Математическое моделирование процесса сублимации ультрадисперсных порошков в плазме атмосферного давления. Часть 2 Текст научной статьи по специальности «Физика»

УПРАВЛЕНИЕ, ИНФОРМАТИКА И ВЫЧИСЛИТЕЛЬНАЯ ТЕХНИКА

УДК 533.6, 533.9, 519.6

И. Ш. Абдуллин, М. Х. Бренерман, М. Ф. Шаехов МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ПРОЦЕССА СУБЛИМАЦИИ УЛЬТРАДИСПЕРСНЫХ ПОРОШКОВ В ПЛАЗМЕ АТМОСФЕРНОГО ДАВЛЕНИЯ. ЧАСТЬ 2

Ключевые слова: ВЧИ-плазмотрон, ультрадисперсный порошок, сублимация, эйлерово-лагранжево моделирование.

Работа посвящена численной реализации предложенной ранее авторами математической модели сублимации ультрадисперсных (около 10мкм) порошков в «холодной» (до 10 кК) плазме атмосферного давления в ВЧИ плазмотроне. Описывается алгоритм моделирования, основанный на решении обратной задачи для нелинейного уравнения теплопроводности. Получены зависимости предельной загрузки плазмотрона от размера частиц, температуры плазмы и давления для взвеси диоксида кремния в аргоне и воздухе.

Keywords: cold plasma, ultra dispersed powder, two phase flow, heat & mass transfer, numerical simulation .

Model of "influence cells" for gas-solid interphase heat and mass transfer in"cold"plasma was suggested by authors earlier. Here we perform numerical algorithm and results of numerical simulation for process of sublimation of ultra dispersed silicon dioxide powder in induction plasma torch. The final result is dependence of maximal plasma torch output productivity from temperature and pressure in processing camera.

Данная работа является продолжением работы [1] и посвящена численной реализации предложенных там модели и математического описания тепломассообмена между «холодной» плазмой и взвешенным в ней мелкодисперсным порошком.

Для описания процессов межфазного теломас-сопереноса в аэрозолях, газовзвесях, широко применяется модель взаимопроникающих континуумов (см. напр. [2],[3]), исходящая из приближения сплошной среды. Однако часто встречаются ситуации (сильно разреженная взвесь и др.), в которых приближение сплошной среды физически необоснованно. В работе [1] рассматривается одна из таких ситуаций: сублимация твердых микрочастиц, взвешенных в «холодной» (6-10 кК) аргоновой или воздушной плазме, генерируемой в ВЧИ плазмотроне. Показано, что при условии полной сублимации, к взвешенному в плазме порошку нельзя применить приближение сплошной среды. В частности, недопустимо применение понятия макроскопической плотности.

Для описания межфазного тепломассообмена в газовзвеси плазма - порошок в [1] впервые предложена модель «сфер влияния» (термин авторов), являющаяся одной из разновидностей часто используемых в статистической физике ячеечных моделей [4]. Под «сферой влияния» твердой частицы понимается окружающее ее сферическое газовое облако (сферический слой), содержащее достаточное количество тепла для полной сублимации данной частицы за заданное время в условиях конвективного теплообмена. Внешняя сфера считается теплоизолированной. Внутренняя поверхность есть поверхность частицы, на которой происходит конвективный теплообмен между газом и частицей. Вообще говоря, эволюция температурного поля в такой системе описывается двумя уравнениями теплопроводности - одним в сферическом слое, другим в пределах внутренней сферы (внутренности частицы). На поверхности внутренней сферы задается стыковка граничных условий. На самом деле, нас интересует не распределение темпера-

туры во внутренней сфере, а количество попавшей в нее тепловой энергии, расходуемой на сублимацию. Это количество может быть вычислено в процессе решения уравнения теплопроводности в сфере влияния, так как внутреннее граничное условие фактически задает тепловой поток из сферы влияния во внутреннюю сферу. Таким образом, при решении задачи о сублимации частицы внутри сферы влияния достаточно ограничиться одним уравнением теплопроводности внутри сферы влияния. Естественно считать температурное поле внутри сферы влияния сферически симметричным. Эволюция такого поля описывается следующей смешанной краевой задачей с подвижной границей:

T,

p = Ap(Tp) (2 t cpPp(Tp) r

Tp

I n

+ ), (1)

R1(t )< r.< R 2

Tp I I Tp I

A p Tp = a Tp) (tp|Rj+ - TS), -fR.

■ 0 (2)

Tp(r,0) = Tlp(r),

dRi_ a(Tp)(Tp(Ri(t),t) Ts)

dt

PsLu

(3)

Здесь Т, Л, с, р - температура, теплопроводность, (зависящая от Тр ), удельная теплоемкость и плотность.

Индекс р относится к плазме, индекс 5 - к частице. а - коэффициент конвективного теплообмена на границе частицы (также зависящий от Тр ), 1-и - удельная

теплота испарения материала частицы. ^ - радиус сферы влияния, Rl ) - переменный радиус частицы. Тр1 (г) - начальное распределение температуры

по радиусу, в рассматриваемой ситуации сфера влияния изначально считается прогретой равномерно.

r

Первое из граничных условий (2) описывает конвективный теплообмен между плазмой и частицей, второе - теплоизолированность внешней сферы. Второе из уравнений (3) описывает изменение размера частицы в процессе сублимации, краевая задача (1)-(3) является задачей с подвижной внутренней границей, при этом радиус границы сам зависит от решения (4)-(5) (задача Стефана). Здесь в модель (1) - (3), по сравнению с моделями, предложенными в [1] и [5], введена следующая коррекция. Коэффициенты теплопроводности и теплоотдачи а (Тр) газа существенно

зависят от температуры, а следовательно, в каждый момент времени, и от координат. Так, по экспериментальным данным [3] путем интерполяции для аргона нами получена зависимость:

Лр (Тр) = 0,0358 (Тр /750)

0.68

р

Так как

а(Тр) = Ми

Л р (Тр) d

(4)

(5)

то аналогичная степенная зависимость имеет место и для а . Кроме того, при падении температуры вблизи внутренней границы ниже температуры кипения, сублимация прекращается, т.е. коэффициент теплоотдачи а становится равным нулю. Поэтому окончательно для а следует принять зависимость:

Гр )

"Тр )=

Ыи-

0,

Тр >ТУ,

Тр < т„,

6)

где Ту - температура испарения материала частицы.

В условиях чистой сублимации внутренняя температура частицы остается равной 300К, и температурное поле в сфере влияния имеет градиент порядка 108 К/м. При таком градиенте пренебречь зависимостями (4), (6) нельзя, и задача (1)-(3) является существенно нелинейной и по температуре, и по граничным условиям. Левое граничное условие разрывно по температуре.

Если радиус влияния выбран минимально достаточным, то в рабочей области плазмотрона может поместиться максимальное количество сфер влияния и, тем самым, плазмотрон будет максимально загружен. Поэтому ключевым моментом численной реализации модели «сфер влияния» является подбор минимального радиуса влияния.

Первое приближение для радиуса влияния определяется из энергетических соображений по формуле:

Я2 = 3

3

р

+1 я

(7)

рп 1Р (Тр - Т¥)

где Я1 - радиус частицы, Я2 - радиус сферы влияния, QVRl - энергия испарения частицы, / - число степеней свободы молекулы, Тр - начальная температура

плазмы, Ту - температура испарения материала частицы, Р - давление в плазме. На рис.1 показана типичная временная эволюция распределения температуры по радиусу внутри сферы влияния, рассчитанная

по модели (1) - (6). При этом начальное условие в (3) соответствует равномерно прогретой сфере влияния в начальный момент времени.

о

Г

/

с

// /

г1

V

2 4 6 8 10 12 14

г-10~', т

Рис. 1 - Температурный профиль в плазме внутри сферы влияния при а) t = 0, Ь) t = ts /10, с) t = ts /2.5 , ф t = ts. ts - время полной сублимации

Остаточная внутренняя энергия сферы влияния может быть оценена по площади под нижним графиком. Видно, что после падения температуры на поверхности частицы до температуры кипения (окончание процесса сублимации) в сфере влияния остается еще существенное количество неиспользованной энергии, сопоставимое с количеством использованной на сублимацию энергии. Поэтому оценка радиуса влияния из чисто энергетических соображений занижена и приводит к явно завышенному значению предельной загрузки плазмотрона. Тот же расчет показывает, что время полной сублимации частицы размером до 50 мкм имеет порядок 10-3 с. Время пребывания частицы в камере плазмотрона определяемое по скорости потока меняется в пределах 0.01 - 0.1 с, так что за время прохождения камеры частица сублимируется полностью и применение модели (1)-(6) правомерно.

Математическое решение задачи (1) - (6) получено в [1]. Опишем алгоритм вычисления минимально достаточного радиуса влияния на базе решения задачи (1) - (6). Ядро алгоритма численно реализует решение задачи (1) - (6) (полученное в [1]) в два этапа. На первом этапе используется первое из выражений (6), фигурирующее в граничном условии (2). После падения температуры Тр до значения Тр = Т¥ наступает

второй этап: сублимация продолжается при минимально возможном значении

'р

«1+ = ТV •

(8)

Выражение (8) становится новым граничным условием для задачи (1) - (4). Второй этап продолжается либо пока частица полностью не испарится, либо пока температура плазмы в сфере влияния не выровняется до Т¥ . Обозначим через 0«2 энергию, затраченную

на сублимацию при выбранном «2 и однократной прокрутке ядра алгоритма. Пусть

Л 0« = 0« - В силу первоначального выбо-

ра Я2 по энергетическим соображениям, после первой прокрутки имеем заведомо Л0«2 < 0 . Далее, прокручиваем ядро с последовательно увеличиваю-

щимся R2 до тех пор, пока не получим: ДQR2 > 0 . Так получаем второе приближение для R2. Имея пару приближений - предыдущее R2e и текущее R2i, для определения последующего значения ^ используем итерационную процедуру дихотомии. А именно, полагаем R2 = + R2e)/ 2 и прокручиваем ядро для вычисления QR2 . Если

ДQR2e ЛQR2. > 0 , то полагаем R2e = R2, в противном случае полагаем R2/ = R2 . Далее, итерации повторяются до тех пор, пока погрешность ДQR2

не превысит заданной. На этом вычисление Я2 заканчивается. Предельная загрузка плазмотрона, при условии полного использования всего объема сгенерированной плазмы, определяется по формуле:

Qs = 0,74 ps (

R

R2

1 \3

)3Qg

Tp (0)

(9)

ч2 ^

Здесь QG - объемный расход холодного газа при н.у.(м3 / час), результат получается в кг / час. р5 -плотность материала частицы. На рис.2 приведены результаты расчетов по модели «сфер влияния» для системы аргон - диоксид кремния, на рис.3 то же для системы воздух - диоксид кремния. Анализ результа-

ij<

OJ

Т"К

Рис. 2 - Зависимость предельной загрузки плазмотрона порошком диоксида кремния (кг/час) от абсолютной температуры аргоновой плазмы при = 7 м3/час, Р= 1 Бар. Размер частиц 10 - 30 мкм

тов численного моделирования показывает, что предельная загрузка не зависит от размеров частиц порошка. Близость результатов для аргоновой и воздушной плазмы можно объяснить следующим. Теплосодержание плазмы прямо зависит от количества степеней свободы молекулы и плотности. Количество степеней свободы у воздуха в 1,7 раза больше, чем у аргона, плотность в 1,3 раза меньше, коэффициент теплопроводности в 1,2 раза меньше, что в совокупности дает близкие результаты.

О)

т'к

Рис. 3 - Зависимость предельной загрузки плазмотрона порошком диоксида кремния (кг/час) от абсолютной температуры воздушной плазмы при = 7 м3/час, Р= 1 Бар. Размер частиц: 10 - 30 мкм

Полученные зависимости согласуются с экспериментальными данными из [6].

Одним из основных факторов, снижающих эффективность рассмотренного в [1] процесса сублимации, является «неподвижность» частицы относительно газового потока. С одной стороны, это приводит, как видно из рис. 1, к образованию вблизи поверхности частицы зоны с низкой температурой и, соответственно, с низким коэффициентом теплопроводности. С другой стороны, вблизи внешней границы сферы влияния, образуется «застойная» температурная зона, аккумулирующая неиспользуемую остаточную энергию. Выход из этой ситуации видится в таком изменении конструкции плазмотрона, когда частицы движутся относительно потока. Возможные пути: установка турбулизирующих поток решеток, «раскачка» частиц ультразвуком или низкочастотным электромагнитным полем.

Работа поддержана Министерством образования и науки РФ, проект № 2196 базовой части государственного задания.

Литература

1. И.Ш. Абдуллин, М.Х.Бренерман, М.Ф.Шаехов, А.В.Герасимов, Вестник Казан. технол. ун-та,.17, № 11, 2014, с. 45 - 50.

2. Р.И.Нигматулин, Динамика многофазных сред, т.1, М.,Наука,1987, 464с.

3. Абдуллин И.Ш., Желтухин В. С. Применение ВЧ плазмы пониженного давления для газонасыщения поверхности металлов. // Вестник Казан. технол. ун-та, - 2003. - № 1. с. 172-179.

4. М.Х.Бренерман, А.Р.Кессель, Известия РАН, Энергетика, , №3,1998, 25-32

5. С.В. Дресвин, С.Г. Зверев. Теплообмен в плазме, СПБ, издательство политехнического университета, 2008, 212 с.

6. Катнов В.Е., Петрова Е.В., Степин С.Н, Дресвянников А.Ф., Гафаров И.Г., Вестник Казан. технол. ун-та, Т.14, 2011, с. 220 - 223.

© И. Ш. Абдуллин - д.т.н., проф., зав. каф. плазмохимических и нанотехнологий высокомолекулярных материалов КНИТУ, [email protected]; М. Х. Бренерман- к.ф.-м.н., доц. каф. высшей математики КНИТУ, [email protected]; М. Ф. Шаехов -д.т.н., профессор кафедры ПНТВМ КНИТУ, [email protected].

© I. Sh. Abdullin - Prof. KNRTU, Kazan, Russia, [email protected]; M. H.Brenerman - Associate professor KNRTU, Kazan, Russia, [email protected]; M. F. Shaekhov - Prof. KNRTU, Kazan, Russia, [email protected].