Математическое моделирование спектра вибрации механического модуля турбокомпрессора методом слабого резонанса Текст научной статьи по специальности «Физика»

7. Васильков Г.В., Холькин С.А. II Изв. вузов. Строительство. 2002. № 10.

8. Васильков Г.В. и др. Решение проектных задач строительной механики (проектирование, строительство, реконструкция, усиление): Методические указания к выполнению расчетно-графических работ по специальному курсу строительной механики. Разделы 1,2. Ростов н/Д, 2001.

Ростовский государственный строительный университет

9. Васильков Г.В. Холькин С.А. О решении проектных задач строительной механики / РГСУ. Ростов н/Д, 2001. Деп. в ВИНИТИ 19.06 01,№ 1461 -В2001.

10. Справочник по гидравлическим расчета / Под ред. П.Г. Киселева. М., 1974.

8 июля 2002 г.

УДК 621. 51:51

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ СПЕКТРА ВИБРАЦИИ МЕХАНИЧЕСКОГО МОДУЛЯ ТУРБОКОМПРЕССОРА МЕТОДОМ СЛАБОГО РЕЗОНАНСА

© 2003 г. П.С. Кунина., А.В. Бунякин

The solution of (n+l)-dimensional dynamic system is consider (the main component is a rotor vibration and n-subcomponents).

Given system is a imitation model of vibration process for turbo-compressor.

Method of asymptotical series is used for analysis of the system. In result of the analysis the property of wake resonance for the system appear. That is resonance is not in main terms of series but it appear in next terms (terms of non zero order).

Result of given solution can be used for defection diagnostic of turbo-compressor

Введение. Виброакустическая диагностика техни- Оба подхода имеют недостатки, поэтому предлага-ческих систем является самостоятельным научным ется некий промежуточный вариант: считается, что в

направлением технической диагностики, возникшим на стыке акустической динамики машин с теорией сигналов и распознавания образов. Успех диагностирования в значительной мере обусловлен правильностью построения диагностической модели.

Для решения задач отыскания и идентификации неисправностей посредством спектрального анализа разработано большое количество методов поиска информативных частотных диапазонов. В связи с этим возникают вопросы: какие же методы использовать для решения конкретных задач оптимизации, как выбирать при этом наилучшие параметры в методах поиска и т.д. Существует несколько способов получения ответа на них.

Ориентация не столько на традиционные спектрально-корреляционные методы обработки информации, сколько на специфические методы анализа тонкой структуры вибрационных процессов, использование в диагностических целях принципов распознавания образов позволяют более эффективно решать поставленные задачи [1 — 3]. В связи с этим в настоящей работе рассмотрены вопросы информационных свойств виб-роакустических процессов при появлении дефектов и неисправностей механических жестких систем, а также некоторые аспекты распознавания образов, применительно к задачам виброакустической диагностики [4,5].

Диагностика неисправностей механических модулей (например, турбомашин и газоперекачивающих агрегатов (ГПА)) производится с использованием двух принципиально разных подходов:

1. Анализ простого (амплитудного) спектра визуально, и с учетом эмпирического опыта, определение возможной причины появления в спектре тех или иных составляющих.

2. Построение математической модели колебательной системы, ее реализация на компьютере, сравнение с результатами эксперимента.

турбоагрегате (или ГПА) есть основная деталь, воздействующая на все остальные существенно (ротор). Обратное воздействие слабое (характеризуется параметром е), но оно все же есть. То есть в спектре колебаний ротора присутствуют частоты колебаний остальных частей (субдеталей). Это значит, что ротор может воздействовать на субдетали с вынуждающей силой, в спектре которой будут присутствовать частоты, совпадающие с их собственными частотами колебаний.' Это может приводить к резонансным всплескам при колебаниях субдеталей. В частотном спектре такие всплески трудно отличить от неисправности (в дальнейшем этот эффект называем «слабым резонансом»).

Идея предлагаемой методики в том, что рассматривается система дифференциальных уравнений, обладающая похожим свойством, содержащая малый параметр е, и резонанс у ее решения проявляется в членах асимптотического разложения по е при степенях, больших нулевой. То есть не ставится задача полного моделирования реальной системы, а производится имитация явления слабого резонанса.

Кроме е рассматриваемая система содержит еще два параметра А-] - это имитация количественного воздействия ротора на субдетали иа;- параметр обратной связи. Эти параметры определяются из получаемой системы линейных алгебраических уравнений, куда входят Фурье - гармоники колебательного спектра ротора и субдеталей. Беря в качестве этих гармоник данные реальных измерений, можно вычислить А] и аПо изменению этих параметров предполагается судить о неисправности у-й субдетали.

Постановка задачи. Рассматривается математическая модель колебательной системы с (п+1) степенями свободы. Координаты системы описываются основной компонентой , имитирующей смещения ротора, и д,, 1=1,..., п - смещения при колебаниях субдеталей. Модель представляет из себя систему

связанных линейных осцилляторов с затуханием по собственным колебаниям и с вынуждающим воздействием. Связь между компонентами односторонне слабая, чем и объясняется введение малого параметра е, порядок которого показывает, во сколько раз обратная связь слабее прямой.

Введение е дает возможность проведения операций асимптотического разложения решения в ряд Тейлора (как нулевой по этому параметру). Система обладает свойствами слабого резонанса, т. е. нулевой член асимптотического разложения по степеням е получается нерезонансным, но резонанс возникает в членах более высокого порядка.

Ниже представлена линейная система с двумя внутренними параметрами А} и ар значения которых заранее неизвестны, но в дальнейшем будет указан способ их определения, исходя из данных измерений параметров спектра вибраций:

q0 +2S0q0 +0)оЯо = ^sin(iW + <p)+

+ £'Zaj((i)2qj+qj)', (1)

q} +2SJj +(0^; =Aj(q0 + 2S0q0 +(O%q0}, j=l,...,n,

где So, co0 - декремент затухания и частота собственных колебаний ротора; А , со , <р - амплитуда, частота и фаза вынуждающей силы; dJf coj - декремент затухания и частота собственных колебаний j-ой субдетали; А], а} — параметры внутренних связей; qQ,q}- смещения ротора и субдеталей.

Примером механической системы, движение которой описывается похожими дифференциальными уравнениями, может служить система связанных гармонических осцилляторов с массами т и М «один на другом» (рисунок).

1 т „ .. 2

% +0}о<1о ~—7701» 01 +fi,l 01 ~~0О-М

Подставляя это выражение в первое уравнение (1) и приравнивая коэффициенты при eos cot и sin cot в обеих частях равенства, получим:

■ (éOq -tü2)aj +280cob° =Asiacp ; o_ a(cOq-a2)sin(p-2coS0 cos<p

°° (p)$-a)2J +48q(02 1

(«о -(ú2)b%-250(úa%=Acos<p-,

Lo , К _ü)2 )cos<p + 200cysin<p Uq — A ------------r:------------- .

(cöq -со2) +45о<У2 После подстановки q¡j в правую часть второго уравнения (1) и выделения членов порядка единицы, получим уравнение:

q° +28jq0j + (02q° =Aj(qjj +280q¡¡ +Шо?о) > qj =а° coscot + bj sin« t +

+ e Sjt (/ij coscojt + Bj sin(Ojíj.

Для нахождения его решения приравниваем коэффициенты при cos cot и sin cot соответственно:

í(02 -C02)aj+28jC0bj =

= Aj [(cog ~(o2)Aq +280coBq ]= AjAsirup;

{(oj-co2yj-2SJcoa°J =

= лД<Уо -o2)Bq -280coAq¡= AjAcoscp ,

n (cu2-со2) sine?-25.(0cos© откуда a* = A.A±^—,-----------------J------;

7 ' (ш2 -co2J + 48jco2

(« 2 - со 2 )cos cp + 28 j со sin cp

j = Aj A-

;2co2

При этом если считать q0, qx отклонениями грузов с массами тиМ соответственно от их положений равновесия по горизонтали, n = 1, е=т!М, А = 0,

со = 0, до - S] = 0, at- Ai~ -1, то данная система тем ближе к системе вида (1), чем меньше СОо .

Решение задачи (1) может быть разложено в асимптотический ряд по малому параметру е [6]:

qJ=q0J+£q)+£2qj+...; СО? = ^Со]-8j , j = 0,1,...

Получим члены нулевого порядка по е:

qH = a® cos со t + bg sin cot Л-

+ £-г°' • (/4° coscogt + Bg siaco°t) .

(со2 -й)2)2 +482 Получим члены асимптотического разложения первого порядка по е. Член q\) удовлетворяет уравнению

4о +250^0 +й)о9о = + 0?)‘ (2)

;=1

Учитывая, что д0 Ф <5,; са0фсо®, т. е. при условии

отсутствия резонанса решение этого уравнения ищем в виде

q\=Y*e 5;<(poi cosC0jt + b¿ siníüyí)+ /=1

+ e~S°‘ COS СОgt + в\ sin COgt) . Обозначим: ,

(3)

<*o =

ßi =

- cof - ISjüPjB] + co2Aj aj,

js2 -cof + ISjO^jA) +o)2B°j aj

(4)

Подставляя выражение (3) в (2) и приравнивая коэффициенты при e~Sjt cos со jt, e~5j‘ sin<a°í, получим

[s] -cof -28j80 +co^aJ0 +2co°j(80-8j)b¿ = a¿;

8)-cof -28j80 +ú)02V(5 -2ft»°((50-Sj)a¿ = ßl : (5)

= С0(о}° ,<5,-)(л° + £ А1])+ В0(й)® ,5у)(в“ + £ В) )+

+ £ С, (й)у , <5 у )а} +еВ1 (ш ° , 5у. )б] .

При интегрировании появляются коэффициенты

' . Л0 , В0 , С0 , 4 , Вх, С,; которые как функции (со,8)

Члены, разложения д должны удовлетворять имеют следующие значения (верхняя и нижняя тп,

пы знаков соответствуют верхнему и нижнему эле-(6) ментам вектор-столбцов):

дифференциальному уравнению

ч) +28¡q) +0)jqlj=Aj(q'j + 80ql0 + CO¡ql0) и иметь следующий вид:

qlj = t e~Sjl (a'- cos C0jt + bj sin ft)°r)+

+ lp)k cosft)°í + b)k sin w¿í)+

1=k*j

+ e 5jt (л1} coscüjí +Bj sincojtj.

Подставляя это выражение в уравнение (6) и приравнивая коэффициенты при е Sjl cos со®t,

e~Sjt sin co®t, получим

2w)b) = Ajtti ; -2co0ja) = AjPÍ. (7)

Величины a}j ; b); aJQ; b¿ ; ; PJÜ ; Л?; 5®; ; a ¡

могут быть найдены из линейной системы алгебраических уравнений (5) - (7), если добавить к ним выражения для следующих 4п Фурье-гармоник, вы-

ҐА 4 ло

<■о _l 4neo со .

я<5 со ~ _ 52

1+-

4ш

Ґ А \ 1 1 со / Л л8- 1 л8 ^ Ch— +—Sh—

В1 V 1 71 8со \ со g2 со /

469'

1 .а”4

±

52

-Sh

— + 4т) Ю + 167ШГ

л8

со

1 + -

( *2 1 і -I Í ^ 1 2 ’

1 Í ' 2 -j-..... .

4 со \ У 4 со2 \ /

± sh— —Ch—

^ 2л со . _ 2со со

с о----------— . Ч~---------—

1+-

4ш

1+-

4(0

Предположение о «слабом затухании» приведет к

числяемых интегрированием двух первых членов асимптотического разложения решения системы (1). выполнению неравенств А1 »С,; В1 »С1; С0 »£,

При этом делается предположение 8 у «£ ;

у = 0, 1,..., и, т. е. о слабом затухании, что приводит к тому, что функции, по которым решение раскладывается, оказываются почти ортогональными:

я/со.

Í *

dt

-ж! со.

С учетом этого некоторыми членами в уравнениях (8) можно будет пренебречь по сравнению с остальными, после чего они примут следующий вид:

я / о° / \ * г

<2о;=-^- / Чосоьсо^ Л=£А0\(о(1 ,8])а^;

п -я/со0

(здесь і - мнимая единица).

CO°j *1<а° „

Qn:=------ J q0 cosa] t dt =

П -ЛІО)0

=£A<)(co0j,Sj)aJ0 +£C0(co°j ,8j)b¿;

со 9 Шш)

Qoj=— S qo sin ú)^tdt =

71 -літ]

=£ Q (íü°j ,8j )a¿ +єВ0 (co°.,8j)b¿;

CO°j ПІ(0", n

Qj =------ f qj coscoj t dt =

^ -Л!(й°

= Ao . Sj )(a? + £ A))+ C0 (<u;°, 8J ){b°j + £ B) )+

+ £A¡(cú°j ,8})a)+£Cx{püj ,8j)b) ;

й>° л/(0°

Qc¡ =—— f q ¡ sinco°¡ t dt =

J 71 -*/«? J

jy 0 n / íu° / y _

Q*j=— ¡ q0sinco°j t dt= £B0\o°j ,8j)b¿-

л -я/соЧ

СО i f л

QCj =-------- J q¿ cosco j t dt-

n -я/со0.

О л I со0.

= А0 (шу ,)а° + £ A! (íu° , 8j )a°j + £ Q (y j , 8 j )b)

CO°- nlw°)

Qj =—i- J qj sin со® t dt —

Я -л/ш°

= В o (co°j , 8 j )b°j + £ С, (ft)“, 8 J )a°j +£B¡ (co°j , 8} )b) .

В качестве , ¡2^., бу , бу берутся данные реальных изменений параметров спектра вибраций исследуемого модуля турбоагрегата (или ГПА); по изменению величин А;, а] можно судить о нарушении внутренних связей, т. е. о наличии неисправности.

Выводы и заключение. Применение предлагаемого способа связано с установлением порядка малого параметра е, который должен определяться инженерными методами, а именно анализом конструктивных форм и факторов воздействия на исследуемый

А)

элемент, например, е = —, где А0 - амплитуда про-

А)

стого спектра первой оборотной гармоники; Ац - соответственно амплитуда к - й гармоники с частотой

со® исследуемой субдетали.

Виброграмма может сниматься не обязательно прямо с ротора или субдетали (что конструктивно невозможно), а с деталей, как можно более тесно связанные с указанными (например, с корпусов опорных узлов).

Литература

1. Бидермап B.JI. Прикладная теория механических колебаний. М., 1972.

2. Блехман ИИ. Вибрационная механика. М., 1994. Ъ.Диментберг М.Ф. Нелинейные стохастические задачи механических колебаний. М., 1980.

А.Кунина П.С., Павленко П.П. Диагностика газоперекачивающих агрегатов с центробежными нагнетателями. Ростов н/Д, 2001.

5 .Кунина П. С., Бунякин A.B. Методы анализа спектров вибрации. Ростов н/Д, 2001.

' 6. Моисеев H.H. Асимптотические методы нелинейной механики. М., 1969.

Кубанский государственный технологический университет_____________________________________26 ноября 2002 г.

УДК 539.3

ОПТИМАЛЬНОЕ ПРОЕКТИРОВАНИЕ ТРЕХСЛОЙНЫХ ОБОЛОЧЕК

© 2003 г. А. А. Татаринов, Г. С. Тимофеев

One of the problems of optimum designing is the maintenance of a minimum structure weight at maintenance of an indispensable carrier level of ability. Often the carrier ability of sandwich cylindrical shells is determined by their stability. The solution of a problem of optimum designing of a sandwich cylindrical shell with mild filler of the loaded axial compressing force and (or) external pressure by a method of Lagrange multiplicities is considered.

Рассмотрен пример инженерной методики определения параметров трехслойных цилиндрических оболочек (ТЦО) на основе теории устойчивости [1].

Одной из задач оптимального проектирования является обеспечение минимального веса конструкции при необходимом уровне несущей способности, которая часто для ТЦО определяется их устойчивостью. Рассмотрим задачу оптимального проектирования ТЦО с легким заполнителем, нагруженной осевой сжимающей силой. Аналогично решаются задачи при других нагрузках.

Как правило, геометрические размеры, материалы несущих слоев и заполнителя выбираются-в зависимости от назначения самой конструкции, выигрыш в весе при этом может быть получен только при рациональном выборе относительных толщин слоев: <5=/2/Я; /=^//2; Л, =й/г2.

Здесь Г/, ¡2, Л - толщины внутреннего и внешнего несущих слоев, слоя заполнителя соответственно; 7?-радиус срединной поверхности цилиндрической оболочки.

При значительных геометрических размерах можно пренебречь разницей в радиусах слоев и положить

= Кср = К. Общий вес оболочки в этом случае

можно представить в виде суммы

(2 = 2лНг1д{{2+У1Х + 2уъ111'), где у, - удельный вес

материала слоев; I - длина оболочки.

Физические характеристики каждого из слоев оболочки будем полагать заданными. Остальные проектные параметры входят в решения нелинейных задач устойчивости [1] и могут быть найдены способом множителей Лагранжа.

Составим функцию

F =0 + Яі^- + Я;

ЭЭ . ЭЭ 2 ду+ гдп'

- 4Э {l-ßl2ßy2) где Э=•

% R 15

Ех2 h

безразмерная энергия

оболочки; X], Хг, Х3 — неопределенные множители Лагранжа.

Приравняем нулю частные производные от этой функции по проектным параметрам / , д, Ь„ безразмерным амплитудам прогибов Сиу/, параметру волнообразования г], а также множителям Лагранжа А,-. Получим систему уравнений задачи оптимального проектирования:

|^ = 0; у=1,6; ' (2)

9 Г,

У1=Г; у2=5; Уз У4=С; /5=^; Гб

dF

ЭЯ,-

= 0; i=l,2,3.

Полная энергия системы Э = £/ - А, где С/иА-потенциальная энергия (ПЭ) и работа внешних сил,

и=и1+и2+и1.

Здесь 1 и 2 - индексы несущих слоев, внешнего и внутреннего, 3 - заполнителя.

и, = ии +ии1, где ис, 11и- ПЭ деформации срединной поверхности и изгиба.

При определении ПЭ деформации изгиба от действия момента, возникающего за счет разнесения несущих слоев, учтем влияние поперечных сил в заполнителе на изменение кривизны и то, что они удовлетворяют гипотезе прямой линии для заполнителя.

і