Математические проблемы системы моделирования с переменной структурой для динамических объектов Текст научной статьи по специальности «Математика»

Математические методы моделирования, управления и анализа данных

рически, можно менять закон движения по ней. В общем случае задача такой перепараметризации состоит в определении скалярной функции ^) (с условием

Ф 0 при любом s), реализующей требуемый закон движения fs) (или близкий к нему) для каждого фрагмента кубического сплайна.

Для построения желаемой траектории полета и моделирования движения ВС по ней требуется проработать и программно реализовать следующие 4 задачи:

1. Обеспечить в точках р0, рь ..., рп пространственного сплайна соблюдение одинакового значения общей координаты в смежных координатных плоскостях.

2. Реализовать масштабирование перемещенных на экране точек в реальные координаты.

3. Добиться гладкости соединения фрагментов сплайна (не ниже, чем до 2-й производной).

4. Определить набор скалярных функций реализующих необходимый закон движения точки по составной траектории.

Библиографические ссылки

1. Фокс А., Пратт М. Вычислительная геометрия. Применение в проектировании и на производстве : пер. с англ. М. : Мир, 1982.

2. Митюков В. В. Вопросы компьютерного моделирования движения воздушного судна по траектории. Компьютерное моделирование 2007 : тр. Между-нар. науч.-техн. конф. (26-27 июня 2007, г. Санкт-Петербург). СПб, 2007. С. 154-156.

V. V. Mityukov

Ulyanovsk Higher Civil Aviation School, Russia, Ulyanovsk

MATHEMATICAL MODELING AND FOLLOWED PATH PLOTTING WITH VECTOR GRAPHICS APPLICATIONS

Computer modeling of moving along followed path is considered, an interactive approach with vector graphics (splines) using is proposed, four subgoals of such aim need to be worked out are determined in the paper.

© MHTKKOB B. B., 2011

УДК 62-83 : 621.313.3 : 004.94

Д. Д. Мищенко Сибирский федеральный университет, Россия, Красноярск

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ПРОБЛЕМЫ СИСТЕМЫ МОДЕЛИРОВАНИЯ С ПЕРЕМЕННОЙ СТРУКТУРОЙ ДЛЯ ДИНАМИЧЕСКИХ ОБЪЕКТОВ

Представлены проблемы построения системы моделирования динамических объектов как системы с переменной структурой.

Моделирование динамических объектов с использованием систем алгебраических и обыкновенных дифференциальных уравнений является одним из основных этапов автоматизированного проектирования. При этом используются численные методы решения алгебраических и дифференциальных уравнений. Эффективность моделирования можно оценивать по двум показателям - точности и быстроте нахождения решения. Обычно между ними существует противоречие: для повышения точности уменьшают шаг интегрирования, но при этом увеличивается время счета. Многие исследования в области численных методов посвящены разрешению этого противоречия, но достигнутые результаты пока не позволяют считать проблему решенной.

Одним из возможных путей решения указанной проблемы в соответствии с исследованиями, проводимыми в научно-учебной лаборатории систем автоматизированного проектирования (НУЛ САПР) СФУ под руководством профессора С. А. Бронова, является построение системы моделирования с переменной

структурой. В данной работе рассматриваются возникающие в этой связи некоторые математические проблемы, пути их решения и полученные на данный момент результаты.

Моделируемая система представляется моделью в виде совокупности уравнений. Моделирующая система обеспечивает формирование этой общей модели моделируемой системы, выбор и применение методов решения получаемых уравнений. Таким образом, модели и методы их решения составляют две стороны процесса моделирования.

Для улучшения характеристик процесса моделирования в настоящее время в процессе расчетов частично изменяют методы (или их параметры), в частности, могут менять тип метода, шаг интегрирования и т. п.

Предлагается менять также модель в зависимости от того, какой режим рассчитывается в данный момент. Если происходит смена режимов работы в процессе моделирования, то это должно приводить к смене соответствующих моделей. Возможность смены методов расчета (или их параметров) также сохра-

Решетневскце чтения

няется, но в данном случае методы (и их параметры) должны подстраиваться к той модели, которая в данный момент является актуальной.

При этом возникает ряд математических проблем обеспечения корректности перехода от одной модели к другой.

Модель системы состоит из частных моделей отдельных модулей. Каждый модуль может иметь несколько вариантов модели: нелинейную и линеаризованную, с большим или малым числом переменных состояния, постоянство (непостоянством, функциональной зависимостью) параметров, вероятностным или детерминированным характером параметров и связей.

Рассматриваемый подход развивается на примере электромеханических систем, в том числе, для систем поворота антенн и солнечных батарей космических аппаратов, прецизионность которых существенно затрудняет их моделирование обычными средствами.

Для получения вариантов моделей для одного и того же элемента (например, электродвигателя определенного типа) используются возможности символьного процессора програмы МаШСАБ, формирующего модели при различных условиях и ограничениях в аналитической форме. Для других элементов (редукторов, транзисторных коммутаторов, датчиков, регуляторов) использованы другие подходы к получению вариантов моделей.

В частности, разработаны нелинейные и линеаризованные варианты моделей синхронного двигателя с постоянными магнитами, индукторного двигателя двойного питания, синхронного двигателя, вращающегося трансформатора, фазовращателя при различных допущениях и упрощениях.

Например, вариант модели электрической машины в естественной системе координат:

dyla R аL2 - L2m 81П2(9Г ) у + у + = Я1—Г7Г~Т-Уь + Я1 /т т-тг:у1ь +

dt

L(LL2 -Lm)

2Li(LL - Lj )

L cos(6 )

+ r-y-jr± y 2„ + uu ;

(L1L2 - L2m ) Ы

dyib R Lj sin(9r)cos(9r) y + RL,L -Lj cos2(29r) y +

= R1 T ,T T-У1а + R r-У1Ь +

L(LL -Lj)

2L1 (LL - Lj )

L cos(9 )

+ Ri^n-Ц2. y +

(LL - Lj ) 1b

d У 2a =- R dt 2

Lj cos(9r ) У R Lj sin(9r ) y

-ТГ У 1a - R2 —-ZTT У 1b

( Li L2 - Lj ) Li

( Li L2 - Lj )

- R,

1-s—у + u ;

2 (T T — т2 \ a 2a' (LiL2 Lj )

M = -

2^(LlL2 -Сп)

Х {^п [2у 1аУ1Ь С08(29г ) + (Уь - У 2а) яп(29г)] -

-2^п [У1Ь С0«(9г ) - У 1а 5Ш(9г )]У 2а } ;

где у - потокосцепление; и - напряжение питания; М - электромагнитный момент; Я - сопротивление обмоток; L - индуктивность обмоток Ьп - взаимная индутивность обмоток; 9г - угол поворота ротора; индексы 1а, 1Ь и 2а соответствуют фазным обмоткам (1 - статора, 2 - ротора).

Вариант модели той же электрической машины в преобразованной системе координат (исчезли тригонометрические функции, что ускоряет расчеты) выглядит следующим образом:

= R

L

dУн _ dt Lj - L, L

d у,

■fi, +wr У1 , - R1

Ri

L

Lj - L L

-y2x + u1x ;

dt

= -wr fix —fi, + ui, ; Li

d f2 x dt

= -Rï-^— fix + R^-rzr— Lj - L1L2 Lj - LL2

Lj fi, ( Lif 2 x - Lj fix )

y 2 x + u2 x ;

m =

L(Lj -L1L2)

где индексы 1х, 1у и 2х соответствуют фазным обмоткам в преобразованной системе координат.

Смена моделей приводит к необходимости проверки, какие переменные состояния сохранились, какие исчезли, какие появились. Некоторые сценарии смены моделей признаются разрешенными, другие -запрещенными. Для разрешенных сценариев предусмотрены алгоритмы пересчета переменных состояний. В настоящее время работы ведутся с применением програмы МаШСАБ14 как универсального математического инструмента, но предполагается разработка собственного программного продукта.

D. D. Mishchenko Siberian Federal University, Russia, Krasnoyarsk

MATHEMATICAL PROBLEMS OF SIMULATION WITH VARIABLE STRUCTURE OF DYNAMIC OBJECTS

The author presents the problem of constructing a system simulation of dynamic objects as a system with variable structure.

© Мищенко Д. Д., 2011