CC BY
103
УДК 519.876.5
В. С. Зарубин, В. В. Леонов
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ОТРАЖЕНИЯ ИЗЛУЧЕНИЯ ОТ ЗЕРКАЛЬНОЙ ПОВЕРХНОСТИ С УЧЕТОМ ШЕРОХОВАТОСТИ
Рассмотрены вопросы математического моделирования радиационного теплового потока и его взаимодействия с зеркальной поверхностью с учетом спектральных и пространственных характеристик падающего и отраженного излучений, температуры, шероховатости и других возможных дефектов. Особый интерес это представляет при проектировании пассивных радиационных систем охлаждения и зеркальных концентрирующих систем.
E-mail: fn2@bmstu.ru
Ключевые слова: радиационный теплообмен, математическое моделирование, методы Монте-Карло.
Границы раздела сред (поверхности) подразделяют на оптически гладкие, неровности которых значительно меньше длины волны падающего излучения, и оптически шероховатые. Для оптически гладкой поверхности ее радиационные характеристики могут быть найдены, если известны оптические параметры обеих сред. В случае оптически шероховатой поверхности определение ее радиационных характеристик весьма затруднительно вследствие многообразного характера шероховатостей [1].
Экспериментальное определение радиационных характеристик зеркал, применяемых, например, в системах терморегулирования космических аппаратов или в зеркальных концентрирующих системах высокотемпературных солнечных энергоустановок как наземного, так и космического базирования [2], требует проведения сложных экспериментов, имеющих значительные ограничения на интерпретацию результатов (зависимость от расстояния до источника излучения и его спектра, точности поверхности зеркал). Поэтому особый интерес представляет разработка математической модели, позволяющей рассчитывать радиационные характеристики как отдельных поверхностей, так и сложных зеркальных систем с учетом влияния спектральных и пространственных характеристик падающего и отраженного излучений, а также температуры, шероховатости и других возможных дефектов, характерных для таких поверхностей [1].
Моделирование радиационного теплового потока. Анализ методов расчета характеристик зеркальных систем и распределения радиационных тепловых потоков [1, 2] показал, что требованиям, предъявляемым к разрабатываемой модели, будет полностью удовлетворять
падающее излучение
г
птпяченное излучение
(в., ß., к. д)
(6tlßver,ßr, X,T,hJ
Рис. 1. Моделирование отражения:
(в, в) - направление излучения (траектория пучка), Л - длина волны, Т - температура поверхности, 5 - угловой размер источника излучения, I - интенсивность отраженного излучения, ш - телесный угол, 1гш - среднеквадратическая высота шероховатости, тш - шаг шероховатости. Индексами г и г обозначены величины, относящиеся соответственно к падающему и отраженному излучениям
пучковая модель радиационного теплообмена, построенная на принципах статистического моделирования с использованием методов Монте-Карло [2-4].
Данный подход заключается в разбиении потока излучения, падающего на исследуемую систему от внешнего источника или излучаемого ее нагретыми элементами, на множество модельных частиц и последующим прослеживанием распространения каждой из них. В качестве модельной частицы удобно использовать связку фотонов, которая представляет собой пучок излучения, переносящий определенное количество энергии. В этом случае локальный поток энергии рассчитывают путем подсчета суммы энергий, полученных от всех пучков излучения, достигших рассматриваемой единицы площади в единицу времени. Число таких пучков выбирается в зависимости от условий конкретной задачи, требуемой точности расчета и может варьироваться от нескольких тысяч до миллионов.
Такая модель позволяет моделировать поведение пучка излучения (потерю энергии, направление отражения) в точке его контакта с отражающей поверхностью (рис. 1) с помощью функций распределения случайных величин [2, 3] и избежать многих трудностей, присущих процессам усреднения зависимости радиационных свойств отражающей поверхности от длины волны, направления и температуры.
Моделирование отражающих поверхностей. Реальные отражающие поверхности отличаются от идеальных (математических поверхностей) вследствие влияния как внешних сил и погрешностей изготовления, так и шероховатости, окисления и загрязнения.
Приведем следующую классификацию неровностей [1]:
— меганеровности — отклонения отражающей поверхности от идеальной в результате воздействия внешних сил и погрешности при изготовлении;
— макронеровности — отклонения от идеальной формы на площадках, много меньших площади зеркала; вызывают отклонение отраженных лучей от идеального направления;
— микронеровности — неровности с характерными размерами порядка длины волны; образуют микрорельеф зеркальной поверхности, на котором происходит дифракция излучения;
— субмикронеровности — неровности с характерными размерами, много меньшими длины волны (существенного влияния не оказывают, поэтому в инженерной практике ими пренебрегают).
Анализ основных подходов к описанию шероховатости и учету ее влияния на радиационные свойства отражающих поверхностей показал, что для приведенной математической модели излучения шероховатую поверхность удобно представить в виде набора малых зеркал с различной ориентацией [2]. При таком представлении пучки излучения, моделирующие световой луч, отражаются частично в направлении, противоположном углу падения, т.е. зеркально, и частично в разные стороны, т.е. диффузно. Такой подход позволяет рассматривать излучение с позиции геометрической оптики, что заложено в пучковой модели, сохраняя соответствие получаемых результатов и реальной картины распространения излучения, отраженного от шероховатой поверхности.
Основываясь на этом представлении, отражение от шероховатой поверхности можно рассматривать как зеркальное, т.е. происходящее в соответствии с законом Декарта-Снеллиуса [1]
1Г = 1г — 2п'(п' ■ 1г),
с учетом отклонения нормали к поверхности в точке падения пучка излучения. Здесь 1Г и ^ — направляющие векторы отраженного и падающего лучей соответственно, п' — вектор нормали к поверхности с учетом шероховатости (см. рис. 1). При этом отклонение нормали достаточно хорошо описывается нормальным законом распределения значений среднеквадратического наклона шероховатости для поверхностей с заданной степенью обработки, определяемой соотношением [1, 2]
STTT
ш,
Данный подход аналогичен методу, предложенному В.А. Грилихе-сом, — методу гауссового отклонения нормали [1].
Такой подход к моделированию шероховатой поверхности позволяет закладывать в нее только меганеровности, а макро- и микронеровности учитывать непосредственно в точке падения пучка излучения. В этом случае в отличие от метода, в котором все элементы шероховатости закладываются непосредственно в геометрическую модель, нет необходимости в особо мелком разбиении поверхности геометрической модели, что значительно экономит вычислительные ресурсы.
Основным недостатком такой модели является то, что она не позволяет учитывать влияние глубоких полостей, т.е. элементов шероховатости, на которых происходит многократное переотражение. Наличие глубоких полостей не характерно для рабочих поверхностей зеркал. Но появление таких дефектов поверхности возможно в процессе эксплуатации в результате эрозии или каких-либо физических повреждений. Например, для космической техники, это в первую очередь, микрометеорная эрозия. Преодолеть этот недостаток можно, введя дополнительный розыгрыш на возможность появления глубокой полости в точке падения пучка излучения, а соответствующие характеристики брать либо из предварительно полученных зависимостей или табличных значений, либо для каждого случая производить отдельный расчет, моделируя непосредственно полость.
Расчет радиационных характеристик отражающих поверхностей. Для реализации приведенной модели были разработаны соответствующие математические алгоритмы и программный комплекс [5], позволившие моделировать распределение радиационных тепловых потоков в зеркальных системах произвольной геометрии с учетом переменных радиационных характеристик отражающих поверхностей и воздействия окружающей среды. Определять диффузные и зеркальные угловые коэффициенты, индикатрисы отражения и поля температур.
В качестве основной расчетной оптической характеристики шероховатой поверхности удобно использовать двунаправленную функцию распределения отраженного излучения, или индикатрису отражения (поверхностного рассеивания) [1, 2]. Индикатриса определяет спектральные и пространственные отражательные характеристики шероховатой поверхности и равна отношению интенсивности (1Г отраженного излучения к энергии (Ег = Iг со$,(вг)(ш падающего излучения в пределах телесного угла (ш:
/ааа а \п^ (1г (вг,вг,вг,Рт^шТ) р(вг ,Рг ,А,Т,5) = - .
1г(вг, вг, А , д)со$(вг)аш
где 8 = (в, в) — направление излучения (траектория пучка) (см. рис. 1), А — длина волны, Т — температура поверхности, 5 — угловой размер
п II й.
Рис. 2. Индикатрисы отражения для пластины:
а - шлифованной (Кш = 0,32 мкм); б - обработанной пескоструйкой (Кш = 30 мкм)
« <>
Рис. 3. Индикатрисы отражения от плоской пластинки (Нш = 3,2 мкм) при различных углах падения излучения
источника излучения, I — интенсивность излучения, ш — телесный угол, Нш — среднеквадратическая высота шероховатости.
На рис. 2 показаны индикатрисы отражения для двух пластин с различными способами обработки поверхности.
Из рисунков видно, что при увеличении шероховатости форма индикатрисы отражения изменяется практически от прямой (рис. 2, а), характерной идеальному зеркальному отражению, до фигуры (рис. 2, б), характерной косинусоидальному закону отражения от диффузной поверхности.
На рис. 3 показана зависимость индикатрисы отражения поверхности, полученной в результате протяжки при различных углах падения излучения (относительно нормали к срединной поверхности).
Как следует из этого рисунка, индикатриса в целом сохраняет форму, но с увеличением угла падения ее абсолютное значение уменьшается, и она отклоняется в направлении, равном и противоположенном углу падения, что соответствует закону Декарта—Снеллиуса.
При изменении коэффициента отражения поверхности, но при сохранении параметров шероховатости, т.е. за счет нагрева, изменения длины волны падающего излучения, наблюдается уменьшение абсолютного значения индикатрисы отражения при сохранении формы (рис. 4).
Рис. 4. Индикатрисы отражения от плоской пластинки для различных значений коэффициента отражения
Полученные результаты для индикатрисы отражения хорошо согласуются с доступными экспериментальными значениями, приведенными в работе [6].
Выводы. Разработанная математическая модель и реализующий ее программный комплекс позволяют определять радиационные характеристики зеркальных систем с учетом влияния спектральных и пространственных характеристик падающего и отраженного излучений, температуры, шероховатости и других возможных дефектов.
Применение разработанного комплекса, например, для расчета характеристик зеркальных концентрирующих систем, позволит обеспечить значительное уменьшение материальных затрат, связанных с их проектированием и отработкой, по сравнению с традиционными экспериментальными методами.
Работа выполнена по гранту поддержки ведущих научных школ № НШ-4046.2010.8.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Захидов Р. А., Умаров Г. А., Вайнер А. А. Теория и расчет гелиотехнических концентрирующих систем. - Ташкент: Фан, 1977. - 144 с.
2. Леонов В. В. Моделирование радиационного теплообмена в системе концентратор-приемник солнечной энергии // Тепловые процессы в технике. 2011. - Т. 1, № 5. - С. 228-233.
3. Михайлов Г. А., Войтишек А. В. Численное статистическое моделирование. Методы Монте-Карло. - М.: Академия, 2006. - 368 с.
4. Siegel R., Howell J. R. Thermal radiation heat transfer. New York: Taylor & Francis, 2002. - 857 p.
5. Свидетельство о государственной регистрации программы для ЭВМ №2011617855. Программный комплекс Tracer / В.В. Леонов. Зарегистрировано в Реестре программ для ЭВМ 07.10.2011.
6. С п э р р о у Э. М, С е с с Р. Д. Теплообмен излучением / Пер. с англ. - Л.: Энергия, 1977. - 294 с.
Статья поступила в редакцию 25.10.2011
