Исследование фрактальных сингулярностей при анализе фондовых индексов Текст научной статьи по специальности «Экономика и бизнес»

УДК 338.242

Бутырин А.А., Фомичева С.Г.

Исследование фрактальных сингулярностЕй при анализе фондовых индексов

Социально-экономические системы, как и большинство естественных систем, характеризуются локальной случайностью и глобальным детерминизмом. Экономические рынки капитала, например акций и облигаций, имеют краткосрочную фрактальную статистическую структуру, накладывающуюся на долгосрочный экономический цикл, который может быть детерминирован. Получившая в последнее время широкое распространение гипотеза фрактального рынка может быть подтверждена или опровергнута экспериментально именно в данный период глобального финансового кризиса, когда теория эффективного рынка не дает корректных результатов при прогнозировании фондовых показателей.

Отметим, что многим управляющим компаниям важно уметь правильно формировать портфель ценных бумаг и выполнять как долгосрочные, так и краткосрочные прогнозы изменения финансовых рядов. В последнее время для решения данных задач успешно используются искусственные нейронные сети.

Авторы в данной статье представляют результаты ряда проведенных исследований динамики акций ОАО ГМК "Норильский никель" (GMNK), в достаточной мере подтвердивших фрактальное поведение рынка и позволивших авторам корректно скомпоновать входные образы для нейро-нечеткой сети, адаптированной для прогнозирования ценных бумаг ОАО ГМК "Норильский никель". В частности, авторами скомпонован индекс Ind, максимально учитывающий поведение на фондовом рынке акций ОАО ГМК "Норильский никель" (GMNK). Проведен Л/^-анализ данного индекса, в результате которого определен спектр его фрактальных сингулярностей, найден ряд персистентных периодических и непериодических циклов. Найденные циклы позволили получить двумерные фрактальные снимки с сигнальными "флагами" изменений тенденций поведения индексов как в условиях эффективных рынков, так и в периоды кризисов.

Компоновка фондового индекса Ind

Одним из способов представления входной информации для нейронных сетей можно считать значения индексов, построенные на основе

ценовой динамики групп акций. При проведении Л/5"-анализа динамики акций ОАО ГМК "Норильский никель" будем использовать специально скомпонованный авторами данной статьи индекс Ind, максимально учитывающий поведение на фондовом рынке акций GMNK.

Рассмотрим возможность использования известных фондовых индексов и проанализируем качество использования нового, введенного авторами, индекса для прогнозирования портфеля ценных бумаг, ориентируясь на ценные бумаги ОАО ГМК "Норильский Никель". Не каждый индекс точно отображает поведение на рынке той или иной ценной бумаги, так как все индексы имеют погрешности, которые могут быть вызваны и объективными, и субъективными факторами. Поэтому для прогнозирования какой-либо конкретной ценной бумаги или портфеля ценных бумаг нужно подбирать наиболее подходящие индексы или создавать собственные. Любой фондовый индекс должен отвечать целой системе требований - репрезентативности, простоте методики расчета, ликвидности и богатому запасу исторических данных. Отметим, что индексы, построенные для одного и того же рынка, всегда сильно коррелированны - независимо от выборок или способов усреднения рост рынка вызовет рост практически любого индекса. Однако скорость изменения разных индексов может существенно отличаться, на коротких периодах могут возникать дивергенции и т.п. Расхождения (дивергенции) индексов могут использоваться для прогнозирования. Глобализация инвестиционных процессов привела к корреляции индексов в разных странах, так что по поведению индексов США можно делать прогноз на изменение индексов, например, Германии или России, и т.д. Фьючерсы на индекс S&P 500 и Nasdaq 100 торгуются круглосуточно (за исключением некоторых выходных), что позволяет непрерывно учитывать влияние изменений на рынке США.

Сформируем исходное множество индексов, из которых будем выбирать наиболее подходящие. Индексы могут классифицироваться по методу вычисления: простые средние величины и сред-

невзвешенные величины. Но при отборе наиболее подходящего для отображения поведения той или иной ценной бумаги будет более важна компоновка индекса, нежели способ его расчета. При компоновке индекса будем учитывать классификацию: по критериям вхождения акций в индекс; принадлежности к отраслевой группе; по капитализации и другим финансовым показателям; по секторам рынка; по ликвидности.

За прогнозируемую ценную бумагу было решено принять акции Норильского никеля (GMKN). Данные для исследования были взяты с официального сайта ММВБ. Инструментами для расчетов и построения графиков были выбраны ППП Statis-tica 7.0 и средства MS SQL Server 2005.

На рис. 1 видим, что изменения индексов известных фондовых индексов не всегда совпадают с изменениями цен акции Норильского никеля (GMKN). А число совпадений изменений на одном и том же промежутке времени у каждого индекса свое, но при этом экстремумы тренда индексов все-таки совпадают с наиболее значимыми экстремумами тренда акций. Таким образом, можно сделать вывод, что поведение акций GMKN будет отображать наилучшим образом тот индекс, который будет с большей точностью и на большем промежутке времени отображать изменение этих акций. Следовательно, тот индекс, который максимально коррелируют с прогнозируемой ценной бумагой на большем промежутке времени (по отношению к другим индексам), и будет наиболее точно отображать ее изменения. Отметим, что прогнозировать акции GMKN, используя в виде исходных данных цены этих акций, нецелесообразно, так как линия тренда самой прогнозируемой акции является более зашумленной, нежели показатели индексов.

Для компоновки индекса необходимо определить сегмент рынка, в который входит прогнозируемая ценная бумага. Это позволит ограничить диапазон выборки ценных бумаг, которые могут быть включены в индекс. Множество ценных бумаг, входящих в отраслевую группу или смежные отраслевые группы, можно получить, выбрав те ценные бумаги, цены которых наиболее коррелируют с ценами прогнозируемой ценной бумаги на большем промежутке времени. Для этого необходимо провести корреляционный анализ. Корреляционный анализ проводился по критерию Пирсона с коэффициентом ошибки 0,0006. Результат проведения корреляционного анализа на всем множестве акций не дал точных результатов. Для

повышения точности корреляционного анализа решено провести его в отдельных подгруппах [1]. В качестве критерия разбиения на группы выбран коэффициент ликвидности. При расчете коэффициента ликвидности исключены те акции, торги по которым проходили менее чем 90 дней за год. Согласно рассчитанному коэффициенту можно выделить пять групп акций по уровню ликвидности:

собственно "голубые фишки". К таким бумагам относятся те, коэффициент ликвидности которых превысил 0,75;

ликвидные акции - с коэффициентом ликвидности 0,6-0,75.

среднеликвидные акции. В эту группу вошли акции с коэффициентом ликвидности 0,5-0,6;

низколиквидные акции - акции с коэффициентом ликвидности 0,4-0,5;

неликвиды. В эту группу вошли все остальные акции, чей коэффициент оказался ниже 0,4.

По результатам подсчета коэффициента ликвидности акция GMKN занимает пограничное место между первой и второй группами. Авторами был проведен корреляционный анализ внутри первой, второй, первой и второй, третьей групп ликвидности.

Третью, четвертую и пятую группы ликвидности было решено не рассматривать в связи с тем, что они малоинформативны для отображения состояния сегмента рынка акции GMKN. В итоге был скомпонован индекс 1пС, который отражает реальное состояние рынка: он рассчитан по средней цене выбранной группы акций (акции группировались по группам ликвидности). Он учитывает коэффициент корреляции акций внутри группы ликвидности, по отношению к прогнозируемой акции, а также учитывает коэффициент ликвидности акции. Для построения индекса отбирались акции из указанной группы ликвидности, коэффициент корреляции которых больше нуля (г>0).

Ш= Sum(Pi*ri*Li)/ К, (1)

где Рг - цена акции /-той, гг - абсолютное значение коэффициента корреляции /-той акции по отношению к прогнозируемой акции. гг>0, Lг - коэффициент ликвидности /-той, К - кол-во акций.

Построим графики отображающие изменения цен акций GMKN, значения рассчитанного индекса "1пС" и значения официального индекса М1СЕХ10. Для пропорционального отображения на графиках значений индекса и значений прогнозируемой акции, была проведена нормализация (рис. 2-4).

Рис. 1. Сравнение поведения акций Норильского никеля на рынке ММВБ с показателями индексов РТС, ММВБ, РБК композит

"У/ /

.Д.-. Л-. / / /V Я .■■Л Л V'-.-л V

I V . . 7

: " /

V

¡ПС| 12

М1СЕХ1С

10.01.2008 26.02.2006 12.04.2006 30.05.2006 14.07.2006 29.00.2006 12.10.2006 20.11.2006 - еМКМ

01.02.2006 21.03.2006 05.05.2006 22.06.2006 07.08.2006 20.00.2006 03.1 1.2006

Рис. 2. Изменения индексов 1-й и 2-й группы ликвидности, не включая акции GMKN в расчет индекса

1,1

□ .9

с л?

..V/ /ч и к 'Л''И 1 -■4 ■ г4 Л/' !Г "

1 У •'V / ! Ч

Л-у / Г Л, " '''У Г V

к Чу

¡пс1 1_2 М1СЕХ10

10.01.2000 20.02.2000 12 04.2000 30.05.2000 14.07.2000 2B.0B.2G00 12.10.2000 20.11.2000 - вМКЫ

01 02 2006 21.03.2006 05 05 2006 22.06.2006 07.08.2000 20 09.2006 03.11.2006

Рис. 3. Индекс 1-й и 2-й группы ликвидности, включая акции GMKN в расчет индекса

Рис. 4. Индекс 2-й группы ликвидности, а) не включая акции GMKN в расчет индекса; б) включая акции GMKN в расчет индекса

На рис. 2-4 можно видеть, что рассчитанный индекс Ind точнее и раньше отобразил благоприятную для акций GMKN ситуацию на рынке, нежели индекс MICEX10. Для прогнозирования акции основное внимание следует уделить индексу той группы ликвидности, к которой принадлежит прогнозируемая акция. Этот индекс будет наиболее адекватно отображать состояние сегмента рынка прогнозируемой акции.

Параметры фрактального анализа Особое значение фрактального анализа временных рядов в том, что он учитывает поведение системы не только в период измерений, но и его предысторию. Для фрактальных временных рядов на интервале t0 < t < T размах параметра R(т)= maxB(t)-minB(t) зависит от времени t

0<t<T 0<t<т

степенным образом:

R (t )=R (to)

r tл2~°

V to )

где Б - фрактальная размерность временного ряда. Исходя из данного выражения, можно предсказать возможное значение размаха интересующего параметра в будущем. Существенным моментом при фрактальном анализе является наличие критического значения фрактальной размерности временной кривой, при приближении к которому система теряет устойчивость и переходит в нестабильное состояние и параметры быстро либо возрастают, либо убывают, в зависимости от тенденции, имеющей место в данное время.

То есть фрактальная размерность определенной величины может использоваться как индикатор кризиса или "флаг" катастрофы. Также величина фрактальной размерности может служить индикатором количества факторов, влияющих на систему. При фрактальной размерности менее 1.,4, на систему влияет одна или несколько сил, двигающих систему в одном направлении. Если

размерность около 1,5, то силы, действующие на систему, разнонаправлены, но более или менее компенсируют друг друга. Поведение системы в этом случае является стохастическим и хорошо описывается классическими статистическими методами. Если же фрактальная размерность значительно более 1,6, система становится неустойчивой и готова перейти в новое состояние.

В отличие от гипотезы эффективного рынка, гипотеза фрактального рынка говорит, что информация оценивается согласно инвестиционному горизонту инвестора. Поскольку различные инвестиционные горизонты оценивают информацию по-разному, распространение информации также будет неровным. В любой конкретный момент времени цены не могут отражать всю имеющуюся информацию, они могут отражать только ту информацию, которая важна для этого инвестиционного горизонта. Так же, согласно гипотезе фрактального рынка, хаотический режим имеет место, когда инвесторы теряют веру в долгосрочную фундаментальную информацию. Итак, когда проводят исследования некоторого процесса, в первую очередь стремятся подтвердить или опровергнуть нулевую гипотезу о том, является ли он стохастическим (случайным). Покажем, что тренды индекса 1псС опровергают нулевую гипотезу, и, следовательно, обладают глобальным детерминизмом.

Для этого введем в рассмотрение ряд переменных. Напомним, что Эйнштейн обнаружил, что расстояние, которое проходит случайная (броуновская) частица, увеличивается пропорционально квадратному корню из времени, используемому для его измерения: Я = , Я - пройденное расстояние, Т - показатель времени. Данное выражение в задачах анализа финансовых рынков используется для пересчета на год волатильности или стандартного отклонения (стандартное отклонение ежемесячных прибылей умножается на ^12).

Чтобы оценить H для значений R/S в диапазоне 10 < n < 30, необходимо построить для него уравнение регрессии. Результаты регрессионного анализа приведены в табл. 1. Регрессионный анализ дал следующие результаты: H = 1 и E(H) = 0.48. Стандартное отклонение для H составляет 0.18.

Значение H для 10-ти дневных прибылей на 2.85 стандартных отклонений выше его ожидаемого значения, что представляет собой очень значимый результат. Результат регрессии для n>30 показан в табл. 1. Показатель Херста равен 0.9. Это означает, что "разрыв" на рис.6 сигнализирует о периодическом компоненте во временном ряде с частотой, приблизительно составляющей 30 10-дневных периодов. Но из-за недостаточности данных нельзя гарантированно утверждать, что данный цикл является периодическим, т. к. диапазон 30<n<49 содержит в себе меньше точек, чем найденный цикл. Следовательно, данный цикл может быть и непериодическим.

R/S анализ 5-дневных прибылей

Для подтверждения факта существования циклов и, возможно, выявления более коротких циклов, проведём R/S анализ для 5-дневных прибылей на том же временном ряде. Пятидневные прибыли имеют более низкий показатель Херс-та, чем 10-дневные прибыли. Это обусловлено повышенной детализацией и уровнем "шума" в данных. Поскольку временной ряд более изрезан, показатель Херста ниже. Пятидневные прибыли имеют Н = 0,78, E(H)=0,52. Различие показателя

Херста, по сравнению с 10-дневными прибылями компенсируется уменьшением значения средне-квадратического отклонения H. Таким образом, показатель Херста для 5-дневных прибылей имеет среднеквадратическое отклонение 2,6 от своего среднего значения.

На рис. 8. достаточно четко различим разрыв при n = 25, т.е. 125 операционных дней. Для данного периода показатель Херста равен 0.86. Значение Н отличается от своего ожидаемого значения почти на 2 стандартных отклонений, что является достаточным, для отклонения нулевой гипотезы. Для n>25 показатель Херста равен 0.78 и отличие H от E(H) составляет 2.34 стандартных отклонений. Следовательно "разрыв" на графике сигнализирует о периодическом компоненте во временном ряде с частотой, приблизительно составляющей 25 5-дневных периодов. Данную периодичность достаточно четко видно на рис. 8.

Так же на рис.8. наблюдается разрыв на этот раз при n = 59 наблюдений, или 295 операционных дней. И снова, как и при анализе 10-дневных прибылей, это близко к 300 дням, показывая, что "разрыв" в 10-дневном графике R/S не был стохастической границей. Несмотря на то, что мы уменьшили приращение времени, все равно проявляется 300-дневный цикл. Это является дополнительным подтверждением того, что цикл действительно существует.

Поскольку R/S-анализ использует среднее многих значений R/S, то, следовательно, чем больше анализируемых значений выборки имеется, тем

Таблица 1

Номер шага Главный коэфф. (H) Стандартное отклонение (H) Математическое ожидание показателя Херста E(H) Отличие на стандартное отклонение (H-E(H)) / ст.откл(Н) Количество точек для отклонения нулевой гипотезы

Шаг 10 (весь интервал) 0.944922211 0.142857 0.50274182 3.095262702 20.45789957

Шаг 10 (от 10 до 30) 1.006882628 0.182574 0.48607968 2.85255522 14.74732072

Шаг 10 (от 30 до 49) 0.906546928 0.185695 0.51402119 2.113815778 25.96113759

Шаг 5 (весь интервал) 0.783280313 0.100504 0.51757873 2.64369738 56.65936524

Шаг 5 (от 10 до25) 0.859684734 0.2 0.47822086 1.907319389 27.4886336

Шаг 5 (от 25 до 99) 0.776908795 0.109109 0.52106726 2.344826378 61.11078957

Регрессионные коэффициенты для индикатора ind за 2005 - 2008 годы

Окончание табл. 1

Номер шага Главный коэфф. (Н) Стандартное отклонение (Н) Математическое ожидание показателя Херста Е(Н) Отличие на стандартное отклонение (Н-Е(Н)) / ст.откл(Н) Количество точек для отклонения нулевой гипотезы

Шаг 5 (от 10 до 59) 0.818949956 0.130189 0.50755705 2.391854306 41.25176726

Шаг 5 (от 59 до 99) 0.758675181 0.141421 0.5247557 1.65406055 73.10165149

Рис. 7 - ^статистика десятидневных прибылей

2

о —----—I—.-,—.—;-.—.—|--—-;-,-.—р—I----н—-,-н—~-•—'-. ! . - .--. I I . . ;-н—

П=10 П=11 П=13 П=15 П=1 7 П=19 п=21 п=23 п=26 п=29 п=32 п=35 п=39 п=43 п=47 п=52 п=57 п=63 п=69 п=76 п=83 п=91

Рис. 8. ^статистика пятидневных прибылей

более устойчивым он становится, пока выборочная частота выше "уровня шума". Чтобы можно было отклонить нулевую гипотезу и считать, что система не является случайным блужданием, необходимо чтобы Н отличалось от своего ожидаемого значения хотя бы на 2 случайных отклонения. Если показатель Херста устойчив, то разность между Н и Е(Н) так же будет устойчива.

Следовательно [2], длину периода выборки

т 4

можно рассчитать выражением 1 = -

(H - E (H))

Рассчитанная мощность выборки, необходимая для отклонения нулевой гипотезы для тех интервалов, у которых отличие от ожидаемого значения H меньше 2-х отклонений представлена в табл. 2.

Проанализировав результаты, представленные в табл. 2, можно заметить, что показатель Херста и его ожидаемое значение изменились несущественно. Рассматриваемому в данной статье временному ряду присущ черный шум (рис. 9). Следовательно, нулевую гипотезу можно отклонить и для данных периодов.

Анализ данных индикатора ind за 1997-2008 годы

Проведем подобный анализ R/S показателя по данным индикатора для второй группы ликвидности "ind" [3] на значительно большем временном промежутке за 1997-2008 годы. Начнем R/S анализа 10-дневных прибылей.

На рис. 10 присутствует персистентное отклонение наблюдаемых значений R/S от ожидаемых значений R/S, также видно, что показатель R/S имеет три ярко-выраженных "разрыва" (обозначены красными кругами со стрелкой). Для более точной оценки места разрыва, вычислим функцию V-статистики, используя выражение (6). На рис. 11. V-статистика явно начинает убывать при n = 23 наблюдениях, или 230 операционных дней.

Чтобы оценить H для значений R/S в диапазоне 10 < n < 23, необходимо построить для него уравнение регрессии. Результаты приведены в табл. 5.3. Регрессионный анализ дал следующие результаты: H = 1 и E(H) = 0.48. Стандартное отклонение для H составляет 0,2. Значение H для 10-ти дневных прибылей на 2.6 стандартных отклонений выше его ожидаемого значения, что представляет собой достаточно значимый результат. Результат регрессии для n>23 так же показаны в таблице 7.3. Показатель Херста равен 0.77.

Это означает, что "разрыв" при n = 23 на рис. 11. сигнализирует о периодическом компоненте во временном ряде с частотой, приблизительно составляющей 23 10-дневных периодов.

Так же существует "разрыв" при n = 55, что составляет 550 операционных дней. Данный промежуток тоже является персистентным, т.к. показатель Херста равен 0,92 и выше своего ожидаемого значения на 3.1 стандартных отклонения. Период, составляющий 550 операционных дней, является периодическим, т.к. при n > 55 показатель Херста является персистентным и равен 0.74, при этом являясь на 2.1 стандартных отклонения больше своего ожидаемого значения.

Разрыв при n = 135 тоже является персистен-тным H = 0.8. Он представляет собой достаточно большой цикл: 1350 операционных дней, что составляет примерно 4 года. H выше ожидаемого показателя Херста на 3.2 стандартных отклонений, что является достаточно значимым обоснованием достаточности данных. Однако, имеющихся данных недостаточно, чтобы отклонить нулевую гипотезу, поэтому в данном случае следует считать четырёхлетний цикл непериодическим.

Таблица 2

Оценка достаточности данных

Значение шага Количество периодов Количество точек, для 2-х ст. отклонений Количество точек, для 3-х ст. отклонений % доверит. интервал для 2-х ст. отклонений

Шаг 5 (от 10 до 25) 15 27.488633596 61.84942559 54.02232871

Шаг 5 (от 10 до 59) 49 41.25176726 92.81647633 117.5949619

Шаг 5 (от 59 до 99) 40 73.10165149 164.4787159 54.17114277

Рис.11. F-статистика десятидневных прибылей. 1997-2008 Шаг 10

Рис. 12. V-статистика пятидневных прибылей (1997-2008 годы)

Следовательно "разрыв" на графике сигнализирует о периодическом компоненте во временном ряде с частотой, приблизительно составляющей 26 5-дневных периодов. Данную периодичность достаточно четко видно на рис. 12.

Так же на рис. 12 наблюдается разрыв на этот раз при n=55 наблюдений, или 275 операционных дней. Авторы предполагают, что при наличии данных за 1996 или 2009 годы значение период в 275 дней мог вырасти до приблизительно 295-300 дней, показывая, что "разрыв" в 10-дневном графике R/S не был стохастической границей. Данный цикл является условно периодичным, т.к. его по-

казатель Херста, при п > 55равен 0.85, но отличие Н от Е(Н) составляет всего 1.8 < 2.

На рис. 12 так же присутствует менее заметный условно-периодичный цикл при п = 79, что составляет 395 операционных дней.

Более явно на графике виден условно-периодичный цикл при п = 109. И снова, как и при анализе 10-дневных прибылей это составляет примерно 2 года. Показатель Херста указывает на персистентность и периодичность данного цикла, но при анализе п > 109 среднеквадратичес-кое отклонение составляет всего лишь 1.29. Это возможно связано с нехваткой исходных данных

В рамках каждого горизонта следует контролировать фрактальную размерность, как раз для того, чтобы знать поведение тренда. Если бы, тренд был конструктивным фракталом, то как на маленьком его периоде, так и на большом фрактальная размерность должна "почти" не меняться.

Но в реальных финансовых временных рядах "чистых" фракталов практически нет, поэтому для каждого инвестиционного горизонта существует "почти" постоянная своя фрактальная размерность. Поскольку фондовый рынок работает одновременно на всех инвестиционных горизонтах, то вместо "чистого" фрактала, получают мультифрак-тал, основной характеристикой которого является спектр фрактальных размерностей. Следовательно, у аналитика должны быть накоплены для выделенных инвестиционных горизонтов несколько "образцовых" изображений с заранее определенной фрактальной размерностью. Тогда, проводя субстрактивную кластеризацию фрагмента ряда для текущего анализируемого периода, можно достаточно быстро контролировать фрактальную размерность ряда, существенное изменение которой является сигналом об изменении тенденции тренда.

На рис. 14(а) хорошо видна темная зона, соответствующая периоду финансового кризиса, а на рис. 14(б) выделены зоны существенного изменения его фрактальной размерности индекса 1пй при

анализе тренда индекса с шириной горизонта 23 дня, являющимся одним из найденных авторами краткосрочных условно периодических циклов.

Метками изменения фрактальной размерности на рис. 14 являются контрастные горизонтальные линии в выделенных зонах, предшествующие в ноябре 2003 года существенному увеличению цен на акции GMNK и существенному снижению в мае 2008 года. Помимо этого, выделенные периодические циклы позволяют оптимально формировать инвестиционные портфели. В частности, как показал Марковиц (Markowitz), для портфеля ожидаемая доходность представляет собой взвешенное среднее ожидаемых доходов по отдельным акциям в портфеле с учетом ковариации портфеля:

°2,Ь =°2 + 2РаЬ°а°Ь >

где рь - корреляция между акциями а и Ь. То есть, если имеет место положительная корреляция, то суммированный риск двух акций будет больше, чем риск двух акций по отдельности. Однако, если имеет место отрицательная корреляция, то суммированный риск этих двух акций будет меньше, чем риск по любой из акций в отдельности. Они будут диверсифицировать друг друга. При этом при формировании портфеля следует учитывать кратность оптимальных инвестиционных горизонтов акций, которые в свою очередь, как было показано выше, успешно определяются с помощью показателя Херста через выделение периодических циклов.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Бутырин А.А. Оптимизация фондовых индексов для прогнозирования ценных бумаг ОАО ГМК "Норильский никель". М, Цветные металлы, 2009. С. 27-31.

2. Петерс Э. Хаос Фрактальный анализ финансовых рынков. Применение теории Хаоса в инвестициях

и экономике. М.: Интернет-Трейдинг 2004. 304 с.

3. Перепелица В.А., Тамбиева Д.А, Комиссарова К.А. Исследование Л/^-траектории одного временного ряда страхования / Электронный журнал "ИССЛЕДОВАНО В РОССИИ" 11йр:/^ита1.аре.ге1ат. ги/агйс^/2004/248.р^