CC BY
8
УДК 517.9
А.А. Белолипецкий1, К.О. Семенов2
ИССЛЕДОВАНИЕ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ ЗАПОЛНЕНИЯ ДВУХСЛОЙНЫХ ПОРИСТЫХ ОБОЛОЧЕК ГАЗОМ
Предложена и аналитически исследована математическая модель заполнения лазерных мишеней изотопами водорода. Модель записана как сингулярно возмущенная начально-краевая задача для системы полулинейных параболических уравнений. Методом малого параметра построено приближенное решение задачи. Этот результат был использован при разработке модуля формирования незакрепленных мишеней в Лаборатории термоядерных мишеней ФИРАН им. П. Н. Лебедева.
Ключевые слова: математическая модель, лазерная мишень, инерциальный термоядерный синтез, параболические уравнения, сингулярные возмущения, малый параметр.
1. Математическая модель как начально-краевая задача для системы параболических уравнений. Проблема инерциального термоядерного синтеза является актуальной областью интересов современного естествознания [1, 2]. Приведем одну из основополагающих работ [3] по этой тематике и два обширных обзора состояния современных исследований в этой области [4, 5]. Одним из важных направлений в этой проблематике является отработка технологии производства лазерных мишеней. Обзор литературы, посвященной задачам, которые возникают при производстве таких мишеней, можно найти в [6]. Основная задача заключается в том, чтобы доставить термоядерное топливо внутрь многослойной полистироловой оболочки мишени, не разрушив ее. Для этого сферическую оболочку помещают в камеру с дейтерий-тритиевой газообразной смесью, находящейся под давлением. В этом случае газ проникает через стенку мишени, постепенно заполняя ее. При повышении давления газа внутри мишени следует повышать и внешнее давление, но так, чтобы не разрушить оболочку. Поскольку в оптимальном по быстродействию режиме разность внешнего и внутреннего давления должна быть по возможности максимальной, но при этом не превышать критического значения, при котором может разрушиться оболочка, необходимо с высокой степенью точности определять давление газа внутри мишени, измерить которое невозможно. При этом внутреннее давление может достигать от 300 до 1000 атм. Возникает необходимость в разработке адекватной математической модели заполнения газопроницаемых оболочек до высоких давлений, когда состояние газа описывается уравнением Ван-дер-Ваальса. Для однослойных оболочек, течение газа через которые подчиняется закону Фика, подобные задачи рассматривались в [7, 8]. Современные оболочки являются многослойными с пористыми слоями. Задача газопроницаемости через такие слои значительно усложняется, так как использование закона Дарси делает задачу нелинейной. Ниже изучается модель заполнения газом двухслойных оболочек с внутренним пористым слоем. Эта модель представляет собой задачу Коши для системы сингулярно возмущенных нелинейных параболических уравнений с нелинейными краевыми условиями.
Изучаемая лазерная мишень типа HiPER (High Power Energy Research) представляет собой сферическую оболочку, состоящую из двух слоев. Внешний защитный шаровой слой, имеющий толщину w\, внешний радиус г0 и внутренний радиус ri, w\ = r0 — ri, изготовлен из полистирола или полиамида GDP. Внутренний слой пористый, его толщина гиг, а внешний и внутренний радиусы г\ и г 2 соответственно, W2 = г\ — г2. Материалом этого слоя являются пено-полистиролы HIPE, RF либо DVB. Задача заключается в том, чтобы заполнить данную оболочку газом, используя разность внешнего давления и давления газа в полости мишени. Плотность и давление газа внутри первого (внешнего) слоя обозначим pi(r,t), pi(r,t) соответственно. Они являются функциями времени t и расстояния г от центра сферы до заданной точки (ri ^ г ^ г0). Последнее есть следствие сферической симметрии задачи. Плотность и давление газа внутри второго (внутреннего) слоя обозначим p2(r,t) и p2(r,t) (г2 ^ г ^ ri). Далее будем считать, что характерное время перемешивания газа, поступающего в полость мишени, значительно меньше характерного времени процесса заполнения мишени этим газом,
1 Факультет ВМК МГУ, проф., д.ф.-м.н., e-mail: abelolipetQmail.ru
2 ßjj- математик 1-й кат., асп., e-mail: sko_Qmail.ru
а потому процесс перемешивания газа внутри мишени полагаем мгновенным. В силу этого плотность Рз(1) и давление рз(1) внутри мишени не зависят от пространственных координат.
Поток газа во внешней оболочке подчиняется закону Фика. Как известно, для сферически симметричной задачи в этом случае динамика изменения плотности во внешней оболочке описывается уравнением
г2 дг дг
Течение газа во втором пористом слое описывается уравнениями теории фильтрации (см., например, [9-11])
д{тр2) 1 д 2к др2 . .
—= ~1ГГ ~Р21Г- (2
от г£ дг р дг
Здесь к — коэффициент проницаемости среды, р — коэффициент динамической вязкости газа, т — пористость среды. Граничные условия для всех £ > 0 имеют следующий вид.
1. При г = го
ЫП),^ =РеХ^), (3)
где рех— внешнее давление, вообще говоря, зависящее от времени.
2. При г = г\
Ыгъ£) =Р2(г1,г), (4)
дг р дг
Условия (4), (5) выражают равенство давлений и потоков на границе двух сред.
3. При Г = Г2
Р2{Г2^)=Рз{Г2^)=Р-шЬЦ). (6)
Последнее граничное условие есть просто закон сохранения массы газа, т. е. количество газа, поступающего в полость мишени, изменяет плотность его в этой полости. В принятых обозначениях оно имеет вид
ф3 Шр2 др2
(7)
г=г2
(Й г2р дг
Для замыкания задачи требуется еще учесть связь между термодинамическими величинами. Поскольку давление газа внутри мишени может достигать 1000 атм., то в качестве уравнения состояния потребуется использовать уравнение Ван-дер-Ваальса
Р= 7-гт^а—= /(р. (8
(Рд - Ьр) р2д
Здесь рд — молярная масса газа, а постоянные а, Ь равны соответственно
Ус ШТСУС 27
~3~' а=-8— = У с ^
Величины Тс, Ус — это критические значения температуры и удельного объема газа. Начальные условия
р2(г, 0) = рз(0) = Ро, Гп — Г Г — Г1
Р1(г, 0) = -ро +-^(0), (10)
П) ~Г1 г0 - г 1
р3(г,0) =р2(г, 0) = /(р0), Р1 (т, 0) = ¡(рг)
замыкают модель.
Проблема состоит в том, чтобы решить обыкновенное дифференциальное уравнение (7) и получить зависимость от времени для плотности газа рз(£) в полости мишени. Уравнение состояния (8) позволяет в этом случае вычислить и давление газарт^) = Рз(^) = /(рз(^)) внутри мишени. Внешнее давление не должно разрушить мишень. Поэтому разность
РекЬ^) - РиЛ^) = Д(г) < РЬ, (11)
где рь — предельно допустимая разность давлений.
Для интегрирования уравнения (7) требуется решить систему нелинейных параболических уравнений (1), (2) с начальными условиями (10), краевыми условиями (3)—(6) и ограничением (11). Эта задача будет решена в следующем разделе и сформулирована в виде двух теорем.
2. Исследование безразмерной модели. Квазистационарные течения. Прежде чем приступить к анализу безразмерной модели, приведем некоторые характерные значения физических величин, которые типичны для исследования изучаемого объекта и среды. Эти величины могут варьироваться в широких пределах, но так, чтобы характерные параметры (52, £\, е2, £з, которые будут определены далее, оставались малыми, т.е. не превосходили величины а/10 (см. ниже).
Величина К = 8.31 Дж/(моль-К) — универсальная газовая постоянная, Т = 300 К — температура, при которой происходит заполнение, коэффициент газопроницаемости к = тй2/32 ~ Ю-14 м2 при пористости т = 0.1 и диаметре пор й = 1 мкм.
Значения некоторых параметров для дейтерия: коэффициент динамической вязкости р®2 = = 1.27 • 10"5 Па • с; Ъ = Ус/3 = 19.23 • 10"6 м3/моль; а = 27/8КТСЪ; Тс = 31 К; £>Ба = 1.6 • 10"11 м2/с; рд = 4 г/моль; характерное давление ¡3 = ВТ¡Ь = 1.2964 • 108 Па; разность давлений вне и внутри оболочки А = 0.24 • 105 Па; а = Д//3 ~ Ю-4; геометрические параметры оболочки мишени г0 и 1 мм, V! = 3- 10"6 м, = 7 - 10"5 м.
Введем следующие безразмерные величины. Безразмерное время г = где I* = г^/Б и
и (1.04-10~6 м2)/(1.6-10~п м2/с) = 0.65-105 с. Безразмерные координаты для внешнего и внутреннего слоев х\ = (го — г)/гУ1, следовательно, г = го(1 —<51Ж1), = {г\ — г)/гог, следовательно, г = г—82X2)1 где <51 = /г0 и 3 • 10~3, 82 = гиг/п и 7 • 10~2. Безразмерная плотность ^ = рФ/рд и безразмерное давление у^ = Р^/¡3.
В новых обозначениях вышеприведенные формулы примут следующий вид.
Уравнение Ван-дер-Ваальса (8) в безразмерных переменных имеет вид
у = =
1
(12)
где 7 = аЦЬКГ) = 27Тс/Т = 27/8 • 300/30 и 0.33. В частности, из (12) следует, что Эу/дх = = Ш'(г)дг/дх = [1/(1 — — а безразмерный поток в пористом слое имеет вид
]{х2,т) = ^2—— = = г
ох2
1
2-уг
дх
дх2
Z = Z2 (Х2,т)
(13)
Перепишем в безразмерных переменных приведенные в разделе 1 формулы. Формула (1):
формула (2) с учетом (13):
п'дт
8=
1
(1 — 8\Х\)2 дх\
(14)
£ — ~
д
дт (1 — 82Х2)2 дх2
(1 - 82Х2)2ЛХ2,Т),
(15)
где
формула (7):
где
тгш-Огоо (г«2
= 1 2 Д = т£0 -
кг$р \ Го
£2~Г- =
ат
=
рР _ 1ф'
27^2
дх2
дхо
10
-14
-Л1>г)>
(16)
х2 = 1
ШгЦЗ
Зг2
Граничное условие (3) примет вид
zi(X!,T) =zext(T).
xi=0
Условия (4), (5) запишутся как
dzi
zi(1,T) = z2(0,r),
£3
дхл
= Z2
где
Ж1 = 1
£3 —
1
27^2
dzo
дхо
= 3(0,г),
(17)
(18) (19)
х2=0
pDriS2 _ nDw2 _ 'W2 ^ 10_9. krQöiß kßw\ w\ '
условие (6): начальное условие (9):
z2(x2,t)
x2 = l
= z3 (г);
г2(х2,0) = ^з(О) = Zl(xъ®) = (1 - Ж1)ге^(0) + хгг0. И наконец, разность давлений (11) в полости и вне мишени примет вид
УиА = Уз(т) = УехЛт) - а.
(20)
(21) (22)
Пусть при у = yext = Pext/ß плотность равна zext- Согласно (12), yext = W(zext)- Из условия (22) следует, что безразмерное давление в полости мишени равно y-mt = уз(т) = уехt(r) — а(т), а плотность ¿int = z3. При этом yext(r) - а(т) = W(z3) или
W(zext) = W(z3) + а.
(23)
Безразмерный параметр а = А//3 имеет порядок ръ//3 « Ю-4. Поэтому решение можно с точностью Ю-9 искать в виде = ^з + а(д + а2(2 + 0(а3). Подставим это выражение в уравнение (23) и разложим его левую часть в ряд Тейлора в окрестности до членов порядка 0(а3). Получим приближенное равенство
И^з) + Ш'^з)^ + а2(2) + + 0(а3) = + а.
Приравнивая слагаемые при одинаковых степенях параметра а, вычислим выражения для коэффициентов (1 = 1/1¥'(гз), Сг = ^^"(гз)/(2[1¥'(гз)]3). Следовательно,
а
Zext — Z 3
W'(z3)
1
aW"(z3)
2 (W'(z3)y
0(a3).
(24)
Параметр ~ 10_3, поэтому уравнение (14) является сингулярно возмущенным. Решение его ищется в виде суммы г\{х, т) = г\г{х, г, ) + г\в{х, т/8\, 8^), в которой первое слагаемое — это регулярная составляющая решения, а второе — сингулярная составляющая, отвечающая за "память" о начальных условиях. Можно показать, как это сделано в работах [12, 13], что начальные условия (21) быстро "забываются", так как ZlS(x,т/¿2,¿f) ~ ехр(—^/ 8\), где х — наименьшее собственное число линейного дифференциального оператора (14) в задаче Штурма Лиунилля. которое имеет порядок единицы. Поэтому через безразмерное время г ~ 8\ к, Ю-6 сингулярными поправками можно пренебречь. По той же причине при поиске решения уравнения (14) мы ограничимся лишь его регулярной составляющей. Следует отметить, что при заполнении мишени газом до 1000 атм. безразмерное время т ~ 1.
Регулярную часть решения уравнения (14) ищем в виде формального ряда по степеням параметра 2 1
5 = 52
Zir(x, г, 5) = г(0)(ж, г) + У^ Skz(-k)(x, т).
к=1
(25)
Нулевое приближение этого ряда для удобства применения вышеприведенных формул будем далее обозначать и называть квазистационарным решением. Подставив (25) в уравнение (14) и приравняв слагаемые, не содержащие параметра 8 = 8%, получим для функции уравнение Лапласа д/дх 1(1 — бхх^дхх/дхх = 0, имеющее с учетом граничного условия (17) решение
Решая уравнение (15), также ограничимся лишь поиском нулевого приближения г2 регулярной части решения, поскольку сингулярная часть за время г ~ Юе^ и Ю-13 становится пренебрежимо малой.
Приравняв нулю левую часть (15), получим соотношение для квазистационарного потока
= (27)
Отсюда и из (13) после интегрирования следует, что
Пъ) = Ь(т)~ ^ (28)
где функция
¿2
¿ф2) = J йг.
о
Обозначим через Р~х функцию, обратную к Р. Тогда, согласно (28),
(л Мт)
Граничное условие (18) с помощью формул (26), (29) запишем как
!Л \ С0(Г) ! ( (¿о(г)
«1(1, Г) = ге* - Т-т-г = 22(0,Т) = ^ (¿1 (г)
(1-61) ^ ' 7 V 14 7
откуда
00)
Граничное условие (19) с учетом соотношений (26), (27) примет вид
Со =-.
£ з
Отсюда и из (30) найдем выражение для
£3
Граничное условие (20) совместно с (29) дает нам
Ъ(т) = р [^-ЪМ-ЬА + Щ (31)
,Т) = Р-1 - {1М^)52) = (т),
или
^(г) = ^з(г))+ 4(т) . (32)
(1 - 02)02
Приравняем правые части выражений (31) и (32) и получим уравнение для (¿о
г ^ _ = р(гз(т)) + (33)
Обозначим через и = (с1о(т)(1 — б!))/ез. Тогда уравнение (33) перепишется с учетом этого обозначения как
- и) = ^(г3(г)) + е3"
и
(1 — )(1 — ' (34) Очевидно, что при е3 = 0 это уравнение имеет решение и о = — Отсюда и из (24) получаем выражение для
а
щ =
1
Из определения переменной и и выражения (35) следует, что
е3а
0(а3). 2(Ш'(г3))2
0(а3).
(35)
(36)
Граничное условие (16) вместе с выражением (27) для потока в пористом слое можно записать в виде обыкновенного дифференциального уравнения для безразмерной плотности в полости е2с1гз/(1т = = —_7'(1,т) = (¿о(т)/(1 — 5г)2- Подставим сюда выражение (36) для (¿о и окончательно получим обыкновенное автономное дифференциальное уравнение, описывающее динамику безразмерной плотности в полости мишени
<1г3
е3а
_ 1ЛГУ
йт е2(1^б2)2(1^61)Ш'(г3) [ 2(Ш'(г3))2\- 1 ;
Решение уравнения (37) с точностью до О (а3) можно записать в квадратурах. Для этого разделим переменные и перепишем (37) в виде
освтг = / -]
\У'(г) йг
л _ а УУ" (г) г, 2 (№"(г))2
(38)
Здесь ^ и г/ — начальная и конечная плотности газа в полости мишени, Tf — безразмерное время заполнения мишени газом от плотности до плотности а
в =
£3
Зг02
£2(1^2)2(1^1) ^1Г2(1^2)2(1^1) Правую часть в (38) можно представить в виде
1
а УУ"(г) 2 (№"(г))2
= [ IV'
1
IV
а Ж" а2
2 (И")2 4
105
йг + 0(а3).
Используем это приближение в (38), помня о том, что безразмерное давление у и безразмерная плотность г связаны уравнением Ван-дер-Ваальса (12). Окончательно получим
«, И^'С*/) 2
1п .„. , \ + от
3\2
(1 ~ 7(1 ~ ¿0 )
(1^27г(1^г)2)3
йг + 0(а3)
(39)
Этот результат является основным в данной работе. Его можно сформулировать в виде теоремы.
Теорема 1. Безразмерное время заполнения Tf оболочки от начального безразмерного давления Уг до конечного давления у$ задается приближенной формулой (39), в которой Zf — безразмерные начальная и конечная плотности, связанные с соответствующими давлениями уравнением Ван-дер-Ваальса (12).
Предельно упростим полученную формулу, положив Уг = 0 и отбросив все слагаемые в скобках, содержащие параметр а. В этом случае
_ _ У/
т. е. конечное давление в полости мишени и время заполнения до этого давления связаны прямой пропорциональной зависимостью. В размерных переменных эта связь имеет вид
ГрР/ _ гщг2(1 - ё2)2(1 - 5г)
Ь =
БвА
31>Д
(40)
Теорема 2. Время заполнения tf оболочки от нулевого начального давления до конечного давления pf задается с точностью до О (а) линейной зависимостью (40).
В табл. 1 приведены значения времени заполнения мишеней, вычисленные по формуле (39). При этом время tf представлено в часах, а давление pf — в атмосферах.
Табл и ца 1
Pf 200 400 600 800 1000
tf 11.343 22.676 34.010 45.343 56.677
В табл. 2 приведены значения времени заполнения мишеней, полученные при численном решении начально-краевой задачи (1)—(11). Численный метод заключался в построении нелинейных чисто неявных разностных схем на сетке с равномерными шагами по координате (в каждом слое мишени) и времени. Для решения полученной системы алгебраических уравнений на каждом временном слое был выбран итерационный метод Ньютона. Эти расчеты были проведены соискателем Д.Л. Семеновых, которому авторы выражают искреннюю благодарность.
Табл и ца 2
Pf 200 400 600 800 1000
*f 11.315 22.529 33.943 45.057 56.371
При сравнении результатов расчетов, выполненных двумя разными способами, обнаруживается хорошее сходство. Разница заключается лишь во времени, затраченном на вычисления. Если для воспроизводства табл. 1 потребовались доли секунды, то время расчетов, данных в табл. 2, на персональном компьютере INTEL(R) с тактовой частотой 1,66 ГГц, ОЗУ 1 ГБ и жестким диском 150 ГБ составило несколько часов. Последнее объяснимо, так как задача является сингулярно возмущенной, потребовалось делать слишком мелкий шаг по времени и на каждом временном слое решать систему нелинейных уравнений.
В качестве заключения хотелось бы отметить тот факт, что все опыты по заполнению мишеней, проводимые в ФИРАН с использованием результатов, приведенных в теоремах данной статьи, увенчались успехом, т. е. разрушение мишеней не наблюдалось, что подтверждает применимость приведенных результатов для практических целей.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Belolipetskiy A. A., Koresheva Е. R., Aleksandrova I. V. et al. FST-formation of cryogenic layer inside spherical shells of HiPER-class: results of mathematical modeling and mock-up testing // Book of abstracts XXXI European Conference on Laser Interaction with Matter (ECLIM 2010). Budapest, Hungary: Laser and Particle Beams, 2010. P. 105-106.
2. Александрова И.В., Александров А.Н., Белолипецкий А. А. и др. FST-технологии для производства криогенных мишеней типа HIPER // 38-я Международная конференция по физике плазмы и проблемам УТС: Тезисы докладов. М.: ЗАО НТЦ «ПЛАЗМАИОФАН», 2011. С. 131.
3. Басов Н. Г., Крохин О.Н. Условие разогрева плазмы излучением оптического генератора // ЖЭТФ. 1964. 47. С. 171-175.
4. Смирнов В. П. Исследования по термоядерному синтезу: Научное сообщение на заседании президиума РАН // Вестник РАН. 2003. 73. № 4. С. 1-15.
5. Energy from inertial fusion / Ed. W.J. Hogan. Vienna: Inertial Atomic Energy Agency, 1995.
6. Александрова И.В., Белолипецкий А. А., Корешева Е. Р. Состояние проблемы криогенных топливных мишеней в современной программе инерциального термоядерного синтеза // Вестник РАЕН. 2007. № 2. С. 15-20.
7. Белолипецкий А. А. Нелинейная математическая модель заполнения тонкостенных оболочек газом // Вестн. Моск. ун-та. Сер. 15. Вычисл. матем. и киберн. 2000. № 2. С. 7-10.
8. Aleksandrova I. V., Belolipetskiy A. A. Mathematical models for filling polymer shells with a real gas fuel // Laser and Particle Beams. 1999. 17. N 4. P. 701-712.
9. Muskat М. The Flow of Homogeneous Fluids Through Porous Media. N.Y.; L.: McGRAW-HILL Book Company, 1937.
10. Лейбензон JI. С. Движение природных жидкостей и газов в пористой среде. М.: Гостехиздат, 1947.
11. Ентов В.М. Теория фильтрации. М.: Недра, 1998.
12. Белолипецкий A.A. Об одной сингулярно возмущенной задаче Стефана, описывающей разрушение топливного слоя в лазерной мишени // Вестн. Моск. ун-та. Сер. 15. Вычисл. матем. и киберн. 2008. № 1. С. 10-18.
13. Белолипецкий A.A., Малинина Е. А., Семенов К. О. Математическая модель деградации топливного слоя при нагревании мишени тепловым излучением в рабочей камере реактора // Прикладная математика и информатика. № 32. М.: МАКС Пресс, 2010. С. 5-19.
Поступила в редакцию 17.01.11
ВЕСТН. МОСК. УН-ТА. СЕР. 15. ВЫЧИСЛ. МАТЕМ. И КИБЕРН. 2011. № 4
55
THE RESEARCH OF MATHEMATICAL MODEL FOR FILLING POROUS DOUBLE-LAYER SHELLS WITH REAL GAS
Belolipetskiy A. A., Semenov K. O.
Mathematical model for filling Laser Targets with a real gas nuclear fuel is investigated. The model is described as the singular perturbed initial-boundary problem for the system of non-linear parabolic equations. The asymptotic solution is founded with a small parameter method. The solution has been applied in the Thermonuclear Targets Laboratory of Lebedev Physical Institute RAS.
Keywords: mathematical model, laser target, inertial thermonuclear syntheses, parabolic equations, singular perturbations, small parameter.
