CC BY
108
4. Далее из исходных экстремумов процесса ДО исключались максимумы или минимумы (в нашем случае минимумы), и в оставшемся массиве определяют новые экстремумы.
5. Выделялись стандартным способом новые экстремумы и находились значения составляющей более низкой частоты, т. е. огибающей.
гр _ ,шах -шах _
ть, - г]+1 — г] -
(5)
где ¡¡, ¡¡п - временные координаты, когда огибающая А (0 принимает максимальное значение.
Ть -
X т,
1-1 м
1 7ь
А - 0 5 Ашах — А™п
ЛЬ~ °> 5 И/шах Л]шах
_ х а,
Аь -
м
(6)
(7)
(8)
где М - число колебаний огибающей по длине реализации, относящихся к близким по значениям периодам ТЬ]. Далее, в случае необходимости нахождения более низких частот, процесс обработки сигнала повторялся по алгоритму (5)-(8).
Частота дискретизации исследуемого сигнала равнялась 100 кГц. Это более чем достаточно для исследуемого диапазона частот от 1 до 500 Гц. В этом случае максимальная погрешность, возникающая при расчетах временной координаты экстремума колебаний амплитуды несущей результирующего сигнала, не превышает 0,5 %, а точность расчета амплитуд экстремумов гарантируется до 4-го знака включительно после запятой. Кроме того известно, согласно исследованиям [5], что по экстремумам можно восстанавливать случайный процесс со среднеквадратичной погрешностью около 2 %.
Эксперименты показали, что частота биений /Ь=/2-/1, если целочисленные коэффициенты пропорциональности1 к2 и к1 отношения суммируемых частот /2 к /1 отличаются друг от друга на единицу, т. е. к2-к1=1.
_ "7__/2
к = ^ =
/1
(9)
В этом случае максимальные значения амплитуды огибающей равны между собой, а длительности интервалов, заключенных между ними, постоянны по величине. Необходимо отметить, что число колебаний амплитуды результирующего сиг-
нала за период его биения равно интервальному коэффициенту к2, а его средняя по времени частота всегда равна верхней частоте колебаний амплитуды суммируемых сигналов. Данное утверждение справедливо не только в случае А2>АЬ как следует из [3], но и для равных по амплитуде суммируемых сигналов.
Рассмотренный вид биений характерен для натурального строя, интервалы которого образованы гармоническими интервалами: 2/1, 3/2, 4/3, 5/4, 6/5, 9/8 и т. д. Пример такого вида колебаний показан на рисунке, а. Необходимо отметить, что на остальных графиках «Ь» и «с» непрерывное изменение во времени амплитуды суммарного сигнала представлено только его экстремальными значениями.
При разности интервальных коэффициентов к2-к1=2, отмеченная выше равномерная последовательность интервалов биений нарушается. Наблюдается поочередное изменение длительности периода колебания огибающей (рисунок, Ь).
Частота биения не равна в этом случае разности частот суммируемых колебаний.
Периодичность процесса наблюдается в последовательности интервалов биений, состоящих из совокупности не одинаковых по длительности двух смежных интервалов биений ТЬ=9 и ГЬ=д+1:
тт - т + т
1Ь 1Ь-ц т 1 Ь-ц+1
/2—/1
(10)
Индекс «д» означает минимальное число колебаний амплитуды результирующего сигнала, кратно укладывающееся на одном интервале биений.
Число колебаний амплитуды результирующего сигнала, кратно укладывающихся на одном периоде модулированных в определенной последовательности интервалов биений, равно сумме колебаний несущей в двух смежных интервалах биений и равно по величине числителю к2 отношения коэффициентов пропорциональности (9). При этом интервалы биений, образующие периодическую последовательность, отличаются друг от друга по числу колебаний амплитуды несущей в данных интервалах всегда на единицу.
Максимальные значения амплитуды огибающей постоянны во времени и равны между собой. Такой характер биений присущ для натурального звукоряда, отношения интервальных коэффициентов суммируемых частот в котором представлены в виде простых дробей: 5/3, 7/5, 9/7, 11/9 и т. д.
При разности интервальных коэффициентов к2-к1>2 возникают низкочастотные периодичности модулированных в определенной последовательности интервалов биений. Длительность этих пе-риодичностей равна сумме длительностей (к2-к1)
1 Коэффициенты пропорциональности к и к, в музыкальной практике называют интервальными коэффициентами, харак-
тер отношений которых характеризует благозвучность ощущения последовательно или одновременно звучащих тонов [7].
Математика и механика. Физика
Рисунок. Зависимость периодичности в последовательности интервалов биений результирующего сигнала от соотношения частот суммируемых колебаний, амплитуды которых А1=А2=1: а) 264 Гц, Ъ=297 Гц, к2/к=9/8; Ь) 264 Гц, 12=369,6 Гц; к/к==7/5; с) ^=220 Гц, 12=370 Гц, кг/к=37/22
^Ъ=9 ~ к2 Т"
^Ъ=9 ~ к2Т"
7. мс
Т,
ДО
2,5 2 1,5 1
0,5
т.
т
шах
Ь=Ъ
Т}
Ъ= 4
Тг
а
Ъ=3
1Ъ= 4
Т
, т
1 Ть^=:Ъ:Тп п Тъ:л = !МТп
ах = + = 4 =(73/ + /4/)Г„
-0,5 -1 -1,5 -2 -2,5
Л м С
А( О
2,5 2 1,5 1
0,5 О
-0,5 -1 -1,5 -2 -2,5
I I
^=3 ТЪ=3
гшах = 77Г + ^¿=2 = I"' 5 ' + 7 2/) + Т™ = ТЬ=2 + ТЬ=3=(/2/ + /3/)ТП ТЬ=3 = П/Т„ Т^2 = /2/ТП
1,1.1
(.. МО
Ь
с
интервалов биений амплитуды результирующего сигнала.
В наблюдаемой глобальной периодичности процесса в этом случае наблюдаются и локальные периодические последовательности интервалов
биений. Совокупность интервалов биений Т1т (рисунок, с), образующая равные по времени периодические последовательности, составляет первый уровень модуляции интервалов биений. Локальные уровни модуляции располагаются, в соответствии с
стью, в зависимости от соотношения частот. Как правило, глобальная периодичность процесса сопровождается возникновением локальных периодичностей, образованных совокупностью интервалов биений, последовательность которых модулирована определенным образом.
3. Разность частот суммируемых колебаний в указанных случаях равна средней частоте биений, усредненной на интервале времени, равном максимальному периоду модуляции последовательности интервалов биений.
Выявленная закономерность будет наблюдаться там, где происходят биения, возникающие при суперпозиции гармонических колебаний, близких по частоте, в частности, в электрических сигналах.
Предложенная методика, основанная на использовании математического аппарата цепных дробей, позволяет, не проводя численных экспериментов, получить аналитическим путем информацию о компонентной структуре результирующего сигнала, о локальных и глобальных периодично-стях в поведении огибающей и их частотах, если таковые имеются.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Гельмгольц Г. Учение о слуховых ощущениях как физиологическая основа для теории музыки. - СПб.: Типография товарищества «Общественная польза», 1875. - 591 с.
2. Гоноровский И.С. Частотная модуляция и ее применения. -М.: Изд-во литературы по вопросам связи и радио, 1948. -476 с.
3. Попов А.Н. Математический анализ биений. - М.: Госэнерго-издат, 1956. - 31 с.
4. Гнюсов К.С., Савинов А.П. Экспериментальное исследование условий возникновения низкочастотной модуляции биения огибающей // Современная техника и технологии: Труды XIII Междунар. научно-практ. конф. молодых ученых. - Томск: Изд-во ТПУ, 2007. - Т. 2. - С. 316-318.
5. Пономарева И.Д., Цепков Г.В. Сверхбыстрый спектральный анализ // Проблемы управления и информатики. - 1998. -№1. - С. 107-114.
6. Пономарева И.Д., Карпенко А.В., Цепков Г.В. Адаптивный секвентный базис в задачах фильтрации случайных сигналов // Проблемы управления и информатики. - 2001. - № 2. -С. 82-87.
7. Ирисов А.С. Звук и музыка. - M.: Госиздат, 1926. - 41 с.
8. Бендат Дж., Пирсол А. Измерение и анализ случайных процессов. - М.: Мир, 1974. - 20 с.
9. Математический анализ. Функции, пределы, ряды, цепные дроби / под ред. Л.А. Люстерника и А.Р. Янпольского. - М.: Гос. изд-во физ-мат. лит., 1961. - 266 с.
Поступила 26.10.2009 г.
