Математическое моделирование гидроупругих колебаний стенок канала, установленного на упругом основании Текст научной статьи по специальности «Физика»

Электронный научный журнал "Математическое моделирование, компьютерный и натурный эксперимент в естественных науках" http://mathmod.esrae.ru/ URL статьи: mathmod.esrae.ru/16-55 Ссылка для цитирования этой статьи:

Попова А.А. Математическое моделирование гидроупругих колебаний стенок канала, установленного на упругом основании // Математическое моделирование, компьютерный и натурный эксперимент в естественных науках. 2017. №4_

УДК 532.517.2:539.3

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ГИДРОУПРУГИХ КОЛЕБАНИЙ СТЕНОК КАНАЛА, УСТАНОВЛЕННОГО НА УПРУГОМ ОСНОВАНИИ

Попова А.А.1

Саратовский государственный технический университет имени Гагарина Ю.А.,

Россия, Саратов, anay_p@bk.ru

MATHEMATICAL MODELING OF HYDROELASTIC WALLS OSCILLATIONS OF A CHANNEL RESTING ON ELASTIC FOUNDATION

Popova A.A.1

1Yuri Gagarin state technical university of Saratov, Saratov, Russia, anay_p@bk.ru

Аннотация. Предложена математическая модель для исследования колебаний упругих стенок щелевого канала, установленного на упругом основании Винклера. Канал образован двумя параллельными жестко защемленными пластинами и заполнен вязкой пульсирующей жидкостью. Рассмотрена плоская задача для режима установившихся гармонических колебаний и осуществлен переход к одномассовой модели. Найдены законы изменения давления жидкости в канале и колебаний его стенок.

Ключевые слова: вибрирующий штамп, пластина, гидроупругие колебания, упругое основание, вязкая жидкость.

Abstract. A mathematical model was proposed to study the elastic walls oscillations of a narrow channel resting on Winkler foundation. The channel is formed by two parallel clamped plates and filled with viscous pulsating fluid. The plane problem was considered for the steady-state harmonic regime and the conversion to spring-mass system was made. The liquid pressure law in the channel and the laws of elastic channel walls oscillations are obtained.

Keywords: vibrating stamp, plate, hydroelastic oscillations, elastic foundation, viscous liquid.

Математическое моделирование проблем взаимодействия жидкости с ограничивающими ее стенками является важным направлением современной механики [1-5]. Если ограничиться рассмотрением стенок каналов, образованными пластинами или балками, можно выделить два направления: в

рамках первого жидкость рассматривается как идеальная, а в рамках второго как вязкая. Например, в [6] изучены колебания стенки-балки, взаимодействующей с идеальной жидкостью применительно к гильзе двигателя внутреннего сгорания с водяным охлаждением. В [7] рассмотрены колебания пластины, погруженной в идеальную несжимаемую жидкость со свободной поверхностью, а в [8] вынужденные гидроупругие колебания пластины при ее взаимодействии с вибратором. В [9-13] изучены собственные и хаотические колебания пластин в неподвижной идеальной жидкости или ее потоке. В [1416] рассмотрены вопросы динамики и устойчивости пластины, как элемента проточного канала, при ее взаимодействии с идеальной жидкостью (газом).

С другой стороны, в [17] исследованы колебания бесконечной балки на слое вязкой жидкости, а в [18] колебания упруго закрепленной твердой стенки щелевого канала конечных размеров. В [19] изучаются колебания консольной балки в вязкой несжимаемой жидкости, а в [20] в ее потоке применительно к пьезоэлементу. В [21-23] рассмотрены вопросы динамики вязкой несжимаемой жидкости в узком и клиновидном каналах с учетом упругих свойств одной из их стенок. В [24-29] исследованы гидроупругие колебания стенок узких каналов с вязкой несжимаемой жидкостью, образованные дисками и пластинами. Однако, в вышеуказанных работах не учтено влияние упругих свойств оснований каналов. В [30] предложена математическая модель колебаний мембраны, взаимодействующей с идеальной жидкостью, и установленной на основании Винклера, а в [31-33] предложены модели гидроупругого взаимодействия идеальной жидкости и прямоугольных пластин на основании Пастернака. В [34-38] изучены проблемы гидроупругости пластины на основании Винклера, взаимодействующей с пульсирующим слоем вязкой несжимаемой жидкости, в [39, 41] предложена модель для изучения гидроупругих колебаний упругого цилиндра, образующего стенку кольцевого канала с вязкой жидкостью, и окруженного средой Винклера. Однако, в указанных выше работах, не рассмотрены колебания двух жестко защемленных на торцах пластин, образующих стенки узкого канала, установленного на упругом основании.

Рассмотрим следующую схему щелевого канала, образованного двумя параллельными упругими пластинами 1 и 2, жестко защемленными на торцах (см. рис. 1). Будем полагать, что нижняя пластина 2 установлена на упругом основании Винклера. Канал, полностью заполнен пульсирующей вязкой несжимаемой жидкостью 3. Декартову систему координат Oxz свяжем со срединной поверхностью нижней пластины. Будем рассматривать только установившиеся изгибные колебания пластин и считать, что давление на торцах канала изменяется по заданному гармоническому закону рф=ртехр(Ш), где рт - амплитуда пульсаций давления, ю - частота, t - время. Пластины 1 и 2 имеют геометрические размеры в плане 21*Ь, а их толщины и При этом Ь>>21, т.е. рассмотрим плоскую задачу. Жидкость полностью заполняет канал толщиной 80«1. Амплитуды прогибов пластин ^1т и значительно меньше

д0. Истечение жидкости на торцах канала можно считать свободным в ту же среду с постоянным давлением р0.

В рассматриваемой постановке, осуществим переход от рассмотрения пластин к одномассовой модели каждой из них согласно подходу, предложенному в [3, 42], т.е. рассмотрим канал с двумя твердыми стенками, имеющими эквивалентную массу т1э, т2э и подвешенными на пружинах с эквивалентной жесткостью щэ и п2э.

3

02

I

01

2

■Л--->■

I

X

Рис. 1.

В результате, получаем задачу колебаний стенок канала, взаимодействующих с пульсирующей вязкой жидкостью, включающую в себя: - уравнения динамики стенок канала

т1э21 + П1эХ1

т2 эХ2 + П2эХ2 =- ¥

(1)

- уравнения динамики сильновязкой несжимаемой жидкости [1-4]:

1 др

—— = V

р дх 1 др

—— = V р дх

ди„ ди„

■ + ■

ч дх х д щ

+

д 2щ

+

д2 2 д 2и,

дх1 дх1

= 0.

(2)

дх дх

здесь ¥ - сила давления жидкости, 21=г1т/1(ш1), х2=г2т/2(^) - законы перемещений одномассовых моделей, моделирующих прогибы пластин; г1т, 22т - амплитуды перемещений; р - закон изменения давления в тонком слое жидкости вдоль канала; их, щ - проекции вектора скорости жидкости на оси

координат; р - давление; р - плотность кинематической вязкости жидкости.

Сила давления жидкости имеет вид:

¥

Ь | pdx.

жидкости; V - коэффициент

(3)

-1

Рассматривая одномассовые системы будем полагать, что центр ранее введенной системы координат смещен на поверхность нижней пластины

(твердой стенки), взаимодействующей с жидкостью. При этом уравнения (3) дополняются граничными условиями прилипания жидкости к стенкам канала и давления на его торцах:

Ux = 0> uz = при z = ¿0 + Zlmfl(at

ux = 0, uz = z2 при z = z2mf2 (at), (4)

p = p0 при x = ±1 .

Выражения для эквивалентной массы и жесткости могут быть получены из условий равенства кинетических энергий упругой и жесткой пластины, а также совпадения максимального статического прогиба пластины при действии равномерно распределенной нагрузки, эквивалентной силе 1 Н, с перемещением одномассовой системы [3, 42]. Данные условия приводят к

следующим выражениям:

i

Po1bho1 { w2(x)^

-t 1 (5)

тэ = -S-, Пэ = -, i = 1,2

w w.

i a i max

где p0l - плотность материала i-ой пластины; wi (x) - форма прогиба i-ой пластины; wia - прогиб в точке центра масс i-ой пластины х = 0.

Исходя из условий торцевого закрепления пластин, зададим форму их прогиба в виде

f , чА2

w = w.

i i max

1

I

(6)

V W У

Применяя метод Бубнова-Галеркина в первом приближении, определим прогибы пластин при равномерно распределенной нагрузке, а затем по (5) получим:

256 ,, . 48bD

тэ =^TP0ih0ibl , Пэ =

315 0i 0i iJ I3

\ + X4 2 '

D 63

(7)

Е И3

где D i =-1 01 2 - цилиндрическая жесткость ¿-ой пластины; Е1 - модуль

12(1 )

Юнга материала 1-ой пластины; ^ 1 - коэффициент Пуассона материала ¿-ой пластины.

Введем в рассмотрение безразмерные переменные и малые параметры задачи

Т = М , £ = х/1 , £ = 8{), иг = , их =

Р = Р(Т) + Ро + Р^Р , У = МI << 1, * = ¿0 << 1, *2»МИ = 0(1) . (8)

Учитывая (8) в (2)-(4) получаем, с точностью до у и X, следующую краевую задачу гидродинамики тонкого слоя сильно вязкой жидкости:

дР д2и, дР

= 0,

дий ди

й

+ ■

с

дй д£2 ' д£ ' дй дС

йт

=0

ий= 0, при £=! ,

(9)

ий= 0, ис= при £= 0,

¿1ш

Р = 0 при й=± 1.

Решая (9), а затем, возвращаясь к размерным переменным, представим давление жидкости в канале в виде

Р = Р0 + Р^) +

612ру

83

2

' хЛ

I

1

V 0 У

(¿1 - ¿2^

(10)

Учитывая (10) в (3) получаем выражение для силы, действующей со стороны жидкости на стенки канала:

МъЬру

F = 21Ь(р0 + р{г)) + Кг2 - К1, К =

83

(11)

где К - коэффициент демпфирования слоя вязкой жидкости, находящейся в канале между вибрирующим штампом и пластиной.

Подставляя силу (11) в уравнения динамики стенок канала (1) получаем

шХэ -¿1 + К2Х + пхэ2х - К12 = 21Ь(Р0 + Р(г)),

т2+ К2 + ^¿2 - К1 = -21Ь(Р0 + Р^)) • ( )

Решение (12) для установившихся гармонических колебаний имеет вид

¿1 = 21Ь

+ ршА1(а)в1 (О+р(О))

п

1э

¿

21Ь

+ ршА2(а)в1 (О+р(О))

п

1э

4(о) =

АО

П2э - Ш2э°

(П - шъю )(П2 э - Ш2 эО ) - К О ) + К О (пъ + П2 э -О (шъ + Ш2 э))

п1э - ш1э0

(13)

((П1э - шъю1)(п2э - ш2эо2) - К2О2)2 + К2о2(пъ + п2э - 0д\шХэ + ш2э))

22

Р(О) = агС^

Ко(о (Ш1э

+ ш2э ) - (П1э + П2э )) (п1э - ш1э°2)(п2э - ш2э°2) - К2°2

Здесь А1(о), А2(о) - амплитудно-частотные характеристики стенок канала, Р(о) - фазовые частотные характеристики стенок канала.

В результате, построена математическая модель для исследования гидроупругих колебаний жесткозащемленных стенок щелевого канала, заполненного пульсирующей вязкой жидкостью и установленного на упругое

2

2

основание Винклера. В рамках полученной модели возможно определение амплитуд гидроупругих колебаний пластин-стенок канала, а также давления в слое вязкой жидкости. Построенные амплитудные частотные характеристики позволяют находить резонансные частоты и соответствующие им амплитуды колебаний.

Кроме того, построенные в работе амплитудно-частотные и фазовые частотные характеристики пластин могут быть применены для создания алгоритмов и программных методов неразрушающего контроля физических свойств стенок канала и упругого основания по параметрам вынужденных колебаний стенок канала, установленного на исследуемом основании.

Литература

1. Горшков А.Г., Морозов В.И., Пономарев А.Т., Шклярчук Ф.Н. Аэрогидроупругость конструкций. М.: Физматлит, 2000. 591 с.

2. Морозов В.И., Пономарев А.Т., Рысев О.В. Математическое моделирование сложных аэроупругих систем. М.: Физматлит, 1995. 736 с.

3. Могилевич Л.И., Попов В.С. Прикладная гидроупругость в машино- и приборостроение. Саратов: Саратовский ГАУ, 2003. 156 с.

4. Могилевич Л.И., Попов В.С., Христофорова А.В. Математические вопросы гидроупругости трехслойных элементов конструкций. Саратов: Изд-во КУБиК, 2012. 123 с.

5. Анкилов А.В., Вельмисов П.А. Динамика и устойчивость упругих пластин при аэрогидродинамическом воздействии. Ульяновск, 2009. 220 с.

6. Индейцев Д.А., Полипанов И.С., Соколов С.К. Расчет кавитационного ресурса втулки судовых двигателей // Проблемы машиностроения и надежности машин. 1994. №4. С.59-64.

7. Haddara M.R., Cao S.A Study of the Dynamic Response of Submerged Rectangular Flat Plates // Marine Structures. 1996. V. 9. No. 10. P. 913-933. DOI: 10.1016/0951-8339(96)00006-8.

8. Chapman C.J., Sorokin S.V. The forced vibration of an elastic plate under significant fluid loading // Journal of Sound and Vibration. 281. (2005). P. 719741. DOI: 10.1016/jjsv.2004.02.013.

9. Ergin A., Ugurlu B. Linear vibration analysis of cantilever plates partially submerged in fluid // Journal of Fluids and Structures. 2003. Vol. 17. No.7. P. 927-939. DOI: 10.1016/S0889-9746(03)00050-1.

10.Kramer, M.R., Liu, Z., Young, Y.L. Free vibration of cantilevered composite plates in air and in water // Composite Structures. 2013. Vol. 95. P. 254-263. DOI: 10.1016/j.compstruct.2012.07.017

11.Kerboua Y., Lakis, A.A. Thomas M., Marcouiller L. Vibration analysis of rectangular plates coupled with fluid // Applied Mathematical Modelling. 2008. Vol. 32. No. 12. P. 2570-2586. DOI: 10.1016/j.apm.2007.09.004.

12.Bochkarev S.A., Lekomtsev S.V., Matveenko V.P. Hydroelastic Stability of a Rectangular Plate Interacting with a Layer of Ideal Flowing Fluid // Fluid Dynamics. 2016. Vol. 51. No. 6. P. 821- 833. DOI: 10.1134/S0015462816060132.

13.Avramov K.V., Strel'nikova E.A. Chaotic oscillations of plates interacting on both sides with a fluid flow // International Applied Mechanics. 2014. Vol. 50. No. 3. P. 303-309. DOI: 10.1007/s10778-014-0633-y.

14.Анкилов А.В., Вельмисов П.А., Тамарова Ю.А. Исследование динамики и устойчивости упругого элемента проточного канала // Журнал Средневолжского математического общества. 2016. Т. 18. № 1. С. 94-107.

15.Анкилов А.В., Вельмисов П.А., Тамарова Ю.А. Динамическая устойчивость упругого элемента проточного канала // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. 2014. № 3 (31). С. 40-55.

16.Анкилов А.В., Вельмисов П.А., Тамарова Ю.А. Математическая модель вибрационного устройства // Автоматизация процессов управления. 2014. № 3 (37). С. 58-67.

17. Onsay T. Effects of layer thickness on the vibration response of a plate-fluid layer system // Journal of Sound and Vibration. 1993. V. 163. No. 2. P. 231259. DOI: 10.1006/jsvi.1993.1162.

18.Ageev R. V., Mogilevich L. I., Popov V. S., Popova A. A., Kondratov D. V. Mathematical Model of Pulsating Viscous Liquid Layer Movement in a Flat Channel with Elastically Fixed Wall // Applied Mathematical Sciences. 2014. Vol. 8. No. 159. P. 7899-7908. DOI: 10.12988/ams.2014.410795.

19.Faria Cassio T., Inman Daniel J. Modeling energy transport in a cantilevered Euler-Bernoulli beam actively vibrating in Newtonian fluid // Mechanical Systems and Signal Processing. 2014. Vol. 45. No. 2. P. 317-329. DOI: 10.1016/j.ymssp.2013.12.003.

20.Akcabay D.T., Young Y.L., Hydroelastic Response and Energy Harvesting Potential of Flexible Piezoelectric Beams in Viscous Flow // Physics of Fluids. 2012. Vol. 24. No. 5. DOI: 10.1063/1.4719704.

21.Агеев Р.В., Могилевич Л.И., Попов В.С., Попова А.А. Движение вязкой жидкости в плоском канале, образованном вибрирующим штампом и шарнирно опертой пластиной // Труды МАИ. 2014. № 78.

22.Mogilevich L.I., Popov V.S., Rabinsky L.N. Mathematical modeling of elastically fixed wall longitudinal oscillations of wedge-shaped channel under foundation vibration // International Journal for Computational Civil and Structural Engineering. 2016. Т. 12. № 4. С. 9-17.

23.Popov V.S., Popova A.A., Sokolova D.L. Mathematical modeling of longitudinal oscillations tapered narrow channel wall under pulsating pressure of highly viscous liquid // Applied Mathematical Sciences. 2016. Т. 10. № 53. С. 2627-2635.

24.Могилевич Л.И., Попов В.С. Исследование взаимодействия слоя вязкой

несжимаемой жидкости со стенками канала, образованного соосными вибрирующими дисками // Известия Российской академии наук. Механика жидкости и газа. 2011. № 3. С. 42-55.

25.Могилевич Л.И., Попов В.С., Попова А.А. Динамика взаимодействия упругих элементов вибромашины со сдавливаемым слоем жидкости, находящимся между ними // Проблемы машиностроения и надежности машин. 2010. №4. С. 23-32.

26.Агеев Р.В., Кузнецова Е.Л., Куликов Н.И., Могилевич Л.И., Попов В.С. Математическая модель движения пульсирующего слоя вязкой жидкости в канале с упругой стенкой // Вестник Пермского национального исследовательского политехнического университета. Механика. 2014. № 3. С. 17-35. DOI: 10.15593/perm.mech/2014.3.02.

27.Агеев Р.В., Могилевич Л.И., Попов В.С. Колебания стенок щелевого канала с вязкой жидкостью, образованного трехслойным и твердым дисками // Проблемы машиностроения и надежности машин. 2014. № 1. С. 3-11.

28.Могилевич Л.И., Попов В.С., Скородумов Е.С. Динамика сдавливаемого слоя вязкой несжимаемой жидкости, взаимодействующего с упругой пластиной // Математическое моделирование, компьютерный и натурный эксперимент в естественных науках. 2017.№ 1.

29.Грушенкова Е.Д., Могилевич Л.И., Попов В.С., Скородумов Е.С. Математическое моделирование динамики взаимодействия слоя вязкой жидкости с упругим трехслойным статором и абсолютно твердым вибратором опоры // Математическое моделирование, компьютерный и натурный эксперимент в естественных науках. 2016. № 1. С. 16-23.

30.Alekseev V.V., Indeitsev D.A., Mochalova Yu.A. Resonant oscillations of an elastic membrane on the bottom of a tank containing a heavy liquid // Technical Physics. 1999. Vol. 44. No. 8, p. 903-907.

31.Hosseini-Hashemi, S., Karimi, M., Hossein Rokni, D.T. Hydroelastic vibration and buckling of rectangular Mindlin plates on Pasternak foundations under linearly varying in-plane loads // Soil Dynamics and Earthquake Engineering. 2010. Vol. 30. No. 12. P. 1487-1499. DOI: 10.1016/j.soildyn.2010.06.019.

32.Kutlu A., Ugurlu B., Omurtag M.H., Ergin A. Dynamic response of Mindlin plates resting on arbitrarily orthotropic Pasternak foundation and partially in contact with fluid // Ocean Engineering. 2012. Vol. 42. P. 112-125. DOI: 10.1016/j.oceaneng.2012.01.010.

33.Ugurlu, B., Kutlu, A., Ergin, A., Omurtag, M.H. Dynamics of a rectangular plate resting on an elastic foundation and partially in contact with a quiescent fluid // Journal of Sound and Vibration. 2008. Vol. 317 No.1-2. P. 308-328. DOI: 10.1016/jjsv.2008.03.022.

34.Kuznetsova E.L., Mogilevich L.I., Popov V.S., Rabinsky L.N. Mathematical model of the plate on elastic foundation interacting with pulsating viscous liquid layer // Applied Mathematical Sciences. 2016. Vol. 10. No 23. P. 1101-

1109. DOI: 10.12988/ams.2016.6242.

35.Mogilevich L.I., Popov V.S., Popova A.A. Interaction dynamics of pulsating viscous liquid with the walls of the conduit on an elastic foundation // Journal of Machinery Manufacture and Reliability. 2017. Vol. 46. No 1. P. 12-19. DOL10.3103/S1052618817010113.

36.Mogilevich L. I., Popov V. S., Popova A. A., Christoforova A. V. Mathematical modeling of highly viscous liquid dynamic interaction with walls of channel on elastic foundation // IEEE Conference 2016 Dynamics of Systems, Mechanisms and Machines (Omsk, 2016). DOI: 10.1109/Dynamics.2016.7819051.

37.Mogilevich L.I., Popov V.S., Popova A.A., Christoforova A.V. Mathematical Modeling of Hydroelastic Walls Oscillations of the Channel on Winkler Foundation Under Vibrations // Vibroengineering PROCEDIA, Vol. 8, 2016, p.294-299.

38.Могилевич Л.И., Попов В.С., Попова А.А., Христофорова А.В. Математическое моделирование динамики взаимодействия сильновязкой жидкости со стенками канала, установленного на упругом основании // Динамика систем, механизмов и машин. 2016. Т. 3. № 1. С. 350-354.

39.Mogilevich L.I., Popov V.S. Mathematical modeling of incompressible viscous liquid layer interaction dynamics in an annular slit with its wall, surrounded by elastic medium // IEEE Conference 2016 Dynamics of Systems, Mechanisms and Machines (Omsk, 2016). DOI: 10.1109/Dynamics.2016.7819050.

40.Могилевич Л.И., Попов В.С. Математическое моделирование динамики взаимодействия слоя вязкой жидкости в кольцевой щели со стенкой, окруженной упругой средой // Динамика систем, механизмов и машин. 2016. Т. 3. № 1. С. 346-350.

41.Mogilevich L.I., Popov V.S., Kondratov D.V., Rabinskiy L.N. Bending oscillations of a cylinder, surrounded by an elastic medium and containing a viscous liquid and an oscillator // Journal of Vibroengineering. 2017. Vol. 19. Issue 8. P. 5758-5766.

42.Могилевич Л.И., Попов В.С. Динамика взаимодействия упругого цилиндра со слоем вязкой несжимаемой жидкости // Известия Российской академии наук. Механика твердого тела. 2004. № 5. С. 179-190.