CC BY
25
КРАТКИЕ СООБЩЕНИЯ
А.И. Литвин, А.В. Хон МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ НЕКОТОРЫХ ПРИРОДНЫХ ПРОЦЕССОВ
Эволюция береговой линии, как известно, так же как и развитие профилей рек и склонов, подчиняется уравнению теплопроводности:
дН
д\
д1И
(1)
где Н - высота склона, к - коэффициент, принимающий в различных случаях разный физический смысл [1-3].
Рассмотрим уравнение (1) со следующими граничными и начальными условиями:
Н(0,0 = Н0;Н(1д) = 0; Н(х,0) = Нь
где 1 - длина склона, а Н() - вершина склона.
к'*".,»
дк
В отличие от известного решения уравнения (1) - метода Фурье, можно использовать следующий способ решения с применением быстрого преобразования Фурье (БПФ).
Пусть для уравнения теплопроводности (1) поставлена первая краевая Дирихле) задача с вышеопределенными граничными и начальными условиями. Зафиксируем время I и рассмотрим сначала решение для уравнения Лапласа:
(2)
Коэффициент к будем считать постоянным или не сильно изменяющимся в определенный промежуток времени г.
Решение уравнения (2) является простым и его можно представить в виде ряда Фурье [4]. Ввиду того что уравнение (1) является параболическим, решение
(3)
где рп = 2яп/1, рг — 2лт/Т : т - переменная по времени; Т - промежуток времени. Подставляя выражение (3) в уравнение (1), получим:
(1С
<И
— - ~ кРпСп-
Отсюда, С п (Ц + М) = С п ехр - (кр п ДО.
а
{(ах2 + Ьх + с) е
Н(хД) на слое I] = Тф + Д1 может быть определено, если известны его значения в предшествующем слое I = I о.
Дискретное преобразование Фурье от уравнения (1) представим в виде:
Н(х,1)=Х1Спа)е-'р"\ 11=0
Решение уравнения (1) будет следовать из преобразования Фурье, использующего известные коэффициенты Сп(Чо +М) [5].
Но сущность процесса развития склонов, профилей рек и ряда других природных процессов показывает, что коэффициент к изменяется одновременно в зависимости от х и I, и, следовательно, не может быть постоянной величиной. В работе [3] форма профиля склона записана в виде уравнения:
¿У 2
' Л1}— + {(ах2 +Ьх + с) е" дх
д\ ¿к
с начальными и граничными данными
у(х,0) = р(х); у(0,1) = ^(1); у(1,1) = р2(1)
XI
)}
(4)
А.И. Литвин, A.B. Хон. Математическое моделирование некоторых природных процессов
В отличие от метода Фурье работы [3] к решению соб решения. Распишем уравнение (4) уравнения (4) можно применить вышеописанный спо- в следующем виде:
= {(2ах + Ь)е"я 1} ^ + 2{(ах2 + Ьх + с)е"
д\ 14 ' ' д\. Будем считать ду/д\. = 0 в начальный момент времени. Тогда
д х
2 •
2{(ах2 + bx + с)е"Х1} -'Ц- + {(2ах + b)e"Х1} = 0.
дх дх
Решение уравнения (5) имеет вид
, , , 2ах + b ч
у(х) = С i + C2arctg(-T_=) •
(5)
/4ас - Ь
Дискретизируя граничные условия, можно найти у(х) и подставляя в уравнение (4) выражение дпя дис-постоянные С] и С2 кретного преобразования Фурье, получим систему
Далее, разлагая в ряд Фурье решение уравнения (5)
обыкновенных дифференциальных уравнений
= -2е"* 1 bX±c) (2ax + b)i}dt; р = f) N _, (6)
С рп Рп
Решение
системы (6)
z
C(t + At) = Cn(t) (-/lAt)^, n =0, N-l, где z- выражение в фигурных скобках.
имеет вид Рассмотрим формирования профилей рек, склонов, вулканов и других природных процессов с другой стороны, а именно с использованием уравнений переноса. Разберем несколько случаев.
Случай 1. Представляет особый интерес. Запишем ___для него дифференциальное уравнение (переноса)
dy/di = - k(t) х ду/дх.
Решение, уравнения (6) можно свести к системе из двух обыкновенных ди ффере н miальных уравнений:
{ dy jdx/
Рассмотрим более подробно решение системы (8). Данная система имеет аналитическое решение в том случае, если функция k(t) является интегрируемой, а
также интеграл должен разрешаться в
квадратурах. Если величина k(t) не является интегрируемой или не разрешается вышеприведенный интеграл в квадратурах, то нужно применять численные методы для решения системы (8).
Предположим, что функция k(t) в определенный промежуток времени t является постоянной или ее изменение незначительно. Тогда решение системы (8) следующее:
х .= x0exp(-kt);
у = y0exp(x0(l-exp(-kt))/k; у = y0exp(x0-x)/k.
Случай 2. Ему будет соответствовать дифферещи-альное уравнение переноса (8) с известными начальными условиями.
Уравнению (8) соответствует система из двух нелинейных обыкновенных уравнений (с учетом постоянства функции k(t)):
(7)
(8)
/ dt = ху; dt = -k(t)x.
| dy/dt = у2; [dx /dt = k/t.
Решение этой системы имеет вид: х = kx0lnt;
y = y0 + l/t0-l/t=y1-l/t; [У = У] -ехр(х/кх0).
Для исследования устойчивости развития природных процессов можно использовать фракталы. В работе [6] предложены простые представления множеств Мандельброта и Жюлиа, удобные дпя численных исследований.
Известно, что множества Жюлиа описываются комплексным многочленом рс (г) = г2 + с, где с -комплексная переменная.
Определение 1. Множество Жюлиа - это множество вида:
={ря(2)бС:УсбС},
где С - комплексная плоскость, а С - ее замыкание.
Вестник ТГПУ. 1998. Выпуск 5. Серия: ЕСТЕСТВЕННЫЕ И ТОЧНЫЕ НАУКИ
Этот процесс можно выразить посредством итераций гп+] = 2п + С • Точка да будет сверхпритяги-
вающейся неподвижной точкой для отображения 2-> рс(г). Следовательно, множество Жюлиа ^ при
каждом с е С можно определить как ,1С = ЗА(=с).
Из теории Жюлиа и Фату следует, что множество ,1С будет связным или канторовым множеством. Если множество Жюлиа связно, то можно дать определение множества Мандельброта.
Определение 2. Множество Мандельброта - это множество вида: М = {сеСЫс связно}.
Теперь в соответствии с теорией Жюлиа и Фату ,1с
является связным тогда и только тогда, когда ОйА(сс), к
т. е. М = {с е С:рс (О)-. -» оо, к -> оо}.
Такое апределение множества М удобно дня вычислений. Нужно выбрать решегку точек с е С и для каждой ее точки проверить, будут ли модули последо-
2
вательности 0 —» С —> С + С —»... после N итераций оставаться в пределах заданной верхней границы т или нет. Дуади и Хаббард в работе [6] показали, что множество Мявляется связным, т. е. множество М состоит из всех точек с е С, для которых множество Жюлиа ,1С связное. Множество Жюлиа в этом случае
содержит те начальные состояния, которые притягиваются к предельному циклу. Таким образом, имеется двойственная связь между этими множествами.
Используя такую интерпретацию множеств Жюлиа и Мандельброта, можно применить фрактальный подход к исследованию устойчивости процессов различной природы, которые можно описать в виде системы двух нелинейных обыкновенных уравнений первого порядка или в виде нелинейных дифференциальных уравнений второго порядка.
Найдя множество Мандельброта некоторой системы, можно получить представление об устойчивости процесса ее развития: если параметры системы находятся вдали от границы множества Мандельброта, то ее развитие устойчиво. Множество Жюлиа играет аналогичную роль для начального состояния системы.
Фрактальный подход можно применять к изучению устойчивости процессов формирования профилей склонов.
Следовательно, дня исследования системы достаточно вычислить ее множество Мандельброта, что дает возможность определить поведение системы для любого значения с е С. Построив для таких с е С множество Жюлиа, можно определить те начальные состояния системы, которые притягиваются к предельному циклу.
Исследуем систему (8), записанную в дискретной форме:
[Уп+1 =Уп +*пУп 1 хп+1 = хп -У*п
Для нее множество Мандельброта - это окрестности от 0 до 2 с выколотой точкой 0. На рисунке изображены профили объектов для следующих: к = 0,2 (а); к = 0,99 (Ь).
Из рисунка видно (к = 0,2), (а) что при малом изменении радиуса основания высота объекта очень быстро растет, что свидетельствует о неустойчивом поведении системы (8).
При к= 0,99 (Ь) система приходит в стационарное состояние, что показывает на устойчивое поведение системы (8).
Выводы. Из анализа вариантов рисунка можно сделать заключение, что чем ближе к границе множества Мандельброта параметр системы к, тем неустойчивее и хаотичнее ее поведение.
Рис. (а) Рис. (Ь)
A.K. Литвин, A.K Май. Цифровые методы сжатия и восстановления изображения
Литература
1. Шейдеггер А.Е. Теоретическая геоморфология,-М.: Прогресс, 1964.-450 с.
2. Девдариани A.C. Математический анализ в геоморфологии. - М.: Недра, 1967,-156 с,
3. Трофимов A.M. Основы аналитической теории развития склонов - Казань: КГУ, 1974- 212 с.
4. Ефимов A.B. Математический анализ. - 4.1. Общие функциональные ряды й их приложения - М.: Высш. школа, 1980,- 279 с.
5. Литвин А.И., Солдатов В.Н. Численное решение уравнения теплопроводности //Методы и алгоритмы параметрического анализа линейных и нелинейных моделей переноса - М.: МГЗПИ, 1985. - Вып. № 3, - С. 148-153.
6. Пайтген Х.-О., Рихтер П.Х. Красота фракталов,- М.: Мир, 993,- 176 с.
УДК 519.676
А.И. Литвин, А.И. Май ЦИФРОВЫЕ МЕТОДЫ СЖАТИЯ И ВОССТАНОВЛЕНИЯ ИЗОБРАЖЕНИЙ
В настоящее время цифровые алгоритмические методы сжатия изображений с восстановлением - методы с наличием или отсутствием избыточности информации с поэлементной или пространственной обработкой. К методам сжатия-восстановления изображений с поэлементной обработкой можно отнести методы с сокращением информационной избыточности; на основе импульсно-кодовой модуляции с предсказанием, статистические; методы без сокращения информационной избыточности: статистические, с пополнением кадров. Методы сжатия-восстановления с пространственной обработкой, основанные преимущественно на сокращении избыточности информации,-этог интерполяционный, на основе преобразований, на основе выделения признаков, символьные, гибридные и т. д. [1]. В настоящее время многие из банков видеоданных используют системы, реализующие методы сжатия-восстановления изображений с целью экономии памяти для последующей обработки изображений. Предлагаются два способа сжатия-восстановление изображений: кодирование длин серий (КДС) и на основе ортогональных дискретных преобразований (ОДП).
Рассмотрим алгоритм КДС. Известно, что кодирование с предсказанием менее эффективно, чем оптимальное кодирование. Однако в ряде случаев, когда статистика передаваемых сообщений известна или можно заранее предположить характер их изменения, практическое осуществление системы с предсказанием становится реальным. В сочетании с другими методами кодирования информации, например с известными методами КДС и КПД (коды переменной длительности), операция предсказания может представлять практический интерес в силу простой ее реализации [2].
Рассмотрим способ КДС подробнее. Если двоичные сообщения имеют низкую энтропию (Н«1), а символы независимы или слабо зависимы, то применение классйческого кодирования по Фано-Шеннону невыгодно. В этих случаях эффективным является способ КДС. Он заключается в передаче только маловероятных символов (например единицы или нуля) в
представлении кодом длины серий высоковероятными символами. Кратко проанализируем способ КДС. Будем считать, что сообщение состоит из нулей и единиц, которые статистически независимы. Пусть вероятность появления нуля в сообщении равна р, тогда вероятность появления единицы равна q — 1 — р. В этом случае под серией из к нулей будем понимать двоичную последовательность 1000...00, начинающуюся единицей, или 000...01, заканчивающуюся единицей. Последовательность из i единиц считывает-ся, как i - 1 серий нулей, каждая нулевой длины. Тогда функция вероятности распределения серий нулей в сообщениях имеет вид F(k) = (1 - р)рк = qp", а
среднее число нулей в серии находится = = —= -■ Спосо6 КДС
к- О А -' о 1 -р q
является эффективным, хотя необходимость использования разделительных знаков между кодами длины серии снижает эффект сжатия сообщений. Среднее число двоичных символов определяется по формуле
1 05 п
с = 1 Н--У^р2' - где п ~ количество ДВОИЧНЫХ
р »=1
символов, охватывающих серию из нулей. При использовании разделительных знаков выходное сообщение будет закодировано троичным кодом, поэтому эквивалентное число двоичных символов на серию будет равно С = log, 3 . Укажем способ эффективности такого кодирования.
Относительную эффективность можно определить
как
R = -(p\og1p + g\og2q) qClog, 3
где -(plog, /> + <7log, q) - исходная энтропия на
символ, 1/q - среднее число составляющих серию двоичных символов. Величина относительной эффективности-показывает близость КДС к оптимальному кодированию.
Для этого способа коэффициент сжатия информации определяется как
