CC BY
60
Том ХЬЇ
УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ ЦАГИ 2010
№ 1
УДК 534.83:629.7.03
ОБ ОДНОМ ПОДХОДЕ К РЕШЕНИЮ ОБРАТНЫХ ЗАДАЧ АКУСТИКИ ТУРБОМАШИН
С. В. РУСАКОВ, А. А. СИНЕР, А. М. СИПАТОВ, М. В. УСАНИН
Дан метод анализа звуковых полей, генерируемых турбомашиной, основанный на представлении давления в виде суммы простейших акустических мод. Метод позволяет определять вклады мод в общее звуковое поле по данным измерений давления стационарной решеткой микрофонов. Для связи между амплитудами мод и давлением, измеренным микрофонами, используются нестационарные линеаризованные уравнения Эйлера, решаемые явным по времени численным методом. Проводится анализ разработанного алгоритма.
Развиты идеи зарубежных авторов о модовом составе звука турбомашины. На базе этих представлений создана методика, позволяющая определять относительные вклады отдельных мод в общее звуковое поле. Исследованы некоторые математические особенности методики.
Ключевые слова: модальный состав, акустическая мода, линеаризованные уравнения Эйлера.
Проблема снижения шума в настоящее время является одной из самых важных для современных двигателестроительных фирм. Уровень шума является характеристикой совершенства и конкурентоспособности авиационного двигателя. Одним из основных источников шума современного авиационного двигателя для гражданской авиации является вентиляторная ступень. Отличительной особенностью шума, генерируемого вентиляторной ступенью, является его дискретная природа, т. е. основная часть излучаемой акустической энергии в спектре шума приходится на дискретный набор частот, кратных частоте следования лопаток.
Сложные пространственные звуковые поля, генерируемые турбомашиной на этих частотах, могут быть представлены в виде суммы простейших звуковых волн, называемых акустическими модами [1]. Количество акустических мод, возбуждаемых вентиляторной ступенью и эффективно переносящих энергию в канале турбомашины, сравнительно невелико, порядка нескольких десятков. При этом канал, в котором располагается турбомашина, является некоторым управляющим элементом, влияющим на затухание отдельных мод и, тем самым, на общее затухание звука. Величина затухания у различных мод является различной и зависит от формы канала, величины акустического импеданса стенок канала и числа Маха потока, установившегося внутри канала. Общее затухание звуковой энергии внутри канала турбомашины также сильно зависит от относительного вклада отдельных мод в общее звуковое поле, поэтому знания о модальном составе необходимы для правильного выбора звукопоглощающих конструкций [2].
Данная статья описывает алгоритм, позволяющий определять амплитуды отдельных мод по измерениям давления решеткой микрофонов. Для оценки эффективности метод применяется к анализу модального состава звукового поля, излучаемого из цилиндрического канала. Сигналы, измеряемые микрофонной решеткой, создаются на основании расчетного метода [3]. Исследуется эффективность методики восстановления с помощью сравнения точного модального состава, заданного при генерации сигналов и восстановленного по предлагаемому алгоритму.
Существующие подходы. Первые работы, посвященные модальному анализу, датированы 1977 г. [4]. Коллектив авторов под руководством Томаса Софрина разработал метод определения
мод по результатам измерения давления микрофонами, расположенными в канале воздухозаборника. Уже через 6 лет появились методики с использованием вращающихся микрофонных решеток внутри канала турбомашины [5]. В настоящее время подобные системы анализа используются при исследовании шума полноразмерных двигателей [6]. Использование вращающейся решетки позволило уменьшить количество микрофонов, необходимых для анализа мод, но привнесло некоторый шум, связанный с обтеканием самой решетки. Одним из самых больших недостатков предлагаемых зарубежными авторами подходов является использование аналитической модели распространения: канал считается прямолинейным, а средний поток — однородным.
Предлагаемый метод. Рассмотренный в данной статье подход лишен отмеченных выше недостатков и представляет собой альтернативу известным методам. Он позволяет учитывать сложную геометрию канала и неоднородный средний поток, отражение акустических мод от входного сечения воздухозабороника и излучение звука в ближнее поле. Основной недостаток подхода — большие вычислительные затраты.
Рассмотрим основные этапы метода. Сначала строится вычислительная сетка для расчета распространения отдельных акустических мод (рис. 1), определяется частота ю, для которой будет находиться разложение по модам, определяются осевые и радиальные волновые числа мод. Затем выбираются контрольные точки, в которых происходит накопление экспериментальных данных и расчет по численному алгоритму для отдельных мод. На рис. 1 дана схема расчетной области, представляющей собой диаметральное сечение воздухозаборного канала, и прилегающая к нему область ближнего поля. На рисунке также показаны типы граничных условий, использованные для решения численной задачи. В сечении источника задаются акустические волны, имеющие известное аналитическое представление [1]:
+<» +<х> / \
р (X, Г, ф, , ) = ^ 2 Вт,ищ (Г )е(х""»ШК (1)
т =—<» у=0
ит] (г ) = Nт, Xт (а т( + 2т/т (т/ )) (2)
где ату- — радиальное волновое число; QmJ■ — радиальный коэффициент; кт]- — осевое волновое число; NmJ — нормирующий множитель; Вт— амплитуда моды; Jm (...), Ут (...) — функции Бесселя первого и второго рода соответственно.
Для простоты рассматривается осесимметричный случай. На внешней границе расчетной области задаются неотражающие граничные условия. Стенки канала считаются жесткими.
Выбирается набор мод, имеющих наибольшее значение в общем звуковом поле. Данная информация является априорной, причем необходимо тщательно подбирать номера мод, поскольку от этого будет зависеть правильность определения амплитуд. Все моды — и окружные, и радиальные — нумеруются с помощью одного сквозного индекса, как, например, в табл. 1, где приведена нумерация для звукового поля из четырех мод с наименьшими номерами.
Рис. 1. Сетка для расчета отдельных мод (схема)
Т аблица 1 Нумерация мод, составляющих звуковое поле
Окружной номер моды, т Радиальный номер моды, у Сквозной индекс моды, 5
0 0 0
0 1 1
1 0 2
1 1 3
Нумерация может быть произвольной. Единственное условие — каждой паре индексов (т, у), описывающих моду, ставится в соответствие один индекс 5 по взаимно-однозначному закону. Контрольные точки (микрофоны) также нумеруются, а индекс, обозначающий номер микрофона, обозначается как I.
Для нахождения модальных амплитуд записывается система линейных уравнений следующего вида:
Е • А = Р, (3)
где Е — матрица перехода; А — вектор неизвестных комплексных амплитуд отдельных мод; Р — вектор комплексных амплитуд звукового давления, измеряемого в контрольных точках (микрофонах).
Компоненты матрицы Е, т. е. числа Е1;,, представляют собой комплексные амплитуды звукового давления, полученные по алгоритму генерации в контрольной точке с номером I, при заданной в качестве источника одиночной моде с номером 5. В данном случае при генерации матрицы Е мода имеет единичную амплитуду, т. е. Вту = 1. Компоненты вектора Р, числа р, представляют собой амплитуды комплексного давления в контрольной точке с номером I, измеренные в эксперименте. Неизвестные амплитуды мод Вту = А5 составляют столбец А. Для генерации
компонент матрицы перехода необходимо создать звуковые сигналы во всех контрольных точках для каждой из выбранных мод с номерами т и у. Генерация происходит с помощью численного алгоритма, описанного в работе [3], при этом для моделирования переноса акустических волн в канале турбомашины используются линеаризованные уравнения Эйлера:
% = —А — В 1Г-1 С«т —В«т =-Е (Чт ), (4)
дt дх дг г
где чт — комплексная амплитуда; матрицы А, В, С и Б зависят от средних полей и их градиентов; т — окружной номер выбранной моды; ч(t, х, г, ф) = дт (t, х, г)~1тф; 4 = [, и, V, w, р] —
вектор неизвестных, состоящий из пульсаций плотности, давления и трех компонент скорости в цилиндрической системе координат.
Особенности задания граничных условий для уравнений (4) и их численную реализацию, а также другие особенности вычислительного алгоритма приведены в работе [3]. В данной работе даются лишь методика вычисления градиентов и расчетные формулы для вычисления по времени. Для аппроксимации пространственных производных используется оптимизированная центрально-разностная схема (БКР):
где аг — коэффициенты схемы; Ах — шаг по осевой координате; /, к — индексы по пространственным координатам (х, г).
Для интегрирования по времени используется гибридная 5—6-шаговая схема Рунге — Кут-та, записанная в рациональной форме:
g = 1... N, N — количество шагов в схеме Рунге — Кутта.
Таким образом, вычислительный алгоритм имеет 4-й порядок аппроксимации по времени и 4-й порядок аппроксимации по пространству. Для подавления нефизичных пульсаций, присущих центрально-разностной схеме вычисления производных, используются специальные фильтры [3].
Основная идея рассматриваемого в работе подхода заключается в описании акустических мод с помощью численного решения линеаризованных уравнений Эйлера для акустических возмущений. Численная модель распространения может учесть особенности неоднородного среднего потока и сложные эффекты отражения и излучения мод.
В результате численного расчета в каждой контрольной точке I для каждой моды 5, участвующей в разложении, генерируется временной сигнал (7). После этого вычисляются комплексные амплитуды Фурье на выбранной частоте разложения ю, а полученные числа обозначаются .
Для создания вектора Р в каждой контрольной точке записывается временной сигнал р (7), вычисляются комплексные амплитуды измеренных сигналов на выбранной частоте ю, которые представляют собой числа р. Таким образом, система уравнений (3) полностью определена, но в некоторых случаях матрица данной системы может оказаться плохо обусловленной и для ее решения необходимо использовать метод регуляризации Тихонова. Исходная система (3) заменяется на уравнение вида:
+ аЕ ) = К*Р, (7)
где а — параметр регуляризации Тихонова; Е — комплексно-сопряженная матрица для матрицы Е.
Данная система легко решается любым известным методом, прямым или итерационным.
Тестирование метода. Для простоты рассматривается задача определения модального состава звука, излучаемого из открытого цилиндрического волновода.
Предполагается, что средний поток отсутствует, стенки канала являются жесткими, длина канала Ь = 4 Я = 4. Задача решается в безразмерной системе координат. Геометрия канала и расчетная сетка для задачи представлены на рис. 2, где показана также каждая десятая точка сетки. Жирными точками отмечены микрофоны.
0 1 2 3 4 5 6
Рис. 2. Геометрия для расчета звука в цилиндрическом канале
Контрольные точки, в которых происходит накопление результатов, располагаются на дуге постоянного радиуса. Для апробации метода используется несколько массивов контрольных точек с различными радиусом и длиной временной записи. Параметры массивов приведены в табл. 2. Для создания тестовых сигналов, которые будут раскладываться на моды, используется численная программа генерации с известным модальным составом. Амплитуды мод, использованные для генерации тестовых сигналов, приведены в табл. 3. Было использовано два модальных состава. В первом одна мода была распространяющаяся, а вторая затухающая, во втором составе обе моды были распространяющимися.
Т аблица 2
Характеристики микрофонных решеток
№ решетки Количество микрофонов Радиус дуги Длина сигналов Модальный состав Координаты центра
1 6 4 15000 1 (4.0, 0)
2 6 4 35000 1 (4.0, 0)
3 6 2 15000 1 (4.0, 0)
4 6 2 35000 1 (4.0, 0)
5 6 4 15000 2 (4.0, 0)
6 6 0.9 15000 1 (1.0,0)
Т аблица 3
Звуковые поля для тестирования программы разложения
Модальный состав № 1 Модальный состав № 2
т І амплитуда т І амплитуда
1 0 1+ і 0 0 1 + і
1 1 2 - 5і 0 1 2 - 5 і
С помощью сравнения точного модального состава и восстановленного с помощью программы разложения проводится оценка предлагаемой методики. Рассматривается величина:
(8)
т,І
где Яе |в“ас1), 1т ) — точные значения действительной и мнимой части комплексной ам-
плитуды моды с номерами т, ]; Яе((есоп81 (а)), 1т(а)) — действительная и мнимая
части амплитуды моды, восстановленные с помощью предложенной методики; а — параметр регуляризации Тихонова; £ — погрешность методики. Если параметр регуляризации выбран пра-
вильно, можно получить достаточное качество восстановленных амплитуд. На рис. 3 представлена зависимость ошибки (качества) восстановления £ от параметра регуляризации а для различных микрофонных решеток и модальных составов. Номера решеток, для которых получены результаты, показаны на рисунке.
Анализируя полученные зависимости, можно сделать выводы, что увеличение продолжительности сигналов немного улучшает качество восстановления мод, а уменьшение радиуса микрофонной решетки сказывается неоднозначно. При сравнительно больших параметрах регуляризации I а> 10-5) качество
-Ьс^(а)
Рис. 3. Зависимость качества восстановления от а
восстановления улучшается, а при малых параметрах может иметь место даже обратный эффект. Если в анализируемом звуковом поле присутствуют только распространяющиеся моды, качество восстановления значительно улучшается, а при размещении дуги непосредственно в канале турбомашины достаточно точно улавливаются даже затухающие моды при относительно слабом затухании.
ЛИТЕРАТУРА
1. Tyler J. M., S o f г i n T. G. Axial flow compressor noise studies // SAE Transactions.
1962. V. 70, pp. 309—332.
2. Groneweg J. F., Sofrin T. G., Rice E. J., Gliebe P. R. Aeroacoustics of flight vehicles: Theory and Practice. Volume I: Noise Sources // NASA RP-1258, V. 1, WRDC TR 90-3052, 1991.
3. Сипатов А. М., Усанин М. В., Синер А. А., Чухланцева Н. О. Численный расчет звуковых полей во входных устройствах с осевой симметрией // Материалы международной конференции НОВЫЕ РУБЕЖИ АВИАЦИОННОЙ НАУКИ (ASTEC 2007),
19—23 августа 2007, Москва.
4. Sofrin T. G., Picket G. F., Wells R. A. Method of fan sound mode structure determination. Final Report // NASA CR-135293, 1977.
5. C i c o n D. E., S o frin T. G., Mathews D. C. Investigation of continuously traversing microphone system for mode measurement // NASA CR-168040, 1983.
6. Sutliff D. L., Konno K. E., Heidelberg L. J. Duct mode measurements on the TFE731-60 full scale engine // NASA TM-2002-211573, 2002.
Рукопись поступила 20/III2009 г.
