CC BY
14
соответствует нерегулярному режиму рефракции NR. Обращает внимание в этом случае быстрое падение давления (возмущений) при подъеме с глубины к свободной поверхности. Результаты расчета полей давлений согласовываются с экспериментальными данными (см.
И)-
В случае падения ударной волны сверху на поверхность океана (рис. 3, а) давление быстро падает с увеличением глубины погружения. В целом рассмотренные случаи рефракции УВ раскрывают механизмы гашения возмущений, которые природа использует для сохранения окружающей среды.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Henderson L.F., Ma J., Sakurai A., Takayama K. Refraction of a shock wave at an air-water interface // Fluid Dynamics Research. 1990. №5. P. 337-350.
2. Henderson L.F., Collela P., Puekett E.G. On the refraction of shock wave at a slow-fast gas interface // J. Fluid Mech. 1991. Vol. 224. P. 1-27.
3. Шиндяпин Г. П. Нелинейные взаимодействия ударных воли в газах и газожидкостпых средах. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 1997. 104 с.
4. Шипдятт Г.П., Мату тин A.A. О математических моделях и режимах рефракции ударных воли в газожидкостпых пузырьковых средах // Струйные, отрывные и нестационарные течения: тр. XXI Всерос. семинара. Новосибирск: Параллель, 2007. С. 199-201.
5. Шиндяпин Г. П., Мату тин A.A. О законах подобия рефракции ударных воли в газовых и газожидкостпых средах // Математика. Механика: сб. науч. тр. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 2008. Вып. 10. С. 146-150.
УДК 533.6.011
Г.П. Шиндяпин, A.B. Сергачёв
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ НЕЛИНЕЙНОГО ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ УДАРНЫХ ВОЛН В УСЛОВИЯХ ПАРАДОКСА НЕЙМАНА
Проблема взаимодействия и отражения ударных волн (УВ) в газах и газожидкостных пузырьковых средах (ГЖС) представляет сложную
задачу современной механики. В статье проведено асимптотическое исследование для режимов взаимодействия и отражения относительно слабых УВ. Рассчитаны поля давлений с помощью численно аналитических методов.
1. Рассматривается взаимодействие двух У В относительно малой интенсивности Р1о = (р — ро), Р2о = (р2 — Ро) , где Во = = роСд, под углом 2а в сжимаемой идеальной ГЖС пузырькового типа с плотностью р, скоростью звука Со, относительным массовым газосодержанием 7. Математически задача описывается системой уравнений Эйлера.
Неоднородные течения характеризуются падающими УВ, отраженными волнами Л^В^, фронтами Маха и областями возмущения Р-областями больших градиентов (рис. 1).
Рис. 1
Асимптотическая система течений в переменных:
£ = Яо(т )Рю = ро(т )ею; £10 = (Р1 — Ро)/Ро;
Я/Со1 = 1 + РюЯо(т)б; 0 = Р^яо(7)У; б = X + 1 У2; Во = роС2; (1)
1.
2
и Р V р§ „Ь N Р — Ро
С = Р1оМ^ = Р12ояо (7) V;-
V
со
= Р1оР
>*(1); = РюЯ(1)
Во ро
сводится к решению системы уравнений коротких волн (УКВ):
[м(м — 2б)]г + Vу + 3м = 0, му = vs, м = Р *(1) = Н(1). (2)
На фронтах ударных волн б = б* выполняются уеловия (дп = 1 на Л1В1, ЗП = 0 на Л1Л2, зп = ^ на Л2В2):
(¿б/^У)2 = 2б* — м — М1; (М — мО^б/^У = Vl — V; м = Р*(1) = Н(1);
_ 1
м1 = ЗП; Vl = — зп (У ± а^); а" = ¿да/г—; Ц = Р2о/Рю.
(3)
Условия сращивания решений на границе с областью (I) имеют вид
, 1 V—20 n V—20 r ^
и = 1--arctg —--1— arctg —-; 0 ^ —то, —то < Y < то, (4)
п Y + п Y —
для границ B1E1 (ВЕ)5 B2E2 с областями (III) квазиодномерных решений:
U = qn + K2(Y) (l ± (1 — (0 — q — n)K—2(Y));
K2(Y) = —А) , -то < S < S*. (5)
1 ; пЧ av + Y av — Y ' w
2
Параметр подобия а^ зависит от £1о, а и 7 через Ьо(7). При фиксированных значениях постановка краевых задач для газов и ГЖС формально совпадают. Основную трудность представляет нелинейность системы (3) и неизвестное положение ударных фронтов.
2. Исследуем схемы нерегулярного взаимодействия и отражения относительно слабых У В в области параметров а^, п аналогично [1, 2], используя частное решение системы (2). Математические схемы будут характеризоваться набором параметров для верхней и нижней тройных точек (с индексом I и II соответственно). Условия динамической совместности (3) на фронтах ЛпКп, ЛпВп, Л1Л2 можно записать в виде (для верхней точки п = 1 и дп = 1; для нижней точки п = 2, дп = ц):
An = av ± Yn; Sn = 2(qn + An); £ = PioRO(Y); Bn = вП ± Yn;
Bn = (Aj - Mn)2; en = tg в/£1; Cn = 7n ± Yn; C = (qn + Bj)1;
1
7П = 7n/^2; vn = T^nAn ± Bn(^n - qn); vj = TCnMn (6)
Чтобы учесть влияние потока на характер течения за фронтом Маха, рассмотрим параметрическое решение системы (2) [1, 3], которое точно удовлетворяет условиям (3) на фронте Маха Ai A2 :
M = (2(q)Y2 + (i(q)Y + (o(q); S = qY2 + Xi(q)Y + Xo(q);
v = ^a(q)Y3 + ^2(q)Y2 + ^i(q)Y + ^0 (q). (7)
Подстановка решений (7) в систему (2) и условия (3) приводит к системе девяти дифференциальных уравнений для нахождения функций (o(q), —, Xi(q) и системе начальных условий на фронте в предположении что фронту Маха соответствует q = q0 = const. В результате получим систему 18-ти уравнений для 21-го неизвестного. Система дополняется
тремя соотношениями. Первое следует из принципа притока массы (см. 11):
(У - У2)(3Д* - 2/1с) = V- - Д = (1 + п)/2.
(8)
Здесь Д* - среднее значение та границе с областью I, Дс - среднее значение на фронте Маха. Оставшиеся соотношения вытекают из принципа экстремального поворота для потока, прошедшего через отраженную волну в точках А1А2 :
Д1 = (1 + 2А?)/3; Д2 = (п + 2А2)/3.
(9)
Асимптотические решения системы (2) сводятся к установлению областей существования различных режимов взаимодействия и отражения УВ (рис. 2, а общий случай, б отражение). Границы режимов определяются из решения для областей С и С при различных условиях (например, при У = У2 для 1).
а
б
Рис. 2
С
взаимодействия. Все параметры выражаются через А1? А2 (п = 1, 2; Яп = 1,п):
¿п = (Яп + АП)/2; ^ = т■//|(2яп + А)2; Дп = (Яп + 2АП)/3;
Сп = (2яп + А£)1; 7п = тУп + Сп; Уп = ±(Ап - а");
у± = тЯпАп (Ап - Яп)2, вп = ±Уп + ^ (Ап - Яп)2. (10)
3\/3
л/3
Выражая д* согласно (7) при я = Яо можно свести задачу к решению системы двух уравнений: симметрии (8) и притока массы (9).
3*2 = А1 + 2; 3*2 = А2 + 2п; А = А1 + А2 - 2а*;
(11)
3z2 - 3z2 - 1 + n = (zi - Z2)A; A[6z? - 4 - n + (zi + Z2 - A)(2zi - Z2)] =
3z2 - 2 + n\¡3z| - 2n - 2[(z2 - 1)3 + (z| - n)2].
(12)
Модель О" развитого нерегулярного отражения получим, исключая А из второго уравнения (12) при п = 1, ¿1 = г2. Решение задачи
имеет аналитический вид (см. [1]).
4. Для построения полей давлений и скоростей при нерегулярных и регулярных взаимодействиях УВ выполним подстановку класса точных решений (7) в систему УКВ (2), что приводит к системе девяти ДУ:
, 4^2 - - 3фз , 2^2X1 + 2^1 - - 2ф , ^1X1 - - Ф ^2 =-^т-; =--; ^о = — ■
2/о
2/о
2/о
, 4qxi - 2xi + 2^i , -2хо + x1 + 2^c Xi =-^-; Xo = — '
2/о
2/о
4^2 - 2g^2 + 69Y3 ,, _ 3^3Xi - 3^2Xi + 6^2 + 4q^2
Y 3 = o S ; Y2 =
2/о
2/о
,, _ -4^2Хо - liXi + 2^2Xi + 4^о^2 + 2д^о + 2^ + 2qYi
= 2/о ;
Ю = ~2**" + ^ + XiY2 + 2УоУ'; /о(9) = Ы9) + 2q2 - 9. (13)
Анализ системы (13) приводит к одному уравнению второго порядка для функции ^2(q) :
^2(^2(9) + 2q2 - 9) + ^ = (0.5 + 9)^2 - ^2
с общим решением вида
^2(9) = A у7 |q + b| - 2Bq2 - B, A, B - con st.
(14)
(15)
На рис. 3 представлены решения задачи за фронтами У В при различных параметрах о^, п (А1А2 при д = до, А1А0 при д = , А2А0 при д = д2).
Рис. з
Полученные результаты согласуются с известными численными и аналитическими решениями [4] и позволяют сделать вывод об адекватности развитого метода.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Шиндяпин Г. П. Аналитическое исследование ударно-волновых структур и потоков при отражении и взаимодействии относительно слабых ударных волн //Аэродинамика. Ударно-волновые процессы: межвуз, сб. науч. тр. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 2001. Вып. 15(18). С. 31-44
2. Шиндяпин Г.П. Нелинейные взаимодействия ударных волн в газах и газожидкостных средах. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 1997. 104 с.
3. Шиндяпин Г.П., Гамаюнова E.H. Аналитическое исследование общего случая нерегулярного взаимодействия и отражения ударных волн //Математика. Механика: сб. науч. тр. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 2002. Вып. 4. С. 225-229
4. Zakharian A.R., Brio Л/.. Hunter J.К., Webb G.M. The non Neumann paradox in weak shock reflection //J. Fluid Mech. 2000. Vol. 402. P. 193-205.
