Физическая модель рассеяния лазерного излучения от статистически шероховатых металлических поверхностей с крупномасштабными неоднородностями Текст научной статьи по специальности «Физика»

РАДИОТЕХНИКА.^^.,

УДК 735.361.22

ФИЗИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ РАССЕЯНИЯ ЛАЗЕРНОГО ИЗЛУЧЕНИЯ ОТ СТАТИСТИЧЕСКИ ШЕРОХОВАТЫХ МЕТАЛЛИЧЕСКИХ ПОВЕРХНОСТЕЙ С КРУПНОМАСШТАБНЫМИ НЕОДНОРОДНОСТЯМИ

ШМАРОВ В.Н.________________________

Строится приближенная физическая модель отражения оптического излучения от статистически шероховатых поверхностей, для которых параметры шероховатости значительно превышают длину волны зондирующего излучения, а коэффициент отражения близок к единице. Исследуются индикатрисы отраженного света для условий дальней зоны без учета краевых эффектов в предположении, что на статистически шероховатой поверхности не происходят эффекты объемного рассеяния.

Введение

Промышленные металлические изделия (поверхности), не имеющие специальной обработки, с линейными размерами (0,3-3,0) м и более, в том числе поверхности со сложной пространственной конфигурацией, представляют собой статистически шероховатые поверхности с крупномасштабными неровностями. Измерение геометрических параметров таких поверхностей, включая их форму, обеспечивается с применением координатных измерительных машин стационарного типа, имеющих ограниченный диапазон измерений — до 1 м [1].

В этом случае представляет большой интерес построить физическую модель отраженного оптического сигнала методом моделирования с применением теории дифракции.

Теоретические исследования отражения лазерного излучения от статистически шероховатых поверхностей с крупномасштабными неровностями

Предположим, что зондирующая волна представляет собой плоскую волну, а измерения параметров отраженного от поверхности светового излучения происходят в зоне Фраунгофера без затенений одного участка поверхности другими и без многократного отражения. Отсутствие последнего указывает на то, что эффектов вторичного рассеяния нет. Это обуславливает некоторое пространственное ориентирование крупномасштабных неровностей на поверхности, обеспечивающее их определенную кривизну и угол наклона.

Представляет большой интерес для практики рассчитать рассеянное поле для абсолютно отражающей поверхности с коэффициентом отражения с, близким к единице.

Моделирование такой задачи можно осуществить в приближении Кирхгофа, полагая, что поле в каждой точке поверхности можно представить в виде суммы падающей и отраженной волны от плоскости, касательной к исследуемой поверхности в данной точке.

Отсутствие многократного отражения накладывает определенные требования на некоторые параметры шероховатости поверхности и, прежде всего, на кривизну и углы наклона. С учетом таких начальных условий обеспечивается достаточно большая корреляция между смещениями точек поверхности от основной плоскости. Выполнение этих условий предполагает, что размеры исследуемой поверхности значительно больше радиуса корреляции.

Уравнение сложной поверхности можно представить в виде:

z = fc(x,y) , (1)

Построение высокоточных систем мобильного типа для бесконтактного измерения параметров и формы сложных крупногабаритных изделий в более широком диапазоне измерения возможно только с применением оптических методов измерений. Параметры шероховатости таких поверхностей обычно значительно больше длины волны зондирующего эту поверхность излучения [2].

Дистанционный контроль формы таких поверхностей с высокой разрешающей способностью для проведения оперативных технологических операций представляет собой, в том числе при выполнении ремонтно-восстановительных работ, достаточно сложную задачу. Ее можно решить только с применением новых методов оптического зондирования и с помощью лазерных источников излучения, зондирующих такие поверхности [3].

где fc — некоторая статистическая стационарная функция; ее значения колеблются вокруг точки, в которых z = 0 [4].

Если на такую поверхность падает монохроматическая волна, то потенциал П c рассеянной волны можно определить из формулы Грина [5]:

П

c

[П

А

<5n R

elkR

R

дПс

an

]dS,

(2)

здесь R—расстояние от точки наблюдения до точки зондирования на поверхности.

В выражении (2) интегрирование производится по всей шероховатой поверхности S, которая рассеивает падающее излучение. А дифференцирование производится только по направлению, которое совпадает с направлением нормали, направленной

4

РИ, 2004, № 3

в ту часть пространства, где находится точка наблюдения.

Для зоны Фраунгофера можно считать, что:

— 1/R« 1/Ro (здесь Ro — расстояние от точки наблюдения до начала координат, расположенного на определенной точке поверхности);

— KnR=KnR0-KHr (здесь кп и кн — векторы для направлений лучей падения и наблюдения, соответственно, при этом модули векторов | к, |= |кн|=к), r — радиус-вектор текущей точки.

Следуя методике расчета потенциала, приведенного в [6], и предполагая, что зондирующее поверхность излучение лежит в плоскости xz, можно получить для потенциала рассеянного поверхностью излучения следующее выражение:

^ _ k 1 - cos у cos у cos ф + sin у sin xw

c — ^

2tcR0 sin у + sin x

x JJexp{iK[x(cos y- cos x cos ф) -

- y(cos x sin ф - z(sin у + sin x))] }dxdy, (3)

где у — угол между осью х и направлением зондирующего поверхность излучения (вектор кп); ф — угол между осью х и проекцией вектора наблюдения (вектор кн) на плоскость ух; X — угол между осью у и вектором наблюдения (вектор кн).

Наличие статистически шероховатой поверхности с крупномасштабными неровностями при определении потенциала отраженной волны вызывает необходимость применения процедуры его усреднения.

Такое усреднение предполагает определение характеристической функции и плотности вероятности распределения случайных величин — координат крупномасштабных неровностей [4].

Характеристическая функция не зависит от координат и может быть выражена через последовательные моменты статистической величины. Следовательно, среднее значение потенциала рассеянной поверхностью волны может быть определено, если известна хотя бы одна из величин — плотность вероятности ф, характеристическая функция Гили последовательные моменты статистической величины.

В частном случае при отсутствии шероховатости поверхности (полированные поверхности) значительная доля обратного рассеяния носит зеркальный характер, для которого у = X и ф = 0 .

В общем случае потенциал рассеянного поля П 0 с учетом приведенных выше условий без учета краевых эффектов можно записать в виде [7]:

Й0 = . R (Кп ~Кн)2 Яexp[i(Kn -кн)r]dxdy = 4ftR0 (кп кн )z

_ 1 (кп ~ кн) х

4*R0 (кп _ кн )z

хЦ^[(кп - кн ^x + (кп - кн )Уу] х

X exp і[(кп - кн) z p]dxdy , (4)

где dS = dxdy[1 + (dp/dx)2 + (dp/dy)2]1/2 и

expі[(кп - кн)z Ц] = Jexpі[(кп - кн )z p] Ф(р) dp .

Здесь значком ~ обозначена процедура усреднения, а знаком * — процедура умножения.

Для зеркального отражения при нормальном распределении плотности вероятности величины Р среднее значение потенциала рассеянной волны определяется, как следует из (3) и (4), выражением:

П0 = - 2 kR sin у exp[-2к2а2 sin2 у] (5)

2 .... где а — дисперсия случайной величины р .

Однако для практики важно найти среднюю интенсивность поля и ее флуктуации для широкого диапазона углов падения и наблюдения оптического излучения, отраженного от шероховатой поверхности. В этом случае необходимо определить средний квадрат потенциала через комплексносопряженную величину П :

ПП =-

(кп кн)

16^R0 (кп кн)z

Яexp{-i[(Кп - кн )x(x1 - x)]}:

S

х exp {і[(кп - кн )J(P1 - p)]dxdx1 . (6)

Плотность вероятности распределения случайной величины подчинена нормальному двухмерному закону с коэффициентом автокорреляции

p = РР1/в2.

Здесь под величинами р и Р1 понимаются их усредненные значения:

Ф(р, Р1) =

1

х exp[-

2kg2-\jl - р 2

в2

р -2ррр1

2а 2(1 - р 2)

(7)

В этом случае характеристическая функция двухмерной величины равна

№п - кн)z ] = expH^ - кн)2 а2 (-p)], (8) а средний квадрат потенциала

ПП =■

(кп кн)

16^R0 (кп кн)z

]

S

* 2 2

х|exp{-i[(Кп - кн)xp]} - (кп - кн)z о (1 -p)]dr, (9)

где Т = т1 (Х1 - х)2 + (У1 - у)2 .

РИ, 2004, № 3

5

Используя метод перевала при интегрировании выражения (9) при (кп - кн )х , а ^ 1 и следуя методике интегрирования, изложенной в работе [6], получим для одномерного распределения шероховатости поверхности h с известным разбросом параметра шероховатости выражение для средней

интенсивности при p = p(x) = exp(-x2 /h2):

-----*

ПП

S (кп -кн)4m

4Я2^Л^ (кп - кн)Zс

22 хexp[- h 2c0sCOS*> ] 4а 2 (sin у + sin х)

(10)

Для практики представляет интерес рассмотреть общий случай — для двумерного распределения шероховатости. При этом такая задача не имеет аналитического решения. Однако для изотропного распределения шероховатости удается найти приближенные аналитические решения. В этом случае, исходя из выражения (6), средняя интенсивность равна:

-----*

ПП

S (кп - кн )4

16^2r2 (кп - кн )2

ХЯЯ expHO^

кн )Х(х1 - х) + (кп

кн)У(У1 -У)]} х

~ * /і і \

X exp{і[(кп - кн)z(r|1 - p)]dxdx1dydy1. (11)

Это интегральное уравнение может быть решено при замене переменных, рекомендованных в работах [6, 7]:

x = р cos0 , у = р sin 0 ,

2 2 1/2

x1 =Р cos 0 + p[(x1 - x) + (У1 - у) ] cos 0 ,

У1 =Рsin0 + p[(x1 -x)2 + (у 1 -y)2]1/2sin0 .

После интегрирования (11) и соответствующих преобразований с использованием этих новых переменных получим:

ПП* = S2 (кп ~ кн)4? х

8^Rq (кп _ кн)z

х J J0 (тд/(кп _ кн)х + (кп _ кн)у х

X ґ[(кп - кн )z1 - (кп - кн )z]xdx . (12)

Здесь J0 — бесселева функция первого рода.

Принимая во внимание, что плотность вероятности распределения случайной величины ц подчинена нормальному закону, при использовании уравнений (10) и (11) выражение (12) сводится к такому виду:

-----*

ПП

22 Sm (1 - cos у cos х cos у)

2 2 4

4tcR0c 2 (sin y + sin x)

xexp[-

h2 cos2 y + cos2 x-2cos у cos x cosy

4a2

(sin у + sin x)2

] .(13)

Расчеты для характерных условий зондирования и фиксации отраженного оптического сигнала приведены на рис. 1-10. Моделирование проведено для различных углов падения и наблюдения при различных параметрах шероховатости поверхности с учетом дисперсии случайной величины, которая характеризуется величиной а=т/ a .

Результаты исследований показывают, что форма индикатрисы обратного отражения оптического излучения от шероховатой поверхности с крупномасштабными неровностями, распределенными по случайному закону, зависит от дисперсии распределения случайных элементарных отражателей поверхности.

Полученные результаты с физической точки зрения можно трактовать следующим образом.

Рассеяние волн при a=h/ О =10

Рис.2. у = 45%90°, у =0°, Ду = 15°

6

РИ, 2004, № 3

Рассеяние волн при a=h/ с =10

Рассеяние волн при a=h/ с =5

Рис. 7. ф = 0°, ф = 45%90°, Дф =15°

ФЦї)

Ф4(1)

120 - »- ЙО

.---в: ГТ-... .' '■

150 /' , 3D

> . \..м В»-/' .V

4 / х ■ ,

-■*' 1 і д X \ і

I/ ' К:.";' і 1

7 V'-

1 ''М ■-V' '-V • ■

ч /У

210 *L"-V У .150

—^ \ ■

на __ '300

270

X

Рис. 8. ф = 45°ф90°, ф = 0°, Дф = 15°

РИ, 2004, № 3

7

Одной из основных особенностей статистически шероховатой поверхности является ее микрогеометрия с пространственным распределением рассеивающих центров (микроплощадок) по определенному случайному закону. Такие поверхности можно представить в виде случайного чередования впадин и выступов с различными размерами и взаимным расположением. Нахождение функции распределения микроплощадок (микрограней) по углам наклона для таких условий основано на законах геометрической оптики и подчиняется закону Бугера [8].

В случае азимутальной симметрии распределения микроплощадок можно описать функцией вида

= ASscos5

So Лш ’

(14)

где 5 — угол наклона микронормали к макронормали; AS5 cos 5 — площадь проекции наклоненных под углом 5 микроплощадок по отношению к исследуемой поверхности; So — освещенная по нормали площадь исследуемой поверхности; Дю — телесный угол, в пределах которого находятся нормали к микроплощадкам вблизи направления, определяемого углом 5.

Можно показать, что отраженный поток светового излучения ФоТр от этих микроплощадок равен:

Ф отр _ ФоРотр^(^)^® . (15)

При падении плоской волны на статистически шероховатую поверхность с крупномасштабными неровностями фронт отраженной оптической волны расчленяется на большое множество направленных волн. Можно предположить, что при азимутальной симметрии распределения таких микроплощадок в пространстве и нормальном падении на такую поверхность светового пучка пространственная форма тела обратного отражения будет приближаться к телу вращения.

Угловую ориентацию микроплощадок условно можно разбить на две группы [9]:

— малоугловую группу с угловым разносом до 250 относительно нормали;

— угловую группу с большим разносом - более 250 относительно нормали.

Из представленных результатов моделирования видно, что при малых углах разноса микроплощадок максимум диффузного рассеяния приближается к углам зеркального отражения. А при больших углах следует ожидать смещения максимума д иф -фузного рассеяния в разные стороны.

Вместе с тем с ростом наклона освещающего пучка света при падении на такую поверхность тело рассеяния приобретает более плоскую форму, стягиваясь к плоскости падения. Это приводит к тому, что диффузный максимум с увеличением угла падения растет быстрее, чем коэффициент отраже-

ния роТр светового потока Фо , падающего на исследуемую поверхность.

Из выражений (14) и (15) следует, что при отсутствии затенения с точки зрения геометрической оптики величина отраженного потока почти полностью определяется величиной коэффициента отражения. Как показали экспериментальные исследования, приведенные в работе [10], коэффициент отражения в видимом световом диапазоне слабо зависит от длины волны и резко падает при длинах волн более 0,6 мкм.

Очевидно, что плоскости отражения элементарных пучков поворачиваются таким образом, что угол между ними и основной плоскостью падения уменьшается с ростом угла наклона. Из-за дифракционного взаимодействия отраженные пучки света от статистически шероховатой поверхности с крупномасштабными неоднородностями могут распространяться в соседних областях и тем самым перекрываться друг с другом. При таких условиях распространения плотность отраженного потока в плоскости падения может возрастать за счет соседних областей [11, 12].

Поэтому у статистически шероховатых поверхностей с крупномасштабными неровностями свет отраженных пучков в зеркальном направлении рассеивается из-за того, что отражение происходит по законам геометрической оптики, а угол дифракции очень мал. С ростом угла падения видимый размер микроплощадок уменьшается. В этом случае полуширина дифракционного максимума увеличивается, что приводит к угловому перекрытию зеркально отраженных пучков с отраженными от микрограней пучками и созданию условий появления зеркального отражения.

Полученные результаты моделирования отражения оптического излучения от статистически шероховатых поверхностей с крупномасштабными неровностям удовлетворительно согласуются с теоретическими и экспериментальными результатами, изложенными в работах [13-18].

Заключение

Исследованы эффекты дифракционного взаимодействия оптического излучения со статистически шероховатой поверхностью с крупным микрорельефом, параметры которого больше длины волны падающего излучения. Найдено решение дифракционного приближения отражения светового потока от таких поверхностей, которая представляет собой совокупность отражающих микроплощадок со случайным гауссовым пространственным распределением высоты неровностей вдоль всего профиля поверхности. Выполнены модельные исследования для широкого диапазона углов падающего на исследуемую поверхность светового потока. Показано, что индикатриса обратного отражения зависит от отношения высот пространственных неровностей поверхности к длине волны падающего светового потока. Выполненные исследования

8

РИ, 2004, № 3

показали, что для крупномасштабных неровностей индикатриса обратного отражения световых волн носит диффузный характер.

Литератрура: 1. Гапшис В. А. Координатные измерительные машины. М.: Машиностроение, 1988. 352с. 2. Оптический производственный контроль / Под ред. Малакары Д. М.: Машиностроение, 1985. 400с. 3. Абле-ков В.К., Колядин С.А., Фролов А.Ф. Высокоразрешающие оптические системы. М.: Машиностроение, 1985. 244 с. 4. Гнеденко Б.В. Курс теории вероятностей. М.: Гостехиздат, 1948. 352 с. 5. Стрэттон ДА. Теория электромагнетизма. М.: Гостехиздат, 1948. 410с. 6. Исакович М.А. Журнал экспериментальной и теоретической физики. 1952. Т.23. Вып 3(9). С. 305. 7. Семенов Б.И. Радиотехника и электроника. 1965. Т.10, № 11. С. 147. 8. Бугер П. Оптический трактат о градации света. Ленинград: Издательство АН СССР, 1950. 235 с. 9. Топорец А.С., Мазуренко М.М. Оптико-механическая промышленность. 1974. №11. С.59. 10. Иванов А.И, Топорец А.С. Журнал технической физики.1956, Т.26. Вып.3, С.631. 11. Иванов А.И, Топорец А.С. Журнал

УДК 621.372.8

ВОЛНОВОДНОДИЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ РЕЗОНАТОРЫ СЛОЖНОЙ СТРУКТУРЫ. АНАЛИТИЧЕСКИЙ РАСЧЕТ

СЛИПЧЕНКО Н.И._________________________

Проводится аналитический расчет волноводно-диэлектрических резонаторов двух типов. Для каждого из них получены системы линейных алгебраических уравнений в общем виде, позволяющие определить коэффициенты отражения и передачи рассматриваемых структур.

1. Введение

Твердотельные устройства СВЧ диапазона заняли прочное место в радиоэлектронике. Одним из важных компонентов таких устройств являются фильтры. Их физическая реализация разнообразна. Большинство из них представляет собой отрезки запредельного волновода, которые содержат диэлектрические неоднородности. Применение запредельных волноводно-диэлектрических структур в качестве базовых элементов СВЧ устройств обусловлено расширением функциональных возможностей последних, а именно: 1) конструктивная простота резонансного звена; 2) уменьшение габаритных размеров; 3) снижение стоимости изготовления; 4) повышение точности расчета параметров устройств; 5) использование низкопроницаемых материалов.

Практический интерес представляет изучение волноводно-диэлектрических фильтров в целях их последующего проектирования. Выбирая надлежащим образом параметры линии передачи—диэлектрическую проницаемость и геометрические размеры, можно реализовать фильтры с требуемыми частотными характеристиками.

технической физики. 1956. Т.26. Вып.3. С.623. 12. Топорец А. С., Мазуренко М.М. Журнал прикладной спектроскопии. 1967. Т.7, №6. С. 905. 13. Хусу А.П., Витенберг Ю.Р, Пальмов В.А. Шероховатость поверхностей. М.: Наука, 1975. 385 с. 14. Городинский Г.М. Оптика и спектроскопия. 1964. Т.16, №3. С.112. 15. Городинский Г.М., Шестов А.И. Оптика и спектроскопия. 1970. Т.29, №6. С.600. 16. Beckmann P. Proceeding of the IEEE. v.3, №5, 1970. Р.341. 17. Войшвилло Н.А. Оптика и спектроскопия. 1967. Т.22. Вып.6. С.956. 18. Шмаров В.М. Міжнародна конференція «Сучасні інформаційні та енергозберігаючі технології «Збірник наукових праць. Вип. №6. Видавництво «ФАДА-ЛТД». Київ, 1999. С.5-6.

Поступила в редколлегию 12.06.2004

Рецензент: д-р физ.-мат наук, проф. Чурюмов Г.И.

Шмаров Валерий Николаевич, канд. техн. наук, генеральный директор Украинской государственной компании по экспорту-импорту вооружений и средств военной техники (Укрспецэкспорт). Научные интересы: лазерные дистанционные средста измерений. Адрес: Украина, Киев, ул. Дегтяревская, 36.

2. Метод решения и цель работы

Для анализа рассматриваемых в работе волноводнодиэлектрических структур используется метод декомпозиции [2-4], в соответствии с которым весь электродинамический объект разбивается на элементарные подобласти, представляющие собой отрезки регулярных линий передачи. Границами частичных областей являются плоскости, перпендикулярные к направлению распространения волны (ось z ). В каждой из выделенных подобластей поля представляют собой суперпозицию падающих и отраженных волн конкретного отрезка линии передачи. Применительно к решаемой задаче будем считать:

1) высота подводящих и запредельных волноводов такова, что волны, имеющие вариации поля по оси У, не возбуждаются;

2) в подводящем волноводе (z < 0) в положительном направлении оси z распространяется основная волна прямоугольного волновода единичной амплитуды;

3) все волны, рассеянные на стыках различных волноводов, принадлежат к классу Hno .

С учетом свойства ортогональности применяемых при решении данной задачи собственных функций функциональные уравнения приводятся к системе линейных алгебраических уравнений, которые включают в себя бесконечное число неизвестных амплитудных коэффиц иентов. Ее можно записать в матричной форме AX = b, где X,b — векторы неизвестных амплитуд и свободных коэффициентов соответственно, матрица A имеет блочнодиагональный вид. Таким образом, расчет указанных выше устройств в математическом плане сводится к решению определенного класса граничных электродинамических задач, которые в свою очередь приводят к необходимости решать бесконеч-

РИ, 2004, № 3

9