Математическое моделирование процесса массопереноса в полидисперсных зернистых материалах, используемых для защиты окружающей среды Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 669.047.8

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ПРОЦЕССА МАССОПЕРЕНОСА В ПОЛИДИСПЕРСНЫХ ЗЕРНИСТЫХ МАТЕРИАЛАХ, ИСПОЛЬЗУЕМЫХ ДЛЯ ЗАЩИТЫ ОКРУЖАЮЩЕЙ СРЕДЫ

© В.М. Дмитриев, Е.А. Сергеева, Л.С. Тарова, С.П. Рудобашта

Dmitriyev V.M., Sergeyeva E.A., Tarova L.S., Rudobashta S.P. The mathematical modelling of mass transfer in polydisperse granular materials used in environment protection. The article looks at methods of kinetic calculation for the drying process of granular materials. It also proposes a mathematical model for the damp diffusion of granular materials with regard to particle heterogeneity in terms of apparatus size and time. The need is argued for considering the intensity of material and length-wise mixing in a mathematical model of particle polydispersion.

Для многих процессов с использованием дисперсных материалов характерен взаимосвязанный тепло-массоперенос, зависящий от большого числа теплофизических характеристик, существенно изменяющихся в ходе процесса [1]. Большинство из этих параметров, в частности коэффициенты внутреннего массотеплопе-реноса, являются трудноопределимыми [1]. Для общего случая описания кинетики и динамики процессов массопереноса требуется совместное решение дифференциальных уравнений тепломассообмена и гидродинамики. Использование такого рода решений для кинетического расчета процесса массопереноса связано с определенными трудностями. Это обусловило возникновение и развитие большого количества разнообразных методов кинетического расчета процессов с применением дисперсных материалов, которые можно разделить на три основные группы [1-3, 7, 8]:

1) эмпирические;

2) полуэмпирические;

3) теоретические (аналитические и численные), основанные на решении дифференциальных уравнений тепломассообмена и гидродинамики с использованием теплофизических характеристик материала твердой фазы.

Эмпирические методы описания кинетики процессов базируются на изучении влияния варьируемых технологических и конструктивных параметров и часто реализуют модель «черного ящика». Формальный перенос результатов лабораторного исследования на промышленный объект без соответствующего обоснованного учета изменения тепломассообменных и гидродинамических условий приводит к проблеме масштабного перехода [15]. Поэтому эмпирические методы кинетического расчета следует рассматривать как вынужденную меру, когда отсутствуют возможности получения информации для построения физически обоснованных моделей.

Многочисленные полуэмпирические методы кинетического расчета в основе своей содержат те или иные уравнения тепломассообмена, в которых для упрощения задачи построения математической модели используются не данные по теплофизическим характеристикам материалов и коэффициенты тепломассоотдачи, а опытные коэффициенты, определяемые соответствую-

щей обработкой кинетических кривых, или используется дополнительная опытная информация для решения сложных задач математического описания.

Одним из распространенных технологических процессов в системах с твердой дисперсной фазой является процесс сушки.

Наиболее известными в практике сушки являются методы Т. Шервуда и А.В. Лыкова [5], использующие кинетическое уравнение на базе коэффициента сушки для описания второго периода сушки.

Широкое применение нашли методы обобщения опытных кривых сушки (методы Г.К. Филоненко и В.В. Красникова [12, 16, 17]), в основу которых положена функциональная зависимость скорости сушки от разности текущего и равновесного влагосодержания.

Наиболее эффективно применение методов описания кинетики с помощью опытных кривых сушки в случае исследования процесса тепломассопереноса в дифференциально тонком слое материала (работы В.Ф. Фролова [14]). Интегрирование дифференциальных уравнений материального и теплового балансов для взаимодействующих фаз с учетом гидродинамических особенностей протекания процесса дает решение кинетики и динамики для всего аппарата в целом.

Ввиду сложности описания кинетики сушки на основе системы взаимосвязанных дифференциальных уравнений тепло- и массопроводности одним из эффективных приемов является искусственное «развязывание» этих уравнений с помощью получаемых опытным

путем зависимостей C = f (t). Такой прием позволяет строить математическое описание либо на уравнении массопроводности [1], либо используя только уравнение теплопроводности. Второй метод успешно реализуется в работах В.И. Коновалова [9-11, 18].

Аналогичную функцию выполняет число Rb [19]. Использование экспериментально находимых функций

Rb = f (C ) позволяет рассчитать среднеобъемную температуру материала в процессе сушки t = f (т) , что существенно облегчает описание кинетики сушки.

Развитие методов кинетического расчета непрерывной конвективной сушки дисперсных материалов

характеризуется постепенным отходом от различных эмпирических методов и все более широким внедрением в расчетную практику теоретических (аналитических и численных) и смешанных методов (сочетание теоретического подхода с получением дополнительной экспериментальной информации на основе физического моделирования процесса).

При непрерывной сушке дисперсных материалов существуют два принципиально разных подхода для описания её кинетики [1 ].

Первый из них заключается в том, что выбирается подвижная система координат, которая связана с частицами, перемещающимися по аппарату. Задача кинетического расчета непрерывной сушки разбивается на два основных уровня: микрокинетический и макроки-нетический [20]. При этом на микрокинетическом уровне формулируется задача кинетики сушки единичной частицы в виде дифференциальных уравнений мас-сотеплопроводности при соответствующих краевых условиях, а на макрокинетическом уровне учитываются распределение гранул по размерам и по времени пребывания в аппарате. Математическая модель в этом случае записывается для отдельных частиц влажного материала, а макрокинетическая задача предполагает известными данные по неоднородности частиц материала по размерам и по времени пребывания в аппарате. В настоящее время такое описание кинетики сушки дисперсных материалов возможно только для аппаратов с простой гидродинамикой потоков, поддающейся аналитическому описанию [13, 21, 22].

Второй подход к описанию кинетики непрерывной сушки дисперсных материалов заключается в выборе неподвижной системы координат, связанной с корпусом аппарата, в которой задача тепломассообмена формулируется в виде дифференциальных уравнений конвективной диффузии [8]. Этот подход целесообразен в тех случаях, когда отсутствует описание микрокинетики процесса на основе дифференциальных уравнений массотеплопроводности, т. е. затруднительно получение функции С = /(Я,т) для единичных гранул или монослоя. Такая проблема возникает при рассмотрении аппаратов со сложной гидродинамикой, при наличии побочных эффектов (агломерация, истирание, отслаивание высохшего материала, измельчение и т. д.).

Так как расчет действительного поля скоростей твердой или газовой фаз на основе уравнений движения во многих случаях представляет сложную задачу, то в практике описания кинетики сушки дисперсных материалов в непрерывно действующих аппаратах широко распространен метод описания гидродинамической структуры потоков на основе тех или иных моделей, в частности - на основе диффузионной модели. При этом в описании математической модели учитывается изменение параметров сушильного агента в условиях прямоточного и противоточного движения взаимодействующих фаз при влажностном и гигроскопичном состоянии на поверхности их контакта с влиянием продольного перемешивания газовой фазы на основе диффузионной модели.

Решение задачи кинетического расчета может находиться численными или аналитическими методами при допущении постоянства теплофизических характеристик в последовательных зонах аппарата, что дает

возможность применения аналитических решений линейных задач тепломассопереноса [1, 8].

Кинетический расчет процесса сушки, как важнейшая часть общего технологического расчета этого процесса, является основным элементом при компьютерном анализе аппаратурно-технологического оформления процесса и решении задачи по его оптимизации.

Выбор математической модели процесса сушки базируется на основе анализа большого количества факторов, основными из которых являются [1]:

- тепломассопереносные характеристики высушиваемого материала;

- кинетический режим сушки с определением основных сопротивлений тепломассопереносу (внешняя, внутренняя или смешанно-диффузионная задача);

- вид применяемого сушильного агента;

- принципиальная схема сушки;

- тип используемой сушилки;

- вид испаряемой жидкости (вода, смеси различных жидкостей, активные растворители);

- температурный режим процесса;

- организационная структура процесса;

- сопровождающие эффекты агрегатирования, ис тирания, отслаивания и т.д.;

- структурная характеристика твердой фазы;

- структурные изменения материала в ходе процесса;

- дисперсный состав материала;

- форма частиц.

При рассмотрении внутренней задачи массоперено-са при сравнительно быстром протекании теплообмена основная часть процесса протекает при условиях, близких к изотермическим [1].

Это обстоятельство облегчает кинетический расчет по изотермическим моделям, которые намного проще неизотермических и требуют меньшего числа параметров.

Применение теоретического подхода для описания кинетики массопереноса в гранулированных материалах также существенно упрощается тем, что выпускная форма гранул близка к канонической (ограниченная пластина, ограниченный цилиндр, сфера).

При рассмотрении процесса конвективной сушки дисперсных материалов общую кинетическую задачу в соответствии с идеологией, развитой в [1, 8], целесообразно декомпозировать на два основных подуровня:

1) микрокинетический;

2) макрокинетический.

На нижнем (микрокинетическом уровне) рассматривается кинетика сушки единичной частицы материала или элементарного (дифференциально тонкого) слоя. Для описания микрокинетики выбирается подвижная (лагранжева) система координат, которая связана с рассматриваемой частицей, перемещающейся по аппарату.

На верхнем (макрокинетическом) подуровне учитываются конструктивные, гидродинамические и тепломассообменные особенности рассматриваемого типа аппарата (тип и конструкция аппарата, схема движения взаимодействующих фаз, условия их ввода в аппарат, структура потоков, условия теплообмена и т. д.)

На микрокинетическом уровне процесс внутреннего тепломассопереноса описывается системой взаимосвязанных дифференциальных уравнений [5]:

дС/дт = іііу [DgradC + 5grad7];

стрт (дГ/дт) = div [Xgrad7] + є* г*(дС/дт).

(1)

(2)

В соответствии с таким подходом, математическую модель процесса диффузии влаги в зернистых материалах с учетом изложенных выше особенностей на нижнем подуровне (для рассмотрения взята сферическая гранула) представим в следующем виде:

дС,

дт

(г,т) _ 1 д

ю.

дС

(с,т )-

(г,т)

дг

С(г,т)= Ср >г=к> т > 0;

0 < г < Л, т > 0; (3)

(4)

(5)

выражен в виде интегральных или дифференциальных кривых распределения количества (массы, объема, поверхности или числа частиц) материала по размерам частицы [2, 26-27].

Неоднородность частиц по времени пребывания в непрерывно действующем аппарате зависит от множества факторов, в том числе от его конструкции и от сыпучести материала.

Неоднородности частиц как по размерам, так и по времени пребывания в аппарате оказывают существенное суммарное влияние на точность кинетического расчета.

Учет суммарного влияния этих неоднородностей на точность кинетического расчета можно осуществить по уравнению:

С = Г/ (я)! / (т)с (я, т) аяск,

(7)

дС

(г,т) _

дг

(6)

Использование уравнений (3-6) для описания микрокинетики процесса сушки предполагает известными данные по сорбционным Ср = /1(-ф, п и диффузионным Бэ= / с п свойствам высушиваемых материалов.

Анализ диффузионных свойств зернистых материалов [1] выявил существенную нелинейность задачи диффузии влаги и необходимость дифференцированного учета изменения кинетических коэффициентов при расчете процесса сушки.

В соответствии с зональным методом решения нелинейной задачи диффузии [1], время изменения вла-госодержания единичной частицы в пределах одной узкой концентрационной зоны определяется (3) при условии постоянства кинетических коэффициентов.

При переходе в описании кинетики процесса конвективной сушки с микро- на макроуровень большое значение имеет учет неоднородности частиц по размерам и по времени пребывания в аппарате. Эти факторы существенны не только для точности кинетического расчета, но и для равномерности сушки, т.е. для качества высушиваемого продукта.

Теоретическое описание гидродинамики потоков взаимодействующих фаз на основе уравнений Навье-Стокса во многих случаях достаточно сложно, поэтому при математическом моделировании кинетики сушки дисперсных материалов широкое распространение получил метод, используемый в области химикотехнологических процессов. Он заключается в представлении структуры потока анализируемой фазы на основе одной из моделей - диффузионной, ячеечной (псевдосекционной), моделей с рециклом, байпасом, застойными зонами и их комбинаций [23, 24].

Наиболее часто такое модельное представление структуры потоков используется при описании процесса сушки дисперсных материалов с учетом продольного перемешивания взаимодействующих фаз в реальных конструкциях аппаратов [25].

Реальные дисперсные системы состоят, как правило, из частиц разного размера и характеризуются распределением частиц по размерам (гранулометрическим составом). Гранулометрический состав может быть

где /Я), /г) - дифференциальные функции распределения частиц по размерам и по времени пребывания в

аппарате; С (Я, г) - микрокинетическая зависимость

для единичных гранул размером Я.

Для численного анализа влияния рассматриваемых неоднородностей на макрокинетику процесса сушки используем решение дифференциального уравнения диффузии влаги в материале при постоянном граничном условии первого рода [1]:

Е = 2В„ ехрі- ^пРо,

(-Ц» Рот ) >

(8)

где Вп , цп - предэкспоненциальные множители и корни характеристических уравнений, зависящие от формы частицы [1].

При нормальном законе распределения частиц как по размерам, так и по времени пребывания в аппарате (что имеет место в подавляющем числе случаев) для сферической гранулы получим для учета только полидисперсности уравнение (8) в виде:

Ея = 2"

В.

, Ро (Т-1)2

п=1

№.

(9)

Для учета неоднородности только по времени пребывания получим:

Ет = 2-

В„

-1)2

=1СТ,

)л/2л ■

<ІЄ,

(10)

где Є = т / т ; сте=стт / т .

На рис. 1 и 2 показано влияние дисперсий аТ и ае

на зависимость относительного влагосодержания Е от числа ¥от для частиц сферической формы. Графики построены на основе численных расчетов по уравнениям (9), (10).

2 дг

г

я

0

О

0

о

2

2

Т

Т

о

о

2а2

п

100 10 5 1 0,01 Рет

-I_______I____________I_____________I-------------1>

Рис. 1. Определение ошибки кинетического расчета процесса глубокой сушки гранулированных ПМ при дисперсии частиц

по времени пребывания в аппарате: 1 - Е = 0,01; 2 —

Е = 0,015; 3 — Е = 0,02; 4 — Е = 0,03

50,5Т

I!

E = 0,01 1

- 5e / / / /4

i

I

0 0,2 0,4 0,6 0,8

Рис. 2. К определению ошибок кинетического расчета сушки

Анализ суммарного воздействия неоднородностей по размерам частиц и по времени пребывания в аппарате показывает, что:

- при наличии указанных неоднородностей расчет только по средним значениям К и т приводит к ощутимому занижению величины Е ;

- с увеличением дисперсий ст^ и Стд ошибка от неучета неоднородностей возрастает и при величине

Е = (1+3)-10—2, характерной для глубокой сушки дисперсных материалов, относительная ошибка определения необходимого времени пребывания материала в

2

аппарате достигает 20 и более процентов при ст>у и ст2 > 0,25;

- продольное перемешивание твердой фазы оказывает значительное влияние на равномерность влаго-содержания высушенного продукта и при отсутствии строго упорядоченного движения твердой фазы достигнуть требуемого качества высушенного материала при глубокой сушке весьма затруднительно.

Таким образом, анализ отношений 8y = Fom,a^0/ и

Se = Fom, ^0/ Fom^ =0 свидетельствует о том, что

при прямом кинетическом расчете макрокинетики процесса глубокой сушки во избежание существенной ошибки следует учитывать данные как о полидисперсности материала, так и об интенсивности продольного перемешивания материала в аппарате.

ЛИТЕРАТУРА

1. Рудобашта С.П. Массоперенос в системах с твердой фазой. М.: Химия, 1980. 248 с.

2. Муштаев В.И., Ульянов В.М. Сушка дисперсных материалов. М.: Химия, 1988. 352 с.

3. Лыков М.В. Сушка в химической промышленности. М.: Химия, 1970. 432 с.

4. Лыков А.В., Михайлов Ю.А. Теория тепло- и массопереноса. М. -Л.: Госэнергоиздат, 1963. 536 с.

5. ЛыковА.В. Теория сушки. 2-е изд. М.: Энергия, 1968. 471 с.

6. Лыков А.В. Тепломассообмен: Справочник. М.: Энергия, 1978. 480 с.

7. Таганов И.Н. Моделирование процессов массо- и энергопереноса. Л.: Химия, 1979. 204 с.

8. Рудобашта С.П., Карташов Э.М. Диффузия в химикотехнологических процессах. М.: Химия, 1993. 208 с.

9. Коновалов В.И. Тепломассообмен в системах газ - дисперсная твердая фаза // Тепломассообмен-VII: Проблемные докл. VII Все-союз. конф. по тепломассообмену. Ч. 2. Мн.: ИТМО им. М.В. Лыкова, 1985. С. 128-147.

10. Коновалов В.И. Тепломассообмен в химико-технологических устройствах для обработки волокнистых материалов // Тепломас-сообмен-ММФ. Тепломассообмен в энергетических и химикотехнологических устройствах: Проблемные докл. Мн.: ИТМО им. М.В. Лыкова, 1988. Секции 10, 11. С. 155-169.

11. Коновалов В.И., Романков П.Г., Соколов В.Н. Описание кинетических кривых сушки и нагрева тонких материалов // Теор. основы хим. технол. 1975. Т. 9. № 2. C. 203-209.

12. Красников В.В. Кондуктивная сушка. М.: Энергия, 1973. 288 с.

13. Рудобашта С.П., Плановский А.Н., Долгунин В.Н. Зональный расчет кинетики сушки гранулированного материала в плотном продуваемом слое на основе решений уравнений массо- и тепло-переноса // Теор. основы хим. технол. 1978. Т. 12. № 12. C. 173183.

14. Фролов В.Ф. Моделирование сушки дисперсных материалов. Л.: Химия, 1987. 208 с.

15. Масштабный переход в химической технологии. Разработка промышленных аппаратов методом гидродинамического моделирования / Под ред. А.М. Розена. М.: Химия, 1980. 319 с.

16. Куц П.С., Шкляр В.Я., Ольшанская А.И. Обобщенное уравнение кинетики конвективной сушки влажных материалов // Инж.-физ. журн. 1987. Т. 53. № 1. C. 90-96.

17. Данилов О.Л., Коновапьцев С.И., Магтымов Г. Особенности расчета кинетики с помощью обобщенных кривых сушки // Проблемы энергетики технологии в отраслях АПК, перерабатывающих растительное сырье: Тез. докл. республиканской науч.-техн. конф. М.: МГАПП, 1994. С. 31-32.

18. Коновалов В.И. Расчет кинетики процессов сушки на базе соотношений теплопереноса. Тамбов, 1978. 32 с.

19. Лыков А.В., Шейман В.А., Куц П.С., Слободкин Л.С. Приближенный метод расчета кинетики процесса сушки // Инж.-физ. журн. 1967. Т. 13. № 5. C. 725-734.

20. Rudobashta S.P. Heat-mass transfer and hydrodynamic with convective drying of dispersive materials // Two Phase Flow Mo-delling and Experimentation: Proc. Ist Intern. Symp. Roma. Italy. 1995. V. 1. P. 331-338.

26. Коузов П.А. Основы анализа дисперсного состава промышленных пылей и измельченных материалов. Л.: Химия, 1987. 264 с.

27. Коузов П.А., Скрябина Л.Я. Методы определения физико-химических свойств промышленных пылей. Л.: Химия, 1983. 143 с.

28. Авдеев Н.Я. Расчет гранулометрических характеристик полидис-персных систем. Ростов н/Д: Ростов. кн. изд-во, 1966. 54 с.

29. Андреев С.Е., Товаров В.В., Перов В.А. Закономерности измельчения и исчисления характеристик гранулометрического состава. М.: Металлургиздат, 1953. 437 с.

30. Андрианов Е.И. Методы определения структурно-механических характеристик порошкообразных материалов. М.: Химия, 1982. 122 с.

Поступила в редакцию 20 ноября 2004 г.

21. Rudobashta S.P., Zlobin A.G. Investigation of the heat-and mass transfer at convective drying of capillary porous materials in a stationare layer // On Experimental Heat Transfer, Fluid Mechanics and Thermodynamics: Proc. 4th World Conf. Brussels, 1997. V. 1. P. 335-342.

22. Злобин А.Г. Влияние структуры капиллярно-пористых материалов на массопроводность при сушке: Дис. ... канд. техн. наук. М.: МИХМ, 1978. 153 с.

23. Кафаров В.В., Дорохов И.Н. Системный анализ процессов химической технологии. Основы стратегии. М.: Наука, 1976. 500 с.

24. Кафаров В.В. Методы кибернетики в химии и химической технологии. М.: Химия, 1985. 447 с.

25. Левеншпиль О. Инженерное оформление химических процессов / Под ред. М.Г. Слинько. М.: Химия, 1969. 621 с.