию: 04.01.2016 Исправлена: 18.01.2016
© МГТУ им. Н.Э. Баумана
требованиях к изделиям в значительной степени исчерпало свои возможности и дальнейший прогресс возможен лишь при использовании композитных, в частности слоистых материалов.
Слоистые материалы обладают широким спектром и уникальным сочетанием таких ценных свойств, как высокая прочность, коррозионная стойкость, электропроводность и теплопроводность, жаропрочность, износостойкость и многие другие. Применение слоистых металлических композиций позволяет не только повысить надежность и долговечность большой номенклатуры деталей и оборудования, но и существенно сократить расход высоколегированных сталей, дефицитных и дорогостоящих цветных металлов, снизить энергоемкость и металлоемкость, расходы на техническое обслуживание, производство запчастей и ремонт оборудования.
Важным типом конструкций, получившим широкое распространение и выполненным из слоистых материалов, являются стержневые конструкции. Необходимо отметить, что стержневые конструкции, зачастую имеющие сложное пространственное оформление, составляют так называемую "скелетную основу" многих авиационных, машиностроительных, судостроительных изделий и конструкций индустриального строительства и вопрос реализации большинства научно-промышленных проектов с выраженной практической перспективой во многом зависит от уровня надежности, несущей способности и общих эксплуатационных качеств его "скелетной основы" [5 - 10].
Одним из основных факторов, определяющих ожидаемую работоспособность создаваемых многослойных стержневых конструкций, условия эксплуатации которых предполагают интенсивное локальное тепловое нагружение, является температурное поле.
В настоящее время для определения температурного состояния стержневых конструкций представляется перспективным применение современных методов численного анализа. В рамках данной работы рассмотрены особенности применения конечно-элементной технологии для определения температурного состояния слоистых стержневых конструкций со сложным пространственным оформлением.
1. Основные матричные соотношения МКЭ
Конечно-элементная технология решения температурных задач позволяет рассматривать сложные многокомпонентные стержневые конструкции, у которых стержни конструктивно представляют собой многослойные криволинейные брусья (рис. 1) [1 - 4]. При этом слои выполнены из разных материалов. Предполагается, что в поперечных сечениях стержней отсутствуют градиенты температуры. В этом случае каждый слой стержня описывается своей совокупностью конечных элементов, но имеющих общую глобальную нумерацию узлов. На рис. 1, в качестве примера, показана часть стержня, состоящего из 4 -х
слоев. Каждый слой аппроксимируется квадратичным конечным элементом с общими глобальными номерами узлов р, д и г, но имеющим свои индивидуальные значения площадей поперечных сечений и теплофизических характеристик, присущих непосредственно рассматриваемому слою. Такой подход позволяет учесть теплофизические и геометрические особенности каждого слоя стержня.
После дискретизации по пространству нестационарная температурная задача сводится к решению задачи Коши для линейного матричного дифференциального уравнения 1-го порядка [1, 3]
где [С ] и [ К ] - глобальные матрицы соответственно теплоёмкости и теплопроводности;
и \Т} - глобальные векторы соответственно тепловой нагрузки и узловой температуры (основное неизвестное задачи); |Т0} - вектор, определяющий начальное распределение температуры в узлах сетки конечно-элементной модели.
При построении матриц [С ], [ К ] и вектора используются три системы координат. В глобальной системе координат Ох1х2х3 фиксируются координаты узлов конечно-элементной модели. Кроме того, для каждого стержня вводится своя одномерная пространственная (относительно глобальной системы координат Ох х х ) криволинейная система координат О'п, у которой координата т отсчитывается вдоль оси стержня (рис. 1). В системе координат О'п вычисляются координаты узлов тех конечных элементов, которые аппроксимируют рассматриваемый стержень. Однако при вычислении интегралов чисто технически применение криволинейной системы координат О'п крайне неудобно. Интегралы, формирующие элементы матриц в задаче (1) - (2) вычисляются, как правило, с помощью квадратурных формул Гаусса [1]. При этом для каждого рассматриваемого конечного элемента (е) применяется нормированная локальная система координат с осью О, где -1 <^<+\ (рис. 1). Именно в этой нормированной локальной системе координат записываются функции формы конечных элементов Nе) (£) и их производные
(1)
с начальным условием
(2)
, которые затем используются при построении матриц градиентов
Б{е) и других рабочих матриц. Также в этой системе координат О"% фиксируются координаты гауссовых точек ^ [2 - 4].
Рис. 1. К расчету температурного состояния многослойных стержневых конструкций
Для численного решения задачи (1) - (2) в данной работе была использована двухслойная схема с весами, общее выражение которой имеет вид [1, 3]
([с]+Ко[к]){т}п =([С]+к [К]){т}п1+Ит({\-о) {Щп1+о{Щп), (3)
здесь векторы {т} , и {т} , отнесены к моментам времени соответственно
т = тп_х и т = тп; о - весовой множитель (о е [0,1]).
2. Результаты численных исследований
Изложенная выше методика математического моделирования нестационарного температурного состояния стержневых конструкций была реализована в виде комплекса прикладных программ, который применялся для исследования ряда конструкций [2 - 4]. При этом была учтена возможность зависимости теплофизических свойств и параметров, характеризующих граничные условия второго и третьего рода, от температуры. Ниже представлены некоторые результаты.
На рис. 2 показана исследуемая стержневая конструкция. В качестве конечных элементов были выбраны квадратичные 3-х узловые элементы. На рис. 2 также приведена глобальная нумерации узлов соответствующей конечно-элементной модели. Конвективный теплообмен осуществлялся на боковых поверхностях двух конечных элементов е1 и
Вт
е2 : е1 - узлы 1, 33, 2; е2 - узлы 26, 27, 14. В зоне е1 - Т^ = 400 К и аш = 50 , а в зоне
м К
Вт
е2 - Тг = 300 К и а№ = 25—-—. Начальная температура была принята равной 300 К .
м2К
Рис. 2. Нумерация узлов конечно-элементной модели стержневой конструкции
Стержневая конструкция имела слоистую структуру. Слои были выполнены из трех
разных материалов, коэффициенты теплопроводности которых имели значения:
Вт Вт Вт
\ = 20-; ^2 = 3-; Л3 = 370-. Результаты расчетов представлены на рис. 3 - 4.
мК мК мК
а б
Рис. 3. Изменение температуры узлов конечно-элементной модели: а - узел 33 (рис. 2); б - узел 27 (рис. 2)
Как видно из графиков, стержневая конструкция имеет четко выраженное неравномерное распределение температуры. В зоне узла 33 (рис. 2, рис. 3 а) наименьший уровень температур получен для конструкции из однородного материала с Л (график 1), для конструкции с двухслойной структурой материала ( Л2 и Л3, график 2) и для конструкции с трехслойной структурой материала ( Л, Л2 и Л3, график 3). Наибольший уровень температур достигается при низких значениях коэффициента теплопроводности: графики 4 и 6 соответствуют однородным материалам с Л и Л; конструкции с двухслойной структурой материала ( Л и Л ) отвечает график 5. В зоне узла 27 (рис. 2, рис. 3 б) наименьший уровень температур (график 1) получен для конструкций из однородных материалов с Л и Л и для конструкции с двухслойной структурой материала с теми же значениями коэффициентов теплопроводности. Наибольший уровень температур в этой зоне достигается при высоких значениях коэффициента теплопроводности: конструкция из однородного материала с Л - график 4; конструкция с двухслойной структурой материала ( Л и Л3, график 2) и конструкция с трехслойной структурой материала ( Л, Л и Л, график 3). Заметно интенсивнее температура растет на участке нагрева - зона узла 33, менее нагретым является участок теплоотвода - зона узла 27. На рис. 4 показаны температурные поля в фиксированный момент времени (^ = 5000 с ), из которых четко видно различие в кинетике роста общего температурного уровня стержневой системы, выполненной из однородного материала с Л (рис. 4 а,), и конструкции с трехслойной структурой материала с Л, Л и
Л (рис. 4 б,).
о
Рис. 4. Температурное поле стержневой конструкции: а - однородный материал; б - трехслойная структура
материала
Из сравнения температурных полей, представленных на рис. 3 и 4, следует, что присутствие в конструкции с многослойной структурой слоя с высокой теплопроводностью обеспечивает в целом по конструкции меньшие градиенты температуры и более умеренный абсолютный температурный уровень.
Заключение
Рассмотрены особенности применения конечно-элементной технологии для решения нестационарных температурных задач применительно к пространственным стержневым конструкциям, имеющим сложное геометрическое оформление и выполненным из мате-
риалов, имеющих слоистую структуру. На основе данной технологии разработан комплекс прикладных программ, который позволяет решать широкий класс задач научного и прикладного характера; исследовать особенности влияния различных конструктивных, технологических и эксплуатационных факторов на температурное состояние многослойных стержневых конструкций.
Список литературы
1. Котович А.В., Станкевич И.В. Решение задач теплопроводности методом конечных элементов: учебное пособие. М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана. 2010. 84 с.
2. Станкевич И.В. Математическое моделирование температурного состояния пространственных стержневых конструкций. Стационарные задачи // Инженерный журнал: наука и инновации. 2013. Вып. 8. DOI: 10.18698/2308-6033-2013-8-893
3. Станкевич И.В. Математическое моделирование температурного состояния пространственных стержневых конструкций. Нестационарные и нелинейные задачи // Инженерный журнал: наука и инновации. 2013. Вып. 8. DOI: 10.18698/2308-6033-2013-8894
4. Станкевич И.В. Математическое моделирование температурного состояния пространственных стержневых конструкций из неоднородных материалов // Символ науки. 2016. № 1 в 3 частях. Часть 1. С. 53-57.
5. Гинзгеймер С.А., Гладышев Ю.А. О некоторых нестационарных задачах теплопередачи для системы криволинейных стержней // Математика в современном мире: материалы 2-й Российской научно-практической конференции. Калуга. 2004. С. 199-211.
6. Гинзгеймер С.А. Математическое моделирование процессов теплопередачи в системах контактирующих стержней: автореф. дис. ... канд. физ.-мат. наук. Калуга, 2006. 16 с.
7. Гладышев Ю.А. Краевые задачи теплопроводности в системах тонких стержней и оболочек // Третья Российская национальная конференция по теплообмену (РНКТ-3): труды в 8 т. М.: Изд-во МЭИ. 2002 г. Т. 7. С. 86-89.
8. Денисов О.В. Разработка методик тепловых испытаний элементов композитных стержневых космических конструкций: автореф. дис. ... канд. техн. наук. М, 2009. 16 с.
9. Денисов О.В., Калинин Д.Ю., Резник С.В. Моделирование температурного состояния элементов композитных стержневых космических конструкций // Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. Машиностроение. 2008. Спец. выпуск. С.183-192.
10. Мешковский В.Е. Тепловой режим ферменного рефлектора трансформируемой крупногабаритной космической антенны // Инженерный журнал: наука и инновации. 2013. Вып. 7. DOI: 10.18698/2308-6033-2013-7-852
Mathematics & Mathematical Modelling
Mathematics and Mathematical Madelling of the Bauman MSTU, 2016, no. 01, pp. 28-37.
DOI: 10.7463/mathm.0116.0837776
Received: Revised:
04.01.2016 18.01.2016
© Bauman Moscow State Technical Unversity
Mathematical Modeling of the Thermal State of the Spatial Layered Rod Structures
I.V. Stankevich1*
aplmex@yandexju
1Bauman Moscow State Technical University, Moscow, Russia
Keywords: laminated rod structures, non-stationary temperature task, non-linear temperature task,
finite element technology, complex of application programs
The paper considers the features of finite element technology to determine the temperature state of layered rod structures with complex spatial design. The area of research, on the one hand, is defined by the fact that the rod structures (frames) are so-called "skeletal framework" of aviation, machinery, shipbuilding products and structures for industrial construction and an issue of implementation of most research and industrial projects, strongly promising from the practical point of view, depends largely on the level of reliability, bearing capacity, and general performance of its "skeletal framework". On the other hand, the laminates have a wide range and unique combination of valuable properties such as high strength, corrosion resistance, electrical conductivity, thermal conductivity, heat resistance, abrasion resistance and many others. The use of layered metal compositions allows to increase the reliability and durability of a large range of parts and equipment and to reduce significantly the consumption of high-alloyed steels and non-ferrous metals. A temperature field is one of the main factors to determine the expected performance of multilayer rod structures, operation conditions of which imply intensive thermal loading.
The paper shows how within a single finite element model that approximates the spatial design of steel structures consisting of multilayer curvilinear rods, at the stage of discretization in space to take into account the thermo-physical properties of all materials, forming layer of each timber. Using the technique described in the paper has been created a complex of application programs that allows us to solve a wide class of scientific and applied problems, and explore the impact of various structural, technological and operational factors on the temperature state of multilayer rod structures. The paper presents research results of the multilayer rod design. It shows that the high conductivity layer available in the structure provides in all the smaller temperature gradients and a more moderate absolute temperature level.
References
1. Kotovich, A.V., Stankevich I.V. Reshenie zadach teploprovodnosti metodom konechnix elementov [The solution of heat conduction problems by the finite element method]. Moscow, Bauman MSTU Publ., 2010. 84 p. (In Russian).
2. Stankevich I.V. Mathematical modeling of the thermal state of the spatial rod structures. The stationary problem. Inzhenernyy zhurnal: nauka i innovatsii = Engineering journal: science and innovation, 2013, no. 8, (in Russian). DOI: 10.18698/2308-6033-2013-8-893
3. Stankevich I.V. Mathematical modeling of the thermal state of the spatial rod structures. Nonstationary and nonlinear problem. Inzhenernyy zhurnal: nauka i innovatsii = Engineering journal: science and innovation, 2013, no. 8. (In Russian). DOI: 10.18698/2308-60332013-8-894
4. Stankevich I.V. Mathematical modeling of the thermal state of the spatial rod structures of heterogeneous materials. Simvol nauki, 2016, no. 1 (part 1), pp. 53-57 (in Russian).
5. Gensgeimer S.A., Gladyshev Y.A. [Some non-stationary problems of heat transfer for system of curved rods]. Matematika v sovremennom mire: materialy 2-y Rossiyskoy nauchno-prakticheskoy konferentsii [Mathematics in the modern world: Proc. of the 2nd Russian sci.-practical conference]. Kaluga, 2004, pp. 199-211. (in Russian).
6. Gensgeimer S.A. Matematicheskoe modelirovanie protsessov teploperedachi v sistemakh kontaktiruyushchikh sterzhney: avtoref. dis. kand. fiz.-mat. nauk. [Mathematical modelling of heat transfer processes in systems of the contacting terminals: PhD. phys.-math. sci. diss.]. Kaluga, 2006. 16 p. (in Russian).
7. Gladyshev Y.A. [Boundary value problems of heat conduction in systems of thin rods and shells]. Tret'ya Rossiyskaya natsional'naya konferentsiyapo teploobmenu (RNKT-3): Trudy. [Proc. of the 3d Russian national conf. on heat transfer (RNKT-3)]. Moscow, 2002, vol. 7, pp. 86-89 (in Russian).
8. Denisov O.V. Razrabotka metodik teplovykh ispytaniy elementov kompozitnykh sterzhnevykh kosmicheskikh konstruktsiy: avtoref. dis. kand. tekhn. nauk. [The development of techniques for thermal testing of composite rod elements of space structures: PhD. tech. sci. diss.]. Moscow, 2009, 16 p. (in Russian).
9. Denisov O.V. Kalinin D.U., Reznik S.V. Modeling the thermal state of the composite rod elements of space structures. VestnikMGTU im. N.E. Baumana. Ser. Mashinostroenie = Ser. Mechanical engineering, 2008, spec. iss, pp. 183-192 (in Russian).
10. Meshkovsky V.E. Heating mode of the truss reflector of large transformable space antenna. Inzhenernyy zhurnal: nauka i innovatsii = Engineering journal: science and innovation, 2013, no. 7. DOI: 10.18698/2308-6033-2013-7-852
