Математическое моделирование процесса десублимации изотопов водорода в лазерной мишени Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.946, 621.039.646

А.А. Белолипецкий

Вычислительный центр им. А.А. Дородницына РАН Московский физико-технический институт (государственный университет)

Математическое моделирование процесса десублимации изотопов водорода в лазерной мишени

Решается одна из задач математического моделирования технологических процессов производства лазерных мишеней. Это направление исследований в общей проблеме управляемого термоядерного синтеза занимает в настоящее время важное место. Инерциальный термоядерный синтез основан на очень быстром доведении ядерного топлива до сверхплотного состояния, а с этим и до термоядерных температур. Контейнер, содержащий ядерное топливо, называется мишенью. Мишень симметрично облучают со всех сторон лазерным излучением. При этом энергия излучения поглощается во внешней абляционной оболочке мишени, аблятор испаряется, ионизируется и разлетается. Создаваемый при таком разлете реактивный импульс давления сжимает неиспарившееся топливо, которое в центре мишени достигает необходимой плотности и температуры. Это и позволяет зажечь Б-Х термоядерную реакцию. Создание лазерной мишени предполагает накачку мишени газом до высоких давлений с последующим резким охлаждением ее. В работе изучается процесс вымораживания газообразных изотопов водорода на внутренней стенке оболочки лазерной мишени.

Ключевые слова: лазерная мишень, управляемый термоядерный синтез, математическая модель, параболические уравнения, сингулярные возмущения.

I. Введение

Настоящая работа посвящена решению одной из задач математического моделирования технологических процессов производства лазерных мишеней. Это направление исследований в общей проблеме управляемого термоядерного синтеза занимает в настоящее время одно из главных мест. Сам управляемый термоядерный синтез с инерциальным удержанием, или ИТС — инерциальный термоядерный синтез, основан на очень быстром доведении ядерного топлива до сверхплотного состояния, а с этим и до термоядерных температур [1-4]. Контейнер, содержащий ядерное топливо, а как правило, это дейтерий-тритие-вая смесь, называется мишенью. Исследования показывают, что абляционное сжатие сферически или цилиндрически симметричной топливной мишени для формирования центра горения является энергетически оптимальным процессом. Для этого мишень симметрично облучают со всех сторон лазерным излучением или иными видами излучения (рентгеновское, ионные и электронные пучки) [5-6]. При этом энергия излучения поглощается во внеш-

ней абляционной оболочке мишени, абля-тор испаряется, ионизируется и разлетается со скоростью порядка 1GG км/с. Создаваемый при таком разлете реактивный импульс давления сжимает неиспарившее-ся топливо, которое в центре мишени достигает необходимой плотности и температуры. Последнее и позволяет зажечь D-T термоядерную реакцию. образующиеся в результате реакции альфа-частицы с энергией 3,52 МэВ теряют её во внутреннем слое холодного топлива и нагревают его. Образуется фронт термоядерного горения, который быстро распространяется в слое холодного топлива. Теоретические расчёты показывают, что для достижения условия брейкивен (breakeven — условие, при котором энергия выхода в реакции термоядерного синтеза не меньше вложенной) необходимо существенное сжатие и нагрев вещества мишени до температур 1G кэВ. Для этого можно использовать одну из трёх схем облучения топливной мишени. Это прямое облучение, прямое зажигание, или быстрый поджиг, и непрямое рентгеновское облучение. Структура мишени и её физические характеристики, вообще говоря, зависят от схемы облучения, но неизменной остаётся одна черта:

мишень должна представлять собой сферическую оболочку с твёрдым слоем D-T топлива внутри нее. На первый взгляд, это простая конструкция. Но она оказалась достаточно сложной при её технической реализации [7-8]. Первая проблема состоит в том, чтобы доставить топливо внутрь многослойной полистироловой оболочки мишени, не разрушив ее. Одно из решений — поместить оболочку в камеру с D-T газообразной смесью, находящейся под давлением. В результате газ проникает через стенку мишени, постепенно заполняя ее. Давление газа внутри мишени повышается, а вместе с этим следует повышать и внешнее давление, но так, чтобы не разрушить оболочку. Поскольку в оптимальном по быстродействию режиме разность внешнего и внутреннего давлений не должна превышать критического значения, при котором может разрушиться оболочка, необходимо с высокой степенью точности определять давление газа внутри мишени, измерить которое невозможно. При этом внутреннее давление может достигать от 300 до 1000 атм. Было необходимо разработать адекватную математическую модель заполнения газопроницаемых оболочек до высоких давлений [9-10], когда состояние газа описывается уравнением Ван-дер-Ваальса. Результаты модельных расчётов в дальнейшем использовались при конструировании системы заполнения оболочек в лаборатории термоядерных мишеней нейтронно-физического отдела ФИАН им. П.Н. Лебедева. После заполнения газом мишень помещается в криостат, где охлаждается до температур фазовых переходов, в результате которых газ оседает на внутренней стенке мишени в виде твёрдого слоя. В работе изучается процесс вымораживания газообразных изотопов водорода на внутренней стенке оболочки лазерной мишени без образования жидкой фазы, то есть процесс десублимации.

II. Предположения модели и некоторые вспомогательные соотношения

На рис. 1 изображена лазерная мишень, которая представляет собой многослойную полистироловую сферическую

оболочку, внутри которой находится дей-терий-тритиевая газообразная смесь, охлаждённая до температуры тройной точки. В процессе десублимации на внутренней стенке оболочки вымерзает твёрдый шарообразный слой изотопов водорода, который далее будем называть криогенным, или топливным слоем.

оболочка

Рис. 1

Будем считать, что в процессе десублимации газ внутри оболочки представляет собой насыщенный пар, и его температура, давление и плотность связаны уравнением Клапейрона-Клаузиуса. Такой подход представляется более реалистичным, чем предположение о постоянстве температуры газообразной фазы, сделанное в работе [11]. Поэтому полученные ниже результаты несколько отличаются от тех, что были приведены в статье [11].

Вначале проведём анализ уравнения Клапейрона-Клаузиуса для газа, термодинамическое состояние которого описывается уравнением Клапейрона-Менделеева. Последнее допущение является в некоторой степени идеализацией и оправдывается в первую очередь попыткой аналитического решения поставленной ниже задачи.

Давление р, температура Т и удельные объёмы уд ,у3 газообразного и твёрдого водорода в области тройной точки на фазовой диаграмме связаны уравнением Клапейрона-Клаузиуса

dp Х3

вТ Т{уд — у3) ’

где Л5 — удельная теплота сублимации. Для водорода и его изотопов в окрестности тройной точки отношение У3/ьд мало, поэтому предыдущее уравнение можно приблизить уравнением

вр

~ТГ

А

Ту„

(1)

Термодинамическое равновесное состояние газообразной фазы внутри оболочки описывается уравнением Ван-дер-Вааль-са. Наше упрощение сводится к предположению об идеальности газа, то есть к уравнению Клапейрона-Менделеева рУ =

^ т~>гт1 V КТ

= -ВТ, откуда следует, что пд = - = —,

(р — молярная масса газа). Подставим это выражение в (1) и проинтегрируем уравнение (1) по Т. Получим хорошо известное соотношение между давлением и температурой идеального насыщенного пара:

Р=СеЩ1{-^у

(2)

р = ро и относительная толщина криослоя ги = 0, получим значение постоянной

С

Ро ГГц-, ц

ехр

а

Г

Здесь а =

990-2

К

ір

243 К. Вновь

К 8,13

подставим (3) в левую часть (2) и используем только что полученное выражение для С. Теперь (2) примет вид

1--------—ехр {а (ТЬр1 -Г *)} =

(1-гиГ Т

= уС{Г ).

Разрешим это уравнение относительно уй. Получим

1 - V

1 - уС

1/3

(4)

Если V = у мало, то (4) можно разложить в ряд по малому параметру V и получить аналитическую зависимость уй(Т):

Наша ближайшая задача найти связь между толщиной криогенного слоя = г1 — — т3 и температурой газа внутри оболочки, которая предполагается однородной по объёму. Обозначим Тр ,р0 — температуру, при которой начался процесс десублимации, и начальную плотность газа в мишени. Пусть т1,т3 — внутренний радиус оболочки мишени и расстояние от центра мишени до внутренней поверхности шарового криогенного слоя соответственно. Тогда

толщина криогенного слоя т

Гі - г*, а

Иг?-а,

его объём Ув = У} ~ |7Г где У — начальный объём газа. Левую часть уравнения (2) согласно закону Клапейрона-Менделеева запишем как

Р

-ВТ

ц

РоУо - РзУз ВГ

Уо- У*

ц

_ т и> = —

Гі

Гір

1 - ехР 1°' (Т^-Т *)}

+0^ 2).

*

Нетрудно ьидеть, ЧТО ^ (Гет)

= (1 — ^ 0, если Г ^ а ~ 243К, что

справедливо для того диапазона температур, при котором происходит десублимация. Отсюда следует, что правая часть (4) или (5) является монотонно убывающей функцией Т. Таким образом, при убывании Г от Т0 до 0 величина уо(Т) монотонно возрастает от 0 до примерно гутах = 1 — — \У1 — V « 0,08. Если V = — мало, то

У ’ Ра ’

гУтях ~ 0~- Из уравнения (4) '

а при малых значениях V из (5)) получаем трансцендентную зависимость

РоВТ

єц

1

(3)

Г = Т(«П = т ( —

Г1

(6)

где V = — 0,22 для изотопов водорода

Ре

при температуре, близкой к тройной точке, а й) = ^ — безразмерная относительная толщина криослоя. Подставляя выражение (3) в левую часть формулы (2) и учитывая, что при Т = Тр плотность газа

где Г(уй) — функция, обратная к функции, стоящей в правой части соотношения (4) (или (5)).

III. Математическая постановка начально-краевой задачи

Ниже Т;(тД кг(Т), гА(Т), р*(Т) обозначают температуру, коэффициент теплопроводности, теплоёмкость и плотность веществ соответственно. Индекс г = вЬ ,в,д, где вЬ относится к оболочке, в,д определяют криогенный слой и газ. Тепловые потоки в оболочке и криослое описываются в сферически симметричном случае уравнением теплопроводности

dTi

Ргсг m

X 9 2, дТг • r2dr dr

sh ,s.

(7)

Коэффициент % определяет отношение характерного пятна контакта, через которое идёт теплообмен с внешней средой, к поверхности мишени. Если мишень полностью погружена в охлаждающую среду, то для тонких оболочек % & 1.

На внешней поверхности оболочки справедливо равенство

Tsh(ro,t) = Text,

(8)

где ТХ — внешняя температура, которая может зависеть от времени. Условие

T,h{Tlt) = Tsirlt

(9)

определяет непрерывность температуры на границе оболочка-криогенный слой. Баланс тепловых потоков на этой границе задаётся равенством

, дТ8к _,дТ8

к дг Г1 дг Г1

Баланс тепловых потоков на границе криослой-газ учитывает тепло, выделяющееся при десублимации,

дТа ,

Л дг \т=Г1~и’^ —

, дГд , , вт

= \1'

r=ri—w{t) Xsps .

g dr \r=ri-w(t) '•— dt

Здесь Л5 — удельная теплота десублимации. Поскольку температура газа предполагается однородной по объёму, то первое

слагаемое справа равно нулю и последнее равенство запишется в виде

xk

сЖ

дг

r = ri-w(t)

(П)

Равенство температур на границе газ-криогенный слой имеет вид Ts(r1 — — w(t),t) = Tg(t), которое согласно (6) записывается как

Ts(ri — w(t),t) = F (w(t)). (12)

Считаем, что процесс десублимации начи-

нается в момент t = 0. Тогда начальные условия таковы:

w(0) = 0, (13)

Tg (0) = Ttp, (14)

Tsh{rfl) = <f{r), (15)

где Ttp — температура, при которой начался процесс десублимации, например, температура тройной точки газа, а ip(r) — распределение температур внутри оболочки в начальный момент времени. Считаем, что граничные условия для <^(r) согласованы с граничными условиями нашей задачи, то есть

<p(ro) = Text, <p(ri) = Ts(ri,0) = Tg (0).

Сразу отметим, что решение поставленной выше задачи «забывает» начальные условия, поэтому условие (15) далее существенной роли играть не будет.

Введём безразмерную температуру в = = Для физических коэффициентов

T ext

криогенного слоя ks,cs,ps используем линейные аппроксимации

ks = 5 ■ 1G

З

Дж

см с К

са = са ■ в, где са = 1^1, Ра = 0,09^3.

Для упрощения исследования поставленной начально-краевой задачи (8)—(15) для системы уравнений (7) запишем её в безразмерной форме. Для этого введём следующие переменные и параметры.

Характерное время процесса десублимации можно оценить величиной

tl

poVg Лв

Здесь Лs ~ 99G Дж/г — удельная теплота сублимации.

Введём т = -рг — безразмерное время;

ві = т— безразмерная температура в

слое i = sh ,s,g; x

Гр—Г

u

Т\ —т

без-

размерные пространственные переменные в оболочке и криослое соответственно; 8 =

= Г°~Г1 — безразмерная толщина оболочки; параметр $-1 называется ещё аспектным отношением. Пусть далее ъй = —------

^шах

безразмерная толщина криогенного слоя.

Переменная х будет использоваться для точек оболочки. Очевидно, что на её внутренней и внешней границах значения х равны 1 и 0 соответственно. Пространственную переменную и будем использовать для точек криогенного слоя. На внешней и внутренней границе этого слоя и равно соответственно 0 и Ш.

Будем считать оболочку стеклянной (стекло «пирекс»). Зависимость сд, с^; к3ь от температуры можно приближённо задать линейными соотношениями к3и = к3И ' (1 С-аИ С-вЬ ‘(14" /Дз/г^)) ГДе

в = Т/ТХ — безразмерная температура.

В частности, параметры, входящие в приведённые выше формулы для водорода, заключённого в стеклянную оболочку под давлением 250 атм, при температурах порядка 300 К имеют следующие значения:

k

sh

1,4- Ю

З

Вт

см К

с8н = 6-10 2^^Л/г = 0,2, р8ь = 2,3 г/см3, г • К

Теплоёмкость сд для газа практически не зависит от температуры и равна сд = = 1,5Д = 6,2^. Плотность газообразного водорода при давлении 250 атм в оболочке радиуса т0 = 0,5 мм при комнатной температуре равна Ро = Рд = 2 • Ю“2^.

В безразмерных переменных система уравнений (7) для в3ь(х,т),в3(и,т) примет вид

є(1 + (3shesh)

d

дв

sh

1

дт

Х^~ (1 — (1 + Olsh9sh)

(1 — 6x)2

desh

X

dx

-в,— = 7 л дт (1 — 8ги)2 ди,

Здесь параметр = —

dx

(1б)

а(і -ад^. (17)

wr

G,G8.

Величины

є=

(<М psh,Csh SfipshCsh * (Tfp Texf)

\/. ,///і ^sP0

« G,GG5.

8jrfpsc.s

є l

xkst

*

stl

= тР - Техі)раСа^\ « 0,0005

и 7 = — « 10.

' Є1

Параметр є является малым. Таким образом, система (16)—(17) является сингулярно возмущённой системой полулинейных параболических уравнений. Краевые условия (8)—(9) примут вид

esh(G,т) = 1,

(18)

esh (1,т) = es^). (19)

Балансовое соотношение (10) запишется

как

дв8(0,т) 8iriksh(l + ashesh(l,T)) двзН(1,т)

du 6roks

Wmax dw x.ksText 99s

dx

(2G)

Лsps

tl dr

8\Г\ dll lu=u'{T) ’

или

где

clw td9s(u,r) dт du

I U=w(t)

е =

6r0ks p0Text

3^i rfkshps(Ttp

Text)

Равенство безразмерных температур газа и криослоя на границе их раздела согласно (6) имеет вид 9s(w(t),t) = f(w(r)), где

T ext

Начальные условия (13)—(15) тоже очевидным образом записываются в новых обозначениях:

w(G) = G,eg (G)

Tt

tp

гр і

ext

9sh(x,0) = <p(x),x Є [0,1].

(21)

Поскольку начальные условия согласованы с краевыми, то <^(0) = 1,^(1) = 9g(0).

В дальнейшем при решении сингулярно возмущённой задачи (16)—(21) мы ограничимся построением лишь регулярной части решения, которая «не помнит» начальные условия. Погранслойная (или сингулярная) компонента решения быстро их «забывает».

Плотность газа и безразмерная толщина криогенного слоя у] = т/г\ при предположении об отсутствии жидкой фазы в каждый момент времени связаны соотношением

Рд(т) = Р*

1

Ра) \1 - IV(т)

(22)

где ро = рд(0). Как отмечалось ранее, процесс десублимации закончится, если в некоторый момент плотность газа станет достаточно малой, в идеале равной нулю. В этом случае выражение в квадратных скобках обнуляется, и мы имеем 1 — гй = = \/1 — и, где V = у. Отсюда следу-

ет, что максимальная безразмерная толщина гутах криослоя равна приблизительно

1 -

Гі«>г

Та-

ким образом, максимально возможное значение безразмерного времени процесса десублимации ттах получаем, решая уравнение

^(^тах) — '^тах!

или в других обозначениях:

^(ттах) 1

Если же процесс десублимации заканчивается тогда, когда давление паров водородных изотопов больше нуля и равно

р*, то в этом случае согласно (22) величина

т* = 1 - а

Рз — Ро Рз ~ Р*п '

и продолжительность процесса десублимации т* в безразмерных единицах есть корень уравнения

т(т *)

-* п и> -------

ття;

Таким образом, основным результатом решения задачи (16)—(21) для нас будет построение функции ги(т), описывающей динамику изменения толщины безразмерного слоя.

Решение поставленной задачи будем искать в виде суммы регулярных и сингулярных слагаемых:

6зН(х,т,£) = 6{£(х,т,е) + П (8Ь)(^,г,е),

в3(х,Т,е) = в1'/'1 (х,Т,е) + П^(;Г,Т,£).

Здесь т = т/е. Ограничимся поиском нулевого приближения регулярной составляющей решения, которое ищем в виде асимптотического ряда по степеням е

<Х

в(г) (х,т,е) = в(0)(х,т) + ^ ек в(к)(х,т),

к=1

г = вЬ ,8. (23)

Сингулярная составляющая ищется так, как описано в Приложении. Можно показать, что эта составляющая быстро стремится к нулю, и ею можно пренебречь.

IV. Построение приближённого решения задачи о десублимации

В данном параграфе будет построено нулевое приближение задачи (16)—(21), то есть будут найдены первые члены в(0(х,т), г = вЬ ,8 рядов (23). Запишем уравнение (16) в виде

дввН ТТҐД N

£-^Г = Я (би,*),

где нелинейный оператор Н (в*н,х) =

1

(24)

(1 — 6х)2(1 + Рвндвк)

X

д

дв

вН

дх дх

Для того чтобы найти нулевые приближения уравнения (24), положим (см. Приложение):

н (ввН),х) =0, или

^(1-^)г(1+а,й9™)^--0. (25)

Аналогично в уравнении (17) нулевое приближение удовлетворяет уравнению

(0)

вН

д П X N2 двв0)

0.

(26)

3

Краевые условия для в^ ,в(0) имеют вид (18)-(21), где вместо символа в следует использовать в(0).

Интегрируя (25)-(26) по х и и соответственно, получим

(1+ otsh^ ^ c0(т)

2ash

^0) )

б(1 — 6x)

do(т)

б1(1 — 6lu)

+ ^(т). (27)

+ dl(т). (28)

Из (27), используя (18), найдём c1(r) и, подставив вновь в (27), получим

ср(т)х _

1 — 5х

(1 + ashвSh (x^))2 — (1 + ash)2

2ash

(29)

Из (28), (29) и условия (19) равенства температур на границе оболочка — криослой следует выражение для

d\ =----------

ash

2 OishQ) 1-6

+ (1 + ash)2 — 1

do

Si' (30)

Дифференцируя (27) по x, а (28) по u, выразим

дв

(o)

sh

co(7)

дx

(1 + Osh^S?)(1 — 6x)2

двї0)

ди

do(т)

(1 — 6lu)2

(31)

Подставим правые части (31) в (20) и найдём связь между d0 и c0d0(т) = пс0(т),

Определим вид с0(т). Подставим (30) в (28) и воспользуемся соотношением (37). Тогда выражение для

в^)(и,т) =

1

ash

1-5

+ (1 + ash)2 — 1

+

nc0u

1 — 61 u

Используем его в (21). Тогда для переменной г = а3нС0 получим иррациональное уравнение

2л

1-5

+ (1 + ash)2 — 1

Otshf (w) ~

qwz 1 — Siw'

которое равносильно квадратному уравнению

a20z2 — 2[1 + ao(1 + ashf)] z+

+ash(f — 1) [2 + ash(f + 1)] = 0

в предположении, что 1 — 5 ~ 1.

Здесь

ao

l]W

1 — 8\w

(32)

Поскольку 1] & 0,'47,$1 = гутах ~ 0,08, то для значений гп € (0,0,1) согласно (32) полученное квадратное уравнение можно заменить линейным, положив ао = 0. Если гй £ [0,1,1], то требуется решать квадратное уравнение, взяв в качестве решения меньший из корней, поскольку он при а0 ^ 0 стремится к решению аппроксимирующего линейного уравнения. Таким образом, мы получим с0 = Ф (й>(т)), где

Siriksh

6roks(1 — б)2'

Используем в (20) выражение (31). С учётом (37) дифференциальное уравнение (20) примет вид

dw _ t C-о (t) dr U (1 — Siw)

где £i

ropoTe

ext

3б1 rlPs(Ttp — Text)

Ф

+ + = £ [0 0Д);

2[і+ао(ги)(і+atshf[w))]

нЦі)(іМі))-д = e ! !

«s/г» o(«’j

В этом выражении

D(w) =

= 1 + 2a0 (w) (1 + ash f (w)) + a20 (w) (1 + ash)2.

Подставим (40) в дифференциальное уравнение (38), проинтегрируем последнее и

1

получим связь между безразмерной толщиной гй = и’ и безразмерным временем

^шах

процесса десублимации т = -рг:

Аналогично пусть в есть корень уравнения

W(9) = ОД.

(1-М

ад

с18_ (зз) Тогда функция Ф («>] следующим образом

зависит от температуры в:

Максимальное время течения процесса десублимации равно

Тт

(1-М

Ф(в)

ds.

В интеграле (33) используется функция Ф (гу), для определения которой требуется знать функцию / (гу). Последняя задаётся неявно, что при вычислениях может создать неудобства. Во избежание этого за,питием (33) другим способом, используя вместо й) переменную в. Из равенства, (4) следует

Ш=1У(в), (34)

где

W(6) = —

1

wr

1

1-у у/3'

1 - vG($) J

Функция

(35)

в

= у ехр(а(^-1 - Г1)).

Здесь а = ~ 60 для водорода,.

Очевидно,

в

^ = ~(р ехР(а'(^?/ — ^ 1))(а'^1 1 — !)• Из (34)-(35) получаем выражение для

^ = -В(»)5'(»),

где

(1 — v)1/3

Зи)тах(1 - иС(9))4/'3

Пусть вт;п — безразмерная температура, при которой заканчивается процесс десублимации, то есть

™ (вт1п) = 1.

Ф(в)

Здесь

(g-l)[2+o-sfe(g+l)] р, \п р, л _

2[1+А(в)(1+азкв)] \PVtp\ ,

l+A{9){l+ash9) — \JD{9) Q ^ \Q 7J] ashA2(9) V Ь Fmin,PJ.

А(в)

i]W(9)

1 - WW

Д(в) = 1 + 2А(в)(1+ ashe)+^2(e)(1 + ash)2 Из сказанного выше и (33) следует, что

= T S1

m

B(e)G (e)de.

Максимальное значение длительности процесса десублимации равно т(вт;п). Связь между безразмерной толщиной криогенного слоя и безразмерной температурой задается соотношениями (34)-(35).

Ниже на, рис. 2 и 3 приведены графики функций й>(т) ,«>(£) для мишени, параметры которой: мишень — сферическая оболочка из стекла «пирекс» радиуса 0,5 мм, толщины 0,025 мм. Начальное давление газообразного водорода в оболочке 250 атм. Здесь можно считать, что расчётное время отражает реальность, если в мишени сохраняется более 10% начальной массы газа.

безразмерное время

Рис. 2

o

i

o

в

время в с

Рис. 3

V. Приложение

Рассмотрим дифференциальное уравнение в банаховом пространстве В

вг

єм = НЫ)

с начальным условием

г(0) = п.

(36)

(37)

Здесь е — малый параметр, а Н(г,Ь) — нелинейный, вообще говоря, неограниченный оператор В х К ^ В, бесконечно дифференцируемый по г, допускающий существование бесконечно дифференцируемого решения г0(Ь) уравнения

Н (г,і) = 0.

(38)

Изложенная ниже схема решения уравнения (36) принадлежит профессору

A.М. Тер-Крикорову [12]. Она является модификацией подходов, изложенных в [13].

Обозначим Hk(u1,u2...,uk,Ь) полилинейные операторы степени к = 2, 3, ... с областью определения О С В и значениями в

B. То есть

Hk (ащ,аи2...,ащ,Ь) = ак Hk (щ,^...,^^),

и для любого г

Hk (u1, ..., ui + ^г, ..., uk,Ь)

Hk (и1,и2...,ик,Ь) + Hk (u1, ..., , ...ик,Ь).

(39)

Пусть далее для некоторого 8 > 0 и всех и таких, что |и| ^ 8:

H(г0(Ь)+и,Ь) = Ь(г)и + Hk(и,и, ..., и,Ь).

к=2

Здесь Ь(і) = Нх(г0(і),і) — линейный оператор, являющийся производной Фреше оператора Н(г,і) по г в точке г0(і).

Решение уравнения (36) будем искать в виде

г(і,є) = Z (і,є) + П(т,є), (40)

т=-, П(0,£г) = /7 — ^(0,£г). (41)

є

Подставим сумму (40) в уравнение (36). Получим

= я(г((,£),<)+

ві

вт

+Н [Z(єт,є) + П(т,є),єт)] - Н^(єт,є),єт).

Положим

ві

(42)

<ЛІ(т,є)

вт

= H (ет,е) + П(т,е),ет] — H^(ет,е),ет) (43)

с начальным условием (41). Если уравнения (41)-(43) выполняются, то сумма (40) является решением задачи Коши (36)-(37).

Решение системы дифференциальных уравнений (42)-(43) будем искать в виде формальных рядов по целым степеням параметра е:

^ (г,е) = ^0 (г) + ^ Zk (г)е1г, (44)

k=1

П(т,е) = (т)е1г, П>(0) = п — г0(0).

к=0

(45)

Подставим ряды (45) в правую часть уравнения (42). Получим согласно (39):

Н (^(і) + ^ гк (і)єк ,і)

к=1

= ^2(Ь(і)гк(і)+дк(^(і), ..., гк-і(і),і))єк. к=1 (46)

Выражения для операторов дк определяются согласно (39) операторами Ь, Н2, ..., Нк. Например, д1 = 0, д2 = = Н(гі,гі),

дз = Н2(гі,г2) + Н2(г2,гі) + Нз(гі,гі,гі). (47)

Подставляя (44), (46) в (43) и приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях параметра е, получим рекуррентную систему уравнений

(Ьк-і

сЙ

Ь(і)гк(і) + дк(20(і), ..., гк-і(і),і),

к ^ 1. (48)

Предположение 1. Линейный оператор Ь(і) = Н(г0(і),і) обратим в Б.

В этом случае уравнения (48) последовательно разрешимы и

Ь-і(і)

(Ьк-1

(Й

2к (і) =

- дк(20(і), ..., гк-і(і)і)

(

9)

Подставим ряды (44)-(45) в уравнение (43). Приравняем слагаемые при нулевых степенях параметра е и положим в коэффициентах ет = 0. Получим

^Лр(т) _ dт

= H [г0(0) + П0(т),0] — HЫ0),0). (50)

В силу уравнения (3) второе слагаемое в правой части равно нулю. Из последнего уравнения и представления (4) с учётом сделанного замечания получаем задачу Коши для П0(т):

<Ш0

вт

Ь(о)П0(т) + Hm(П0, ..., П0,0)

т=2

П0(0) = п — г0 (0). (51)

Пусть нелинейный оператор H(г,г) представим в окрестности точки г0(0) + П0 (т) в виде

H (г0(0)+П0(т )+и,ет) = H (г0(0)+Щ(т ),0) +

+Л(т)и + ^(и,и,...,и,т), (52)

k=2

где hk(щ^...,^,т) — полилинейные операторы от и1, ..., и^ то есть

hk (ащ,аи2...,ащ ,т) = а hk (ul,u2...,uk ,т),

hk(щ, ...,щ+Уг, ...,щ,т) = hk(ul,u2...,uk,т) + +hk(и1, ..., Уг, ..и,т),

а Л(т) — линейный оператор, являющийся производной Фреше оператора H(г,ет) в точке г = г0(0) + П0(т).

Подставим ряды (44)-(45) в правую часть уравнения (43). Получим согласно

(39), (52):

Н

20

(єт) + П)(т) + ^ (гк (єт) + Пк(т)) єк ,єт

к=і

Н

20

(єт) + 5] 2к (єт)єк ,єт

к=і

+Н

20

Н [20(0) + П0(т),0] - Н(20(0),0) +

О

(єт) + Щ(т) + ^ (2к(єт) + Пк (т)) єк,єт

к=і

-Н [20 (єт) + П0(т) ,єт] +

+Н [20(єт) + П0(т),єт]-Н [20(0) + П0(т),0] +

+Н (20(0),0)-Н

20(єт) + ^ 2к(єт)єк,єт

к=і

= Н [20(0) + П0(т),0] - Н(20(0),0) +

оо ос

+Л(т) ^ 2в(єт)єв + Л(т) ^ Пк(т)єк+ в=і к=і

оо

+ ^ hm((, ..., (,єт) - л(т) ^ 2*(єт)є*-

т=2

Е

к=2

в=і

^ ^ ] hm(2il, ..., 2гт ,єт)

т=2 іі+...іт=к о

І У Як(20,2і, ..., 2к ,т)єк. к=і

єк+

(53)

Четвёртое и шестое слагаемые взаимно уничтожаются. В пятом слагаемом £ = = |ХЬ=1 ^ (ет) + Пk (т)) еЧ . Отсюда и из свойства полилинейности следует, что

'^2hm((, ..., (,єт)

т=2

Е

к=2

єк+

^ ^ ] hm(%il , ..., Хіт. )

_т=2 іі+...іт=к о

+ У С к (хі,...,хк-і,т )єк, к=2

где %і может равняться либо 2і, либо Пі. Последняя сумма в (53) есть результат разложения в ряд третьей и четвёртой пар

к

к

слагаемых в предположении о бесконечной дифференцируемости решений Zk (ет) по аргументу.

Подставим (53) в правую часть, а (45) — в левую часть уравнения (44). Приравняем слагаемые при одинаковых степенях параметра е. Получим с учётом (51):

dп

—- = Л(т)Щ(т) + Рк{По, ..., Щ_ьт), dт

Пk(0) = —Zk(0), к =1, 2,..., (54)

где Pk(П0, ..., Пk-1,т) — известные операторы от П0, ..., Щ-1.

Уравнения (38), (49), (51), (54) полностью определяют формальное решение

(40) задачи (36), (37).

Литература

1. Басов Н.Г., Крохин О.Н. Условие разогрева плазмы излучением оптического генератора // ЖЭТФ. — 1964.

Т. 47. — С. 171-175.

2. Афанасьев Ю.В., Басов Н.Г., Волосевич П.П., др. Лазерное инициирование термоядерных реакций в негомогенных термоядерных мишенях // Письма в ЖЭТФ. —

1975. — Т. 21, вып. 2. — С. 150-155.

3. Прохоров А.М., Анисимов С.И., Пашинин П.П. Лазерный термоядерный синтез // УФН. — 1976. — Т. 119. -

С. 401-424.

4. Смирнов В.П. Исследования по термоядерному синтезу. Научное сообщение на заседании Президиума РАН, ноябрь 2002 // Вестник Российской академии наук. — 2003. — Т. 73, № 4. — С. 1-15.

5. Анисимов С.И., Иванов М.П., Пашинин П.П., др. Газовая оболочечная мишень для лазерного инициирования термо-

ядерных реакций // Письма в ЖЭТФ. —

1976. — Т. 22 (6). — С. 343—346.

6. Афанасьев Ю.В., Басов Н.Г., Гама-лий Е.Г., др. Теория нагрева и сжатия низкоэнтропийных термоядерных мишеней // Тр. ФИАН. Т. 134. — М.: Наука. — 184 с.

7. Aleksandrova I.V, Koresheva E.R., Osipov I.E. ICF Cryotargets: Science and Technology // J. Moscow Phys.Soc. 1994. — V. 4, N. 2. — P. 81—128.

8. Aleksandrova I.V., Baranov G.D., Belolipetskiy A.A.et.al. Free- standing target technologies for ICF // Fusion Technology. -2000. — V. 38, N. 1. — P. 166—172.

9. Aleksa,ndrova I.V., Belolipetskiy A.A. Mathematical models for filling polymer shells with a real gas-fuel // Laser and Particle Beams. — 1999. — V. 17, N. 4. — P. 701—712.

10. Белолипецкий А.А. Нелинейная математическая модель заполнения тонкостенных оболочек газом // Вестник Московского университета. Серия 15. Вычислительная математика и кибернетика. — 2000. — № 2. — С. 7—10.

11. Белолипецкий А.А. Математическая модель вымерзания газа на внутренней стенке лазерной мишени // Вестник Московского университета. Серия 15. Вычислительная математика и кибернетика. — 2002. — № 1. — С. 23—28.

12. Тер-Крикоров А.М. Нелинейный анализ и асимптотические методы малого параметра. — М.: МФТИ, 2007. — 284 с.

13. Васильева А.Б., Бутузов В.Ф. Асимптотические методы в теории сингулярных возмущений. — М.: Высшая школа, 1990. — 208 с.

Поступила в редакцию 15.09.2009.