Об одной сингулярно возмущенной задаче Стефана, описывающей разрушение топливного слоя в лазерной мишени Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 519.6

А.А. Белолипецкий

ОБ ОДНОЙ СИНГУЛЯРНО ВОЗМУЩЕННОЙ ЗАДАЧЕ СТЕФАНА, ОПИСЫВАЮЩЕЙ РАЗРУШЕНИЕ ТОПЛИВНОГО СЛОЯ В ЛАЗЕРНОЙ МИШЕНИ1

(кафедра исследования операций факультета ВМиК, e-mail: abelolipet@mail.ru)

В статье предложена математическая модель деградации дейтерий-тритиевого (D-T) топливного слоя, расположенного на внутренней стенке сферической оболочки. Такая оболочка с вымороженным на ней твердым слоем является лазерной мишенью, используемой в управляемом термоядерном синтезе. В процессе доставки лазерной мишени из криогенной камеры в фокус лазерного пучка она некоторое время находится в облаке теплого газа. За это время ее D-T слой деградирует, в частности его поверхность становится неидеальной. Математическая модель записана в виде задачи Стефана для системы параболических уравнений с нелинейными начально-краевыми условиями. Методами малого параметра строится аналитическое решение этой задачи, и оценивается время, за которое изменения геометрических параметров топливного слоя мишени не превосходят технологически допустимые значения.

1. Введение. Лазерная мишень (ЛМ), которую используют в управляемом термоядерном синтезе, представляет собой стеклянную или полистироловую сферическую оболочку. На ее внутренней стенке выморожены твердые изотопы водорода (дейтерий, тритий или их смеси) в виде шарового криогенного слоя (рисунок). Некоторые математические модели формирования такого слоя можно найти в работах

[1, 2]. Эта начинка из ядерного топлива является шаровым слоем лишь в идеале, но и геометрически идеальная ЛМ при доставке ее в зону горения реактора подвергается механическим и тепловым нагрузкам, которые частично разрушают топливный слой. Неустойчивость процесса сжатия ЛМ лазерным излучением накладывает высокие требования к геометрическим и физическим параметрам топливного слоя. Так, разнотолщинность криогенного слоя не должна превышать 2% от его толщины, а шероховатость 0,25%. В работах [3, 4] содержится обзор проблем, связанных с производством, хранением и доставкой ЛМ.

Во время инжекции в фокус лазерного пучка мишень короткое время находится в облаке "теплого" газа с температурой Т = 15-30 К. За это время топливный слой успевает частично испариться, и его геометрические свойства изменяются. Задача состоит в том, чтобы оценить вид и время этих изменений. Она осложняется тем фактом, что в твердом топливе присутствуют кристаллические зоны, коэффициент теплопроводности которых является векторной величиной. Из-за этого задача нагрева и сублимации слоя становится сферически несимметричной. Математическая модель представляет собой задачу Стефана для сингулярно возмущенной системы уравнений теплопроводности с полулинейными краевыми и начальными условиями, решение которой ищется в виде асимптотического ряда по степеням малого параметра. Таким параметром является отношение толщины слоя к радиусу ЛМ, обычно составляющее 5%.

Предполагается, что дейтерий-тритиевый топливный слой находится в состоянии с различным уровнем дисперсности. Это значит, что одна часть этого слоя представляет собой монокристаллические зоны, а другая часть является поликристаллической изоморфной средой. Ниже будем считать, что поликристаллическая часть слоя твердого топлива представляет собой изотропную среду с коэффициентом теплопроводности не зависящим от пространственных координат, а в кристаллической части главные оси кристалла ориентированы по-разному, в силу чего [5] скорость распространения

1 Работа выполнена в рамках проекта № 13871 МАГАТЭ.

звука, а с нею и коэффициент теплопроводности является векторной величиной с координатами по радиальной и угловым составляющим

к1 = кв-{ ! + в)), к2 = Лв-(1 + 6(^,0)), к3 = ка-(1 + ^,0)),

соответственно. Отметим, что для поликристаллической составляющей ^ = 0, г = 1,2,3.

Будем считать, что в процессе сублимации газ внутри оболочки представляет собой насыщенный пар, и его давление р, температура Т и удельные объемы газообразного и твердого водорода в

области тройной точки на фазовой диаграмме связаны уравнением Клапейрона-Клаузиуса

¿р А5

АТ Т{юд - Vа)'

где А5 — удельная теплота сублимации.

Термодинамическое равновесное состояние газообразной фазы внутри оболочки описывается уравнением Ван-дер-Ваальса:

э _ ЯТ9Р9 _ 2 9~±-Ърд ар°'

где рд = ^--плотность газа внутри мишени.

2. Математическая постановка начально-краевой задачи. Формализуем задачу сублимации газа. Пусть Т¿(г, £), к{(Т), сДГ), Рг{Т) — температура, коэффициент теплопроводности, теплоемкость и плотность веществ соответственно. Значения индекса I = зк,в,д, причем обозначения вк, в относятся к характеристикам оболочки и кристаллического слоя соответственно, а д — к газу.

В криогенном слое тепловой поток в сферических координатах г, в, <р задается вектором

/ дТ8 , дТ8 , дТ8

Js = ~ [ к1—-,к2—^:,к3-

дг гдв г sin 6дц>

Здесь Ts(r, в, íp,t) — температура в криогенном слое в момент времени t. Коэффициенты теплопроводности ki(r,e,íp), i = 1,2,3, как уже говорилось, зависят от координат. Динамика температуры в оболочке описывается в сферически несимметричном случае уравнением теплопроводности:

dTsh ksh д 2dTsh ksh д (. dTsh\ ksh д fdTsh\ pshCsh m - r2 Qrr gr + r2gin0gg ysm gg ) + r2sin20d^ y d(p )■ w

Здесь и далее го,г\ — внешний и внутренний радиусы оболочки соответственно. На внешней границе оболочки справедливо равенство

Tsh(r0,t) = Text, (2)

где Text — внешняя температура, которая может зависеть от времени. Условие

Tsh{rut) = Ts{ru9^,t) (3)

определяет непрерывность температуры на границе оболочка-криослой. Баланс нормальной составляющей тепловых потоков на этой границе задается равенствами

дТн

и 9Tsh or

V 1 дг

r=r 1 4

(4)

r=r 1

Динамика температуры внутри кристаллического слоя в силу отсутствия сферической симметрии имеет вид

дТ

= -а™!*,

dt

или в сферических координатах:

дТ° 1 д (и< в \ 2дТЛ _j_d ( üdTs\ , 1 д( ,3TS

Пусть т(в, (р, — суммарная толщина оболочки и криогенного слоя в момент времени t. Граница Е криослой-газ задается уравнением

г + т — го = 0.

Тогда баланс тепловых потоков на границе Е с учетом тепла, необходимого для сублимации, запишется как

дТ„

dw

к 0ТН дт^ dw_ _ _

1 дг 2 г2дв дв 3 г2 sin2 вдф dip

r=ro~w(t)

_ ^ 9Tg_

9 дг

- Asp,

r=ro~w(t)

dw

Здесь А5 — удельная теплота сублимации. Так как температура газа предполагается однородной по объему из-за быстрого перемешивания, то первое слагаемое справа равно нулю и последнее равенство запишется в виде

дТ„

к 0ТН дт^ dw_ _

1 дг 2 г2дв дв 3 г2 sin2 6dip dtp J

dw\

=

r=r о —w(t)

Равенство температур на границе газ-криогенный слой имеет вид

dw dt '

(6)

= (7)

Г=Г о —и)

Зависимость температуры газа от времени объясняется тем, что в результате сублимации плотность его меняется, а следовательно, меняется и температура в силу уравнений Клапейрона-Клаузиуса и Ван-дер-Ваальса.

Плотность газа в момент времени £ вычисляется по формуле

Pg(t) =

lof^i + m(t)

где

t 7Г 2тг

m(t) = ps

dw(0, ip, т) dr

V(t)

(ro — w(6, <p, r))2 sin в dipdOdr

ООО

масса испарившегося топлива, a

t ж 2тг

V(t) =

(ro — w(9, (p, r))3 sin в dtpdOdr

0 0 0

— объем газовой полости.

Считаем, что процесс сублимации начинается в момент £ = 0. Пусть wo = Wl + W2, где Wl,W2 толщина оболочки и криослоя соответственно в момент £ = 0. Тогда начальные условия таковы:

ги(0) = w0,

^д(О) = ^гШ-,

Т3н(г, 0) = ф(г),

(8)

= Ф{г),

(9) (10)

t=o

где Tint — температура газа, при которой начался процесс сублимации, а ф(г), ф(г) — начальные температурные профили во внутреннем и внешнем криослое. Считаем, что граничные условия для ф(г), ф(г), согласованы с граничными условиями нашей задачи, т.е.

ф(г0)=Техг, ф(гх) = ф(г i), ф(г0-т0)=Т3

= Тд{ 0).

Г=Го —wо ,i = 0

3. Упрощения модели. Аналитическое решение поставленной выше задачи почти безнадежно, так как она принадлежит к классу дифференциальных функциональных уравнений с частными производными. Ее можно исследовать лишь численно. Однако попытаемся ввести разумные упрощения,

которые облегчат возможности для аналитики в исследовании этой проблемы. Во-первых, отметим, что те нарушения криогенного слоя, которые предполагается обнаружить, настолько незначительны, что сублимированный водород практически не повлияет на изменение плотности газовой составляющей. Кроме того, процесс образования шероховатости длится миллисекунды, поэтому газ не успевает нагреваться в силу его незначительной теплопроводности, т. е. во время исследуемого процесса его термодинамические свойства фактически "заморожены". Поэтому из всего вышесказанного для описания модели существенны лишь уравнения (1), (5) с граничными условиями (2)—(4), (6), (7) и начальными условиями (8)—(10), которые мы заменим на

Tsh{r,0) = Ts Граничное условие (7) мы заменим условием

= Т,

int •

t=0

= Tint для всех t.

(П)

(12)

Начальная температура Tint остается постоянной для газа во время всего процесса образования шероховатости, именно это и означает равенство (12).

Задача (1)—(8), (11), (12) является задачей Стефана с нелинейным граничным условием. Для асимптотического анализа решения этой задачи введем безразмерные переменные

го — г Го — г

S г а

w о

где S =

w о Го

т =

t*

-t*

где t =

r0 csPs

к е

Значениям го, гi, г2 = го — wq будут соответствовать значения безразмерной переменной

= О,

= 1. Здесь = го — г\. В новых переменных наша задача запишется как

ks dTsfj

д

ksh дт (1 — Sx)2 дх б2

(1-

,дТ.

sh

+

¿2

д / . ДдТ8

__I (7_

дх ' (1 — Sx)2 sin 0 дО V дв

+

+

д_ (от.

(1 - Sx)2 sin2 0 dip \ dip

• dTs_ = 1 + 6 д

дт (1 — Sx)2 дх

s2 д

+

(i-

Tsh{0, t) — Textl Tsh(xut) = Ts(xu6,<p,t),

,,дтл s2 д

дх

+

/1 s \? ■ 2 n a \ + я

(1 - Sx)2 smz в dip V dip

(1 — Sx)2 sin 0 dO dT/j

(1+ 6 (#,¥>)) sin 0

OTs dO

+

(13)

(14)

(15)

(16)

Пусть ги = где ги(в,1р,Ь) — толщина криогенного слоя в момент времени t. Уравнение (6)

для изменения толщины криослоя примет вид

dx

-((l + ^ + ^T^^r^f-^ + i2

1 + 6

дТ. did

(1 -Sx)2 de de (1 - Sx)2sm2e dip dip

= -S2X

dw

dr

(17)

где А =

Равенство температур и тепловых потоков на границе газ-топливный слой определяются равенствами

Tah(x1,t)=Ta(x1,0,cp,t) ksh dTsh _ dTs

к, дх _ дх

Х—Х\

(18) (19)

Х—Х\

Система уравнений (11)—(19) определяет сингулярно возмущенную задачу Стефана для параболических уравнений (13), (16). Известно [6, 7], что решение такой задачи можно искать в виде асимптотического ряда по степеням малого параметра 52 рй 2,5 • 10_3. Этот асимптотический ряд содержит

5

регулярные и сингулярные слагаемые. Первые члены этих рядов, стоящие при нулевых степенях параметра 5, обозначим соответственно Т^К В первом приближении

Т , — т'г' -I- Т — т(г' -I- т(в)

±вк — 1 8к ^ 1 вк 1 ±8 — ±8 -\-J-s ■

Функции Т(г), Т(в) удовлетворяют уравнениям

1 9 {(1-6х)^)= 0, (20)

(1 — 8х)2 дх \ дх

1 + 6 8 ^-^1=0. (21,

(1 — ¿ж)2 Зж \ Зж

Сингулярные члены, как это рекомендуется в общей теории, ищем в виде

Т$=е~&тМх), Г]') =е-^тМх1в1ср). (22)

После подстановки в уравнения (13), (16) и приравнивания свободных членов получим уравнения для к и /2:

2 25 ¿¡I (I2 /1

1к7нк[х) = + (23)

В уравнении (17), описывающем динамику толщины криослоя, в левой части в первом приближении отбросим слагаемые порядка б2. Уравнение примет вид

^ N дТ, о, ¿ги + = (25)

Из уравнений (20)-(25) следует, что для построения главных членов асимптотических рядов можно пренебречь слагаемыми, отвечающими за поперечную теплопроводность.

Для анализа уравнений (20), (21), (23)-(25) с соответствующими граничными и начальными условиями нам удобно вернуться к переменным г, t. Уравнения (20), (21) приобретут вид

г2 дг дг '

1 + 6 д 2дТ{/]

--г - = 0.

г2 дг дг

Их решения являются классическими решениями уравнения Лапласа в сферически симметричном случае:

(Г, ^ I) = -М^М + С1 {в, <р,;), (26)

тр (г, в, <р, 0 = -М^М + ск {01 ^ (27)

Сингулярные составляющие в исходных координатах запишем как

= (г,9,<р), Т^ = е-ъ'/2(г,в,<р).

Они удовлетворяют уравнениям (22), (23), которые теперь имеют вид

2<г/, <г2/1

Параметры = Щ, = т! к (1+6(6) у)) • Уравнения (28), (29) являются уравнениями Эмдена-

Фаулера. Их общее решение имеет вид

sin(i?ir + Di) sm(-d2r + Et)

fi(r) = D0----, /2 (r) = E0

(30)

Здесь Е>1, Ео, Е\, — неизвестные функции переменных в, р>. Так как в первом приближении функции температуры во внешнем и внутреннем слоях представляют собой суммы регулярных и сингулярных частей решения, т.е.

Ти- -I- Т — т(г' -I- T(s)

1 sh — 1 sh Т -I sh , ±s — ±s i~±s ,

(31)

/1

= /2

r= Г1

r= Г1

Равенство тепловых потоков на промежуточной границе зададим условиями

ksh дТ¡Г>

/г, Зг

= (1 + 6)

(9Г.

(г)

дТ,

s/i

Последние равенства эквивалентны

дг

дЯ

дг

Г=Г 1

Г= Г1

Зг

Г= Г1

<9Г.

дг

dh дг

= 0.

Г=Г 1

= 0.

На внутренней границе г = г о — т(г, в, £): В начальный момент

т^(г0-т,в,<р, о) = о.

В силу (30) последнее условие эквивалентно равенству

&т(#2(го-то) + Е1) =0. Дифференциальное уравнение (24) на внутренней границе криослой-газ запишется как

'дт{/] dT{ss)

дг

дг

dw dt '

Параметр fj, =

(32)

то начальные и граничные условия для регулярной и сингулярной составляющих запишем отдельно так, чтобы они были согласованы с ранее приведенными условиями для Tsh, Ts. На внешней границе г = г

T{srh](r0,t) = Text.

Начальное условие:

^sh (r°' = Tint — Tgfr = Tint — Text. Это условие будет выполнено, если (см. (30))

sin(0iro + £>i) = 1,

Do = (Tint — Text)r0.

На промежуточной границе г = г

Tah(ri,t)=Ta(r1,0,<p,t),

или

(33)

(34)

(35)

(36)

(37)

(38)

(39)

(40)

AsPs

Используя в десяти условиях (32)-(40) (равенство (38) двойное) функции вида (26), (27), (30), мы найдем десять неизвестных функций со, ¿о, $1, $2, Ео, Е\.

4. Определение главного члена ряда, описывающего функции температур во внешнем и внутреннем слоях. Функция (26) вместе с условием (32) определяет

= -с0 ■ ^^ + Text. (42)

sn ГоГ

Из (26), (27) и (37) следует равенство

Отсюда, а также из (27), (39) получаем

= *.■(*! +& Л (43)

s °М 1+6) r(r0-w) •

Из условия (33) следует, что

$iDi = ^ + 2тгга - §ггг.

Беря во внимание лишь первую гармонику, т.е. положив п = 0, получим из (30), (34)

„ N cosí$i (го — г)) .

Л = (Тш - Text)r0-^^-11. (45)

Отсюда и из первого из условий (37) следует, что удовлетворяет уравнению tg(i?iw1) = Пусть г = w\. Тогда это уравнение можно записать как tg(z) = Поскольку ¿i = ^ 0,05, то г рй тг, а Отсюда и из (45)

cos Ш'О - г))

Л = (Тш - Text) г0-^-L, (46)

и

7? = (47)

w[cshpsh

Равенство (40) вместе с (30) дает нам

Bin(02(t£>o + r-ro))_

Г

Отсюда и из второго равенства (38) получаем tg(i?2(wo — wi)) = $2ri- Пусть z = $2(^0 — wi)- Тогда полученное уравнение запишется как tg z = z—^—. Коэффициент при z в правой части больше 200. Поэтому z ~ j, а $2 ~ 2(w0-wi) • Подставим это выражение в (48) и используем условие (36). Получим Е0 = -D0 = (Text - Tint)r0. Отсюда

r0sin (f • Wn+r-r" V ¿ W()—W 1 ,

/2 = (Text - Tmt)-V 1 7 . (49)

В частности,

(w0 - Wi)lCsps

Используем равенство (35) температур на границе двух слоев и (31), с учетом выражений (42), (44), (46), (49) получим равенство

Ml+ 6)

Со —

к

sh

Ф1 (w,t) ^ . ' _Ф2(«7, Í)

(51)

где

— (Text — Tnt)

1 +

Г О

Го — W ф, =

е sin (-^(1 - w)

w — W\ ri(r0 - w)

+ (1+6

+ (Text — Tnt)

Wi

Г2

r0r 1

(52)

(53)

Ниже параметр ¿i = < S.

Окончательный вид зависимости температуры во внешнем и внутреннем слоях от времени и сферических координат с учетом полученных формул можно представить следующими двумя выражениями:

Tah(r,0,<p,t) = Text-

Ta(r,0,<p,t) = -Tint +

М1 + 6) ksh

Ф10М) Ф 2(w,t)

Ф1 (w,t)

.ф2 (wit)_

r or

е~ъ*{Техг-Тш)г0

cos (%('* - O)

Wo - (r0 - r) r(ro — w)

+ e-^2i(rexi-rini)

r0 sin I f • Wo+r"r° u v 2 Wo-Wx

(54)

(55)

С учетом формул (43)-(47), (50)-(55) дифференциальное уравнение (41) для изменения толщины топливного слоя ги(в,1р,Ь) примет вид

dw = д(1+6(^,у)) dt (г о — w)

Ф1К*) Ф 2(w,t)

(56)

Здесь

Ф3 = е~^{Техь-Тш)го

IT Го — w / IT Wo — w

— --cos — --

2 wo — wi V 2 wo — wi

IT Wo — w — sin I — --

2 wo — wi

Функция 6 моделирует анизотропию коэффициента теплопроводности в кристаллическом слое.

Задавая эту функцию и интегрируя уравнение (56), мы определим толщину w(0,ip,t) криослоя как функцию времени и угловых координат.

Уравнение (56) можно значительно упростить, если использовать значения теплофизических параметров для стеклянной оболочки из стекла "пирекс" толщиной 50 мкм и для твердого водорода п — Н2 при температуре 10 К. Так, величины jf, 7I имеют порядок 104 сек-1. Поэтому для времен порядка 1 мсек (а процесс формирования шероховатости длится около 5-20 мсек) все экспоненты составляют величину е-10 и соответствующими слагаемыми можно пренебречь. В этом случае функции Ф1 ~ (Text — Tnt), Ф3 = 0, и уравнение (56) запишется значительно проще:

dw = fi(Text-Tint)(l + ^(e,(p))ri dt (r0 - w)(w + (f))

(57)

Заметим, ЧТО — -, с ^ 1. Формула (57) может быть теперь записана

= ~ ТШ) (1 + ^(0, р))

dt w + w <~р)

Решение этого дифференциального уравнения с учетом начального условия (8) выражается в квадратурах:

w w0

1-^ 6 + 1

w0 J

-2/3(1 + 6)*- (1- — )6,

Wo'

(58)

где в =

1 \epew£

Раскладывая решение (58) в ряд по t до квадратичных членов, получаем

(а л + 6 lf))wo , (/3(1 + 6 lf))i)2wo

W(V, (fi, t) = Wо--7--—Ь

! + 2(1 + ^6 (е,<р)У

Определим разнотолщиниость следующим образом. Пусть в двух точках в\, <р\ и 02, <~Р2 границы внутреннего слоя значения функции (р) равны Р1) = и £1(^2, <^2) = —Определим

разнотолщиниость:

е{г) = т{92,(р2,г)-т{91,(р1,г). (60)

Ниже будет удобно ввести параметр у = определяющий долю оболочки в общей толщине "оболочка плюс твердое топливо". Тогда, заменив в последних соотношениях т\ на уто, мы можем исследовать скорость нарастания шероховатости еще и как функцию у. Из (59), (60) получим явный вид для шероховатости в момент времени

= 2/3--—Tji +-д(£0, у).

1 - wo

Функция

(i-6)2 (i + 6)2 e02(i+eo2)y3-6e02y2 + 3(i + e02)y-2 2(1 -уб)3 2(1 + у£0)г

9 - -ГТ^Т? — ~л ГТТ^Тя — £о п1з

1 - (уб

ч 2

Ниже в таблице приведены расчетные времена достижения разнотолщинности 2 мкм при различных значениях У. При этом рассматривалась мишень радиуса 3 мм, толщина оболочки вместе с толщиной криослоя равнялась 250 мкм, значение £о = 0,14.

У 75% 50% 25% 5%

t, мсек 36 18,1 9,9 8,7

Более подробные результаты расчетов можно найти в статье [8].

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Белолипецкий А. А. Нелинейная математическая модель заполнения тонкостенных оболочек газом // Вестн. Моск. ун-та. Сер. 15. Вычисл. матем. и киберн. 2000. № 2. С. 7-10.

2. Белолипецкий А. А. Математические модели формирования твердого топливного слоя в лазерной мишени // Сообщения по прикладной математике. М.: Изд-во ВЦ РАН, 2006. С. 1-55.

3. Александрова И. В., Белолипецкий А. А., Корешева Е. Р. Состояние проблемы криогенных топливных мишеней в современной программе инерциального термоядерного синтеза // Вестн. РАЕН. 2007. № 2. С. 15-20.

4. V es е 1 о v А. V., D г о z h i n V. S., D r u z h i n i n A. A. et al. ICR target technology at the Russian Federal Nuclear Center // Fusion Technology. 1995. 28. P. 18-38.

5. Wanner R., Mayer H. Sound velocity in solid hydrogen and deuterium // Physical Letters. 1972. A 41. N 3. P. 189-190.

6. Васильева А. Б., Бутузов В. Ф. Асимптотические методы в теории сингулярных возмущений. М.: Высшая школа, 1990.

7. Тер-Кри коров A.M. Нелинейный анализ и асимптотические методы малого параметра. М.: Физтехпо-лиграф, 2007.

8. Александрова И. В., Белолипецкий А. А., Корешева Е. Р. и др. К решению проблемы сохранения параметров криогенной мишени в процессе ее доставки в зону термоядерного горения // Вопросы атомной науки и техники. 2007. Вып. 3. С. 27-38.

Поступила в редакцию 20.02.07