Математическое моделирование и фрактальный анализ в задачах эволюции временных рядов Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 519.86

В.П. Первадчук, Д.Б. Шумкова, И.Р. Газизова

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ И ФРАКТАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ В ЗАДАЧАХ ЭВОЛЮЦИИ ВРЕМЕННЫХ РЯДОВ

Задачи анализа динамики курсов экономических показателей весьма актуальны. При возникновении сложной курсовой динамики традиционный анализ начинается с фундаментального анализа, т. е. исследуются фундаментальные экономические факторы, характеризующие состояние экономики. При необходимости в дальнейшем переходят к техническому анализу, который изучает графики прошлого поведения курсов валют с тем, чтобы предсказать их будущее. Однако опыт валютных трейдеров свидетельствует о том, что в их арсенале успешность прогнозов зависит от применения таких математических методов, как нечеткие множества, нелинейный анализ и фрактальный анализ. Они описывают рынки с гораздо большей точностью и достоверностью.

Фракталы - это структуры, которые, несмотря на свою крайнюю нерегулярность на разных масштабах, выглядят типичным образом. Диапазон масштабов, где наблюдаются фрактальные структуры, огромен и любые достаточно сильные нерегулярности в природе стремятся обрести фрактальную структуру [1]. Огромное количество естественных систем, поведение которых внешне воспринимается как хаотическое, объединяет одно общее свойство -самоподобие, или фрактальность. Важнейшей областью применения фракталов является анализ временных рядов: последовательностей измерения физических величин, упорядоченных по времени. Широкая распространенность фрактальных свойств временных рядов указывает на наличие единого универсального механизма, приводящего к возникновению фрак-тальности в совершенно различных естественных системах.

В данной статье покажем применение методов фрактального анализа в задачах моделирования, анализа и прогнозирования временных

рядов. Рассмотрим существующие методы определения фрактальной размерности и выявим свойства, необходимые для ее точного определения по небольшому количеству экспериментальных данных. Для этого используем алгоритм определения фрактальной размерности на основе асимптотики для площади покрытий. Проведем сравнение различных алгоритмов вычисления локальной фрактальной размерности хаотических временных рядов, а также эффективности предложенного алгоритма с эффективностью существующих методик.

1. Основные фрактальные характеристики. Рассмотрим дискретный временной процесс в виде временного ряда у1...,уп, а также временной ряд - часть другого временного ряда, длина которого больше, чем п. Определим последовательность чисел 1 < т1 < т2 <...< тк и проведем разбиение совокупности чисел г = 1, ..., п на группы с делителем т\ :

] = 1: г = 1,..., т1, ] = 2: г = тх + 1,...,2тх, ] = пх: г = (пх - 1)т1 +1,..., п1т1 ,

где п =

т.

Аналогично проведем разбиение совокупно-

= 1,.. Г п Л

сти чисел г ., п на п2 групп п2 =

V т2 /

с делителем т2 и т. д. вплоть до тк.

Для временного ряда вычислим индекс длины у. Для этого соседние последовательности точек

т.

( У1 ) |—, Ут1 п

2т1

> у2т1

^(п1 - 1)т1 Л

п , у(п1 - !)„1

п|т|

'Уп,

п

соединим прямыми отрезками. Пусть Ь(т1) -длина ломаной, соединяющей последовательно пары соседних точек. При этом

Ш /т,2

Ь (т1) = ХЛ ~Г + От " У(''-1)т,)2.

I = 1 V П

Аналогично вычисляется длина ломаной линии для делителя т2:

"2 4 т2

ь (т2) = Х Л—2г+(Ут - Уа-ит2 )2

I=1 V "

"к Г~

(тк )=Х^(■

Хтк Х( I - 1) т,

) + (Утк У( I -1) тк ) .

стичной вариации временного ряда относительно разбиения (т1, ..., тк).

Далее определятся показатель Херста для временного ряда, с помощью которого также могут быть выявлены фрактальные структуры временных рядов. Вводятся обозначения:

_ 1 ' ' _

У] =-Х У, У а = Х (Ук- Уа), ] • =1 к=1

К] = тах У] • = 1,..., а

- тт У а • = 1,..., ]

Для построения совокупности к точек (1п(ту), 1п Ь(т ])) ] = 1,..., к используем двойной логарифмический масштаб 1п т, 1п Ь(т). При помощи метода наименьших квадратов (МНК) находим прямую, аппроксимирующую совокупность точек (1п(т]), 1п Ь(т])) ] = 1,..., к,

у - угловой показатель найденной МНК - прямой [2]. Число у > 0 является индексом длины временного ряда относительно разбиения ^тк).

Для нахождения индекса частичной вариации 9 временного ряда рассматриваются величины

"1 I I

№ (т )=Х \Ут1 +1 - У(I -1) т1 + 1 ,

• = 1

"2

№ (т2 ) = Х У/т2 +1 - У а - 1)т2 +1 ,

2 1 1 2 5 2 = - Х (У( - У] )2, ] = 2,..., п. =1

Рассматриваем далее к целых чисел 2 < п1 < п2 <...< пк = п, а также совокупность к

точек

( Я. п. 1п-], а = 1,..., к 5, 2

V ]

в двойном лога-

рифмическом масштабе 1п -5-, 1п-п. Пусть МНК - прямая, аппроксимирующая совокуп-

ность точек

( К п

, / = 1,..., к 5. 2

V 1

имеет уг-

ловой коэффициент Н (Н > 0). Число Н является показателем Херста временного ряда относительно разбиения (п1,..., пк).

Пусть временной ряд или график вещественной функции одной скалярной переменной У = /7) определен на некотором отрезке [а, Ь]. Для вычисления фрактальной размерности функции используем процедуру определения клеточной размерности. Для этого проводим равномерное разбиение отрезка

№ (тк ) = Х IУ!тк + 1 - У(,-1)т4 + х|.

/ = 1

Аналогично предыдущему в двойном логарифмическом масштабе 1п т, 1п №(т) рассматриваем совокупность к точек (1п(т,), 1п Ь(т)) ] = 1, ..., к, находим МНК - прямую, аппроксимирующую совокупность точек (1п(та), 1п Ь(т)) ] = 1, ..., к, через 9 обозначаем ее угловой коэффициент. Число 9 >0 является индексом ча-

= [ а = ?0 < < ... < гт = Ь\, 8 = (Ь - а) /

т

и минимальное покрытие функции /(/) в классе покрытий, состоящих из прямоугольников с основанием 5. Высота прямоугольника на отрезке Ь, -1, ] равна величине А,(8) (разности между

максимальным и минимальным значением функции /(/) на этом отрезке). Величина

т

V/ (8) = ХА(8) является амплитудной вариацией

• = 1

функции /(7), соответствующей масштабу разбиения 5 на отрезке [а, Ь]. Тогда полную площадь покрытия 5ц(5) записываем в виде

ЗД = /5)5.

Отметим, что 5ц(5) является минимальной площадью покрытия графика из класса прямоугольников. Заметим, что V/ (5) ~ 5 при 5 ^ 0, где ц = Бц - 1. Показатель ц является индексом фрактальности, а размерность Бц - размерностью минимального покрытия [3].

2. Фрактальный анализ временных рядов.

Исследуем ценовые ряды акций трех крупных российских компаний: Газпром (Оа^Р) с 15.05.09 г. по 25.05.10 г. (256 дней), Северсталь (СИМЕ) с 31.10.06 г. по 17.04.09 г. (608 дней) и Московский нефтеперерабатывающий завод (MNPZ) с 05.11.09 г. по 05.04.11 г. (224 дня). Каждая запись соответствует одному торговому дню и содержит информацию о четырех ценах за день: по открытию, минимальной, максимальной и по закрытию. Выбор тех или иных ценовых рядов, здесь представленных, обусловлен стремлением наиболее четко продемонстрировать результаты, достигаемые с помощью фрактальных показателей.

При вычислении индекса ц используется последовательность т вложенных разбиений ют , где т = 2п; п = 0, 1, 2,..., 8. Каждое разбиение

состоит из 2п интервалов, содержащих 28 - п торговых дней. Для каждого разбиения ют вычисляется амплитудная вариация V/ (5). Пример поведения V/(5) в двойном логарифмическом масштабе представлен на рис. 1*. Значение ц отождествляется с угловым коэффициентом -а линии регрессии у = ах + Ь, найденной по исходным данным (находится при помощи МНК).

Для исследования точности определения индекса длины, индекса фрактальности и индекса частичной вариации для ценовых рядов акций компании Газпром (GAZP) рассматривается выборка с 15.05.09 г. по 25.05.10 г. (256 дней).

Рис. 1. Индекс фрактальности (256 дней)

Рис. 2. Индекс длины

* На рис. 1-6 экспериментальные точки обозначены (♦), т. е. индексы или показатели относительно линейной (теоретической прямой).

Рис. 3. Индекс частичной вариации

На основе процедур, описанных в п. 1, вычисляется индекс длины у, индекс фрактальности ц и индекс частичной вариации 9.

В качестве критерия точности расчетов выбирается К = 1 - Я2, где Я2 - коэффициент детерминации (если точки ложатся точно на прямую, то Я2 = 1 и К = 0). Соответствующие прямые изображены на рис. 2 и 3.

Рис. 4. Показатель Херста для 256 значений

Таким образом, индекс ц для финансовых временных рядов определяется намного точнее, чем показатели у и 9.

Расчет показателя Херста Н сегодня наиболее популярный способ исследования фрактальных свойств временных рядов. Поэтому необходимо более детальное сравнение точности определения показателей Н и ц. Теоретически при одинаковом количестве данных индекс фрактальности должен вычисляться более

точно, чем показатель Херста Н, поскольку для его определения используется минимальное и, следовательно, оптимальное покрытие временного ряда. Для проверки этого предположения вновь рассматривается временной ряд цен акций компании Газпром (GAZP). Используются две выборки: первая содержит 256 значений, вторая - 32. В качестве критерия точности расчетов выбирается точность экспериментальных точек теоретической прямой К = 1 - К2, где К2 - коэффициент детерминации (рис. 4-6).

Средняя точность соответствия экспериментальных точек теоретической прямой для ц на порядок выше, чем для Н. Более того, точность вычисления ц намного меньше зависит от размера выборки, чем Н. Таким образом, экспериментально подтверждено, что точность вычисления индекса фрактальности существенно выше точности вычисления показателя Херста.

Основным преимуществом индекса фрак-тальности ц, по сравнению с другими фрактальными показателями, является то, что соответствующая ему амплитудная вариация имеет быстрый выход на степенной асимптотический режим [4]. Репрезентативный масштаб, необходимый для определения индекса фрак-тальности с приемлемой точностью, можно

0,00000 1,00000 2,00000 3,00000 4,00000

Рис. 5. Индекс фрактальности для 32 значений

Рис. 6. Показатель Херста для 32 значений

считать имеющим такой же порядок, что и масштаб основных состояний рассматриваемого процесса. Это позволяет использовать индекс фрактальности в качестве локальной фрактальной характеристики финансового временного ряда, определяющей динамику исходного процесса.

В качестве процессов рассматриваются тренды - периоды относительно длительного движения цены вверх или вниз и флеты - периоды относительного спокойствия исходного временного ряда.

Чтобы соотнести значение ц с поведением временного ряда, естественно ввести функцию ц(0 как такое значение ц, которое еще может быть вычислено с приемлемой точностью на минимальном, предшествующем /, интервале тц .

В случае непрерывного аргумента / в качестве такого интервала можно было бы брать произвольно малый интервал, однако поскольку на практике временной ряд всегда имеет минимальный масштаб 5о (в нашем случае

равно длину

одному дню), то тц имеет конечную (в нашем случае 32 дня).

Далее рассчитано значение ц(/) для 608 значений акций компании Северсталь (рассматриваемый интервал 31.10.06-17.04.09) и 224 значений акций Московского нефтеперерабатывающего завода (МНПЗ) (рассматриваемый интервал 05.11.09-05.04.11). Характер их ценовых рядов позволяет наиболее ясно продемонстрировать связь значения ц с поведением временного ряда. Соответствующие временные ряды приведены на рис. 7 и 9.

Рис. 7. Средняя ежедневная цена акций компании Северсталь за период 31.10.06-17.04.09

Рис. 8. График функции ц(£) для акций компании Северсталь за период 31.10.06-17.04.09

Рис. 9. Средняя ежедневная цена акций МНПЗ за период 05.11.09- 05.04.11

Рис. 10. График функции ц(?) для акций МНПЗ за период 05.11.09-05.04.11

Рис. 11. Показатели стабильности для 32-дневных интервалов ценового ряда компании Северсталь: а - Л , б -

Очевидно, что индекс ц (рис. 8 и 10) имеет отношение к поведению временного ряда. Исходный ряд тем стабильнее, чем больше значение ц. При этом если ц > 0,5, наблюдается флет, а при ц < 0,5 - тренд. Если ц ~ 0,5, то процесс находится в промежуточном состоянии.

Выбраны два показателя стабильности для 608 значений акций компании Северсталь (рассматриваемый интервал 31.10.06-17.04.09): ( с \

F = log

логарифмическое увеличе-

ние цены закрытия с за 32-дневный интервал;

= А / А _ 32, где А1 - амплитуда колебаний

цены за последние 32 дня [5].

Для /1 и /2 (рис. 11, а, б) справедливо то, что чем более стабильно поведение исходного ряда (колебания происходят возле одного

уровня), тем ближе значения показателей стабильности к нулю, и наоборот, чем ярче выражен тренд, тем больше по модулю значения /1 и /2 .

Итак, для одномерной фрактальной функции /(7) рассчитаны основные фрактальные показатели - индекс длины, индекс частичной вариации, показатель Херста и индекс фрак-тальности. Показано, что ц определяется на порядок точнее, чем остальные фрактальные показатели. Это позволяет рассматривать ц в качестве локального фрактального показателя. Исходя из этого, вычислена функция ц(7) для каждого момента 7 временного ряда, что дает возможность идентификации финансовых временных рядов. Для тех же временных интервалов рассчитаны показатели стабильности, также характеризующие поведение ряда.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Benoit, B. Mandelbrot, Fractals: Form, Chance and Dimension, Freeman [Text] / B. Benoit. - San Francisco, 1982.

2. Дубиков, М.М. Размерность минимального покрытия и локальный анализ временных рядов [Текст] / М.М. Дубиков, А.В. Крянев, Н.В. Старченко // Вестник РУДН. - 2004. - Т. 3, № 1. - С. 81-95.

3. Дубиков, М.М. Индекс вариации и фрактальный анализ временных рядов [Текст] / М.М. Дубиков,

А.В. Крянев, Н.В. Старченко // Сборник научных трудов научной сессии МИФИ. - М., 2004.

4. Hurst, H.B. Long-term storage capacity of reservoirs [Text] / H.B. Hurst // Trans. Am. Soc. - N.Y., 1981. - Vol. 166. - P. 770-808.

5. Старченко, Н.В. Локальный фрактальный анализ в физических приложениях [Текст] : [препринт, № 006-2005] / Н.В. Старченко. - М.: МИФИ, 2005.