Математическое моделирование как основа совершенствования технологических и техногенных процессов горных производств Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 622.755

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ КАК ОСНОВА СОВЕРШЕНСТВОВАНИЯ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИХ И ТЕХНОГЕННЫХ ПРОЦЕССОВ ГОРНЫХ ПРОИЗВОДСТВ

А.В. Янкевский, М.Е. Паламарчук

Российский университет дружбы народов, ул. Миклухо-Маклая, 6,117198, г. Москва, Россия

Рассматривается процесс математического моделирования различных процессов функционирования горного предприятия. Оно успешно позволяет решать проблемы прогнозирования и оптимизации всех аспектов функционирования горных предприятий, модернизации и оптимизации техники и технологии и т.д. В качестве примера рассмотрено математическое моделирование процесса обрушения значительных масс горной породы в заполненное водохранилище.

Информацию о свойствах и поведении реальных объектов можно получить, осуществляя реальный физический эксперимент и проводя математическое моделирование. Для успешного исследования необходимо, чтобы эти два способа дополняли друг друга, так как для представления экспериментальных данных необходимо построение соответствующей математической модели в рамках конкретной теории [1].

Исследование реального объекта можно заменить теоретическим исследованием его математической модели, которая в необходимом приближении отражает поведение и свойства реального объекта. Зачастую требуется изучать поведение объекта или совокупности объектов в экстремальных и аварийных ситуациях, что практически невозможно осуществить путем натурного эксперимента. Так, изучение функционирования объектов и систем горных предприятий критичных условиях невозможно, потому что связано в рядом рисков различного характера. Использование математической модели позволяет нивелировать риски и избежать материальных затрат на экспериментальное оборудование и расходные материалы, снимаются проблемы безопасности и экологии, а также достигается экономия времени при проведении экспериментальных исследовании.

Математическое моделирование успешно позволяет решать проблемы прогнозирования и оптимизации всех аспектов функционирования горных предприятий, модернизации и оптимизации техники и технологии и пр.

Концентрируя внимание при проведении исследования на существенных критериях изучаемого процесса и исключая все несущественные явления, на компьютере можно моделировать идеализированные условия [2].

В качестве примера рассмотрим математическое моделирование обрушения зна-

читальных масс горной породы в заполненное водохранилище. В результате обвально-оползневых явлений провоцируются поверхностные гравитационные волны.

Волновое движение воды вызвано тем, что с берега х = Ь в водохранилище вторгся обвально-оползневый массив или поток лавинного характера. В приближении линейной теории мелкой воды волновое движение описывается следующей системой дифференциальных уравнений [3]

дУ дн

Эг ~ * дх '

В+ «|-(№оП = 0. (2)

о/ дх

где: У(х, 0 - средняя по ширине каньона скорость движения воды, В = В(х) -

ТТШПМИЯ тгяиъпия — ггтх/^ыия ППП1Л Г? ИЛПЛУПЯНМПЫТПР ГГПЫ иРОЛ'ЗШ/ШРииЛМ

состоянии; Н(х, 0 - возмущение глубины в результате вторжения.

Введем следующую функцию] = у (х, 0, подобную потенциалу скорости, следующим образом:

, ни,0 . -1£. (3)

дх g от

Примем во внимание, что дифференциальное уравнение (1) относительно

функции 3 (х,1), которую мы определили ранее, превращается в тождество, а

уравнение (2) принимает вид

дер

дН‘ + ЗД 1 дв

А °- (4)

дх

= 0,

х=о дх

(6)

Л=Л>

дх В(х) дх

Определим начальные и граничные условия для рассматриваемой задачи. Их можно представить в следующем виде:

дер (х,0

<р(х^) = —-------- = 0 при /^ = 0, (5)

5/

д<р

дх

где: У(1) - скорость вторжения

Заметим, что в дифференциальном уравнении (4) коэффициенты представлены переменными величинами, поэтому поиск решения для произвольных функций Н0(х) и В(х) весьма сложен. Решая уравнения, мы сталкиваемся с определенными математическими трудностями. В данном случае мы рассматриваем начальнокраевую задачу для частного случая задания функций, определяющих глубину воды при невозмущенном состоянии Н0(х) и ширину каньона В(х). Ширину водохранилища можно представить через экспоненциальную зависимость:

В(х)=В,е8Х,гтВ0 = В(0)Й (7)

При использовании функции (7) коэффициенты волнового движения (2), представленного в виде дифференциального уравнения (4), становятся постоянными. Следовательно, начально-краевая задача решается эффективно. Значения выражений, полученные в результате решения (4-6), позволяют определить повышение уровня воды у плотины.

Уровень воды зависит как от кинематических, так и динамических характеристик вторгающихся массивов (Ь =

5000 м, В0 = 100 м, Вь= В([) =

20 м, Но = 50 м, ^ = 10 м, шаг по времени равен 5 с).

На представленном графике (рис.) можно наблюдать зависимости в поведении реальных объектов при взаимодействии друг с другом.

ЛИТЕРАТУРА

1. Лаборатория дифференциальных уравнений в частных производных /«Зачем вам математическое моделирование». - М., 2002.

2. Ортега Дж. Введение в численные методы решения дифференциальных уравнений / Дж. Ортега, У. Пул. - М., 1986.

3. Музаев И.Д., Туаева Ж.Д. Решение одной начально-краевой задачи о гравитационных волнах в непризматичных водоемах // Вычислительные технологии 99. - Владикавказ, 1999.

MATH Е МАИ С MODEL AS OPTIMIZATION BASIC FOR TECHNOLOGICAL AND MAN-CAUSED PROCESS IN MINING

A.V. Yankevskiy, M.E. Palamarchuk

Peoples' Friendship University of Russia 6, Miklukho-Maklay St., 117198, Moscow, Russia

In this particular essay as an example we observe the mathematical modeling of the considerable amount of mountain rocks crush into the fulfilled water reservoir. In the result of the mining creep occurrence the surface gravitation waves are triggered. The usage of the mathematical modeling accumulates great advantages in accident prevention on the work field, minimizes financial expanses on research equipment and expandable materials, lifts off the security and ecological issues and also it saves a great amount of time during research projects.

Янкевский Алексей Владимирович, аспирант кафедры нефтепромысловой геологии, горного и нефтегазового дела, автор 10 научных трудов в области экономики природопользования.

Паламарчук Марина Евгеньевна, магистр кафедры нефтепромысловой геологии, горного и нефтегазового дела.

Изменения уровня воды при х-5ШЮ м

Рис. Математическое моделирование возмущения глубины в результате вторжения масс