CC BY
42
664.724.517.001.57
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ПРОЦЕССОВ АКТИВИЗАЦИИ СПЛОШНОГО САМОСОГРЕВАНИЯ ЗЕРНОВОЙ МАССЫ
С.В. УСАТИКОВ, А.Ю. ШАЗЗО, М.А. ТИВКОВ
Кубанский государственный технологический университет
Явленшо самосогревания зерновой массы как части тепломассообмена в капиллярно-пористой коллоидной среде посвящены многочисленные исследования [1-11] и др. (обзор см. в [12]). Заложенные в этих трудах научные и прикладные основы развиты в [12-14] с позиций синергетики. Аналитическое исследование математических моделей самосогревания представляет большие трудности, поэтому применение математического аппарата синергетического подхода к му л ьти стаби л ьным активным средам несомненно перспективно.
Существующие модели явления самосогревания основаны на теории взаимосвязанного тепловлагопе-реноса А.В. Лыкова [2] или на теории многофазной фильтрации [15]. В теории A.B. Лыкова вводятся потенциалы тепло переноса (температура) и влагоперено-са (зависящего от формы связи влаги с материалом), а также соответствующие коэффициенты переноса. Как известно, достоинствами это к теории являются сс общность и простота, а недостатками - невозможность найти распределение фаз в пористом теле (зерновой массе) и оценить роль различных механизмов переноса влаги. Поэтому в ряде работ предлагается использовать теорию многофазной фильтрации, основанную на предположении о независимости движения отдельных фаз [14] и др.
Однако последнее не получило пока широкого распространения и опубликованные в настоящее время результаты математического моделирования полей температуры Т и влагосодержания и зерновой массы получены в основном путем численных расчетов в предположении малости внутреннего тепловыделения, т. е. для зерновой массы как неактивной среды.
Большая часть работ посвящена моделированию переноса тепла и предсказанию температуры зерна [16-18] и др. (обзор см. в [8]), причем полагается, что зерно неактивно и его теплофизические свойства постоянны, вклад свободной конвекции в распространение тепла невелик. Взаимосвязанные поля влаги и температуры моделировались в работе [18], а при наличии активного вентилирования - в [19, 20].
Поведение неактивной зерновой массы с учетом сезонных колебаний температуры стенок емкости всесторонне изучено в работах [8, 9]. Влияние размеров емкости на скорость охлаждения зерновой массы в ее
центре до среднегодовой температуры исследовано в [17, 21, 22]. Теоретически и экспериментально установлено, что дневные колебания температуры проникают на глубину около 15 см и не влияют существенно на состояние зерновой массы, поэтому авторы не учитывали их в своих моделях. Сезонные колебания температуры проникают на глубину до 5 м и должны учитываться. Вместе с тем в работах, посвященных моделированию самосогревания [4, 5, 7,12] и др., сезонные колебания температуры в граничные условия не включались.
Аналитические результаты очень ограничены и получены при следующих допущениях: постоянство теплофизических свойств зерна, равенство температуры стенок емкости изменяющейся температуре воздуха, пренебрежимость тепловыделения в хранимых продуктах или его линейность по температуре. В работах [4, 5, 23] получены аналитические решения одномерной задачи теплопроводности, удовлетворительно соответствующие экспериментальным данным. В [8] показано, что температуры в центре цилиндрической емкости, предсказанные по одномерной и двумерной моделям, отличаются примерно на 0,2°С при отношении диаметра к высоте менее 0,5 и на 1,3 °С при отношении 1. Отличие от экспериментальных измерений составило порядка 3°С в центре емкости и не более 7°С в 20 см от верхней границы зерновой массы.
В данной работе средствами вычислительного эксперимента, в рамках теории A.B. Лыкова и синергетического подхода, продолжено начатое в [12,13] аналитическое исследование процесса активизации сплошного самосогревания зерновой массы при хранении в невентилируемых емкостях различных геометрических форм и размеров. Показана динамика как возможного установления безопасного температурного режима в емкости, так и развития процесса сплошного самосогревания. Аналитические соотношения [12] для критических размеров одномерных (щелевые: у = 0, цилиндрические: у = 1, сферические: у = 2) емкостей и времени индукции самосогревания обобщены на случаи различных двумерных форм. Граничные условия на поверхности емкостей приняты 1-го рода, т. е. температура То и влагосодержание н0 считались заданными постоянными или функциями времени. Показаны динамика проникновения сезонных колебаний температуры на поверхности емкости внутрь зерновой мае-
сы как активной, среды, а также влияние этих колебаний на критические размеры емкости.
Рассмотрим две формы емкостей. Первая, щелевая, имеет большую сторону Я, меньшую Ь, а третья сторона много больше Я, при этом изменение полей температуры Т и удельного влагосодержания и вдоль нее незначительно. Вторая, цилиндрическая, имеет диаметр Ь, высоту Я и предполагает осесимметричность полей Г и м. Оба указанных случая описываются двумерной краевой задачей теиломассопереноса в капилляр-но-пористых коллоидных телах [2]:
д2Т
_с^_ат + у _ ¿)Fo dv2 х дх дх
дії
гг dit <7 (Т,и)
+ — — +-V-vi)
ср dFo а
=;3^и + у дп'и Ж? \УдГГ д*Т SFo; Зу2 х дх х дх дх^
дТ_
дх
дії
дх
дТ_
су
ди\
= 0;
Л fcl ~ ^ | У~ Tq ■ П|| г ~ w! у i, L L = !| : :
L^-iL I.
і (2)
(3)
(4)
(5)
(6)
где для пшеницы принято кф" 8,96 -10 4 Вт/м ; i - Т/Ттьх и w ~ «/иЮах> Тщх~ 60°С: мтах - 55%; п ~ 18; m = 12; i ~ 9; / = 1.
В пред поло лее нии L«H и постоянстве 7'0 и и0 из (4) в [12] получена аналитическая оценка критического размера емкости:
2 ХТт.
fi-r m /Рп , -/’Рп
L (\ A in * і
Ь-Ш,
(7)
где К = 1,32 при у = 0; К = 2 при у - 1; Рп = 8Т„т/и,пзх - критерий По-снова.
При превышении 1Хр теплоотвод через стенки емкости не может уравновесить тепловыделение зерновой массы, что приводит к активизации сплошного са-
мосогревания. Если же характерный размер Ь емкости ниже 1кр, то устанавливается безопасный температурно-влажностный режим с повышением температуры от края к центру на несколько градусов с незначительным понижением влагосодержания в центре за счет термодиффузии.
Оценка 1кр по (7) была исходной в серии численных расчетов задачи (1)-(6), которые проводились методом конечных элементов. Количество элементов было не ниже 1200, а наступление стационара считалось при Рот = 7. Результаты численных расчетов (1)—(6) при различных величинах Ь/Н и постоянных заданных 7’о и и0 из (4) представлены на рис. 1-3. При Ь«Нрасчетные ¿Кр2 больше вычисленных по (7) Ькр\ не более чем на 4-7% при Т0 14-20°С.
Развитие во времени сплошного самосогревания при Ь > 1Кр2 и Я »Ь в цилиндрической емкости диаметром і 8 м при Т0 16°С, и0 24% (для пшеницы 5 = 4-10^кг/(кг-К), Ь = 0,13 Вт/(м-К) по [10-11]) показано на рис. 1. Кривые 1-6 соответствуют 71, 73, 74, 75, 76,89 сут от момента закладки на хранение. Видно, что в момент времени, превосходящий период индукции самосогревания [12]
Здесь X- приведенный коэффициент теплопроводности насыпи как сплошной среды, учитывающий естественную конвекцию в межзерновом пространстве, но пренебрегая влиянием гравитационных сил; с, р - удельные значения теплоемкости и плотности насыпи в расчете на сухое вещество; £ - коэффициент испарения; г -удельная теплота испарения; 5 - термоградиентный коэффициент; т - время; Ро = ат1Гг - число Фурье; ¥о,„ = атх1~2 - массообменное число Фурье; а = А/ср, а„, - коэффициенты температуропроводности и диффузии влаги; х, у - относи гельные декартовы координаты: х, у = О в центре емкости и х = 1 на ее боковой стенке,у - Н/Ь ка другой стенке.
Поскольку все теплофизические и массовлагообменные характеристики зерновой массы считаются постоянными, то влагосодержание пропорционально потенциалу влагопереноса и может использоваться вместо него. Для функции .'тепловыделения ду(7] и) использовалась предложенная в [12] регрессионная модель
-ср j
JT
(8)
температура в центре емкости резко увеличивается и возникает очаг самосогревания, распространяющийся от центра к краю емкости. Влияние соотношения Ь/Н на Ікр2 по (1)—(6) в сравнении с ¿*рі показано на рис. 2. Кривая 1 - для у = 0, кривая 2 - для у = 1. Ясно, что при увеличении 1/Я величина ¿кр2 также увеличивается. Оказалось, что приращение Ькр2 зависит только от Ь/Н и не зависит от 7’0 и и0 в граничных условиях. Этот факт проверен для различных культур численными расчетами в диапазонах влажности 12-22% и температуры 12-22°С, что позволяет в двумерных задачах использовать (7) совместно с поправочным коэффициентом из рис. 2 для расчета критического размера емкости.
Если емкость не имеет правильной цилиндрической, прямоугольной или сферической формы, то ее критический размер можно оценить, заключая между двумя емкостями той формы, для которой критический размер известен. Если поверхность нагрета неравно-
мерно, то, подставив в (7) максимальную температуру, получим оценку снизу для критического размера. Например, если зерно хранится в емкости кубической формы, которую можно заключить в сферу (или цилиндр квадратного сечения) диаметром меньше критического, то самосогревания не будет. Для сравнения результатов при цилиндрической и сферической формах отметим, что, например, при «0 16% и 1\, 1б°С для цилиндра с высотой, равной диаметру, Ькр2 на 5% больше, чем по формуле (7) для сферы.
Рис. 2
Представляет интерес вопрос о периоде времени, за который процесс самосогревания достигнет максимальной интенсивности: можно говорить о периоде Дт индукции сплошного самосогревания [12]. Отметим, что как само понятие «время индукции», так и способ его расчета по (8) очень условны. Ясно, что при £ —> /,,ф величина Дх -» оо, следовательно, Дх должно зависеть от Ь, что в (8) не отражено. Однако численные расчеты (1)-{6) показали, что уже при Ь > 2 Ькр2 рассчитанное время индукции совпадает с Дх по (8) с точностью зт -5 до +14% вплоть до Ь/Н = 1. Для/, > Я(8) дает оценку Дт снизу. При численных расчетах за Дх принимался момент, когда температура в центре емкости достигала 35°С. Изменение во времени температуры в центре емкости для 18м при То 16°С, и,;, 24% показано на рис. 3. Видно, что при х < Дх температура растет незначительно, при х « Дх наблюдается ее скачкообразный рост, а при х > Дх - развитие сплошного самосогревания.
Предположение о постоянстве Т0 и щ из (4) в реальных условиях не выполняется, имеют место суточные и сезонные (в зависимости от времени года) колебания
температуры и влажности стенок емкости. Для моделирования колебаний температуры стенки емкости граничное условие (4) запишем в виде
Т0 =Т0 (х) = Г„, +Та БнцЪх + ср). (9)
Численные расчеты задачи (1)-(6), (9) показали, что при наличии сезонных колебаний температуры нагревающиеся летом стенки емкости при определенных условиях могут вызывать самосогревание близлежащих слоев зерновой массы, которое может перейти в сплошное самосогревание. Например, при хранении зерна влажностью 16% при среднегодовой температуре Тт = 16°С и амплитуде температуры Т3 < 10°С для цилиндрической емкости диаметром I = 11м «Я (7,кр = 12,6 м по (7)) закладка на хранение осенью (сдвиг по фазе в (9) ф = п) не вызовет самосогревания по крайней
Рис. 4а
ИЗВЕСТИЯ ВУЗОВ. ПИЩЕВАЯ ТЕХНОЛОГИЯ, № 4, 2003
0 10 20 30 т, мес
■; ■ Рпс. 56
мере в течение 4 первых лет (рис. 4а: показано радиальное распределение температуры через 39,41,43,45, 47, 49 мес хранения). Если при тех же условиях Тл = 13°С, то в первое лето температурная волна подогреет слои зерна на глубине 0,6—1,5 м (рис. 46:11,13,15 мес), а на второй год летнее повышение температуры на границе вызовет осенью на этой глубине самосогревание (рис. 4в: 18, 19, 22, 23, 24, 25 мес). При Та = 15°С уже первое летнее потепление вызовет через 3-5 мес самосогревание (рис. 5а: 7,9,11,13,15,17 мес). Понижение температуры на границе и в этом случае не может погасить очаг (рис. 56: 1 - температура в центре емкости, 2 - сезонные колебания температуры границы).
В емкости малого диаметра температура на границе сильнее влияет на температуру внутри, и если летнее повышение температуры вызывает самосогревание, то зимнее понижение ликвидирует его (рис. 6: цилиндрическая емкость 1 = 8 м, Тт~ 15°С; Га= 15°С; и0 = 15%; кривые 1,2- температура в центре и на краю соответственно). Интересно, что в подобных условиях самосогревание не возникнет (по крайней мере в первые 5 лет), если хранить зерно в более крупной емкости диаметром 10 м.
Серия расчетов показывает, что иногда, увеличив размер емкости, можно избавиться от опасности самосогревания. Причина заключается в том, что в емкости диаметром менее 4-6 м на глубине порядка 1 м, где и возникает обычно самосогревание от сезонных колебаний температуры, амплитуда колебаний гораздо больше, чем в более крупных емкостях (рис. 1'.%- расстояние от края емкости; А(с) - амплитуда сезонных
0 1 2 3 £,м 5.5
Рис. 7
0 3 х, м 6
Рис. 8
колебаний в цилиндрической емкости; кривые 1,2 -Ь 4 и 11м соответственно).
Ясно, что при малых размерах емкости любые изменения внешних температуры и влажности отражаются на всей массе зерна, как следствие, емкости слишком малых размеров становятся опасными в смысле возникновения самосогревания при временных повышениях температуры. Можно говорить о наименьшем допустимом безопасном размере ¿Шщ емкости, который вместе с £кр ограничивает диапазон установления температурно-влажностного режима без активизации самосогревания. Расчет 1,тщ производится численно по (1)-(6), (9).
0 1.0 2.0 3.0
Рис. 5а
60
г,° с
40
15 20 т, мес 35
Рис. 6
мрдс-
^ГКГСГП
('л
• ОКаИП.Он,
агжл-е
хп:1К'лннгг пи
Колебания температуры проникают внутрь емкостей с задержкой, и максимум температуры на некоторой глубине достигается уже при холодной границе. Если на этой глубине залегает слой с повышенной влажностью или температурой, то может возникнуть самосогревание, и наблюдение только за температурами гранипы и центра, как предлагается в [4], не может это прогнозировать. Заметим, что повышенная температура внутреннего слоя может образоваться даже в результате прохождения прошлогодней температурной волны (рис. 46, 4в). Развитие самосогревания при достижении температурной волной более влажного слоя б цилиндрической емкости (Ь = 12 м) приведено на рис. 8 (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 мес). Закладка на хранение была весной (ср = 0), Тт= 15°С, Та=20°С, вла-госодержание внешнего слоя м0 = 14% (Дт = 45 лет, даже при сезонных колебаниях 7а = 20°С самосогревания нет). На глубине свыше 1,5 м располагается более влажный слой и\ = 17% (Дт = 8,5 лет, на рис. 8 штриховыми линиями показаны начальное и конечное распределение и). На 6-7-й месяц на влажный участок доходит летнее повышение температуры, вызывая самосогревание. ; "
Таким образом, во многих случаях колебания температуры стенки нельзя осреднять по времени, поскольку из-за нелинейности тепловыделения они приводят к появлению дополнительных источников тепла в емкости с зерновой массой. Как следствие, критический размер емкости снижается, а емкости размером меньше ¿шщ становятся опасными в смысле возникновения самосогревания при временных повышениях температуры и определенной влажности.
. 'выводы ..........
1. На основе теории взаимосвязанного тепловлаго-переноса и синергетического подхода средствами вычислительного эксперимента развита методика прогнозирования процесса активизации сплошного самосогревания зерновой массы при хранении в невенти-лируемых емкостях различных геометрических форм и размеров.
2. В условиях постоянства температуры и влажности стенки устанавливается безопасный температурно-влажностный режим без активизации самосогревания, если наименьший размер Ь емкости не превосходит критическую величину Ькр. При Ь выше Ьщ, в центре емкости возникает очаг самосогревания, по истечении времени индукции охватывающий всю емкость. Установлено, что для расчета Ьк? с учетом остальных размеров щелевых и цилиндрических емкостей молено применять соотношение (7) с поправочным коэффициентом из рис. 2, зависящим только от отношения характерных размеров емкости.
3. Для расчета времени индукции процессов самосогревания зерновой массы можно применять соотношение (8), при условии, что размер емкости Ь превышает 2 ¿¡ф.
4. Необходим учет сезонных колебаний температуры стенки емкости с зерновой массой, определяющих локализацию и динамику развития очагов самосогревания.
Колебания температуры при расчетах, как правило, нельзя осреднять по времени, так как из-за нелинейности тепловыделения появляются дополнительные ис-точники тепла. Как следствие, критический размер емкости уменьшается, а емкости размером меньше Lm-m становятся опасными для возникновения процесса самосогревания при сезонных повышениях температуры.
ЛИТЕРАТУРА ' J
1. Трисвятский Л.А. Хранение зерна. - М.: Агропромиз-
дат, 1986. - 350 с.
2. Лыков А.В., Михайлов Ю.А. Теория тепло- и массопе-реноса. - М.-Л.: ГЭИ, 1963. - 536 с.
3. Хранение зерна и зерновых продуктов / Ред. К.М. Кристенсен. - М.: Колос, 1978. - 472 с.
4. Сергунов B.C. Дистанционный контроль температуры зерна при хранении. - М.: Агропромиздат, 1987. -.174 с.
5. Файн А.М. Математические модели самосогревания зерновой массы для регулирования процесса хранения // Теоретические основы сохранения зерновой массы. - М.: Колос, 1981. -С. 16-77.
6. Изотова А.И. Установление интенсивности тепловыделения
при хранении зерна: Дне....канд. техн. наук. - М.: МТИПП, 1973. -
144 с.
7. Боровский А.Б. Процессы переноса тепла и влаги и изменения качества в хранящейся массе семян подсолнечника: Дис. ... канд. техн. наук. - Краснодар: КубГТУ, 1990. - 203 с.
8. Muir W.E., Jayas D.S. Temperatures of stored grains and oilseeds // Grain preservation biosystems. Chapter 8 / Ed W.E. Muir. -Winnipeg: University of Manitoba, 2000. - P. 1-50.
9. Muir W.E. Changes in grain moisture content during storage // Grain preservation biosystems. Chapter 9 / Ed. W.E. Muir. -Winnipeg: Uni versity of Manitoba, 2000. - P. 1-17.
10. Гинзбург A.C., Г ромов M.A., Красовская Г.И. Теплофизи-ческие характеристики пищевых продуктов: Справочник. - М.: Агропромиздат, 1990.-286 с.
11. Гинзбург А.С., Савина И.М. Массовлагообменные характеристики пищевых продуктов: Справочник. - М.: Легкая и пищевая пром-сть, 1982. - 280 с.
12. Усатиков С.В., Шаззо А.Ю. Зерновая масса как синер-гетически активная среда // Изв. вузов. Пищевая технология. - 2002. - № 2-3. - С. 56-61.
13. Усатиков С.В., Шаззо А.Ю. Волна активизации самосогревания зерновой массы // Там же. - № 4. - С. 45-49.
14. Усатиков С.В., Шаззо А.Ю., Боровский А.Б., Тнвков М.А. Моделирование тепло-, влаго- и газообменных процессов при хранении зерновых и семенных масс // Научные основы процессов, аппаратов и машин пищевых производств: - Материалы междунар. науч.-практ. конф. - Краснодар: КубГТУ, 2002. - С. 129-131.
15. Wiiifaker S. Heat and mass transfer in granular porous media // Advances in Drying / Ed. A. Mujumdar. - Hemisphere Publ. Corp.- 1980.-1,-P. 23-61.
16. Alagusundaiiun K., Jayas D.S., White N.D.G., Muir W.E. Finite difference model of three-dimensional heat transfer in grain bins // Can. Agric. Eng. -1990. -32. - P. 315-321.
17. Alagusundaram K., Jayas D.S., White N.D.G., Muir W.E. Three-dimensional, finite element, heat transfer model of temperature distribution in grain storage bins // Trans. ASAE. - 1990. -33.-P. 577-584.
18. Singh A.K., Thorpe G.R. A solution procedure for
remodelling tliree-dimensional free convection flow m peaked bulks of grain /I J. Stored Prod. Res. - 1993. - 29.- P. 221-235. . ^ ..
if. 4, 2003
яіерату-
ляюіцих
ІЛГ ПТ'ПГ' -
іравило, инейно-аые ис-імер ем-,ше Lmm есса са-перату-
опромиз-
массопе-
Ы. Кри-
вратуры
гревания оретиче-1981. -
деления ,1973. -
"И и из-Дис. ...
lins and Muir. -
during Muir. -
юфизи-М.: Аг-
аракте-
ищевая
синер-
-2002.
само-
ИВКОВ
:ов при leccoB, дунар.
porous ; Publ.
Muir
l grain
Muir
lei of 990,-
e for ilks of
ИЗВЕСТИЯ ВУЗОВ. ПИЩЕВАЯ ТЕХНОЛОГИЯ, № 4, 2003
19. Xu Yongfu, Burfoot D. Simulating the bulk storage of foodstuffs // J. Food Eng. - 1999. -39. -№ 1. - P. 23-29.
20. Mhimidl A., Nasrallah S.B., Fohr J.P. Heat and mass transfer during drying of granular products — simulation with convective and conductive boundary // Int. J. Heat and Mass Transfer. - 2000. - 43. -P. 2779-2791.
21. Yaciuk G., Muir W.E., Sinha R.N. A simulation model of temperatures in stored grain // J. Agric. Eng, Res. - 1975. - 20. -P. 245-258.
63
22. Jayas D.S., Alagusundaram K., Shumugaiu G., Muir W.E., White N.D.G. Simulated temperatures of stored grain bulks // Can. Agric. Eng. - 1994. - 36(4). - P. 239-245.
23. Win-Jin Chang, Cheng-I Weng. An analytical solution to coupled heat and moisture diffusion transfer in porous materials // Int. J. Heat and Mass Transfer. - 2000. - 43. - P. 3621-3632.
Кафедра общей математики
Кафедра технологии переработки зерна и комбикормов
Поступила 19.02.03 г.
664.762.002.28.517.001.57
МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ НА ЧАЛЬНОЙ СТАДИИ ПРОЦЕССА ОБРАЗОВАНИЯ ПОРИСТОЙ МАКРОСТРУКТУРЫ [ ПОЛУФАБРИКАТА ЭКСТРУЗИОННЫХ КРУП '
А.Ф. БРЕХОВ, Г.О. МАГОМЕДОВ, В.Н. КОЛОДЕЖНОВ
Воронежская государственная технологическая академия
Одним из перспективных направлений в пищевой технологии является производство полуфабрикатов экструзионных круп. Многие вопросы, касающиеся особенностей технологии, процессов и оборудования для их производства, рассмотрены в [1, 2]. Вместе с тем представляет интерес разработка математических моделей и получение на их основе условий, накладываемых на основные параметры системы и теплофизические характеристики продукта, при выполнении которых осуществляется устойчивая реализация процессов такого рода.
На начальной стадии крупа размельчается до состояния однородной массы. При этом происходит разогрев массы в общем случае за счет как внешнего подвода тепла, так и диссипации механической энергии. В итоге в предматричном пространстве шнековой камеры пресса формируется разогретая до некоторой температуры однородная вязкопластическая среда, которая поступает затем в цилиндрический канал матрицы. Исходные характеристики процесса и габариты канала зависят от состава сырья, а также параметров шнекового пресса.
Течение однородной вязкопластической среды в канале матрицы описывается хорошо известными гидродинамическими соотношениями [3].
Допу стим, что в первом приближении температура фазового перехода (парообразования, т. е. образования паровых пузырьков) жидкости в вязкопластическом материале при некотором давлении равняется температуре фазового перехода для свободной жидкости при том же давлении. Момент образования паровых полостей предлагается интерпретировать как начало процесса образования пористой макроструктуры крахмалсодержащего сырья.
Рассмотрим математическую модель начальной стадии образования пористой макроструктуры.
Точное нахождение распределения температуры массы внутри канала затруднительно в связи с наличи-
ем двух зон течения: вязкой и пластической. Поэтому рассмотрим приближенный подход, основанный на определении средней по сечению канала температуры среды. При этом стенки канала в первом приближении считаем теплоизолированными.
Предположим, что молекулярным теплопереносом в канале можно пренебречь по сравнению с конвективным. Тогда уравнение установившегося конвективного теплопереноса для нахождения распределения температуры может быть представлено следующим образом:
dT
(і)
где с, р - теплоемкость и плотность вязкопластической среды; Т(х) -средняя по сечению канала температура среды, представляющая собой неизвестную функцию продольной координаты х; ддис - удельная (по объему) мощность диссипативного тепловыделения; -средняя скорость движения вязкопластического материала.
Решение будем проводить с учетом граничного условия для температуры
при X = 0; Т- Г0>
(2)
где То - начальная температура вязкопластической среды на входе в канал.
Поскольку диссипативное тепловыделение имеет место лишь в зоне вязкого течения, значение qmo может быть определено процедурой усреднения по поперечному сечению канала -
2р.
R;
dr )
R Р=Р0 -Р
р А Р 0 1
(3)
(4)
где Лк, йр - радиусы канала и центральной жесткой зоны пластического течения [3]; и коэффициент динамической вязкости среды; I - длина канала; АР - перепад давления между' входным и выходным сечениями канала, давление в которых принимает, соответственно, значения Р0 и Р¿; тр - предельное напряжение сдвига, при превышении уровня которого начинается вязкое сдвиговое течение; г -радиальная координата, отсчитываемая от оси канала.
