CC BY
13
Математическое моделирование и восстановление оптико-акустических параметров газовоздушного потока на срезе сопла турбомашины.
Результаты моделирования
В.Ю. Виноградов, В.И. Анфиногентов, О.Г. Морозов
Казанский национальный исследовательский технический университет им. А.Н.
Туполева-КАИ
Аннотация: Настоящая статья посвящена моделированию газовоздушного потока на срезе сопла турбомашины для установившихся и неустановившегося режима работы, обозначена математическая модель, описывающая акустические процессы в проточной части турбомашин и пути их совершенствования. Определены принципы построения комплексных систем аэроакустической картографии, дополненных методами и средствами измерений газодинамических параметров потока в проточной части и на срезе сопла турбомашин, направленных на повышение информативности и уровня алгоритмизации неразрушающего контроля состояния рабочих лопаток и обеспечивающих получение данных в условиях параметрической и структурной неопределенности газовоздушного потока как по контролируемым внутренним сечениям проточной части, так и по выходному сечению на срезе турбомашины. Рассмотрены задачи размещения точек контроля и восстановления пространственного распределения поля по измерениям в дискретной совокупности точек по отдельности. Восстановление акустического поля турбомашин реализуется по данным измерений на выходе ВОД, только используя статистический подход. Восстановление поля представлено в виде непрерывных функций пространственных координат по результатам измерения в дискретной совокупности точек при наличии априорной информации о свойствах измеряемых полей. Использованы статистические подходы для определения координат датчиков и погрешности восстановления на примере одной модельной задачи контроля поля излучения, создаваемого непрерывным монопольным излучателем.
Ключевые слова: математические модели, турбомашина, срез сопла, холодный пуск, невозмущенный поток, распределенные волоконные системы, аэроакустический контроль, акустическое поле, моделирование процессов, восстановление.
Введение
Как показали исследования, проведенные в обзорной статье, одним из эффективных путей улучшения метрологических характеристик и расширения функциональных возможностей акустического метода контроля параметров газового потока проточной части турбомашины, является объединение в совокупность, в единое аэроакустическое пространство всех под-методов задачи, которых многогранны. Из решаемых при использовании такого объединения проблемы следует выделить проблему
генерации звука потоком газа при малых числах маха при контроле турбинных лопаток проточной части турбомашины.
Настоящая статья посвящена моделированию газовоздушного потока на срезе сопла турбомашины для установившихся и неустановившегося режима работы, а также разработке и исследованию распределенных волоконных систем аэроакустического контроля параметров газовоздушного потока на срезе сопла турбомашин.
1. Математическая модель невозмущенного потока проточной
части турбомашины
Работа турбомашины на холодном пуске представляет собой смешанный процесс как не установившийся, так и установившийся. Пусть состояние турбомашины в каждый момент времени однозначно
описывается т+1 переменной состояния Х0Х]Х2........Хт. При проведении
эксперимента над турбомашиной задаются начальные значения переменных состояния в момент времени toи производится измерение текущих значений переменных состояния в N+1 точке t0,.., tN, принадлежащий отрезку
времени р 0 ^7.
Зададим систему непрерывных на отрезке ,tN7 к функций /о(t),fl(t),...,fk(t). Математическая модель выбирается в виде системы
обыкновенных дифференциальных уравнений
'¿X 0
, = а00/0 (t) + а01/1( t) + ... + а0к/к( t), Ш
(1)
IX
т = ат0/0 (t) + ат1/1 (^) + ... + атк/к (t)
коэффициенты в каждом уравнении которой находятся из условия минимума среднеквадратичного приближения. Например, для 1-го уравнения (I = 0,1,...,т) коэффициенты находятся из условия минимума функции
N
лх.
0(а0,ап,...,а1к) = 2(—¡т(*]) - а0/0(*>) - апЛ-... - а1к/к())2 . (2)
1=0 с
Если в качестве функций /0((),/х((),...,/к(() выбирать функции Хо(0, Х(), Х2(^, ...,Хт^), то система обыкновенных дифференциальныхуравнений будет линейной, если же в качестве функций /0(1),/1((),...,/к(() выбирать функции вида (Xj(t))s ■ (Xi(t))p, то математическая модель будет иметь вид системы
нелинейных дифференциальных уравнений.
СХ .
В выражении (2) производные —(tj) оцениваются с помощью
разностных отношений, имеющих заданный порядок аппроксимации. Так, например, для аппроксимации производной в точках t2 -3 -2
использовалось разностное отношение вида
-О,)
ШХ^ } „ ) - 8 ■ Xl(t]-l) + 8 ■ Х^) - ХД.+2) Л 1 ~ 12 ■А
имеющее 4-й порядок аппроксимации. А для оценки производных в точках t0,tN-1 ,tN использовались разностные отношения, имеющие 4-й порядок аппроксимации. Так, например, для точки t0 разностное отношение имеет вид
} „ 25 ■ Хг(to) - 48 ■ ) + 36 ■ ) -16 ■ ) + 3 ■ Х^4) ^ 0 12■ At .
Приравняв нулю, частные производные от функции 0(аг0,ап,...,а1к) по
переменным аг0 ,ап ,...,ак, получим для нахождения коэффициентов
аг0,ап,...,ак систему линейных алгебраических уравнений вида
Ж ■ А = и. (3)
Здесь Ж матрица размерности (к+1)*(к+1), элементы которой
N
вычисляются следующим образом = 2 fd(tJ) ■ fg(t]), вектор
1=0
А размерности (к+1), состоит из коэффициентов аг0,ап,...,агк, элементы
вектора и размерности (к+1) вычисляются по формуле
N ШХ
иI = 1 ■ ¿г^*).
7=0 Ш
Подставив найденное решение системы линейных алгебраических уравнений (3) в каждое уравнение системы (1), получим систему дифференциальных уравнений, решение которой находится в общем случае численным методом.
Экспериментальные значения переменных Хв точке t0 используются при решении системы (3) в качестве начальных условий.
Вычисленное для каждой переменной Х среднеквадратичное отклонение полученных в результате решения системы (3) значений от экспериментальных значений позволяет судить об адекватности построенной математической модели. Если вычисленное значение среднеквадратичной погрешности меньше допустимого значения, то в качестве математической модели объекта служит система дифференциальных уравнений (1).
Если же вычисленное значение среднеквадратичной погрешности больше допустимого значения, то процесс выбора правых частей в системе (1) продолжается до тех пор, пока не будет получено допустимое значение среднеквадратической погрешности.
При построении математической модели невозмущенного потока проточной части турбомашины в качестве переменных состояния использовались частота вращения N (об/мин), тяга R (кг/с) и уровень звукового давления L (Дб), экспериментальные значения которых были измерены на лабораторном стенде.
Математическая модель турбомашины разработана по экспериментальным данным таким образом, что можно прогнозировать работу динамической системы с учетом и без учета внешних факторов, в зависимости от постановки задач.
1К1 Инженерный вестник Дона. №3 (2018) Н| ivdon.ru/ru/magazine/arcliive/n3y2018/5098
Экспериментальные значения, используемые для построения математической модели, за определенное время имеющие небольшую погрешность говорят о том, что модель адекватна, что процесс построения математической модели потока турбомашины считается законченным.
Но если внести внешнее возмущение, в измеренные значения, допустив начальные изменения параметров, то расчетные тоже будут изменяться, а уровни звукового давления, не выходит за пределы допустимой величины. То разница А между измеренным значением параметра и расчетным будет увеличиваться в течении времени и тем самым будет показывать зарождение негативного воздействия внешнего фактора на отдельные детали корпуса турбомашины, с учетом всех взаимозависимых параметров заложенных в математической модели.
2.Оптимизация распределенной волоконной аэроакустическойсистем контроля акустических полей на срезе сопла
турбомашин
Для контроля технического состояния рабочих лопаток проточной части эксплуатируемой турбомашины применяются различные средства, позволяющие своевременно выявить возникающие в ней неисправности. Из-за сложности конструкции турбомашины контроль может быть поверхностным, внутренним и наружным. Для этих целей разрабатываются новые средства контроля: термопары, микрофоны, гидрофоны, датчики вибрации, совмещенные датчики и аппаратура для обработки сигналов. Для нашего случая акустического контроля мы остановимся на некоторых датчиках, которые необходимы для качественного приема акустического сигнала.
Интенсивное развитие и внедрение волоконно-оптических телекоммуникационных систем привело к появлению одной из наиболее динамично развивающихся областей оптоэлектроники — волоконно-
оптических датчиков физических величин. Нами предложена укладка волоконно-оптических датчиков в зависимости от типа контролируемого пространства или выходного сечения сопла турбомашины, представленное на рис. 1.
Рис. 1. Выбор схемы укладки измерительных линий
Для схемы на рис.1. характерна «большая ракурсность», т.е. достаточность числа направлений наблюдений.
Задачу восстановления функций физических полей с использованием ВОД можно разбить на несколько этапов: размещение датчиков, дискретизацию, получение и обработку проекционных данных, обратное проецирование.
3. Статистический подход решения задачи размещения волоконно-оптических датчиков в плоскости среза сопла
турбомашины
Так как, размещаемые в плоскости среза сопла турбомашины и или иного технического устройства волоконно-оптические датчики для контроля акустического поля могут привести к искажению последнего, что неизбежно
приведет и к искажению поля давления, то возникает задача размещения минимально возможного числа датчиков при заданной точности контроля акустического поля. При этом под контролем будем понимать формирование текущего состояния акустического поля в виде непрерывных функций пространственных координат. С этой задачей тесно связана задача осуществления максимально достоверного контроля полей при ограниченном числе датчиков.
Восстановление полей в виде непрерывных функций пространственных координат по результатам измерения в дискретной совокупности точек становится возможным лишь благодаря наличию априорной информации о свойствах измеряемых полей. Например, информация об определенной гладкости функций, описывающих изменение этих полей на срезе сопла турбомашины позволяет говорить об ограниченности пространственного спектра любой из реализаций этих полей. Выбирая определенное число точек контроля на периоде самой высокочастотной компоненты в спектре акустического поля, получим общее количество контрольных точек. Однако данный подход к выбору контрольных точек может привести к тому, что общее число точек контроля будет недопустимо большим. В данном разделе для выбора точек контроля предлагаются подходы, основанные на учете более полной априорной информации о подлежащих контролю полях [1-7] и [8-13].
Измерительная часть (ААС), включающая датчики и блок измерения, предназначена для контроля акустического давления в плоскости среза сопла турбомашины или иного технического устройства. Присущие этой плоскости среза сопла размеры и особенности источников возбуждения акустического поля определяют некоторые устойчивые признаки подлежащих контролю полей, что может быть использовано при проектировании системы контроля этих полей.
В каждом цикле измерения эти поля описываются детерминированными, но заранее неизвестными функциями пространственных координат, изменяющимися от одного цикла измерения к другому. В связи с этим, функцию, описывающую зависимость, например, акустического поля от пространственных координат, будем считать реализацией из некоторого статистического ансамбля функций. Изложим предлагаемый подход к проектированию системы контроля, лишь для акустического поля.
Зададимся достаточно большим числом базисных функций Ti (X).
Тогда любую реализацию можно представить с требуемой точностью в виде разложения по базисным функциям
T (Х) = £ аД (Х)
-1 , (1)
где а ~ коэффициенты, имеющие случайный характер и однозначно определяющие конкретную реализацию акустического поля. Их статистические характеристики могут быть определены, например, путем цифрового моделирования или экспериментального измерения в лабораторных условиях достаточно полного набора реализаций
акустического поля. В дальнейшем предполагается, что а ~ центрированные случайные величины, распределенные по нормальному закону с заданной матрицей корреляции К.
Синтез системы контроля пространственного поля (акустического)
включает две основные задачи: определение координат Хт размещения умеренного числа м датчиков и восстановление непрерывной функции
Т (Х) по измеренным значениям поля в точках контроля т (^ т (Х2),..., т (Хм). Восстановление непрерывной реализации поля по значениям в точках
контроля сводится к определению по некоторому правилу оценок
а.:
коэффициентов 1. Восстановленная реализация поля имеет вид
= Е ~ т (*)
I=1
Точность восстановления поля будем оценивать следующим выражением
¿2 =
м||т(х) - Г(х)
ЩГ ( х)||2
где символом Щ обозначено усреднение по множеству реализаций подлежащих восстановлению полей.
Если функции т1(х), т2(х),.. ,Тщ(х) - образуют ортонормированную систему функций, то величина , определяющая близость функций т (х) и т (х) совпадает с величиной, характеризующей близость коэффициентов а
и а, так как
Щ
т (х) - т (х) = \\\м
о
Еа.т(х)- Еагт(х) Ох = ¿М\а 1 -а]2 = М ¡=1 1=1 | 1=1
а-а
Поэтому точность восстановления поля будем определять выражением
=■
М
а-а
М\\а\\ (2) Точность оценки исходного поля зависит от числа и расположения точек контроля хт и от алгоритма определения оценок а1 коэффициентов
а1. Одновременная оптимизация координат точек контроля и алгоритма вычисления оценок представляет трудноразрешимую проблему, поэтому
задачи выбора координат точек контроля и алгоритма вычисления оценок а'
коэффициентов а1 будем рассматривать раздельно.
2
2
2
В предположении о том, что известны вероятностные характеристики подлежащих контролю полей, каждой дискретной выборке значений поля в точках контроля может быть поставлено в соответствие количество содержащейся в ней информации. Представляется целесообразным использовать для нахождения координат точек контроля информационный критерий минимума энтропии.
Каждой реализации случайного акустического поля 1 (х) соответствует значение плотности вероятности, характеризующее частоту появления этой реализации. То есть можно говорить о «более вероятных» и «менее вероятных» реализациях. Имея это в виду, задачу восстановления
акустического поля 1 (Х) по измеренным в точках контроля значениям можно сформулировать следующим образом: среди всех непрерывных функций
1 (х), имеющих в точках контроля измеренные значения, найти такую
функцию 1 (х), для которой значение плотности вероятности АПх)) будет наибольшим.
4.Алгоритм нахождения координат точек контроля
контроля
Известны работы, в которых применительно к вибрационным полям положение точек контроля определялось методом полного перебора из условия максимума количества информации. Если значения акустического поля в точках контроля распределены по нормальному закону, то количество информации, содержащееся в этих значениях пропорционально определителю корреляционной матрицы этих значений. Однако значение определителя корреляционной матрицы увеличивается при увеличении диагональных элементов матрицы и уменьшении по модулю недиагональных
элементов матрицы. Это обстоятельство может быть использовано для построения алгоритма определения координат точек контроля, который более экономен в вычислительном отношении.
Запишем коэффициент корреляции Гк1 значений случайного поля вк - ой и в1 - ой точках контроля с учетом разложения (1) и статистических
параметров коэффициентов а в следующем виде
Гк1
( 1 1 Л
м(гкг1 )=м Еа ■ ггкЕа ■ 2л = = з'кТ'мЛ, = {г/кV),
V' = ] = )
где ^1 {х' ^ вектор из значений базисных функций в контрольных
точках х1, Т - ортогональная матрица, составленная из нормированных собственных
векторов корреляционной матрицы К, ^- диагональная матрица,
составленная из собственных чисел корреляционной матрицы К, /к - вектор,
элементами которого являются коэффициенты разложения вектора 2к по ортонормированному базису из собственных векторов корреляционной матрицы К
Vк =М Т^к.
Из полученного равенства следует, что некоррелированность значений
поля в точках контроля эквивалентна ортогональности векторов /к и .
Для определения координат точек контроля воспользуемся следующим итерационным алгоритмом.
Координата первой контрольной точки находится из условия
V II2
максимума величины к путем перебора по всем возможным положениям этой точки контроля. Таким образом, координата первой контрольной точки
выбирается из условия максимума амплитуды поля. Вектор /к соответствующий первой контрольной точке обозначается через .
1К1 Инженерный вестник Дона. №3 (2018) Н| ivdon.ru/ru/magazine/arcliive/n3y2018/5098
Координата второй контрольной точки находится из условия
максимума величины
Л 2
где
Л 2
составляющая вектора
Л 2
Лх
Л2 = Л 2 -(72. Л г)- Л11 /
Лх
. Таким образом,
ортогональная вектору 11 , т.е. вторая точка контроля располагается там, где максимальна составляющая поля, некоррелированная со значением поля в первой точке контроля. Поэтому амплитуда поля во второй контрольной точке достаточно велика и в то же время коэффициент корреляции значений поля в двух выбранных точках контроля максимально возможно мал. Это обстоятельство соответствует увеличению количества информации в двух точках контроля.
Пусть на к -1 - ом шагах определены координаты к -1 -ой точки контроля. Выбранным точкам контроля соответствуют вектора
тЦ, т = 1,2,..., к -1.
Координата к -ой точки контроля определяется из условия максимума
величины
л1
где вектор
л?
к-1
Л к
р=1
{Лк,Лр)-лр/
Лг
Л Л р = 1 2 к -1
- составляющая вектора /к, ортогональная векторам р ' ^ ' '"''
соответствующим выбранным на предыдущих шагах точкам контроля. Таким образом, и к -ая точка контроля располагается там, где амплитуда поля еще достаточно велика, а коэффициенты корреляции между значениями поля в данной точке и в выбранных точках контроля на предыдущих шагах малы.
Суть описанного итерационного алгоритма определения координат точек контроля состоит в последовательном дополнении имеющейся совокупности точек контроля новой точкой контроля, положение которой
соответствует максимуму нормы
Л к
вектора
Лк
ортогонализированного
2
2
2
2
2
по отношению к выбранным на предыдущих шагах векторам
совокупности контрольных точек соответствует максимальное значение определителя корреляционной матрицы значений случайного акустического поля в точках контроля, однако предложенный алгоритм определения координат точек контроля способствует этому, уменьшая по модулю значения недиагональных элементов корреляционной матрицы по сравнению с диагональными элементами.
Восстановление акустического поля по значениям в контрольных точках является задачей интерполяции непрерывной функции по дискретной выборке. Эта задача решается неоднозначно, что объясняется в частности тем, что по значениям функции Т(х) в М точках контроля, т.е. по М уравнениям нужно определить коэффициенты а,, число которых много больше М . Обычный прием состоит в том, что в разложении (1) сохраняют лишь М базисных функций. При этом вопрос о том, какие из базисных функций выбрать, решается интуитивно.
Даже в рамках такого подхода целесообразно использовать информацию о статистике подлежащих контролю акустических полей, в излагаемом ниже варианте, который в дальнейшем будет называться алгоритмом.
Алгоритм. Среди I базисных функций Т (х), по которым осуществляется разложение акустического поля Т(х), выбираются М таких, случайные коэффициенты аг при которых имеют наибольшие дисперсии ст2,
V1, р = 1,2,...,к -1
. Нельзя гарантировать, что определенной таким образом
5.Восстановление акустического поля по измерениям его в конечном числе точек
1К1 Инженерный вестник Дона. №3 (2018) Н| ivdon.ru/ru/magazine/arcliive/n3y2018/5098
и по результатам измерения акустического поля в дискретном наборе М точек восстанавливаются лишь коэффициенты разложения по выбранным базисным функциям.
Таким образом, в данном варианте задача восстановления сводится к решению системы линейных алгебраических уравнений М -го порядка относительно коэффициентов :
М
1а = Тт, т = 1,2,..., М .(6.3)
1=\
Коэффициенты при остальных функциях Т(X) полагаются равными нулю. Если матрица системы уравнений (6.3) не вырожденная, то система имеет единственное решение, записываемое в следующем виде
а = 1(т -1 )шТт ,1 = 1,2,..., М, (6.4)
т=1
где через (т-1 )т обозначены элементы обратной матрицы для системы (6.3).
При этом точность восстановления исходного акустического поля по дискретным значениям характеризуется величиной
= 1 -
М /М / \2 М I М /
£21 I ((-1 и^К -мЕМ((-1 )тТ]1
т=1 \г=1
К
/ 1К.
г=1
(6.5)
т=1 /=1 г=1
Однако, использовать имеющуюся априорную информацию можно существенно полнее, если из условия оптимизации по какому-либо критерию определять все 1 коэффициентов [13-14].
2
Выводы
1. Математическая модель газовоздушного потока на срезе турбомашины открывает возможности служить новой надстройкой для создания новой усовершенствованной комплексной модели включающей десятки взаимозависимых параметров, что сократит время контроля и диагностики особенно на режиме холодной прокрутки.Математическая
1К1 Инженерный вестник Дона. №3 (2018) Н| ivdon.ru/ru/magazine/arcliive/n3y2018/5098
модель определяет пути прогнозирования поведения зависимых параметров на определенном промежутке времени.
2. На основе статистического подхода разработаны алгоритмы контроля и восстановления акустических полей в плоскости среза сопла турбомашины, реализованные в виде вычислительных процедур.
3.Эффективность предложенных алгоритмов контроля и восстановления полей подтверждена результатами математического моделирования системы контроля поля излучения.
4. Применение итерационного алгоритма определения координат точек аэроакустического контроля состоит в последовательном дополнении имеющейся совокупности точек контроля новой точкой контроля, положение
вектора /к
которой соответствует максимуму нормы ортогонализированного по отношению к выбранным на предыдущих шагах
векторам /р , р = 1,2,".:>к 1. Представленная таким образом совокупность контрольных точек соответствует максимальному значению определителя корреляционной матрицы значений случайного акустического поля в точках контроля, уменьшая по модулю значения недиагональных элементов корреляционной матрицы по сравнению с диагональными элементами. Данный алгоритм определения координат точек контроля, более экономен в вычислительном отношении.
5. Алгоритм определения пространственного размещения точек контроля и восстановления акустического поля по дискретным отсчетам основаны на априорной информации о статистике подлежащих восстановлению полей. Так как каждая аэроакустическая система контроля параметров турбомашин разрабатывается для всех типов турбомашин то в реальных ситуациях, не поддающихся аналитическому расчету, может быть организован эксперимент по воссозданию рабочих режимов возбуждения
2
акустического поля и проведено измерение совокупности реализаций акустического поля T (х) с помощью универсальной измерительной системы с большим числом датчиков. После чего вычисляются необходимые статистические характеристики: математические ожидания m и матрица корреляции R.
Литература
1. Ахметзянов А.М., Дубравский Н.Г., Тунаков А.П. Диагностика состояния ВРД по термогазодинамическим параметрам. А.М. Ахметзянов, Н.Г. Дубравский, А.П. Тунаков. - М.: Машиностроение, 1983 . - 206 с.
2. Берестов Л.М. Управление летным экспериментом. Л.М. Берестов. -М.: Машиностроение, 1990. - 144 с.
3. Виноградов В.Ю. Диагностирование технического состояния авиационных ГТД по акустическим и газодинамическим параметрам. В.Ю. Виноградов. - Казань: КГТУ, 2004. - 176 с.
4. Виноградов В.Ю. Контроль. Диагностика // В.Ю. Виноградов № 4 - М.: Машиностроение 1999. - С. 34-37.
5. Виноградов В.Ю. Диагностика состояния газотурбинных двигателей в условиях аэродромного базирования. // Изв. вузов. Авиационная техника. 2000. - № 2 -. С.32-35.
6. Морозов, О.Г., Польский, Ю.Е. Единое поле комплексированных ВОД в системах контроля параметров безопасности скоростных транспортных средств // Вестник КГТУ, №4, 1997. С. 27-31.
7. Витрик, О.Б. Проблема «чувствительной кожи» и волоконно-оптические измерительные системы // Соросовский образовательный журнал, Т. 7, № 1, 2001. С. 108-115.
8. Мюнье, Ж. Делиль, Ж.Ю.Пространственный анализ в пассивных локационных системах с помощью адаптивных методов. ТИИЭР, Т. 75, № 11, 1987. С. 21-38.
9. Мисбахов Рус.Ш., Мисбахов Рин.Ш., Морозов О.Г., Нуреев И.И., Кузнецов А.А., Сахабутдинов А.Ж., Артемьев В.И., Куревин В.В., Пуртов В.В., Волоконные брэгговские решетки с двумя фазовыми сдвигами как чувствительный элемент и инструмент мультиплексирования сенсорных сетей // Инженерный вестник Дона, 2017, №3 URL: ivdon.ru/magazine/archive/n3y2017/4343.
10. Сахабутдинов А.Ж., Морозов О.Г., Нуреев И.И., Ильин Г.И. Характеризация резонанса Фано в оптических биосенсорах рефрактометрического типа на основе кольцевых волоконных брэгговских решеток с пи-сдвигом. Постановка задач моделирования // Инженерный вестник Дона, 2018, №2 URL: ivdon.ru/magazine/archive/n2y2018/5002.
11.Marvin E. Goldstein. Aeroacoustics. Moscow, "Engineering" 1981. 289p.
12.Zhou, Y.C. and Wei G.W., High-resolution conjugate filters for the simulation of flows, J. Сотр. Phys, 189, No 1, 2003, pp.159-179.
13.Анфиногентов В.И., Мансуров Ш.Р. Математические модели и алгоритмы восстановления физических полей по дискретным отсчетам // Прикладная математика и механика. 2017. № 11. С. 36-42.
14. Chryssis A.N., et al. Detecting hybridization of DNA by higly sensitive evanescent field etched core fiber bragg grating sensor // IEEE Journal of Selected Topics in QE. 2005. V. 11. No4. pp. 864-872.
References
1. Ahmetzyanov A.M., Dubravskij N.G., Tunakov A.P. Diagnostika sostoyaniya VRD po termogazodinamicheskim parametram. [Diagnosis of the state of GTD by thermogasdynamic parameters]M: Mashinostroenie, 1983. 206 p.
IH Инженерный вестник Дона. №3 (2018) Н| ivdon.ru/ru/magazine/arcliive/n3y2018/5098
2. Berestov L.M. Upravlenie letnym eksperimentom. [Flight experiment control] M.: Mashinostroenie, 1990. 144 p.
3. Vinogradov V.YU. Diagnostirovanie tekhnicheskogo sostoyaniya aviacionnyh GTD po akusticheskim i gazodinamicheskim parametram [Diagnosis of technical condition of aviation GTE on acoustic and gas dynamic parameters]. Kazan. KGTU, 2004. 176 p.
4. Vinogradov V.YU. Kontrol'. Diagnostika № 4 M. Mashinostroenie 1999. pp. 34-37.
5. Vinogradov V.YU. Izv. vuzov. Aviacionnaya tekhnika. 2000. № 2. pp.3235.
6. Morozov, O.G., Pol'skij, YU.E. Vestnik. KGTU, №4, 1997. pp. 27-31.
7. Vitrik, O.B. Sorosovskij obrazovatel'nyj zhurnal, V. 7, № 1, 2001. pp. 108115.
8. Myun'e, ZH. Delil', ZH.YU. TIIEHR, V. 75, № 11, 1987. pp. 21-38.
9. Misbahov Rus.SH., Misbahov Rin.SH., Morozov O.G., Nureev I.I., Kuznecov A.A., Sahabutdinov A.ZH., Artem'ev V.I., Kurevin V.V., Purtov V.V. Inzenernyj vestnik Dona (Rus), 2017, №3. URL:ivdon.ru/magazine/archive/n3y2017/4343.
10. Sahabutdinov A.ZH., Morozov O.G., Nureev I.I., Il'in G.I. Inzenernyj vestnik Dona (Rus), 2018, №2. URL:ivdon.ru/magazine/archive/n2y2018/5002.
11. Marvin E. Goldstein. Moscow, "Engineering" 1981.289p.
12. Zhou, Y.C. and Wei G.W., J. Сотр. Phys, 189, No 1, 2003, pp.159-179.
13. Anfinogentov V.I., Mansurov Sh.R. Prikladnaya matematika i mekhanika, 2017.№11.pp.36-42.
14. Chryssis A.N., et al. IEEE Journal of Selected Topics in QE. 2005. V. 11. No4. pp. 864-872.
