CC BY
19Решетневскце чтения
УДК 681.3.069
В. В. Митюков Ульяновское высшее авиационное училище гражданской авиации (институт), Россия, Ульяновск
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ И ПОСТРОЕНИЕ ОТСЛЕЖИВАЕМОЙ ТРАЕКТОРИИ СРЕДСТВАМИ ВЕКТОРНОЙ ГРАФИКИ
Рассматриваются вопросы компьютерного моделирования движения объекта по отслеживаемой траектории. Предложен интерактивный подход с использованием элементов векторной графики (сплайнов). Определены четыре компонента такой задачи, требующие дальнейшей программной проработки.
Среди задач компьютерного моделирования полета воздушных судов (ВС) можно выделить задачи, включающие в себя такие геометрические объекты, как кривые линии. В первую очередь к ним относятся траекторные задачи:
- построение эталонных пространственных траекторий, соответствующих конкретному аэродрому (объектов отслеживания), например, при разработке обучающих программ;
- обратная задача восстановления траектории полета (проходящей через заданную точку), по записанным значениям скоростей и ускорений/перегрузок ВС, например, в процессе расследования летных происшествий;
- задача отслеживания желаемой траектории средствами инерциальной навигации, например, при полетах беспилотных летательных объектов.
Для перечисленных задач рассматриваются вопросы применения такого средства как сплайны, традиционно применяемые в конструкторском проектировании. Сплайны являются удобным средством как аналитического описания, так и наглядного геометрического построения кривых линий. Перетаскивание меток-манипуляторов курсором на экране в большинстве графических программ позволяет интерактивно изменять векторные коэффициенты р0, р1, ... (точки на рисунке), задающие форму фрагмента сплайна, добиваясь его нужной формы при построении желаемой кривой линии.
Интерактивное построение сплайна, состоящего из двух кубических фрагментов
Математически сплайны состоят из полиномов n-ой степени (чаще из полиномов Бернштейна), состыкованных между собой с заданной степенью гладкости. Во многих программах используется стандартная, встроенная в ОС Windows функция Безье, рисующая кубический сплайн (что обеспечивает его непрерыв-
ность до 2-й производной по параметру). Например, в составе пакета MS Office к сплайнам относятся автофигуры «Линия» и «Кривая» (на панели инструментов «Рисование»). Получаемые плоские кривые линии состоят из параметрических кусочно-кубических фрагментов следующего вида [1]:
r(t) = ро(1 -1)3 + pr3-t (1 -t)2 +
+ p2-3-t 2 (1 - t) + рз-t 3, (1)
где параметр t определен в интервале [0; 1].
Если кривая пространственная [2], то формирование ее на плоском экране можно осуществить путем построения двух/трех ее плоских проекций на координатные плоскости. Двух ортогональных проекций пространственной кривой достаточно для однозначного определения ее положения и формы. Таким образом, можно визуально построить пространственную кривую линию на экране в интерактивном режиме, создавая фрагменты кривой и перемещая проекции точек pk (0 = 1... n) в двух плоскостях проекций, при соблюдении одинакового значения их общей координаты (например, координаты х в горизонтальной и фронтальной плоскостях).
Следующим шагом является отображение построенных проекций кривой линии из системы экранных координат в пространство реальных, в том числе трехмерных координат. После масштабирования координат полученных точек pk (к = 0...n) к реальной системе отсчета и подстановки этих значений в уравнение (1), определяются реальные координаты любой промежуточной точки r(t) полученной кривой линии (зависящей от параметра t).
Гладкость стыковки соединяемых фрагментов сплайна обеспечивается выполнением условий непрерывности 1-й и 2-й производных при переходе через точку их соединения p3 (см. рисунок) Можно показать [1], что для сохранения непрерывности направления вектора касательной, три точки р2, р3, р4 нужно выбирать только на одной прямой, а для непрерывности направления вектора кривизны уже 5 точек pi ... р5 должны лежать в одной плоскости. Целесообразно и желательно реализовать соответствующее программное изменение соседних точек, в процессе перемещения одной из них.
Движение точки r(t) по построенной кривой осуществляется вслед за изменением параметра (t). Если рассматривать параметр (t) как функцию нового параметра (s) то, не меняя построенную кривую геомет-
Математические методы моделирования, управления и анализа данных
рически, можно менять закон движения по ней. В общем случае задача такой перепараметризации состоит в определении скалярной функции ^) (с условием
Ф 0 при любом s), реализующей требуемый закон движения fs) (или близкий к нему) для каждого фрагмента кубического сплайна.
Для построения желаемой траектории полета и моделирования движения ВС по ней требуется проработать и программно реализовать следующие 4 задачи:
1. Обеспечить в точках р0, рь ..., рп пространственного сплайна соблюдение одинакового значения общей координаты в смежных координатных плоскостях.
2. Реализовать масштабирование перемещенных на экране точек в реальные координаты.
3. Добиться гладкости соединения фрагментов сплайна (не ниже, чем до 2-й производной).
4. Определить набор скалярных функций реализующих необходимый закон движения точки по составной траектории.
Библиографические ссылки
1. Фокс А., Пратт М. Вычислительная геометрия. Применение в проектировании и на производстве : пер. с англ. М. : Мир, 1982.
2. Митюков В. В. Вопросы компьютерного моделирования движения воздушного судна по траектории. Компьютерное моделирование 2007 : тр. Между-нар. науч.-техн. конф. (26-27 июня 2007, г. Санкт-Петербург). СПб, 2007. С. 154-156.
V. V. Mityukov
Ulyanovsk Higher Civil Aviation School, Russia, Ulyanovsk
MATHEMATICAL MODELING AND FOLLOWED PATH PLOTTING WITH VECTOR GRAPHICS APPLICATIONS
Computer modeling of moving along followed path is considered, an interactive approach with vector graphics (splines) using is proposed, four subgoals of such aim need to be worked out are determined in the paper.
© MHTKKOB B. B., 2011
УДК 62-83 : 621.313.3 : 004.94
Д. Д. Мищенко Сибирский федеральный университет, Россия, Красноярск
МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ПРОБЛЕМЫ СИСТЕМЫ МОДЕЛИРОВАНИЯ С ПЕРЕМЕННОЙ СТРУКТУРОЙ ДЛЯ ДИНАМИЧЕСКИХ ОБЪЕКТОВ
Представлены проблемы построения системы моделирования динамических объектов как системы с переменной структурой.
Моделирование динамических объектов с использованием систем алгебраических и обыкновенных дифференциальных уравнений является одним из основных этапов автоматизированного проектирования. При этом используются численные методы решения алгебраических и дифференциальных уравнений. Эффективность моделирования можно оценивать по двум показателям - точности и быстроте нахождения решения. Обычно между ними существует противоречие: для повышения точности уменьшают шаг интегрирования, но при этом увеличивается время счета. Многие исследования в области численных методов посвящены разрешению этого противоречия, но достигнутые результаты пока не позволяют считать проблему решенной.
Одним из возможных путей решения указанной проблемы в соответствии с исследованиями, проводимыми в научно-учебной лаборатории систем автоматизированного проектирования (НУЛ САПР) СФУ под руководством профессора С. А. Бронова, является построение системы моделирования с переменной
структурой. В данной работе рассматриваются возникающие в этой связи некоторые математические проблемы, пути их решения и полученные на данный момент результаты.
Моделируемая система представляется моделью в виде совокупности уравнений. Моделирующая система обеспечивает формирование этой общей модели моделируемой системы, выбор и применение методов решения получаемых уравнений. Таким образом, модели и методы их решения составляют две стороны процесса моделирования.
Для улучшения характеристик процесса моделирования в настоящее время в процессе расчетов частично изменяют методы (или их параметры), в частности, могут менять тип метода, шаг интегрирования и т. п.
Предлагается менять также модель в зависимости от того, какой режим рассчитывается в данный момент. Если происходит смена режимов работы в процессе моделирования, то это должно приводить к смене соответствующих моделей. Возможность смены методов расчета (или их параметров) также сохра-
