МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ РАДИАЛЬНОГО ГИДРОСТАТИЧЕСКОГО ПОДШИПНИКА С МИКРОКАНАВКАМИ И ОГРАНИЧЕНИЕМ ВЫХОДНОГО ПОТОКА СМАЗКИ Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 621.9; 621.89

DOI: 10.24412/2071-6168-2022-3-98-110

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ РАДИАЛЬНОГО ГИДРОСТАТИЧЕСКОГО ПОДШИПНИКА С МИКРОКАНАВКАМИ И ОГРАНИЧЕНИЕМ ВЫХОДНОГО ПОТОКА СМАЗКИ

В.А. Коднянко, Л.В. Строк, О.А. Григорьева, Ю.А. Пикалов, С.А. Белякова, А.В. Суровцев, А.В. Хуртин

Предложена конструкция адаптивного радиального гидростатического подшипника с микроканавками и регулятором выходного потока смазки. Выполнено математическое моделирование стационарного состояния подшипника. Проведен расчет его статических характеристик - несущей способности и податливости. Результаты исследования позволяют сделать вывод о том, что подшипник может иметь отрицательную податливость, которая обеспечивает ему адаптивную функцию, состоящую в двоякой способности подшипника обеспечивать не только несущую способность, но и способность полностью компенсировать негативное влияния деформации технологической системы станка на точность механической обработки. Выведены формулы, позволяющие рассчитать значения коэффициента эластичности компенсатора перемещений, при которых подшипник обладает нулевой и отрицательной податливостью. Проведен анализ влияния параметра настройки х на характеристики подшипника. Установлена оптимальная величина этого параметра, при которой подшипник обладает максимальной грузоподъемностью и наибольшим диапазоном воспринимаемых нагрузок, в котором обеспечивается стабильная характеристика его отрицательной податливости.

Ключевые слова: радиальный гидростатический подшипник, микроканавка, несущая способность, отрицательная податливость, технологическая система станка.

Применение в несущих системах металлорежущих станков бесконтактных адаптивных гидростатических подшипников с отрицательной податливостью позволяет существенно повысить точность механической обработки [1, 2]. Эффект достигается за счет полной автоматической компенсации пассивной положительной податливости технологической системы, в результате чего станок получает суммарную нулевую податливость (бесконечную статическую жёсткость), чем обеспечивается высокая точность обработки [3, 4]. В ряде адаптивных подшипников с воздушной и жидкостной смазкой снижение податливости обеспечивается применением входных регуляторов расхода смазки [5, 6]. Исследования показали, что подшипники с входными регуляторами расхода смазки обладают малым диапазоном нагрузок, при которых поддерживаются адаптивные свойства конструкций, нестабильностью характеристики податливости и высоким расходом подаваемой в проточный тракт смазки [7, 8]. Существенно меньшим энергопотреблением обладают подшипники с регуляторами перемещения и выходного потока смазки, которые устанавливаются на выходе проточной смазочной магистрали [9, 10]. Подобные подшипники, смазываемые воздухом, способны обеспечивать отрицательную податливость даже в том случае, когда на входе установлены пассивные (нерегулируемые) гидравлические сопротивления, которые используют в обычных газостатических подшипниках, чем обеспечивается значительное снижение энергоемкости конструкций [11, 12].

В настоящей работе рассмотрена аналогичная [13] конструкция радиального гидростатического подшипника, в котором реализован указанный способ ограничения выходного потока рабочей жидкости. Целью работы является исследование статических характеристик данной конструкции, соответствующих режиму отрицательной податливости несущего смазочного слоя.

Дизайн подшипника с регулятором перемещения. На рис. 1 показана расчетная схема конструкции. Подшипник состоит из корпуса 1 и воспринимающего внешнюю нагрузку f вала 2, двух симметрично расположенных относительно центральной плоскости подшипника жестких подвижных втулок 3, герметично соединенных с корпусом 1 посредством одинаковых упругих элементов 4. С целью повышения несущей способности подшипника в его междурядной области на внутренней поверхности корпуса 1 выполнены продольные микроканавки 5, расположенные на одинаковом расстоянии друг от друга (рис. 2, а). Рабочая жидкость под давлением ps из магистрали нагнетания подаётся в дросселирующие кольцевые щели 6 и поступает под

давлением рг в тонкие непроточные зазоры 7, образованные корпусом 1, подвижными втулками 3 и упругими элементами 4. Затем жидкость проходит через промежуточные кольцевые щели 8, преодолев которые без сопротивления потоку попадает в тонкий несущий жидкостный слой 9 толщиной к под тем же давлением рг, и истекает из подшипника через зазор 10 толщиной кг, возвращаясь в систему нагнетания. Между внешней поверхностью подвижных втулок 3 и корпусом 1 расположены узкие продольные эластичные перегородки 11 (рис. 2, б), количество которых достаточно для того, чтоб исключить окружные перетоки смазки и тем самым повысить несущую способность подшипника. Расположенные между ними непроточные полости 7 играют роль вязких демпферов вибраций.

Рис. 1. Расчетная схема подштипника

а б

Рис. 2. Развертки подшипника: а - развертка по зазору области микроканавок; б - развертка по зазору области эластичных перегородок

При воздействии нагрузки / происходит смещение вала в её направлении и изменение гидравлического сопротивления смазочных зазоров. При этом в нагруженной (нижней) части давление рг увеличивается, а в разгруженной (верхней) уменьшается. Вследствие этого возникают реакции воздействия сил давления в зонах 7 и 10 в области зазоров кр и кг и происходит смещение подвижных втулок 3 в противоположном по отношению к / направлении, что вытекает из анализа эпюр распределения давления на рабочих поверхностях этих втулок. Это влечет за

собой ещё большее повышение гидравлического сопротивления и, следовательно, способствует увеличению давления смазки в нагруженной торцевой области несущего слоя и его уменьшению в разгруженной области, чем обеспечивается функция активного ограничения выходного потока смазки. Интегральная реакция сил давления на подвижные втулки 3 уравновешивается силой сопротивления упругой деформации материала эластичных элементов 4. При смещении втулок 3 возникает отрицательный эксцентриситет ер, что способствует установлению меньшей по сравнению с обычным подшипником величины эксцентриситета е = ер + ег вала и корпуса подшипника и, следовательно, меньшей его податливости де/д/. При этом податливость подшипника будет тем меньше, чем больше радиальная податливость эластичных колец 4 и, следовательно, больше эксцентриситет ер подвижных втулок 3 относительно корпуса 1 (для нагруженного подшипника этот эксцентриситет всегда отрицателен).

Математическая постановка задачи и метод ее решения. При моделировании работы подшипника, расчете статических характеристик и их исследовании предполагали, что соблюдается параллельное расположение осей корпуса и подвижных элементов. Исследование проведено в безразмерной форме. За масштабы основных величин приняты: радиус г0 вала - для линейных размеров, давление источника питания подшипника - для давлений, 2пг02рь - для

сил, кPs - для объемных расходов жидкости, ко - для зазоров и эксцентриситетов подвижных 6р.

элементов. Здесь ко - толщина к несущего смазочного слоя при соосном расположении элементов (при отсутствии нагрузки/), ц - вязкость смазки. Далее безразмерные величины обозначены греческими и прописными латинскими буквами.

Вывод формул для гидравлических силовых реакций и расходов смазки. Функции распределения давления в тонких смазочных зазорах для несжимаемой смазки удовлетворяет дифференциальному уравнению Рейнольдса [14]

д ( и 3 дР ) — Н -

дФ I дФ )

где Р(Х, ф) — функция распределения давления в смазочных зазорах; X, ф — продольная и окружная координаты, Н(ф) = 1 - 8г- cos(ф) - функция радиального зазора между смазываемыми элементами конструкции; 8г- = 8 — эксцентриситет вала 2 относительно корпуса 1, 8г- = 8г — эксцентриситет втулок 3 относительно корпуса 1, 8р = 8 - 8г эксцентриситет вала 2 относительно подвижных втулок 3.

В силу периодичности функции давления граничные условия по координате ф таковы

-Ч н 3 «Р |=о, (1)

дХ I дХ 1

Р(Х,0) = Р(Х,2п),дРХ0) = дР<Х ,2п). (2)

дф дф

По продольной координате X введем локальную систему координат и определим по ней граничные условия для функции давления. Рассмотрим правую часть симметрического подшипника. В междурядной области X е [0, Ь1] получим граничные условия

= о, Р( А,ф) = Р (ф), (3)

дХ

где (ф) - функция давления на выходе потока смазки из питающей щели 6, Ь\ - половина

длины междроссельной области.

В области зазора, образованного рабочими поверхностями вала 2 и втулки 3, граничные условия по данной координате

Р (0,ф) = Р (ф),Р(^2,ф) = 0, (4)

где ¿2 -длина втулок 3.

И наконец, в области зазора 7, образованного внешней поверхностью втулок 3 и корпусом 1, граничные условия по данной координате

Р(0,ф) = Р (ф), = 0, (5)

дХ

где ¿3 - длина глухого зазора 7.

При математическом моделировании предполагали, что продольный размер втулки 3 мал по сравнению с ее диаметром. Наличие узких торцевых смазочных зазоров и продольных

микроканавок в междурядной области позволяет пренебречь влиянием окружных перетоков смазки в зазорах, т. е. считать, что для них дР/дф = 0. Это позволяет, существенно упростив уравнение (1), найти его решение в аналитической форме

Р( 7 ) Р(Ф) ^, 7 £[0, ^ (6)

Р( 7 ,ф) = ^ ц (6)

[Рк (ф), 7 е [0, Щ 7 е[0, Щ Функцию Р (ф) можно найти из условия равенства локальных расходов смазки на выходе из щели 6 и входе в зазоры подшипника. Формула локального расхода смазки на выходе из щели 6 на дуге бесконечно малой длины, приведенной к этой длине, имеет вид [15]

б, = А (1 - Рк ), (7)

где А, - безразмерный критерий подобия параметров щели.

Формула локального расхода смазки на входе в зазор между валом 2 и втулкой 3 имеет

вид [15]

дР

<2, = —Н — = А^Рк, (8)

д7

где А, - безразмерный критерий подобия зазора

(ф) = 1 - в, cosф

- функция толщины смазочной пленки в зазоре.

В статическом состоянии расходы в зазоре междурядной области и глухом зазоре отсутствуют. Поскольку = , то А, (1 — Р ) = А1Н^Р(, откуда следует

р = (9)

При отсутствии нагрузки на подшипник все эксцентриситеты равны нулю, зазор Н, = 1, давление Р{ (ф) = % постоянно, следовательно,

А А х

х=-г-^г, А = 1. (10)

А + А А 1—х

С учетом (10) формулу для давления (9) можно записать в виде

Р = + (1 — ) Н 3 . (11)

х + (1 — х) Нз

Нормированный параметр давления х е [0,1] удобно использовать для настойки сопротивления щели 6.

Несущая способность осевых смазочных зазоров после приведения её к безразмерной форме определяется общей формулой [16]

Ж. = р | со,(ф) | Р. (7 ,ф)й7. (12)

П 0 0

С учетом (12) после интегрирования функции давления (6) нашли несущую способность пленок смазки в зазорах в междурядной зоне Ж1, в торцевой области несущего слоя Ж2 и в глухом зазоре Ж3, а также несущую способность Ж подшипника

Ж1 = 2 ЦЗ, Ж2 = Ц 3, Ж3 = 2 Ц Я^, Ж = Ж1 + Ж2, (13)

где Я\ - наружный радиус подвижной втулки 3,

* 2п

3 <х,в.) = 2ПI

хсоэф^ф

'-к) -7773. (14)

2п О х + (1 — х)Нк

Интеграл (14) можно найти при помощи какого-нибудь численного метода, например, метода Симпсона [17]. Однако, как показал анализ (14) существует аналитическая квадратура, которая позволяет вычислить интеграл точно.

Вывод точной формулы для вычисления интеграла I Рассмотрим интеграл

1 ¿л

J(а,е) = — [ F(a,s,9)d9, (15)

2п 0

где

ч а cosffldm

F (а,е,ф) =---—-г^ (16)

а + (1 - а)(1 - есоБф)

а, е - параметры, ае [0,1], ее [0,1].

Очевидно J = 0 при а = 0, а = 1, е = 0, поэтому рассмотрим область 0(а, е) = (0 < а < 1) U (0 < е < 1].

Подынтегральная функция (2) рациональна относительно еоэф и непрерывна на отрезке фе [0, 2п] поэтому после замены переменной z = егф интеграл (15), где i - мнимая единица, может быть сведён к интегралу по единичной окружности |z| = 1 от функции комплексного переменного z и определён методами теории вычетов [18]

J = — | Ф(а,е, z)dz = 4^ resФ(а, е, zk), (17)

ni |z|=1 k=0

где zk - полюсы функции

Y3 z ( z2 + 1 )

Ф (а,е, z) = ■-^-'

2 z - е (z2 +1)] +(2yz )

(18)

расположенные в круге < 1, у = — е (0, ю).

Функция (18) имеет шесть полюсов, которые являются корнями уравнения

"2г - 8(г2 +1)]3 + (2уг)3 = 0. (19)

Для их определения положим

2 г - 8 ( г2 +1)

т = ■

2yz

Подставив (20) в (19), получим уравнение т3 -1 = 0, которое имеет решение

(20)

2z - е (z2 +1) ,

-L-1 = т, = е 3\ (j = 0,1,2). (21)

2га . -1

2yz 1

Приведем (21) к виду

z2 - 2T]z +1 = 0, (22)

где Т . = (1 + ут ;)/8.

Уравнения (22) имеет корни

¿2;+„ = Т} ± ..1, и = 0,1,2; п = 0,1) (23)

Покажем, что ни один из корней уравнений (9) не лежит на окружности = 1. Предположим противное, т. е. что один из корней, например, . лежит на этой окружности ( г . = 1).

2. I . I

Из (23) видно, что для каждой пары его корней имеет место равенство ;+1 = 1. Отсюда сле-

дует, что z21+1

= 1, а также z2j+1 = z j или в тригонометрической форме z2 j = егф, z2j.+1 = e 1ф, где

ф - действительное число. Поскольку . + г2.+1 = егф + е гф = 2Л(/ф) = 2cosф, то такие корни должны удовлетворять уравнению

г2 - 2еоБфг +1 = 0. (24)

Сравнение уравнений (22) и (24) показывает, что в соответствии с названным предположением должно быть справедливо равенство Т. = (1 + ут ;)/8 = cosф. Однако для т0 = 1 при

102

Y > 0 и 0 < в < 1 справедливо T0 = (1 + у)/е > 1 > cos9, а для Xj 2 = 1 + ^2очевидно T. Ф

cos ф поскольку Im(Tj) Ф 0, что указывает на ошибочность предположения и доказывает утверждение.

На этом основании с учетом равенства z2 z2. 1 = 1 можно заключить, что один из корней

2j 2. + 1

каждого уравнения (23) лежит в круге |z| < 1, а другой вне него (|z| > 1). Отсюда следует, что только три корня уравнений (23) попадают в круг |z| < 1 (по одному от каждого уравнения) и, следовательно, должны быть учтены в формуле (17). Найдем эти корни.

1 + Y

Рассмотрим случай т0 = 1, z =--

V

'i \ 2 1 + Y 1

— 1. В области G оба корня действи-

тельны и положительны, т. к. 1 + Y > ( 1 + Y | — 1. Например, для a = 0.6 и е = 0.8 получим у =

1.145; Z0 = 1+1 — 11+112 — 1 = 0.193, (| z„| < 1); z =

j — 1 = 0.193, (|z,\< 1); Zj = ^ + J(v] — 1 = 5.168, (|zj > 1).

Рассмотрим случай-^ = е2п/3 = —1 +i^ , Z2 3 = 1 + JTi + f1 + Y^i j — 1 . Для тех же a

= Hill — I^I+IIlJ —1= 0.11 - 0.32 i, (|z

= 0.6 и е = 0.8 Z2 = >l1 J >l1 | — 1= 0.11 - 0.32 i, (|z2| = 0.338 < 1);

2

^ = 1 + + ^1 + ^ — 1 = 0.959 +2.798 (|z3| = 2.958 > 1).

Если функции г2(у, в) и г3(у, в) непрерывны в области О, то для них справедливы те же оценки. В противном случае существовала бы по меньшей мере одна точка (у, в), в которой

= 1 и |г3| = 1, что исключено. Нарушение этих оценок возможно лишь при наличии особых точек

(у, в), в которых функции г2(у, в) и ^(у, в) терпят разрыв.

Функция 22 (у, в) для Ув имеет особые точки при у = 2 ^а = . При этом 1т(Т^2 — 1) = 0, Re (Т^2 — 1) < 0, г2 (2, в) =1 (' >/3 — (1 + 3в2) ), в которых она терпит разрыв поскольку

iimarg z2(Y,e) = — П Ф lim0arg z2(Y,e) = П

y^2—0 2 7^2+0 2

При этом очевидно

lim |z2(y,e)| = — -(V3 W1 + 3e2) 1 e' '

> 1

"I" -эв2

т. е. при у > 2 корень z2 уходит из круга < 1, а его место там занимает корень z3. Например, для а = 0.9, в = 0.8 найдем z2 = —0.641+4.825', (| z2\ = 4.868 > 1); z3 =—0.027 — 0.204', (| z3\ = 0.205 < 1).

Рассмотрим случай т = в4т 3 = —1—. Поскольку т2 = т,, то, очевидно, для данного

2 _ 2 21

случая корни уравнения (22) ^ 5 = ^ 3 и для них справедливы аналогичные оценки относительно

их модулей, т. е. < 1 и > 1 для у < 2 и > 1 и < 1 для у > 2.

Устранить разрыв z2—5(/,s) можно заменой (23) на формулу

Z2;+„ = Т] ±^п(2 — у)ТТМ, и = 1,2; п = 0,1). (26)

Тогда в круг |г| < 1 попадают корни г0, г2, г4 = г2.

Поскольку уравнения (22) не содержат кратных корней, то после дифференцирования знаменателя (16) получим

3(а,8) = ^ X

:(+1)

к=0,2,4 (1 - 87, )2г, - 8 (2 +1)] + 4у3г2

С учетом (21) формула (27) принимает более простой вид

3 (а,8) = 3т Е

-ЭЬ к=0 1

Тк + УТк

к=01 + ут к - ег.

2к

38

1 + у

+ 2Re

( Т + ут Л

1 + ут1 - 81,

2 У

(27)

(28)

1 + У - 8г0

Если перейти от комплексной формы к действительной, то (28) может быть представлена в более удобном для вычислений виде

3 (а,8) = ^

38

(29)

где

п =

Л ^

-л/2-,- = фг + - 2)Рг, вг = signд^а + аГ, вг = ^

л/г2-

= л./а - а„, а = л/а2 + а,2

Г а

аг = дГ - д? - 482, аг = 2дГдг, дг = 2 - y, дг = 7^ г =1 + у. На рис. 3 приведен график поверхности, представляющей интеграл в пространстве изменения параметров а, 8.

Рис. 3. График функции 1(а, е)

Формула (29) дает точный аналитический интеграл (14) 3 (%,8), что проверено численным интегрированием по методу Симпсона [17].

Вывод формулы податливости подшипника. При малых перемещениях в соответствии с законом Гука радиальное смещение 8р втулки 3 под влиянием воздействующих на нее гидравлических реакций №2 и №3 определяется нелинейным уравнением

8р = К № - №3 ), (30)

где Ке - коэффициент эластичности (радиальная податливость) кольца 4. Суммарный эксцентриситет вала и корпуса

8 = 8 р + 8г.

(31)

Податливость подшипника определяется формулой

К = (32)

д¥

Подставив (30), (31) в (32) и приняв во внимание, что № = ¥, найдем

К =

где

^ +д8рУ д^Т1 = 1 + Ке (Ь2 - 2 Я,/.) 3'

V д8 У

д8 У

3, = д3(Х,8г) = 3Х(1 - X) 2

д8г 2П 2

(2А + ¿2) 3'

Н СОБф

(33)

х+(1 - х) Н

ёф. (34)

Выполнив дифференцирование (29), можно получить точную формулу для (34). Можно поступить проще, вычислив интеграл приближенно по численной формуле центральной первой производной функции второго порядка точности [19]

3,= 3(Х,8г + Д)-3(Х,8г -Д)

2Д ,

где А - малое число (в расчетах принимали А = 10-3).

Для вычисления характеристик подшипника использовали параметр Ке0, численно равный коэффициенту эластичности Ке кольца 4, при котором подшипник достигает нулевой податливости (К = 0) в окрестности центрального равновесного положения его подвижных элементов (8г = 8р = 8 = 0). При 8г = 0 интеграл (34) 3' = 1.5х(1 - х). Для этих значений формула (33) дает уравнение

1 + 1.5Кер(Ь2 - 2¿3^(1 - х) = 0 1.5(2 Ц + ¿2)х(1 - X) '

откуда следует

Ке0 =[1.5X0 - Х)(2Ц3^! - 4)]^ (35)

Отметим, что коэффициент Ке0 зависит лишь от параметров, относящихся к элементам 3, 4, и не зависит от параметров междурядой области подшипника (рис. 1, 2).

Статические характеристики подшипника и их обсуждение. В качестве входных параметров использованы: параметр х е (0;1); коэффициент эластичности Ке кольца 4; наружный радиус Я подвижной втулки 3; Ь - половина длины подшипника; весовые коэффициенты , использованные для вычисления длин

Статические характеристики определяли следующим образом. При заданных входных параметрах с малым шагом варьировали величину эксцентриситета Далее, для каждого его значения последовательно вычисляли интегралы силовые реакции , равную внешней нагрузке ¥ несущую способность №, эксцентриситеты 8р, 8 и податливость подшипника К. В результате в параметрической форме получали зависимости эксцентриситета 8(¥), податливости К(¥) и деформации 8р(¥) эластичного кольца 4 от внешней нагрузки ¥.

На рис. 4 и 5 показаны графики зависимости эксцентриситета 8 и податливости К от внешней нагрузки на подшипник ¥ для различных значений коэффициента эластичности Ке = /Ке0. Значение 7 = 0 (Ке = 0) соответствует характеристикам обычного подшипника, для которого податливость К положительна. Значение 7 = 1 (Ке = Ке0) соответствует подшипнику, который в окрестности центрального положения его подвижных элементов имеет нулевую податливость (К = 0). При 7 > 1 такой подшипник имеет отрицательную податливость (К < 0). Постоянными приняты 3 = 1.5, С2 = 0.2, С3 = 0.15, Я = 1.1, х = 0.5.

На рис. 4 приведены графики нагрузочных характеристик 8(¥) для различных значений коэффициента эластичности Ке. Подшипник в окрестности центрального положения подвижных элементов имеет нулевую податливость при Ке = Ке0 = 13.7. Максимально допустимая нагрузка на подшипник ¥тах = 0.683.

Графики показывают, что с увеличением 7 и, следовательно, коэффициента Ке характер кривых меняется. При этом в области малых и умеренных значений нагрузки ¥ на них появляются участки отрицательной податливости, о чем можно судить по изменению наклона кривых, соответствующих участкам убывания функции 8(¥). Обращает на себя внимание наличие

практически прямолинейных участков кривых, на которых отрицательная податливость практически постоянна. Это важно с практической точки зрения, поскольку в рамках закона Гука для деформации технологической системы станка характерна не зависящая от нагрузок постоянная положительная податливость. Следовательно, для компенсации деформации необходим адаптивный подшипник с равной по абсолютной величине отрицательной податливостью для полной компенсации деформации, отрицательно влияющей на точность обработки, о чем упоминалось выше.

Рис. 4. Зависимости эксцектриситета е от внешей нагрузки ¥ для различных значений коэффициента эластичности Ке = I Кео при Ь = 1.5; С2 = 0.2; сз = 0.15; И = 1.1; х = 0.5

Наглядное представление о величине податливости в диапазоне действующих на подшипник нагрузок дают представленные на рис. 5 кривые зависимости К(Р).

Рис. 5. Зависимости податливости К от внешей нагрузки ¥ для различных значений коэффициента эластичности Ке = I Кео при Ь = 1.5; С2 = 0.2; сз = 0.15; И = 1.1; х = 0.5

При х = 0.5, для которого построены кривые, диапазон стабильной податливости относительно невелик. Например, если считать, что уклонение от постоянной податливости на 5% является допустимым, то, если обратиться к кривой Ке = 2Кео, то для нее податливость К

106

стабильна в диапазоне нагрузок 0 < ¥ < 0.22, что составляет 32% от диапазона нагрузок. За его пределами податливость заметно увеличивается, при 85% становится нулевой и далее положительной, когда подшипник теряет адаптивные свойства.

Возможным ресурсом расширения полосы нагрузок стабильной полатливости является параметр %. На рис. 6 приведены графики, которые показывают влияние этого ппараметра на податливость в диапазоне воспринимаемых подшипником нагрузок. На графиках даны кривые для тех значений х, которые представляют интерес с точки зрения определения оптимального значения этого параметра, при котором подшипник имеет максимально широкий диапазон стабильной податливости.

Рис. 6. Зависимости податливости К от внешей нагрузки ¥ для различных значений нормированного коэффициента х при Ь = 1.5; С2 = 0.2; сз = 0.15; Я1 = 1.1; Ке = 2Ке0

Видно, что при малых х кривая податливости К(¥) слишком нестабильна, как в сторону меньших, так и в сторону больших значений критерия К. Однако, с увеличением х кривые становятся стабильнее и можно установить оптимальное х. Для представленных кривых таким является х = 0.36. Для соответствующей кривой податливость К имеет небольше уклоненение в обе стороны от податливости при центральном расположении подвижных элементов подшипника. При допустимом 5% отклонении диапазон нагрузок, в котором податлитвость стабильна, значительно шире и составляет 48%, то есть практически половину диапазона нагрузок на подшипник.

Параметр х оказывает значительное влияние на максимальную грузоподъдъемность Жт подшипника. На рис. 7 показаны зависимости Жт(х) при различных значениях относительной длины Ь подшипника. Видно, что эти зависимости экстремальны и имеют один экстремум максимум. Расчеты показали, что опимальное значение не зависит от других параметров и равно Уррг = 0.252. Например, для Ь = 1.5 максимальная грузодподъемность подшипника Жт = 0.728. Этот показатель незначительно отличается от грузоподъемности подшинника, который имеет наиболее широкий диапазон стабильной податливости при х = 0.36. Из графика видно, что для этого режима Жт = 0.719. Поэтому оптимальным, как по грузоподъемности, так и с точки зрения максимизации ширины диапазона стабильности податливости подшипника является значение х = 0.36.

Исследования показали, что зависимости податливости и несущей способности от длин подшипника имеют взаимно обратный монотонный характер. С увеличением значений радиуса Я1 податливость подшипника снижается. Это означает, в частности, что если необходимо снизить податливость Ке эластичного кольца 4, то для обеспечения заданного значения податливости К подшипника такое снижение можно компенсировать увеличением Л1.

W

" m 1,2

1

0,8

0,6

0,4 0,2 0

Рис. 7. Зависимости максимальной грузоподъемности Wm подшипника от нормированного коэффициента х при L = 1.5; С2 = 0.2; сз = 0.15; Ri = 1.1

Заключение. Результаты исследования позволяют сделать вывод о том, что радиальный гидростатический подшипник с микроканавками и регулятором выходного потока смазки может иметь отрицательную податливость, которая обеспечивает ему адаптивную функцию, состоящую в двоякой способности подшипника обеспечивать несущую способность и способность полной компенсации негативного влияния деформации технологической системы станка на точность механической обработки. Выведены формулы, позволяющие рассчитать значения коэффициента эластичности компенсатора перемещений, при которых подшипник обладает нулевой и отрицательной податливостью. Проведен анализ влияния параметра настройки % на характеристики подшипника. Установлена оптимальная величина этого параметра, при которой подшипник обладает максимальной грузоподъемностью и наибольшим диапазоном воспринимаемых нагрузок, в котором обеспечивается стабильная характеристика его отрицательной податливости.

Список литературы

1. Shatokhin S.N. New possibilities of adaptive control // Machine builder. 1977. № 4. P. 18.

2. Kodnyanko V.A., Tkachev A.A. Static characteristics of a two-row radial gas-static bearing with regulators of the lubricant output flow // STIN. 2009. № 6. P. 6 - 8.

3. Shatokhin S.N., Kodnyanko V.A., Zaitsev V.P. Functional capabilities of radial adaptive hydrostatic support // Mashinovedenie. 1988. №. 4. P. 85 -91.

4. Demin V.G., Pikalov Ya.Yu., Shatokhin S.N. Designing of adaptive hydrostatic supports for spindle assemblies and guides of metal-cutting machines // Technology of mechanical engineering. 2008. № 9. P. 27 - 30.

5. Shatokhin S.N., Kodnyanko V.A. Load and flow rate characteristics of an axial pressurised gas bearing with an active compensation of gas flow // Mechanical sciences. 2017. P. 110 - 115.

6. Newgard P.M., Kiang R.L. Elastic Orifices for Pressurized Gas Bearings // ASLE Transactions. 1966. Vol. 9:3. P. 311 - 317.

7. Ghodsiyeh D., Colombo F., Raparelli T., Trivella A., Viktorov V. Diaphragm valve-controlled air thrust bearing // Tribology International. 2017. Vol. 109. P. 328 - 335.

8. Maamari N., Krebs A., Weikert S., Wegener K. Centrally fed orifice based active aerostatic bearing with quasi-infinite static stiffness and high servo compliance // Tribology International. 2019. Vol. 129. P. 297 - 313.

9. Kodnyanko V., Shatokhin S., Kurzakov A., Pikalov Y., Strok L., Pikalov I., Grigorieva O., Brungardt M. Theoretical Efficiency Study of Output Lubricant Flow Rate Regulating Principle on the Example of a Two-Row Aerostatic // Journal Bearing with Longitudinal Microgrooves and a System of External Combined Throttling. Mathematics. 2021. Vol. 9(14). №.1698.

108

1 2.5

2 0

i.j

- 1.0

L = 0.5

r

0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 %

10.Kodnyanko V., Kurzakov A., Grigorieva O., Brungardt M., Belyakova S., Gogol L., Surov-tsev A., Strok L. Theoretical Study on Compliance and Stability of Active Gas-Static // Journal Bearing with Output Flow Rate Restriction and Damping Chambers. Lubricants. 2021. Vol. 9. №. 121.

11.Kodnyanko V.A., Kurzakov A.S. Static Characteristics of a Hydrostatic Thrust Bearing with a Membrane Displacement Compensator // FME Transactions. 2021. Vol. 49. №. 3. P. 764 - 768.

12.Kodnyanko V.A. Method for Calculating the Static Characteristics of Radial Hydrostatic Compensator of Machine Tool Bearings Deformation // Periodica Polytechnica Transportation Engineering. 2021. 49(2). P. 114-119.

13.Kodnyanko V., Shatokhin S., Kurzakov A., Pikalov Y., Strok L., Pikalov I., Grigorieva O., Brungardt M. Theoretical Efficiency Study of Output Lubricant Flow Rate Regulating Principle on the Example of a Two-Row Aerostatic // Journal Bearing with Longitudinal Microgrooves and a System of External Combined Throttling. Mathematics. 2021. Vol. 9. №.1698.

14. Gustafsson T., Rajagopal K.R., Stenberg R., Videman J. Nonlinear Reynolds equation for hydrodynamic lubrication // Applied Mathematical Modelling. 2015. Vol. 39. Is. 17. P. 5299 - 5309.

15.Liang P., Lu C., Pan W., Li S. A new method for calculating the static performance of hydrostatic journal bearing // Tribology International. 2014. Vol. 77. P. 72 - 77.

16. Bouzidane A., Thomas M. Equivalent Stiffness and Damping Investigation of a Hydrostatic Journal Bearing // Tribology Transactions. 2007. № 50:2. P. 257 - 267.

17.Abramowitz M., Stegun I.A., Romer R.H. Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables // American Journal of Physics. 1988. № 56. P. 958.

18.Lavrent'ev M.A., Shabat B.V. Methods of Complex Variable Theory. Moscow: Nauka, 1973.544 p.

19. Demidovich B.P., Maron I.A. Computational mathamatics // Mathematics - Generalities. 1973. № 519.4 D4.

Коднянко Владимир Александрович, д-р техн. наук, профессор, VKodnyanko@sfu-kras.ru, Россия, Красноярск, Сибирский федеральный университет,

Строк Лилия Владимировна, аспирант, LStrok@sfu-kras.ru, Россия, Красноярск, Сибирский федеральный университет,

Григорьева Ольга Анатольевна, канд. техн. наук, профессор, OGrigorieva@sfu-kras.ru, Россия, Красноярск, Сибирский федеральный университет,

Пикалов Юрий Анатольевич, канд. техн. наук, доцент, UAPikalov@sfu-kras.ru, Россия, Красноярск, Сибирский федеральный университет,

Белякова Светлана Анатольевна, канд. техн. наук, доцент, SBelyakova@sfu-kras.ru, Россия, Красноярск, Сибирский федеральный университет,

Суровцев Алексей Валерьевич, старший преподаватель, ASurovtsev@sfu-kras.ru, Россия, Красноярск, Сибирский федеральный университет,

Хуртин Анатолий Вячеславович, аспирант, AKhurtin@sfu-kras.ru, Россия, Красноярск, Сибирский федеральный университет

MATHEMATICAL MODELING OF A RADIAL HYDROSTATIC BEARING WITH MICRO-GROOVES

AND LIMITED LUBRICANT OUTPUT FLOW

V.A. Kodnyanko, L.V. Strok, O.A. Grigorieva, Yu.A. Pikalov, S.A. Belyakova, A.V. Surovtsev, A.V. Khurtin

The design of an adaptive radial hydrostatic bearing with microgrooves and a lubricant output flow regulator is proposed. Mathematical modeling of the stationary state of the bearing has been performed. The calculation of its static characteristics - bearing capacity and compliance was carried out. The results of the study allow us to conclude that the bearing can have negative compliance, which provides it with an adaptive function, consisting in the double ability of the bearing to provide not only the bearing capacity, but also the ability to fully compensate for the negative impact of the deformation

109

of the machine tool technological system on the accuracy of machining. Formulas are derived that allow calculating the values of the coefficient of elasticity of the displacement compensator, at which the bearing has zero and negative compliance. The influence of the setting parameter x on the characteristics of the bearing was analyzed. The optimal value of this parameter has been established, at which the bearing has a maximum load capacity and the largest range of perceived loads, in which a stable characteristic of its negative compliance is ensured.

Key words: radial hydrostatic bearing, microgroove, bearing capacity, negative compliance, machine tool technological system.

Kodnyanko Vladimir Alexandrovich, doctor of technical sciences, professor, VKod-nyanko@sfu-kras.ru, Russia, Krasnoyarsk, Siberian Federal University,

Strok Liliya Vladimirovna, postgraduate, Lstrok@sfu-kras.ru, Russia, Krasnoyarsk, Siberian Federal University,

Grigoryeva Olga Anatolyevna, candidate of technical sciences, professor, OGrigorieva@sfu-kras.ru, Russia, Krasnoyarsk, Siberian Federal University,

Pikalov Yury Anatolyevich, candidate of technical sciences, docent, UAPikalov@sfu-kras.ru, Russia, Krasnoyarsk, Siberian Federal University,

Belyakova Svetlana Anatolyevna, candidate of technical sciences, docent, SBelyakova@sfu-kras.ru, Russia, Krasnoyarsk, Siberian Federal University,

Surovtsev Aleksey Valerievich, senior lecturer, ASurovtsev@,sfu-kras. ru, Russia, Krasnoyarsk, Siberian Federal University,

Khurtin Anatoly Vyacheslavovich, postgraduate, AKhurtin@sfu-kras.ru, Russia, Krasnoyarsk, Siberian Federal University