CC BY
60
7(49) - 2011
Математические методы анализа
в экономике
УДК 519.6
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ПРОИЗВОДНЫХ ЦЕННЫХ БУМАГ НА ДЕФОЛТ ПО КРЕДИТУ НА ОСНОВЕ МОДЕЛЕЙ КОПУЛ
Е. Ю. ЩЕтИНИН,
доктор физико-математических наук, профессор кафедры прикладной математики E-mail: riviera-molto@mail.ru
О. В. стихова,
старший преподаватель кафедры прикладной математики E-mail: olgitast@smtp.ru Московский государственный технологический университет «СТАНКИН»
В работе рассмотрен структурный подход к моделированию дефолта кредитныхдеривативов единственного эмитента и показано, как эта модель может быть использована для моделирования кредитного риска по множественным эмитентам с использованием функций копулы. Сделан вывод о том, что при оценке кредитных деривативов и нахождении убытка по траншам в представленной многомерной модели, при нахождении убытков в портфеле учитывается наличие смешанных параметров, предельной и хвостовой зависимости.
Ключевые слова: облигация, обеспеченная долговыми обязательствами, своп на отказ в платеже по кредитным обязательствам, дефолт, кредит, дериватив, риск, копула.
Введение
В связи с быстрым ростом рынков производных финансовых инструментов, развитием компьютерных технологий торговли на финансовых рынках и управления портфелями за последние годы широкое распространение получили методы финансовой ма-
тематики. В то же время основные результаты в этой области составляют важную часть экономической теории. Они достаточно глубоки и имеют тесную связь с общей экономической теорией. При этом финансовая математика является бурно развивающимся разделом теории вероятностей, связанным с задачами, возникающими при исследовании (и предсказании) динамики финансовых рынков.
Кредитные производные ценные бумаги (де-ривативы), в частности облигации, обеспеченные долговыми обязательствами (collateralized debt obligation, CDO) и свопы на дефолт по кредиту (credit default swap, CDS) являются чувствительными индикаторами любых изменений состояния экономики развитых стран. План мероприятий по преодолению последствий финансового кризиса 2007—2008 гг. стал отправной точкой пересмотра уже имеющихся научных достижений в данной области. И хотя он не вызвал всеобщего одобрения в экономических кругах, его необходимость не ставилась под сомнение, поскольку была продиктована обеспокоенностью инвесторов возрастающей
нестабильностью и непредсказуемостью рынков ценных бумаг и производных инструментов. К тому же в последнее время было создано огромное количество ничем не обеспеченных кредитных обязательств, а структура внутренних расчетов продолжала оставаться крайне рискованной.
Несмотря на значительное число опубликованных работ, посвященных данной тематике, и исследований ведущих зарубежных университетов и институтов, до настоящего времени в предлагаемых математических моделях кредитных производных не учитываются многочисленные факторы, влияющие на поведение кредитных инструментов, требующие многопараметричности, а также отсутствует в полной мере их точное количественное описание.
То же справедливо и для построения адекватной модели дефолта по обязательствам для оценки более сложных случаев страхования риска кредитного портфеля. В результате актуальными становятся создание математических моделей производных ценных бумаг на дефолт по кредиту и построение точного прогноза вероятности наступления дефолта по обязательствам на уровне одного и множества эмитентов, учитывающих многочисленные статистически значимые параметры, разработка методов верификации математических моделей оценки и полученных результатов исследования.
Стандартный своп дефолта по кредиту составляет основу для многих нетрадиционных видов кредитных деривативов. CDS можно сравнить с контрактом страхования риска, который компенсирует потери в случае дефолта по обязательствам эмитента (обычно облигациям и займам) за определенное вознаграждение.
В сделке CDS принимают участие две стороны: покупатель защиты и продавец защиты. На практике вслед за дефолтом продавец защиты осуществляет платеж, равный (1 — R) раз от предполагаемой стоимости CDS, где R — доля стоимости обязательств эмитента, оцененных на момент наступления дефолта.
При отсутствии дефолта взаимные платежи не производятся. После наступления дефолта по обязатель- 0-3% ствам эмитента покупатель защиты обязан заплатить часть спреда CDS, которая причиталась ему с даты последнего платежа до даты дефолта, так называемую накопленную премию, после чего любые премиальные платежи не производятся.
Облигации, обеспеченные долговыми обязательствами, структурированные кредитные де-ривативы позволяют организовать рынок рисков, связанных с дефолтом. В отличие от сделок CDS, платежи по сделкам CDO не только связаны с наступлением дефолта по одному эмитенту обязательств, но и позволяют работать с портфелем обязательств различных эмитентов.
Важной особенностью сделки CDO является право продавца защиты ограничивать риск потенциальных убытков только частью предполагаемых потерь в случае дефолта конкретного инвестиционного портфеля. Это право реализуется посредством сегментации предполагаемых потерь в случае дефолта конкретного инвестиционного портфеля через различные транши, где каждый из них относится к определенному сегменту ожидаемого дефолта в инвестиционном портфеле.
Традиционно общий дефолт инвестиционного портфеля распределяется на пять траншей. Транши и их денежные потоки проиллюстрированы на рис. 1. Продавец защиты в транше CDO оплачивает покупателю защиты любой убыток от дефолта в инвестиционном портфеле в интервале от нижней согласованной точки его транша до верхней.
В последнее время сформировался, но не получил необходимого и достаточного развития рынок CDO траншей, на котором значительно влияние индексов Dow Jones CDX (для Северной Америки и вновь образуемых рынков) и Dow Jones iTraxx (для Европы и Азии). Например, индекс Dow Jones CDX North America Investment Grade (CDX. NA. IG) есть результат свопов кредитного дефолта по эмитентам обязательств, расположенных в Северной Америке (125 равновзвешенных эмитентов), обновляемый каждые шесть месяцев. На каждую дату публикации
Пер в она ч альный пор тф ель
Премия 3?11Щ1Т?1
CDS CDS 125 равновзвешенных имен CDS CDS
CDS CDS CDS CDS CDS CDS CDS CDS
И I? И I! I!
Транш no капиталу
Мезонин-транш
Старший транш
3-10% 10-15% 15-3 0% 3 0-100% Часть
убытков портфеля, покрытая сделкой CDO
CD О транши
Рис. 1. Структура CDO
Меньший из самых старших траншей
Самый старший транш
ассоциированного индекса «действующих» CDO траншей выпускается CDS индекс. Обычно они публикуются по пяти- и 10-летним инвестициям.
Модель дефолта по обязательствам эмитента
На основе обзора работ теоретического и прикладного характера авторами были рассмотрены классические модели наступления дефолта, границы их применения на рынке производных кредитных инструментов и существующие подходы к моделированию структур статистической зависимости дефолта по портфелю кредитных деривативов.
Первые модели кредитного риска, ныне больше известные как структурные модели, были основаны на модели оценки корпоративного долга, предложенной в трудах [2, 9]. Согласно модели Р. Мертона [9, с. 449—470] дефолт наступает в момент обслуживания долга, если активы фирмы оказываются ниже обязательств, подлежащих оплате. Стало необходимо иметь модели, которые позволили бы путем применения простых и динамических ценовых формул дать результат, соответствующий рыночным котировкам, например ценам на облигации с риском дефолта или свопам дефолта по кредиту.
В моделях Д. Ландо [5, с. 99—120] время наступления дефолта подчинялось пуассоновскому процессу, что позволило ввести зависимость между текущей стоимостью и интенсивностью дефолта. Вариации модели отличаются по частичным возмещениям потерь в случае дефолта. Данные модели не отражают динамики сроков наступления дефолта, что существенно для долговых обязательств, подобных CDO.
Первые модели кредитного риска Д. Ли [6] предполагали корреляцию функций интенсивности при экспоненциальном росте параметров корреляции с увеличением числа эмитентов, подверженных риску дефолта, но это не эффективно, когда эмитентов, подверженных риску дефолта, более двух.
Исследователи Ф. Шонбухер и Д. Шуберт [12] применили функции копулы при моделировании дефолта со стохастическими интенсивностями к пороговым переменным при вычислении многомерных вероятностей дефолта. Распределения дефолта учтены в этих моделях на основе копул, ставших ры -ночным стандартом для оценки корзины кредитных деривативов, в частности по CDO контрактам.
С помощью гауссовской модели копулы из соответствующих рыночных данных можно выделить прогнозируемые корреляции транша. Помимо этого существуют многочисленные подходы,
использующие различные копулы и множество степеней свободы, разработанные для фиксирования корреляций в период дефолта для упрощения оценки риска полуаналитическими выражениями котировки для избегания медленно сходящихся процедур моделирования.
Модели кредитного риска на основе копулы изначально были созданы для детерминированных интенсивностей, а позднее получили свое развитие применительно к динамическим интенсивностям. Копула может интерпретироваться как n-мерная функция распределения, определенная на [0, 1] n с определенными границами. Важное и удобное свойство копулы любого случайного вектора — это инвариантность к строго монотонно возрастающим преобразованиям в компонентах случайных векторов.
Наиболее распространенная и хорошо известная копула Гаусса описывает структуру зависимости многомерного стандартного нормального распределения. Эта n-мерная копула с корреляционной матрицей Z определена как
C (и) = (Ф~\щ),.., )), где Ф|, — n-мерная стандартная нормальная функция распределения с корреляционной матрицей Z;
Ф — одномерная стандартная нормальная функция распределения. В частности, двухмерная Гауссовская копула определена как
^ , - г г 1 , s - 2psi +12 „ , , C(и,v) = I I -—T7-exp(--2-)dsdt.
pK' ' 1 I 2n(1 -p2)'/2 2(1 -p2) '
Время дефолта может быть представлено как
t
предельное событие, и exp{-jX(s)ds} падает ниже
0
уровня одномерно [0, 1] распределенной переменной U. В многомерном пространстве имеет значение вероятность многократного возникновения этого предельного события. Для копул можно определить степень зависимости предельных значений, т. е. значений на хвостах распределений. На рис. 2 представлен график коэффициентов хвостовой зависимости копул Гаусса, NIG факторных копул и двойного t (3) распределения [4].
Рассмотрим математическую модель наступления дефолта по одному эмитенту. Она имеет следующий вид:
т = inf {t: Nt = 1}, где т — время наступления дефолта;
N = (Щ>0 — процесс интенсивности дефолта; X = (\)>0 — неотрицательная непрерывная справа и ограниченная слева функция.
Рис. 2. Коэффициенты хвостовой зависимости: а — нижняя хвостовая зависимость; б — верхняя хвостовая зависимость
Вероятность дефолта до наступления момента времени t с учетом отсутствия дефолта эмитента и рыночной информации до момента времени s определяется выражением
Páef (ф) = 0(т< t\F, л {s <т}) =
-\Kdu
= 1 -Psuv(t|s) = 1 -E[e s \Fs], где Psurv—вероятность отсутствия дефолта эмитента до наступления момента времени t, обусловленная отсутствием дефолта до момента времени s и рыночной информацией до этого момента; Fs — полное подмножество, содержащее информацию, произошел или нет дефолт до наступления момента времени s. Исследуем модель наступления вероятности дефолта кредитных обязательств по множеству эмитентов. В случае n эмитентов на временном интервале Т для каждого эмитента i, I= 1,..., n функция индикатора дефолта N' = 1 , I= 1,., n. Время дефолта опре-{т <t}
делено как первый момент времени, когда значение
-1X¡s ds
функции (e 0 )tа0 становится меньше переменной U, равномерно распределенной на [0, 1]:
-J Xtsds
Т = inf{t: e 0 < U'}, где структура зависимости U = (U1,..., Un) задана копулой C, многомерной функцией распределения со стандартными одномерными границами.
Вероятность отсутствия дефолта P'(") (t |s) до момента времени t при отсутствии дефолта эмитентов k ф j до момента времени s, дефолта эмитента j в момент времени u и при наличии большего числа
информационных параметров выглядит так:
^7'(и)(ф) = б[Т > л {tJ = u} л {тк > s,к ф j}] =
(
d
Л
^ С (Y--j, Y,, yU)
dr.
v j
-J
(
д
\
d^T С (Y -j, YU)
dr.
vj
где Y't = e 0 и (y-"',y) = (y',-,y'-1,У,-,Yn).
При определении цены CDS базового портфеля воспользуемся моделью вероятности дефолта по одному эмитенту. Распределение времени дефолта, т. е. интенсивности, откалибровано на основании котировок CDS. Сделка своп по кредитному дефолту инициирована в нулевой момент времени со сроком истечения T. Все премиальные платежи совершены во временном интервале 0 < T1 < T2 <... < TM = T при ожидаемой сумме выплат N и годовой ставкой s по спреду и где X = (X) t>0 — функция интенсивности дефолта соответствующего эмитента и
T
-J rsds
дисконтE[e t \Ft] > 0 , Vt < T. В случае наступления дефолта до наступления срока защиты продавец защиты должен осуществить компенсационную выплату (1 — Rt) N, т <T. При оценке премиальной части учитываются накопленные выплаты.
Стоимость защитной части вычисляется по формуле
T -J (r +Xu )du
Vprot (0) = E[J(1 - Rt)NX,e 0 dt],
0
T
-J rsds
где E[e ? \Ft] — дисконтирующий коэффициент;
R = (Rt)t > 0 — функция ставки возмещения;
N — ожидаемая сумма выплат;
/
X.. du
Ат = (А) > 0 — функция интенсивности дефолта
соответствующего эмитента.
Стоимость премиальной части V (0) вычис-
* prem ^ 7
ляется по формуле:
T
M -J (rt +At)dt
Vprem (0) = E[j e ° sND ] + i=1
M Ti -J (ru + Au )du
+E[JJ sN (t - T-i )\e 0 dt ],
i=1 Ti-1
где s — ежегодный спред CDS;
N — ожидаемая сумма выплат;
Д;. = T — TiA — интервал в платежах.
Спред CDS фиксируется таким образом, чтобы значение премиальной части и части защиты были равны:
T -J (u +Au )du
E[J (1 - Rt )Ate 0 dt]
M -J (rt +А )dt M Ti -J (r+Au )du
E[j e 0 Д. + jJ (t - Ti-i)V 0 dt]
i=1 i=1
Интенсивность дефолта А = "^M^+1).
При определении цены CDO транша базового портфеля используем модель вероятности дефолта по множеству эмитентов. Если не происходит кредитных случаев, эмитент CDO регулярно выплачивает премию (страховой взнос) инвестору транша. В случае дефолта инвестор (продавец защиты) выплачивает эмитенту CDO (покупателю защиты) сумму в размере понесенных потерь.
Следующая премия (страховой взнос) выплачивается с учетом вычета суммы убытков. Цена защиты CDO транша покрывает убытки базового портфеля между двумя заданными пороговыми значениями K1 и K2. Np — ожидаемый доход соответствующего портфеля, ежегодный s спред по траншу и Ntr = (K2 - Kj) Np — ожидаемый доход по траншу. Даты выплат 0 < T1 <... < TM = T, где T — срок исполнения обязательств. t0 < t1 — дата оценки. Премиальные платежи осуществлены во время tk за период оплаты от tkl до tk. Премия во время tk выплачена по оговоренной в данный момент времени стоимости. Эмитент i, 1 < i < n в портфеле испытывает состояние дефолта с интенсивностью А''. LtKl'K) -пропорциональный убыток от дефолта по траншу (K1, K2) до момента времени t (в процентах от номинала транша) [3].
Стоимость защиты определяется размером ожидаемых убытков от дефолта по траншу и вычисляется по следующей формуле:
prot
(0) = E
T -1 r^du
J e о N JL^
J * s
где Nr = (К2 — К1) N — ожидаемый доход по траншу;
т( к1,к1)
Т — пропорциональный убыток от дефолта по траншу; К1 и К2 — пороговые значения. Стоимость премиальной части транша Vprem вычисляется как текущая цена всех ожидаемых выплат по спреду, где интервал в платежах Дг = Т — Т,_г
V (0) = у E
prem v / / j
-J r
sA.Nr
l tr
2 - L
( ku K2) - l K1.K2)
2
где ^ — спред по траншу CDO;
Д.. = Т — Т-1 — интервал в платежах; Т^К1'К2) — пропорциональный убыток от дефолта по траншу.
При выпуске транша CDO спред по траншу я (оплата сверх оговоренной суммы и в случае транша капитала) определен таким образом, что значения премиальной части и части защиты равны:
4
JE[e - dLf1K2)]
EL
М 2 - ТК1 • Кг) _ ТК1К)
Ё Е[е 0 Д-Т-1 2 Т-
1=1 2
При известной непрерывной функции распределения убытков портфеля F(t, х) частичные ожидаемые убытки транша CDO (К, К) определяются таким выражением:
1 г
) (0 = т^т Г (тт(х, Кг) - Кг )сР(?, х) =
К 2 - К1 Кг
( 1 1 Л - К Г (х- К^сРЦ,х) - Г (х- КгУРЦ,X)
К2 К1 I. Кг Кг ,
где К1 и К2 — пороговые значения;
F (t, х) — функции распределения убытков
портфеля.
Основной задачей при оценке траншей CDO является определение функции распределения убытков базового портфеля. Распределение убытков от дефолта в портфеле в любое время t аппроксимируется следующим образом:
'(K1,K2)^ 1
F (x) = P[X < x] = T
У(1ГР)^-1(X) - K
Vp
где p — постоянная эквикорреляции.
e
i=1
1 sav Д
Интенсивность дефолта А = — ln(——--+1),
Д (1 - R)
где s — средний спред CDS портфеля.
ÜVg
В ходе исследования процесса котировки обязательств по одному и множеству эмитентов становится очевидно, что вывод распределения F (x) зависит от дефолта различных эмитентов в базовом портфеле, так как возникновение непропорционально большого количества дефолтов приводит к тяжелохвостному распределению убытков. В случае CDO также необходимо учесть время дефолтов, так как премиальные платежи зависят от невыплаченной ранее оговоренной стоимости, которая уменьшается в течение периода существования контракта, если происходит дефолт эмитента.
Моделирование распределения убытков при оценке кредитных деривативов
Для построения аппроксимирующего портфеля большого числа кредитных ценных бумаг авторами были использованы однофакторная модель копулы Гаусса, двойная нормальная обратная однофакторная гауссовская модель копулы, те же модели с дополнительными стохастическими факторами и др. [8]. После анализа полученных результатов стало возможным предложить многопараметрическую модель ценообразования кредитных деривативов с использованием обобщенной гиперболической копулы (GH-копулы — Copula Generalized Hyperbolic, CGH), что позволяет одновременно моделировать хвостовую зависимость в частных распределениях.
В портфеле m кредитных инструментов с прибылью актива A;.(t) i-го эмитента до времени tверо-ятность дефолта каждого эмитента равна
Рп (У) = FG1
Г K - ay ^
л/Г-
a2 у
Распределение убытков портфеля при доле убытков портфеля х е [0, 1] и пороговых значениях дефолта К (?) = FGH (р(?)), где р (0 — нейтральная к риску вероятность дефолта каждого эмитента портфеля:
F (t, x) = 1 - fw¡ \ -a
K(t) -V(1 - a2)FH (x)
Таким образом, в отличие от применявшихся ранее многомерных моделей CGH модель вероятности наступления дефолта по обязательствам одного и множества эмитентов на рынке производных кредитных инструментов учитывает предельную
независимость и хвостовую зависимость. Структура параметризации разработанной авторами модели позволила разработать эффективный вычислительный алгоритм оценивания параметров.
Для оценки модели на базе GH-копулы в работе применялось несколько методов:
— метод максимального правдоподобия;
— метод максимального правдоподобия при ранговой корреляции ML (RCML);
— метод ранговой корреляции максимального правдоподобия Монте-Карло (Monte Cario Rank Correlation ML method);
— имитационный метод моментов (SGMM);
— EM-алгоритм для GH-копулы;
Два последних метода оказались наиболее эффективными при проверке адекватности предложенной математической модели ценообразования кредитных деривативов в случае одного и множества эмитентов. Метод SGMM при оценке распределений не зависит от границ. В нем псевдовыборка не нуждается в преобразовании при каждой итерации алгоритма максимизации. EM-алгоритм для GH-копулы позволяет вычислить ожидание вспомогательного логарифмического правдоподобия на основе вводимых данных и текущих параметров оценки, а затем путем их максимизации получить последующий набор оценок.
Авторы провели ряд вычислительных экспериментов для различных серий индекса DJ-iTraxx [11]. Еженедельно установленные фиксированные котировки согласно торгуемым на рынке продуктам представлены Creditex и Markit в соответствии с данными от семи дилеров: RBOS, BNP Paribas, Citigroup, Deutsche Bank, Goldman Sachs, JPMorgan и Morgan Stanley [10]. Фиксированные котировки определены для наиболее ликвидных европейских рыночных индексов iTraxx: iTraxx 5у Europe; HiVol и Crossover. Котировки фиксируются в 11.00 по лондонскому времени каждую пятницу и в 16.00 — на Международном валютном рынке каждый расчетный день: каждое 20-е число марта, июня, сентября и декабря. На рис. 3 представлен пример сплайновой интерполяции ожидаемых убытков для индекса DJ-iTraxx с расчетным днем 21 июня 2004 г., а также на момент 4 декабря 2009 г. недельные фиксированные котировки для 12-й серии индексов iTraxx и их графики [11].
Авторы поставили CGH-модель в соответствии с данными 12 серий индекса DJ-iTraxx Europe. Результаты представлены в виде таблиц и графиков. В табл. 1 и на рис. 4 приведен пример месячных котировок в процентном соотношении относительно оговоренной суммы, где для 0—3, 3—6, 6—9 траншей
Рис. 3. Ожидаемые убытки по траншу, DJ-iTraxx 10y:
1 - 10y 0-3;
2 - 10y 3-6;
3 - 10y 6-9;
4 - 10y 9-12;
5 - 10y 12-22
»n »n »n »n »п »п »п »п »п »п »п »n \о \о \о \о \о
о о о о о о о о о о о о о о о о о о о о о о о о
о о о о о о о о о о о о о о о о о о о о о о о о
<N <N <N <N <N <N <N <1 <N <N <N <1 <N <N <1 <N <N <N <N <N <N <N <N <N
VO 00 сК о .—i <N .—1 <N on »п VO 00 сК о .—1 <N .—1 <N on »п
о О о о ' 1 ' 1 ' 1 о О о О о о о о о ' 1 ' 1 ' 1 о о о о о
Таблица 1
Фиксированные котировки для 12-й серии индексов iTtaxx, %
Индекс Численно-буквенный уникальный код Цена, на которую согласились стороны Средняя цена сделки Начальная цена (цена предложения) Количество участвующих сторон по сделке
iTraxx Europe Sub Financials 12 1 5Y 21667EAM4 145,16 146,83 148,50 5
iTraxx Europe Senior Financials 12 1 5Y 21667DAL4 79,08 79,83 80,58 5
iTraxx Europe HiVol 12 1 5Y 21667LAP1 126,31 127,56 128,81 8
iTraxx Europe Crossover 12 1 5Y 21667KAX6 512,25 513,00 513,75 7
iTraxx Europe 12 1 5Y 21666VAS4 83,47 83,69 83,91 7
б
Рис. 4. Графики 12-й серии индексов iTraxx: а - iTraxx Europe HiVol 5Y; б - iTraxx Europe Crossover 5Y; в - iTraxx Europe 5Y
предварительная выплата со спредом в 500Ьр, для остальных траншей спред нефиксированный; на 30 ноября 2009 г. 9-й серии индекса с расчетным днем 20 марта 2008 г.
Базовые корреляции, рассмотренные в работах [1, 7], являются в модели Гаусса предполагаемыми корреляциями соответствующих траншей чистой доли, т. е. 0-3 %, 0-6, 0-9, 0-12 и 0-22 % траншей. На рис. 5 представлены записанные в виде базовых корреляций оценки, полученные всеми моделями.
График функций плотности и распределения убытков портфеля согласно рассмотренным моде-
лям копул представлен на рис. 6. Очевидно, что все модели перераспределяют риск от нижней границы транша чистой доли капитала к высшей.
При моделировании попарно коррелированных прибылей капитала с помощью Гауссовской, двойной t с тремя степенями свободы, NIG с одним и двумя параметрами копул двойная t-факторная копула имеет больше экстремальных значений, чем другие копулы. NIG-копула с двумя параметрами имеет больше экстремальных значений в нижней левой хвостовой части, чем в верхней правой хвостовой [13]. Двойная NIG-модель и модели с добавлением
в
60 55 50 i 45
К
Ü40
а
£ 35
СО
о со со
^ 50 25 20 15
—а—Рынок -(■>■- Gauss О - t(3)-t(3) -О- NIG (1)-(2) -В— Stij.il Gauss (2)-(1) -•- - Double NIG —X—Stnrli NIG С GH
12 Транш
Рис. 5. 1
Предполагаемые базовые корреляции траншей, %
0,9 0.8 о," о.ь
0,5 0,4 0,3 0,2 0.1 о
t(3)-t(3) NIG (1)-(2) Stach Gauss (2)-(1) Double NIG ■■ Stech NIG - С GH
' КОПУЛЛ Г :iv. . :|
Убытки а
70
во - к ---t(3)-t(3) -----NIG (l)-(2) - Stoch Gauss (2)-(l)
50 40 - и i i Г i It 1 Ii 1 - Double .MC -----Stoch NIG ---CGH
30 /\ ! \ f 1
20 Г J \ \
10 г f fj /jf
0 1 _1_ I""— 2 3 4 5 1
Убытки
Рис. 6. Функции распределения: а — убытков портфеля; б — плотности
стохастических факторов (и в случае Гаусса, и в случае NIG), в отличие от распределения гауссовской модели, требуют асимметрии: меньшая вероятность нулевых убытков и более тяжелый верхний хвост.
Все модели калибровались в соответствии с траншем чистой доли. Модель Гаусса переоценивает мезонин-транш, а NIG-копула незначительно переоценивает 3—6%-ный транш по сравнению с двойной t (3) -копулой. Согласно построению GH, модель CGH показывают превосходство над гауссовской и остальными моделями.
Модели тестировались на наборе данных, используемых в работах [4, 10, 11]. В таблице представлены рыночные цены траншей четвертой и пятой серий для пятилетних обязательств iTraxx с расчетным днем 20 сентября 2005 г., со сроком платежа 20 сентября 2010 г, пятой серии 20 марта 2006 г со сроком платежа 20 июня 2011 г. Представлены также стоимостные показатели, полученные моделями LHP однофакторной копулы Гаусса, двойным t-распределением с тремя и четырьмя степенями свободы и MG-факторной копулой с одним и двумя свободными параметрами; расчет стоимостных показателей с помощью модели Гаусса с дополнительными стохастическими факторами «Stoch Gauss 1» и двойной NIG-модели «Stoch Gauss 2».
Как следует из расчетов, однофакторная гаус-совская модель копулы переоценивает транши от 3—6 % до 9—12 % и занижает цену самого старшего транша. Двойная однофакторная NIG-модель копулы оценивает очень точно транши от 3—6 % до 9—12 %, но недооценивает самого старшего транша. Двойная t-факторная модель копулы в точности соответствует лишь траншу чистой доли, так как имеет только один параметр-корреляцию. Двойная t-модель с тремя степенями свободы занижает цену второго транша, тогда как двойная t-модель с четырьмя степенями свободы завышает ее.
Результаты NIG-копул подобны результатам двойных t-копул. NIG-модели переоценивают три самых старших транша подобно двойной t-модели, но общие результаты NIG-моделей незначительно лучше, чем в двойных t-моделях, несмотря на меньшее время вычислений. Хотя добавление стохастических факторов в однофакторную гауссовскую модель значительно улучшило соответствие модели рыночным данным и цена самого старшего транша выше при стохастической модели корреляции, первые четыре транша не соответствуют рыночным показателям так же хорошо, как в двойной NIG-модели.
Что касается младших траншей, то двойная NIG-модель предпочтительнее, поскольку очень
Оценка DJ-iTl•axx траншей (20 сентября 2005 г., 20 марта 2006 г. и 20 марта 2008 г.) на базе различных моделей
Показатель Рынок Gauss 1 (4) -1 (4); 1(3) -1(3) NIG (1); NIG (2) Stoch Gauss (2) Gauss (1) DouЫe NIG Stoch NIG CGH
4-я серия (0-3 %), % 23,53 23,53 23,53 23,53 23,53 23,53 23,53 23,53
4-я серия (3-6 %), Ьр 62,75 140,46 73,3; 53,88 62,75; 62,75 75,3; 84,2 62,75 157,5 62,75
4-я серия, (6-9 %), Ьр 18 29,91 28,01; 23,94 27,9; 27,76 24,1; 28,1 19,2 49,8 18,3
4-я серия, (9-12 %), Ьр 9,25 7,41 16,53; 15,96 17,64; 17,42 11,5; 11,56 9,6 21,1 9,37
4-я серия, (12-22 %), Ьр 3,75 0,8 8,68; 9,94 9,79; 9,6 17,3; 13,5 3,1 13,2 4,73
Абсолютная погрешность, Ьр 94,41 32,82; 27,82 24,34; 23,77 29,1; 41,3 11,3 8,1 9,3
Корреляция, % 15,72 19,83; 18,81 16,21; 15,94 19,8; 17,7 21,5 17,3 21,73
a 0,4794; 0,6020 1,2557 1,2557
Р 0; -0,1605 -0,2232 -0,2232
a 0,523; 0,475 0,3
Ь 0,14; 0,15635 0,2
0 -2,4; -2,5 -2,4
X 0,51
X 7 х 10-15
V 0,006775
й 0,00336; 0,00344
Е 0,000152 0,0001646 0,000156 0,000242
У -0,00226; - 0,0014
5-я серия (0-3 %), % 24,7 24,7 24,7 24,7 24,7 24,7 24,7 24,7
5-я серия (3-6 %), Ьр 160 241,4 163,84; 159,88 162,7; 162,7 177,1; 196,1 160,1 159,1 160
5-я серия (6-9 %), Ьр 49,1 73,2 38,9; 44,9 40,9; 40,76 42,1; 50,2 52,1 51,2 48,89
5-я серия, (9-12 %), Ьр 22,5 25,3 29,53; 27,96 27,6; 27,42 21,4; 19,2 24,1 22,2 22,2
5-я серия (12-22 %), Ьр 13,75 4,2 18,68; 19,4 19,79; 19,6 19,1; 15,2 8,2 11,1 13,7
Абсолютная погрешность, Ьр 117,4 32,82; 27,83 24,34; 23,77 31,1; 42,2 10,2 6,3 7,1
Корреляция, % 19,47 19,83; 18,81 16,21; 15,94 18,8; 18,7 25,59 17,4 24,5
a 0,4784; 0,6010 1,2558 1,2558
Р 0; -0,1604 -0,2231 -0,2231
a 0,524; 0,485 0,3
Ь 0,14; 0,15645 0,2
0 -2,4; -2,5 -2,4
Окончание табл
Показатель Рынок Gauss t (4) -t (4); t(3) -t(3) NIG (1); NIG (2) Stoch Gauss (2) Gauss (1) Double NIG Stoch NIG CGH
X 0,52
X 7 x 10-15
V 0,006885
й 0,00345; 0,00343
Z 0,000141 0,0001653 0,000166 0,000251
Y -0,00136;-0,0018
хорошо оценивает первые четыре транша. Двойная NIG-модель с добавлением стохастических факторов намного лучше соответствует данным в сравнении с простой двойной NIG-моделью. Однако такое соответствие происходит за счет уменьшения скорости вычисления и большего количества параметров. CGH-модель обеспечивает лучшее соответствие набору рыночных данных.
Проанализировав полученные результаты, можно сделать вывод о том, что модели на базе GH-копулы применимы для описания поведения и расчета стоимостных показателей кредитных де-ривативов и показывают хорошее соответствие стоимостным показателям индекса DJ-iTraxx Europe, что позволяет адекватно оценивать ситуацию на рынке кредитных ценных бумаг.
Выводы
Существующий рынок кредитных взаимозависимостей способствует развитию нового поколения моделей кредитного риска по множественным эмитентам, которые в более полном объеме описывают рынок. Авторами рассмотрен структурный подход к моделированию риска дефолта по одному эмитенту. Разработана новая математическая модель наступления дефолта по обязательствам одного и множества эмитентов производных ценных бумаг на дефолт по кредиту. Она корректно учитывает многочисленные статистически значимые параметры и позволяет оценивать риски инвестирования в портфель кредитных деривативов, принимая во внимание риски инвестирования по каждому отдельному эмитенту.
Разработана также новая модель стоимостных показателей производных ценных бумаг на дефолт по кредиту, учитывающая динамику их корреляционных связей и вероятности наступления дефолта по обязательствам одного и множества эмитентов на рынке производных кредитных инструментов.
Отличительной особенностью модели является использование обобщенной гиперболической копулы для моделирования поведения кредитных деривативов, что позволяет учитывать динамику корреляционных связей и описывать различные типы хвостовых зависимостей.
Список литературы
1. Ахлувалиа Р., МакГинти Л. Модель вычисления базовой корреляции // JP Morgan credit derivatives strategy. 2004.
2. Блэк Ф, Шоулз М. Оценка опционов и корпоративных денежных обязательств // Political Economy 1973. № 81.
3. Васичек O. Распределение величины портфеля дебиторской задолженности // Risk. 2002. № 12.
4. Калеманова А, Шмид Б., Вернер Р. Нормальное обратное гауссовское распределение для оценки синтетических CDO // Risklab. 2005.
5. Ландо Д. Cox-процессы и рискованные кредитные ценные бумаги // Derivatives Research. 1998. Кн. 2.
6. Ли Д. Корреляция дефолта: подход на базе функции копулы // The Risk Metrics Grouptics. 2000.
7. МакГинти Л., Ахлувалиа Р., Уотс М, Бейнштейн Е. Введение в базовую корреляцию // JP Morgan credit derivatives strategy. 2004.
8. МакНейл А., Фрей Р., Эмбрехт П. Управление количественным риском: концепция, методы и инструменты // Princeton University Press, 2005.
9. Мертон Р. Оценка корпоративного долга: структура риска процентной ставки // Journal of Finance. 1974. № 29.
10. Сайт информационного агентства Bloomberg: http:// www.bloomberg.com.
11. Список членов и стандартная терминология iTraxx Europe. Маркит Групп: http://www. markit. com, http:// www. iboxx. com.
12. Шонбухер П., Шуберт Д. Копульная зависимость риска дефолта в моделях интенсивности // Department of Statistics. Ун-т г. Бонна, 2001.
13. Эмбрехт П., Линдског Ф, МакНейл А. Моделирование зависимостей с помощью копул и его применение к управлению рисками // Department of mathematics, ETH Zurich. Справочное руководство по тяжелохвос-тным распределениям в финансах: под ред. С. Т Рачева. Амстердам, 2003.
