Математическое моделирование процесса градоформирования: вероятностный подход Текст научной статьи по специальности «Экономика и бизнес»

УДК 51-77

Т.П. Васильева, Б.И. Мызникова, С.В. Русаков

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ПРОЦЕССА ГРАДОФОРМИРОВАНИЯ: ВЕРОЯТНОСТНый ПОДхОД

Город - одно из значимых проявлений цивилизации; он заключает в себе непреходящие ценности и уникальный опыт человеческой культуры. Город представляет собой не только памятник материальной и духовной культуры, помогающий осмыслить и объективно оценить современность, но и генератор новых тенденций в развитии человека и общества, на основе которых идет непрерывный отбор новых культурных и общественных форм. Поэтому эффективный контроль и планирование городского роста, исследование и учет происходящих в нем изменений являются необходимыми условиями успешного развития города, при которых достигаются и поддерживаются адекватная инфраструктура, эффективное потребление ресурсов, возможности трудоустройства и многое др.

Данная работа посвящена математическому моделированию развития городов с помощью вероятностного подхода, в рамках которого предложена модель, включающая описание двух взаимодействующих подсистем - «население» и «градообразующая база», и выполнено исследование хозяйственной ситуации конкретного региона. Представлено построение матриц вероятностей распределения потоков характеристик между отраслевыми блоками, дана интерпретация результатов моделирования, полученных с помощью реальных статистических данных.

Принципы формирования моделей городских систем. Город характеризуется множеством различных факторов, описывающих экономические, пространственные, экологические, социально-демографические, технические и другие явления, происходящие в городской системе. И так же, как в любой неоднородной среде, наиболее важные свойства городской системы обнаруживаются во взаимодействии явлений. Неопределенность, недетерминированность эволюции городской системы является ее естественным качеством, которое необходимо учитывать при решении проблем управления городским хозяйством. Все это в целом делает город весьма специфическим объектом исследования.

Городская система относится к классу сложных динамических систем [1]. Одно из наиболее развитых направлений в моделировании внутренних механизмов функционирования городских подсистем основано на концепциях и методах социальной физики [2], пытающейся интерпретировать и изучать некоторые явления, элементом которых является человек, используя общие физические принципы и закономерности. Многие из них - следствие фундаментальных экстремальных принципов [3]. Основная их идея состоит в том, что движение в динамической системе или состояние в статической системе - следствие максимизации (минимизации) некоторого функционала. Экстремальные принципы не являются единственным инструментом моделирования внутренних механизмов функционирования подсистем. Другой, не менее распространенный подход к построению моделей - феноменологический. Суть его состоит в описании процессов, происходящих в подсистемах, в виде балансовых уравнений. Но наибольший эффект при моделировании города достигается тогда, когда удается сочетать какой-либо экстремальный принцип с феноменологическим описанием городских процессов [4].

Модель подсистемы «градообразующая база». Рассмотрим модель городской подсистемы, называемой в дальнейшем «градообразующая база» [5]. Эта подсистема включает объекты, распределенные по городской территории, которые могут быть объединены в группы, например, в соответствии с отраслевой принадлежностью: группы машиностроительных предприятий, предприятий строительной индустрии, научно-исследовательских и проектных организаций и т. п.

Считается, что рассматриваемая подсистема включает группы объектов из А отраслей, обменивающихся произведенной продукцией через товарный рынок, который формирует соответствующие цены рх (х,t), ...,рА(х,t). Каждая отрасль производит один продукт, количество которого характеризуется объемом выпуска У^ (х, t),

1 =1,2, ..., А, используя для этого основные фонды (производственные мощности) М 1 (х, t) и трудовые ресурсы RЕ (х, t). Поскольку объекты отраслей размещены на городской территории, то показатели ее состояния зависят от пространственной переменной х.

Каждая отрасль для производства собственного продукта использует выпуск других отраслей, предприятия которых локализованы на территории города. Если технология требует употребления продукции отраслей, чьи предприятия расположены вне городской черты, то соответствующие районы считаются присоединенными к городу, что позволяет рассматривать данную подсистему как замкнутую (самодостаточную). Сделанные предположения соответствуют концепции межотраслевого баланса [6].

Межотраслевое взаимодействие через товарный рынок порождает потоки продуктов ук1 (х, t), (к, 1 = 1,2, ..., А). '

Произвольная 1-я отрасль (1 = 1,2, ..., А ) представляется совокупностью производственных единиц. Под производственной единицей понимается ячейка предприятия, производящая единицу продукции 1-й отрасли. Эффективность соответствующего производственно-технологического процесса измеряется количеством работников X , обеспечивающих выпуск единицы продукции. Тогда лучшей считается технология (X0), использующая меньшее количество работников, а худшей - технология (X1), требующая более высоких затрат трудовых ресурсов. Переменная X1 предполагается непрерывной.

Отсортируем все производственные единицы по технологическому уровню, т. е. по количеству работников, занятых в процессе производства единицы продукта. Получившееся распределение производственных единиц по технологиям, зависящее также от пространственной координаты и времени, обозначим т1 (х, X, t).

Из определения функции т1 (х, X, t) следует

соотношение

X1

| т1 (х, X, t) dX = М. (х, t),

^о

Xi

где (х, t) - общее количество производственных единиц -й отрасли (производственная мощность отрасли), размещенных в точке х городской территории в момент времени t.

Введем функцию технологической структуры

т (х, X, t)

ш (х X t) = ——-- , которая характеризует

' ' М (х, t) распределение долей производственных единиц по технологиям. Функция уД х, X, ?) определена на интервале X" < X, < X) и нормирована по «технологической» переменной X,-:

| х, X, t) d X = 1.

Поскольку в рыночной экономике успешно функционируют только рентабельные производства, то не все производственные единицы с технологиями из интервала оказыва-

ются реально задействованными. Существует пороговый уровень рентабельности технологии X*, такой, что производственные единицы, уровень рентабельности которых больше, чем X*, не выживают в рыночных условиях.

Показатель рентабельности будем оценивать, исходя из уровня дохода и структуры затрат производственной единицы. В простейшем случае доход производственной единицы определяется рыночной ценой р. (х, t). Затраты отрасли обычно разделяют на производственные и непроизводственные. Производственные затраты связаны с потреблением в процессе производства части собственного выпуска, а также продукции других отраслей. В стоимостном выражении это означает, что производственные затраты равны суммарной стоимости продуктов всех отраслей, используемых производственными единицами -й

Уы ( х, t)

отрасли. Введем величину у к, ( х, t) =-,

М( х, t)

описывающую количество продукта к-й отрасли, используемое производственной единицей -й отрасли. Стоимостное выражение этой компоненты производственных затрат рассчитывается по правилу рк (х, t) • у к1 (х, t). Непроизводственные затраты определяются заработной платой s•¡ (х, t) и количеством работающих Xi в производственной единице -й отрасли.

Таким образом, уровень рентабельности производственной единицы -й отрасли может быть определен из следующего условия:

Р. (х, t) - ¿Рк (х, t) - X • (х, t) > о. (1) м 1 (х, t)

Основные фонды М1 (х, t) также имеют определенную динамику, обусловленную факторами старения и обновления. Считается, что скорость их старения пропорциональна размерам основ-

X1

X

ных фондов в данный момент времени. Коэффициент пропорциональности обозначим в,. Обновление основных фондов происходит за счет собственных средств отрасли и за счет внешних инвестиций. Часть собственного выпуска, которая направляется на обновление основных фондов, равна Ь У (х, ?). Внешние инвестиции обозначим ^ (х, t). Тогда в линейном приближении динамику основных средств можно описать следующим дифференциальным уравнением:

dM... (х, t)

dt

■ = р, М , (х, t) + Ь У (t) +1 (х, t).

Важным параметром, от которого зависит уровень рентабельности, а, следовательно, объем выпуска и количество занятых в процессе производства, является рыночная цена р. (х, t) продукта, выпускаемого производственной единицей ,-й отрасли. Проблема формирования рыночной цены непростая, поскольку этот показатель зависит от комплексного влияния рыночных факторов. В ходе моделирования будем предполагать, что отрасли являются участниками рынка и равновесная рыночная цена устанавливается достаточно быстро. Равновесные цены на товарном рынке обычно определяются из условий баланса доходов и расходов отрасли. В этом смысле условия

О (х, t) =

(1 -Ь1)71 -УпСхt) -.Vl2(x,О

- УА1( ^ t) - Уа2( ^t)

р*(х, t) = О '(х, t)г(х, t).

равновесия выводятся аналогично условиям рентабельности производственной единицы. Однако структура расходов отрасли отличается от той, которая типична для производственной единицы. В частности, производственные расходы отрасли включают расходы на обновление производства. Считается, что эти расходы реализуются из собственных средств отрасли, т. е. из ее дохода. Расходы на инновации рассчитываются по правилу ЬгРг(х, О У, (х, {), где Ь1 - доля дохода, расходуемая на обновление производства. Остальные компоненты производственных и непроизводственных издержек те же, что и в определяющем соотношении для рентабельности производственной единицы.

В отсутствие прибыли баланс доходов и расходов отраслей описывается следующей системой линейных алгебраических уравнений:

(1-Ь) р, (х, t) У (х, t) -

а

р к(хг) у к,(х г) - R Е (х г) s I(x, г)=(

(2)

/ = 1, ..., А .

Представим систему (2) в векторно-матричной форме О (х, t) р( х, t) = г (х, t), где введены следующие обозначения:

^ (х, г) х, г) ^ г (х, t) = :

- У1А (x, t)

(1 - ЬА )Уа - УАА (х, t)

REA (х, г >А (X, г)

Решение системы (2) - вектор равновесных цен - имеет вид:

(3)

Условия (1) и выражение (3) определяют уровень рентабельности производственной единицы и равновесные цены реализуемой продукции.

В модели (1)-(3) все отрасли взаимосвязаны через потоки продукции уь (х, t) и используемые в процессе производства доли выпусков У1 (х, t), г = 1,2, ..., А , которые, в свою очередь, зависят от уровней рентабельности X * производственных единиц и цен р * (х, t).

Рыночный межотраслевой обмен произведенной продукцией носит случайный характер с элементами внешнего регулирования, что обусловлено невозможностью планирования спроса на продукт отрасли, конъюнктурой рынка, стратегией менеджеров и другими причинами.

В соответствии со стохастической концепцией рынка, доли выпуска к-й отрасли могут случайным образом, с априорной вероятностью аь (х, t), попасть в технологический процесс ,-й отрасли. Наличие априорных вероятностей вносит элемент регуляризации в товарный обмен. Они зависят от текущего состояния выпусков отраслей, т. е. а,(х,t) = а,(х;У1, ..., УА), и предопределяют возможное распределение продукта одной отрасли среди продукции других отраслей. В качестве вероятностной характеристики указанного распределительного процесса может быть использована энтропийная функция:

А Ук , (х, t)

н (у, У) = £ Ук1 (х, г )]и-

(4)

к ,,=1 ак1(У (х^)) где у(х,{) = [ук,(х,t) | к,, = 1, ..., А] - матрица потоков продуктов, которыми обмениваются отрас ли. Компоненты этой матрицы должны удовлет ворять следующим ограничениям:

к=1

£У"(х,0 < У*(х,0, к = 1, ..., А .

(5)

Реализуемое распределение потоков продуктов среди А отраслей определяется следующей задачей максимизации энтропии:

у*(х,t) = агвшах(Н(у,¥)| у е Б(¥)), (6)

где допустимое множество Б определяется системой неравенств (5).

Таким образом, построена замкнутая модель градообразующей базы, в формировании которой использована комбинация макросистемного и феноменологического подходов. Входными переменными в этой модели являются внешние инвестиции 11, ..., 1А и заработные платы 51, ..., в отраслях производственно-технологического сектора экономики города.

Модель подсистемы «население». Эта подсистема занимает особое положение в городской системе, поскольку ее элементами являются люди, обладающие собственными целями и интересами. Поэтому предполагается, что целенаправленное изменение состояния подсистемы «население» осуществляется косвенно, посредством изменений состояния других городских подсистем.

Рассмотрим задачу о распределении населения по N регионам. Считается, что между регионами происходит обмен людскими ресурсами. В результате возникают миграционные уп. потоки (п, j - номера регионов). Состояние миграционного процесса характеризуется матрицей потоков У(t) = [у.(t)| п,. = 1,...,N . Интенсивность миграционных потоков может изменяться во времени в зависимости от состояния регионов (экономического, экологического и др.). Однако считается, что при возникновении каких-либо условий, стимулирующих такие изменения, новое состояние миграционного процесса устанавливается достаточно быстро: быстрее, чем происходят изменения в процессе воспроизводства. Эта особенность миграции позволяет использовать методику макросистемного моделирования динамических процессов, изложенную при описании подсистемы «градообразующая база».

Полагая, что миграционный процесс имеет стохастическую природу, для характеристики возможных его состояний введем функцию эн-

тропии н(у, ¥) = -££ Уп.1п—, где

априорные вероятности перемещения жителя из п-го региона в регион с номером .. Эти вероятности зависят от факторов, определяющих интерес к перемене региона проживания. Ресурсные возможности приема новых жителей регионов ограничены. Поэтому миграционные потоки у п. должны удовлетворять следующим условиям:

N

£ Уп. < F (у, t), у = 1, ..., N,

п=1

где F(j, t) - предельное количество населения, которое может принять регион..

Поскольку миграционный процесс протекает достаточно быстро, его стационарное состояние У (t) может быть определено следующим образом:

¥ * (t) = аг§шах{ Н (¥ )| ¥еВ },

где О - допустимое множество, описанное выше.

Таким образом, к моделированию подсистемы «население», аналогично подсистеме «градообразующая база», применим макросистемный подход, использующий энтропию в качестве характеристики распределения элементов подсистемы.

Оптимизация городского развития. Опишем решение задачи (6) максимизации энтропии для подсистемы «градообразующая база», функция цели которой определяется выражением (4), а условия допустимости решения - балансовыми ограничениями (5). Модель (4)-(6) представляет собой оптимизационную задачу нелинейного программирования. Как известно [7], относительный оптимум задачи математического программирования при определенных условиях совпадает с абсолютным экстремумом функции Лагранжа исходной задачи:

L (у, X) = - Н (у,¥) +

+£ X

1=1

У (х, t) -£ уи (х, t)

= -£ Ун (x,)1п

Ук1 (x, 1')

к ,1=1 X *

к=1

аи (У (х, t))

А

Ук (х, t) -£ У к, (х, t)

п=1 . = 1

п.

где X к - неизвестные множители.

В соответствии с теоремой Каруша-Джона [7], необходимые условия экстремума функции Лагранжа приводят к системе уравнений:

=1

+

д Ь (У, У)

д Ук1

= 0,

Xк У (x,t) -X Ун (х,)) = 0,

Xк ^ 0,

к А = 1,..., А.

Решение данной системы имеет вид:

Ук* = ак, —

-, к, , = 1, ..., А. (7)

X ак1 (У (х, t))

Для найденной критической точки проверка достаточного условия локального максимума состоит в исследовании отрицательной определенности матрицы Гессе, элементами которой являются вторые производные функции Лагранжа, вычисленные в критической точке. Критерием отрицательной определенности матрицы является чередование знаков ее главных миноров, начиная с минуса. Поскольку матрица Гессе для функции Лагранжа задачи (4)-(6) представляет собой диагональную матрицу, элементы которой отрицательны:

д2Ь . .* 1 —г(Ун*,Х ) =--=

дУь Уи

= -1/

к А

X а, (У (х, t))

< 0,

то достаточное условие экстремума также выполняется.

Таким образом, с помощью (7) можно найти распределение потоков продукции между отраслями региона согласно принятым априорным вероятностям. Аналогичное решение имеет задача для подсистемы «население».

Стохастическое программирование региональной подсистемы. Для иллюстрации возможностей описанного подхода применим его к моделированию ситуации в ряде регионов Российской Федерации.

Выделим следующие отраслевые блоки: отрасли промышленности (машиностроение, энергетика и т. п.; объем выпуска У1), обслужи-

вающие отрасли (транспорт и связь, жилищно-коммунальное хозяйство и т. п.; объем выпуска У2), социальная сфера (здравоохранение, образование и т. п.; объем выпуска У3).

Для определения матрицы вероятностей распределения продукции между тремя указанными отраслевыми блоками будем использовать прием районирования технологических коэффициентов межотраслевого баланса, построенного для национальной экономики, что является своего рода привязкой общегосударственных коэффициентов к изучаемому региону. Такой метод используется в ситуациях, когда данных прямых обследований недостаточно для оценки коэффициентов прямых затрат и необходимо привлекать макроэкономическую информацию [8].

Начиная с 1992 г., Госкомстат России публикует межотраслевые балансы в концепции системы национальных счетов [9], представляющие собой симметричные таблицы «Затраты - Выпуск». По столбцам отражается стоимостный состав валового выпуска отраслей экономики по элементам промежуточного потребления и добавленной стоимости, а по строкам - направления использования ресурсов каждой отрасли.

Для экономики России в разрезе трех указанных отраслевых блоков, по данным Госкомстата за 2003 г. [9], построим матрицу УРФ потоков продукции и матрицу УРФ выпусков (в стоимостном выражении, тыс. руб.):

'3620489904 2073951469 240082224^ V, = 2134963423 3354036982 254483242 4697961 9974228 22494534 (5934523597^ 5743483647 37166723 ,

У =

рф

Элемент у, показывает, сколько продукции к-го отраслевого блока необходимо для производства продукции отраслевого блока номер . С помощью (7) получим матрицу вероятностей распределения продукции:

(0,6101 0,3495 0,0405 ^

а™ =

(8)

0,3717 0,5840 0,0443 0,1264 0,2684 0,6052

V ' ' 'у

Значения элементов этой матрицы практиче ски постоянны в рамках анализируемого проме жутка времени, равного десяти годам.

Проанализируем показатели по видам эко

,=1

=1

Таблица 1

Внутрироссийская миграция по территориям прибытия и выбытия за 2004 г.

Центральный ФО СевероЗападный ФО Южный ФО При-волжский ФО Уральский ФО Сибирский ФО Дальне-восточный ФО

Центральный ФО 311195 17055 13783 14721 6147 6296 4474

Северо-Западный ФО 25562 126503 7622 9291 2874 2783 1793

Южный ФО 33659 9738 221607 10371 10132 5956 3687

Приволжский ФО 36624 11680 11641 331316 25245 6662 3586

Уральский ФО 14153 5053 10289 22389 145366 8280 1512

Сибирский ФО 19547 6820 10452 9150 11292 315002 9062

Дальневосточный ФО 16270 4708 7147 5601 2580 9886 91715

номической деятельности в Пермском крае в 2006 г. [10]. По данным Госкомстата России, матрица выпусков продукции по рассматриваемым отраслевым блокам (в млрд руб.) имеет следующий вид:

(466,6^

Перм

199,5 7

Используя матрицу вероятностей (8), найдем матрицу потоков продукции в тех же денежных единицах:

(284,660 163,064 18,876^ 74,158 116,503 8,839 0,885 1,879 4,237

У

Перм

Таким образом, получен аналитический инструмент, позволяющий оценить потребности рассматриваемых блоков отраслей в продукции друг друга, применительно к любому региону России, что особенно актуально в ситуации, когда нет опубликованной информации о межотраслевом балансе в региональном разрезе. С другой стороны, данный подход является альтернативой прямому обследованию состояния предприятий, которое не всегда возможно.

Обсудим результаты моделирования подсистемы «население». Рассмотрим процесс миграции населения между федеральными округами Российской Федерации. Госкомстат ежегодно публикует данные внутрироссийской миграции по территориям прибытия и выбытия населения в виде симметричной таблицы. В табл. 1 приведено число мигрантов по федеральным округам за 2004 г. [11].

Недиагональные элементы каждого столбца таблицы характеризуют соответствующий федеральный округ с точки зрения его потенциальной привлекательности для проживания, а элементы строк - наоборот, в смысле потенциальной готовности жителей переехать в другой округ. Элементы, стоящие вдоль главной диагонали таблицы, представляют численность населения округа за вычетом эмигрировавших. Общее число выбывших жителей из указанных федеральных округов сведено в табл. 2.

Используя полученную информацию в качестве исходной для моделирования подсистемы «население», построим матрицу вероятностей миграции населения между рассматриваемыми федеральными округами:

(0,833 0,046 0,037 0,039 0,016 0,017 0,012

0,145 0,717 0,043 0,053 0,016 0,016 0,010

0,114 0,033 0,751 0,035 0,034 0,020 0,012

0,086 0,027 0,027 0,776 0,059 0,016 0,008

0,068 0,024 0,050 0,108 0,702 0,040 0,007

0,051 0,018 0,027 0,024 0,030 0,826 0,024

ч 0,118 0,034 0,052 0,041 0,019 0,072 0,665у

а =

нас

Таблица 2

Число жителей, выбывших из федеральных округов России в 2004 г.

Центральный ФО 373671

Северо-Западный ФО 176428

Южный ФО 295150

Приволжский ФО 426754

Уральский ФО 207042

Сибирский ФО 381325

Дальневосточный ФО 137907

Значения элементов данной матрицы с течением времени также изменяются незначительно. С ее помощью по формуле (7) можно получить

распределение миграционных потоков между рассматриваемыми федеральными округами.

Таким образом, проведенное исследование процесса градоформирования с помощью феноменологического подхода в сочетании с экстремальным принципом в условиях стохастической концепции рынка позволило получить инструментарий моделирования в виде матрицы вероятностей распределения продукции производственно-технологического сектора и матрицы вероятностей миграции населения между федеральными округами. Применение разработанной методики к анализу ситуаций в конкретных регионах страны позволяет моделировать актуальные социально-экономические процессы и явления, в частности, описать стационарное состояние миграции населения внутри России.

список литературы

1. Мызникова, Б.И. Математическое моделирование процесса градоформирования: детерминированный подход [Текст] / Б.И. Мызникова, Т.П. Васильева // Научно-технические ведомости СПбГПУ Сер. Информатика. Телекоммуникации. Управление. -2010. -№ 5 (108). -С. 171-179.

2. Зотов, А.Ф. Буржуазная философия середины Х1Х-начала XX века [Текст] / А.Ф. Зотов, Ю.К. Мель-виль. -М.: Высш. шк., 1988.

3. Лавенда, Б. Статистическая физика. Вероятностный подход [Текст] / Б. Лавенда; Пер. с англ. -М.: Мир, 1999.

4. Емельянов, С.В. Информационные технологии регионального управления [Текст] / С.В. Емельянов, Ю.С. Попков, А.Г. Олейник [и др.]. -М.: УРСС, 2004.

5. Ресин, В.И. Вероятностные технологии в

управлении развитием города [Текст] / В.И. Ресин, Ю.С. Попков. -М: УРСС, 2003.

6. Леонтьев, В.В. Межотраслевая экономика [Текст] / В.В. Леонтьев. -М.: Экономика, 1997.

7. Лутманов, С.В. Курс лекций по методам оптимизации [Текст] / С.В. Лутманов. -Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2001.

8. Гурман, В.И. Моделирование социо-эколого-экономической системы региона [Текст] / В.И. Гурман; Под ред. В.И. Гурмана, Е.В. Рюминой. -М.: Наука, 2003.

9. [Электронный ресурс] / Режим доступа: http://www. gks.ru/doc_2006/Zatrat06.zip

10. [Электронный ресурс] / Режим доступа: http://www.gks.ru/doc_2007/region/soc-pok.zip

11. [Электронный ресурс] http://www.gks.ru/ doc_2005ZDEM0.zip

УДК 658.514.4

В.В. Таратухин, м.В. Овсянников, И.А. Стогний ПРИМЕНЕНИЕ ЭВРИСТИЧЕСКИх ПРАВИЛ В ЗАДАЧЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ

разнородных ресурсов предприятия

Для того чтобы стабильно развиваться в конкурентной рыночной среде передовые предприятия всего мира стремятся снизить издержки на исполнение процессов и на управление ими, и одновременно стараются повысить качество

своих процессов [1]. В последнее время широкое распространение получил подход использования «лучших практик» (Best Practices). Это стало возможным, т. к. были успешно автоматизированы многие сферы деятельности предприятий. Уда-