CC BY
63
ББК 22.193:22.251 ДЫОНГ ДИНЬ НГУЕН
УДК 51-74:62 аспирант Института авиамашиностроения и транспорта
Национального исследовательского Иркутского государственного технического университета e-mail: nguyendinhduong1983@yahoo.com
И.Н. РЫЖИКОВ
директор УМЦ «Международный факультет» Байкальского государственного университета экономики и права, кандидат технических наук, доцент, г. Иркутск e-mail: Ryzhikov-in@isea.ru,rin111@list.ru
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ КОЛЕБАНИЙ ВРАЩАЮЩИХСЯ ЛОПАТОК ВЫСОКОТЕМПЕРАТУРНЫХ ТУРБОМАШИН
Разработан алгоритм расчета колебаний элементов ротора турбины. Представлены результаты анализа статики и свободных колебаний рабочих лопаток газовых турбин с учетом геометрической нелинейности.
Ключевые слова: газовые турбины, метод конечных элементов, свободные колебания лопаток, динамический анализ конструкции.
DUONG DINH NGUYEN
post-graduate student, Institute of Design and Standardization
in Mechanical Engineering, National Research Irkutsk State Technical University e-mail: nguyendinhduong1983@yahoo.com
I.N. RYZHIKOV
Director of International Department, Baikal State University of Economics and Law, PhD in Engineering Sciences, Associate Professor, Irkutsk e-mail: Ryzhikov-in@isea.ru,rin111@list.ru
MATHEMATICAL MODELING OF VIBRATION OF ROTATING BLADES OF HIGH-TEMPERATURE TURBINES
The authors have worked out the algorithm of vibration analysis of the parts of turbine rotor. This paper presents the results of the analysis of statics and free vibration of the rotating blades of gas turbines taking into consideration geometrical nonlinearity.
Keywords: gas turbines, finite elements method, free vibration of blade, dynamic analysis of structure.
Лопатки газовых турбин являются наиболее важными элементами конструкции газотурбинного двигателя. Их прочность и долговечность в основном определяют прочность и долговечность всего двигателя. Сложная пространственная форма лопаток и большое разнообразие нагрузок, действующих на них при работе двигателя (центробежные силы, нагрузки, возникающие при неравномерном давлении газа, и температурные нагрузки),
затрудняют анализ их колебаний, прочности и долговечности. Метод конечных элементов (МКЭ) позволяет проводить данный анализ с учетом всех перечисленных факторов с достаточной точностью. Особую актуальность имеет анализ свободных колебаний вращающихся высокотемпературных лопаток газовых турбин в геометрически нелинейной постановке.
Уравнение статики в МКЭ (при постоянных оборотах вращения) имеет вид [2]:
© Дыонг Динь Нгуен, И.Н. Рыжиков, 2011
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ, СИСТЕМНЫЙ АНАЛИЗ
(1)
- в линеинои постановке:
К5СТ = ^ + и + ир;
- в нелинейной постановке:
(К + Ке + К^Бст = Ъ + и, + ир, (2)
где К — матрица жесткости; Ке — матрица геометрической жесткости; К — матрица псевдомасс; 5СТ — вектор перемещений узлов.
Векторы нагрузок для центробежных и распределенных (газовых) сил имеют вид
/а={ NТРс1у;
{Р = I НТРр6хву,
где Р — вектор объемных сил, возникающих при вращении.
И векторы нагрузок для температурных сил рассчитываются по формуле
ff =| BTDeodv,
(3)
где е0 — вектор начальных температурных деформаций.
Уравнение динамики в МКЭ в случае свободных колебаний без демпфирования имеет вид [2]:
- в линейной постановке:
М5 + К5 = 0; (4)
- в нелинейной постановке:
М5 + (К + ^ + Кх )5 = 0. (5)
Матрица геометрической жесткости состоит из подматриц
К0 =| 0252Э2Су;
і
НЬ и /
і
где о и т — мембранные напряжения, возникающие в результате вращения.
Матрица псевдомасс имеет вид
= р | NTARNdv■l
— О1О2
— ^1^2 О2 + О3 — О1О2 ,
—О1О3 — О3О2 О2 + о2
где Оч, 02, — компоненты угловой ско-
рости в глобальной системе координат.
Вектор нагрузок, возникающих при вращении, имеет вид
Fn=j НТАь
Начальные деформации в результате влияния температуры (мембранная часть) рассчитываются по формуле
е0т
где а — коэффициент температурного расширения; Т — средняя температура в элементе, выраженная через ^координаты.
Для изгибной части имеем следующее выражение:
:
где АТ — разница температур между поверхностями конечных элементов.
Вектор нагрузок из уравнения (3) соответственно для мембранной и изгибной частей имеет вид
'
V
V
Напряжение в элементах рассчитывается по формулам:
0т ^т(^т — ^0т);
оь = Оь(гь - Є0Ь).
Уравнения (1), (2) и (4), (5) решаются по итерационному алгоритму (блок-схема на рис. 1).
Для расчета реальных конструкций рассмотрена рабочая лопатка газовой турбины, описанная в [1]. Общий вид и характеристики лопатки приведены на рис. 2. На рис. 3 показана конечно-элементная модель лопатки на основе треугольных оболочечных элементов с шестью степенями свободы (55 узлов, 80 элементов, 330 степеней свободы). Лопатка жестко защемлена в корне. Основные характеристики лопатки имеют вид: R = 0,3 м; L = 0,228 м; а = 85,5°; у = 46,5°; Е = 2,1105 МПа; р = 7 850 кг/м3; р = 0,3.
В таблице приведены результаты расчета собственных частот лопатки.
V
V
V
V
Рис. 1. Алгоритм расчета статики и свободных колебаний лопаток
55 44 33 22 11
Рис. 2. Общий вид лопатки
12 1
Рис. 3. Конечно-элементная модель
Omega = 0 rad/s; f1 = 134,142 6 Hz
Omega = 0 rad/s; f2 = 459,518 5 Hz
Omega = 628,318 5 rad/s; Omega = 628,318 5 rad/s; f1 = 235,782 8 Hz f2 = 522,848 Hz
4 2 0 -2 -4
Omega = 0rad/s; Omega = 0rad/s;
f3 = 950,585 2 Hz f4= 1 153,628 8 Hz
Omega = 628,318 5 rad/s; Omega = 628,318 5 rad/s; f3= 1 023,749 6 Hz f4 = 1 197,184 7 Hz
Рис. 4. Первые четыре формы колебаний лопатки: а — без учета и б — с учетом геометрической жесткости
Omega [1/s]
Рис. S. Резонансная диаграмма лопатки
Собственные частоты колебаний лопатки, Гц
Форма колебаний ^личество оборотов n в секунду
n = 0 об/c n = 100 об/c
STIO 18 Matlab STIO 18 Matlab
1И 1З2,79 1З4,14 224,41 2З5,78
2И 455,15 459,52 545,09 522,85
1K 941,5З 950,59 961,07 1 02З,75
ЗИ 1 142,60 1 15З,6З 1 226,16 1 197,18
2K 1 6З8,З0 1 654,10 1 697,З9 1 679,40
Первые четыре формы колебаний лопатки изображены на рис. 4. Резонансная диаграмма лопатки в диапазоне от 0 до 100 об/с для первых трех изгибных форм колебаний представлена на рис. 5.
Результаты расчетов показывают, что формы колебаний лопатки без учета и с учетом статического напряженно-деформированного состояния почти не изменяются. Однако значения частот колебаний изменяются заметно. Поэтому при исследовании колебаний лопатки необходимо учитывать влияние центробежной силы (/п), температуры и газовых сил ^р), под действием которых возникают статические перемещения (eDisp0) и в материале лопатки возникают статические напряжения (eStress0).
Влияние этих статических напряжений учитывается добавлением к матрице жесткости К матрицы геометрической жесткости Ке. Вращение учитывается добавлением матрицы псевдомасс К*. Таким образом, матрица
жесткости конструкции, находящейся под действием центробежных и газовых сил и температуры, имеет вид
К = К + Ке + К*.
В статье сделан анализ влияния статических нагрузок (центробежных, газовых сил и температуры) на колебания лопаток, который показал, что это влияние может быть значительным.
При проектировании турбомашины возможны два вида расчетов — предварительный (упрощенный) и проверочный (уточненный).
Для предварительной оценки частот и форм собственных колебаний лопаток достаточно выполнить предварительный (упрощенный) расчет. С помощью предварительных расчетов можно быстро и с малыми затратами вычислительных ресурсов определить частоты и формы собственных колебаний лопаток без учета нагрузок. Также легко и быстро можно рассчитывать колебания лопаток, изменяя их форму, размеры и материал, из которого они изготовлены.
Однако при известных нагрузках их необходимо учитывать, поскольку они оказывают значительное влияние на собственные частоты колебаний лопаток. Проверочный (уточненный) расчет в геометрически нелинейной постановке выполняется с учетом всех основных нагрузок, действующих на лопатку при ее работе. Соответственно, результаты этого расчета являются более точными.
Список использованной литературы
1. Репецкий О.В. Автоматизация прочностных расчетов турбомашин. Иркутск, 1990.
2. Репецкий О.В. Разработка и программная реализация методики расчета колебаний рабочих колес высокотемпературных турбин: автореф. дис. ... канд. техн. наук. Рига, 1986.
Referenses
1. Repetskii O.V. Avtomatizatsiya prochnostnykh raschetov turbomashin. Irkutsk, 1990.
2. Repetskii O.V. Razrabotka i programmnaya realizatsiya metodiki rascheta kolebanii rabochikh koles vyso-kotemperaturnykh turbin: avtoref. dis. ... kand. tekhn. nauk. Riga, 1986.
