CC BY
57
УДК 532.542:62-52
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ГИДРОДИНАМИЧЕСКИХ ПРОЦЕССОВ В ЧАСТИЧНО ЗАПОЛНЕННОЙ ВОЗДУХОМ ТРУБОПРОВОДНОЙ МАГИСТРАЛИ
© 2006 В. П. Шорин, М. А. Гимадиев Самарский государственный аэрокосмический университет
Изложена методика расчета гидродинамических параметров при движении столба жидко сти в пластмассовой трубопроводной магистрали, частично заполненной воздухом и подключенной к емкости с воздушной поло стью над жидко стью. Движение жидко сти начинается с момента открытия электропневмозаслонки и зависит от давления в емкости, параметров трубопроводов и числа их изгибов. Расчет гидродинамических параметров ведется в результате решения нелинейных интегрально-дифференциальных уравнений конечно-разностным методом. В результате расчета определяются скорость жидкости, силы реакции жидкости в изгибах трубопроводов и анализируется влияние действующих на них факторов.
Малый опыт эксплуатации пластмассовых труб и арматуры в технологических системах не позволяет учесть многие их особенности при проектировании и доводке. Поэтому в процессе эксплуатации таких систем часто возникают задачи, связанные с обеспечением их надежности.
Целью исследований является разработка математической модели гидродинамических процессов в трубопроводной магистрали, подсоединенной к емкости с воздушной полостью над жидкостью (рис. 1), и определение динамических нагрузок в изгибах трубопроводов при резком открытии электропневмозаслонки (ЭПЗ).
При расчете гидродинамических процессов принят ряд допущений: процесс истечения воздуха из емкости в трубопровод происходит по изотермическому циклу; ско -рость движения столба жидкости в трубопроводе намного меньше скорости звука; движение воздуха в трубопроводе (впереди потока жидкости) рассчитывается по квазистацио-нарной модели; жидкостная «пробка» распространяется по трубопроводной магистрали без остатка.
В соответствии с принятыми допущениями гидродинамический процесс в трубопроводной магистрали описывается интегральными и дифференциальными уравнениями, соответственно для входного (воздушного) участка, для участка с движущейся жид -костной пробкой и выходного воздушного участка.
Уравнение для воздушного участка на входе в трубопровод выводится на основании уравнения баланса массы газа в емкости (над жидкостью) (рис. 1). Первоначальная масса газа, запасенная в верхней части емкости (фильтра), определяется зависимостью
Мг.0 = Уф.0 Рг.0 , (1)
где Уф0 - объем воздушной полости над жидкостью в емкости в первоначальный момент р
ф.0 г,
времени; рг0 =-------, Рф0 - плотность и дав-
К Т
ление газа в емкости в первоначальный момент времени; К - газовая постоянная; Т -температура газа.
При открытии заслонки жидкость, находящаяся в трубопроводах 1 и 2, начинает
двигаться со скоростью Уж (^) . При этом газ
расширяется и давление в емкости Рф (^) уменьшается. Масса газа, оставшаяся в емкости М гф (^) и прошедшая в трубопровод
Мг тр (^), равна первоначальной массе газа в газовой полости емкости:
Мг.0 = Мг.ф (0 + Мг.тр 0). (2)
Масса газа, оставшаяся в емкости, определяется по формуле
Мгф = Ргф (0|Уф.0 -ДУж (')]. (3)
Рис. 1. Расчетная схема частично заполненной воздухом трубопроводной магистрали, подсоединенной к емкости с воздушной полостью
где р гф (ї) - плотность газа в емкости в момент времени ї; ЛКж (ї) - приращение объема жидкости, обусловленной ее расширением в результате падения давления и упругой деформации стенок емкости.
Приращение объема жидкости ЛКж (ї) определяется зависимостью
ЬУж.(!) = ^[Рф.0 -Рф(ї)],
В
(4)
Величина Ва в может быть приближенно определена по формуле Н. Е.Жуковского [1]
В„
1+-
8Е
(5)
ж.ф
где Ужф - объем жидкости в емкости;
Вж ф - модуль объемной упругости жидкости в емкости с учетом податливости ее стенок;
рв 0 - первоначальное давление в газовой полости емкости.
где Ва - модуль объемной упругости жидко -сти; dв - диаметр емкости; 8 - толщина стенок емкости; Е - модуль упругости материала стенок емкости. Более точное значение
Ва в может быть получено экспериментально путем измерений объема жидкости , вытесненной из тщательно заполненной водой емкости, и падения давления в ней ДРв :
ЛРо_
лvл
Сократив КТ в левой и правой частях (6) (11) и преобразовав, получим
где Уа0 - внутренний объем емкости, полностью заполненной жидкостью.
Плотность газа рв (t), представленная
в формуле (3), зависит от давления Рв (t) [1]:
В,
Р2(ї) +
V,
В,
Ро .0 + К.0
X
х Р. (ї) - Р. У. 0 = 0.
о ' / о .0 о .0
(12)
Ра. о (ї) =
Ро (ї) ЯТ '
(7)
С учетом (4) и (7) формула (3) перепишется в виде
£
Если известна величина 1(t)dt, то
0
уравнение (12) можно решить относительно Рв (t) , предварительно представив его в виде
і(ї)=.
а .о ' / ЯЯТ 1 о 0
V,,. - [р4, - Р„ (ї)І .(8)
Масса газа, прошедшего в первый участок трубопровода, определяется зависимостью
Ма.об (ї) = РШ (ї)\0, (ї)йї ,
ар(ї) + Ър6 (ї) - с = 0,
(13)
В,
В,
-Р,0 + Vд. 0;
(9)
Решив квадратное уравнение (13), получим
л/ъ2 + 4ас - Ъ
где Рк6а (t) - плотность газа; (t) = (t)F
- объемный расход жидкости, движущейся в трубопроводе; F - площадь проходного сечения трубопровода.
Плотность газа в трубопроводе р(~1А (t)
зависит от давления газа Рв (t) (без учета гид -равлических потерь на трение по сравнению с абсолютным значением давления):
2а
(14)
Если Рв (t) имеет отрицательное значение, то из физических соображений ему будет присвоено нулевое значение.
Уравнение движения газа в трубопроводе за ЭПЗ, представленное относительно давления на входе в воздушный участок магистрали Р(1д1 (t) , записывается в виде [2]:
р(}> (і) = Ро (І) і а. об ' У ЯЯТ '
(10)
Уравнение (2) с учетом (8) - (10) перепишется в виде
+ -
ЯТ
| О, (ї)йї-
Р.)(ї) =
1 - -Т (о)2 х
1. 1аио -Л/0 + 2 Ы а й
( р(И(0 л
Рн
РЯг° = РтГ .0 - ^ [Ро .0 - Рб (ї)\ +
Ро(ї) ї (11)
Рн,
(15)
где у~б)А (t) - скорость потока газа на входе в воздушный участок трубопровода за движущейся жидкостью (рис. 1); - коэффициент
сопротивления трения газового потока; Іаио -длина выходного участка трубопровода после заслонки, заполненного воздухом; А І2(і) - отрезок трубопровода за ЭПЗ, который прошел столб жидкости после открытия заслонки; Рн - давление на выходе из трубопроводной магистрали.
гг ,,(1) 1 2* (і)
Так как у~дд (і) = —^— и
р
перепишется в виде
Р(д)(і) =
1 _ 2* (*)
1 1 1
—(І- _ — 12 (і)Мі) +
і ' аио ту | ' / /
2ІП
У
о
Р(д)(*)
Рн
Рн
Р(дд(1)=
1 _
2* (і)
Я 1 *
М (Іао + р12* (І)Мі) +
'Р* (*) '
2 Іп
Р,
Р* (*),
(17)
Уравнение движения жидкости в трубопроводной магистрали выводится на основе уравнения баланса сил, действующих на массу жидкости. С учетом принятых ранее допущений уравнение движения жидкости в трубопроводе записывается в виде [3]:
к ( )М2(-)+(* 2* (і)2. (і) =
м
= Р,дд (і) _ Р(1д + ^ (У*„ -12* (і)Мі),
(18)
1 1
Аі2(і) = у ‘12* (і) • М, то уравнение (15)
где Ьй(t) - акустическая индуктивность участка трубопровода, заполненного жидкостью;
К... (I) = -Г*2( Ус(іО + Я .. —) - коэффи-
I е\ / г\ т?2 ‘ .1О * . I От' т Т
І=І
І *
2 У
і=1
М
(16)
Из (16) следует, что противодавление на столб жидкости со стороны воздушного участка магистрали зависит от расхода жидко -сти, параметров трубопровода и давления
окружающей среды Рн .
При выводе зависимости для определения давления на выходе из воздушного участка трубопровода перед столбом жидкости приняты следующие допущения: движение газа по трубопроводу изотермическое, квази-стационарное; инерционное сопротивление столба газа в трубопроводе мало по сравнению с активными потерями. Тогда анало -гично выводу уравнения (16) можно получить выражение для определения давления
Р((2д (t) на выходе из входного участка трубопровода (на входе в жидкостный столб):
циент нелинейного гидравлического сопротивления участка трубопровода, заполненного жидкостью; д(г\й - коэффициент /- ых местных гидравлических потерь (изгибов трубопроводов) при неустановившемся движении жидкости; 1а Л6 - коэффициент гидравлических потерь в трубопроводе при неустановившемся движении жидкости; /а = / + /2 - длина участка трубопровода, заполненного жидкостью; ра - плотность жидкости; g - ускорение свободного падения; Ух 0 - объем жидкости в вертикальном участке трубопровода длиной /1.
Из полученных уравнений (12), (17) и (18) следует, что возможны различные режимы движения жидкости в трубопроводной
магистрали, и поэтому определение Ьй (t) и
Кё (t) следует проводить отдельно для каждого режима.
Режим 1. В емкости присутствует воздушная подушка над жидкостью, и трубопровод, начиная от ЭПЗ до выхода, заполнен воздухом. Акустическая индуктивность Ьй(t) в момент времени t определяется зависимостью
где /ад - длина воздушного участка трубопровода перед жидкостным столбом до открытия заслонки.
4(і) = Р~Уг при р
1 *
1 [ 2 (і)Мі < І... -1
т-. І \ї-ж\ / — аио * 5
1
Ь.(і) = р(І* -Іаио + -12*І)Мі) (19)
при У12* (ОЛ > Іаио _І* .
проходного сечения заслонки (22) можно представить в виде
Р(і) =
УУ
Р-0
/ / \ \
1 - Св8 р і
2 ір
V V р) 0
УРр. о їде I > ір.
їде 1 < 1 р
(23)
Режим 2. В емкости присутствует воздушная полость над жидкостью, и трубопровод, начиная от ЭПЗ до выхода, заполнен жидкостью. Уравнение движения жидкости запишется в виде
Ь (і )Л27Г- + К, (і 2 (і)2* (і)\ = Л
= Рд' (і) + рт (V* .0 -12* (і)Мі).
(20)
Коэффициент гидравлического сопротивления К ё (t) определяется в соответствии с (18), а акустическая индуктивность рассчи-
тывается по зависимости
1 і
К(і) = у(І* + Іаио - У12* і)Мі) . (21)
В результате решения системы нелинейных интегрально-дифференциальных уравнений для трубопроводной магистрали с переменными параметрами может быть определена скорость движения жидкости в любом заданном сечении в заданный момент времени.
Расчет гидродинамических параметров потока жидкости в сливной магистрали при открытии заслонки проводится на основе решения нелинейных интегрально-дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами. Решение таких уравнений в явном виде не представляется возможным, и поэтому применен метод последовательных приближений с представлением интегрально-дифференциальных уравнений в разностной форме.
Перепишем уравнение (17) в следующем виде:
Движение жидкости в трубопроводе начинается с момента открытия ЭПЗ, характеристика которого учитывается при расчете
суммарного сопротивления К ё (t) . ЭПЗ открывается за время t. Принимая во внимание, что площадь проходного сечения заслонки в открытом положении равна Р0 = у¥ (где у - коэффициент, учитывающий стесненность потока жидкости из-за наличия самой заслонки и узла ее крепления), закон изменения площади проходного сечения заслонки для трубопровода можно определить на основе данных, приведенных в [4]:
рр(і) =Р о •С1 -са^(аі)].
(22)
Лі
р(2і(0 - Р(д)(і)+рр^ х
(V*.о -12* (і)Лі) -к^ (і)2* (і)\2*
о
(24)
Разностное уравнение, записанное на основании (24), имеет вид:
21І = 2 1,і-1 +
Р(2) - р( +
а.дд ,і—1 а.дд ,і-1
р І='7
- (V*.0 -
І=1
КІе І-12* ,і-1 І2* ,і-1
зґ 1)
У (V*. 0 - У 2* -Аі) -
(25)
Если заслонка за время t = t поворачивается на угол, равный р / 2, т. е. полностью открывается, то закон изменения площади
где Кё а-^ Ка-1, ° а-1 - со-
ответственно коэффициент гидравлических потерь, акустическая индуктивность, давление и расход жидкости, рассчитываемые на предыдущем шаге интегрирования с учетом
Ь
а, і -1
начальных условий; Лt - шаг интегрирования.
На основании выведенных формул составлены алгоритм и программа расчета гидродинамических параметров трубопроводной магистрали [6]. В результате расчета определяются расход (скорость потока) жидкости в трубопроводной магистрали и давление в емкости. При известной скорости жидкости в местах изгиба рассчитываются гидродинамические силы, действующие на трубопроводы. Так как по допущению о сосредоточенности параметров трубопроводов объемная скорость потока в пределах выделенного столба жидкости одинакова, то и силы реакции струи в местах изгиба при одинаковых скоростях в один и тот же момент времени будут одинаковы. Поэтому для определения силы реакции струи жидкости в местах изгиба трубопроводов достаточно рассчитать ско -рость потока и определить, проходит ли в этот момент времени жидкость через тот или иной изгиб.
Гидродинамические силы рассчитываются на основе теоремы о количестве движения материальных точек. При выводе расчетных зависимостей будем предполагать, что движение жидкости в месте изгиба трубопровода квазистационарное. На основании теоремы об изменении количества движения массы жидкости, находящейся в изгибе трубопровода между сечениями на входе и выходе (рис. 2), можно записать [5]:
кости на выходе из изгиба; Ядд х - проекция силы трения жидкости о стенки трубопровода внутри изгиба на ось X; Ях - сила реакции струи на стенки трубопровода вдоль оси X; Ярм , Ярайа - проекции силы давления жидкости соответственно на оси X и ось У.
Так как участки трубопровода в месте изгиба малы, то при расчетах потерями на трение о стенки можно пренебречь:
Рд д.х » 0, Яд дУ » 0 . Кроме того, учитывая
большой диаметр трубопровода по отношению к пограничному слою и турбулентный
характер потока, можно принять /3 0= 1. Учитывая однородность потока и одинаковость диаметров проходных сечений на входе в изгиб и на выходе из него, можно принять
Уу = = V ,
Яр о = Р.¥ ЯР = Р Р
Р.ао ао 5 Р.айо ± ай5х -
(27)
(28)
где Рао, Рай5 - статическое давление жидко -сти на входе в изгиб и на его выходе.
Тогда на основании (26)-(28) и принятых допущений силы реакции струи по осям X и У запишутся в виде
Ят = РаоР + Р . Я. V
Я = Райо Р + Р. 0. У-
(29)
30р. 0. УУ = Я,
дд .У
-ЯУ -ЯРМ’
(26)
где 30 - коэффициент, учитывающий неравномерность скорости потока жидкости по сечению трубопровода на входе в изгиб и на
его выходе; уу - средняя по сечению трубопровода скорость потока жидкости на входе
в изгиб; Ядд У - проекция силы трения жидкости о стенку трубопровода внутри изгиба на ось У; ЯУ - сила реакции струи на стенки
трубопровода вдоль оси У; vX - средняя по сечению трубопровода скорость потока жид-
Рис. 2. Схема приложения сил реакции струи жидкости вместе изгиба трубопровода
Суммарная сила реакции струи на изгиб определяется по формуле
Я = 1/2р&УГ+Р+рйо7Р. (30)
При действии силы реакции струи Я на изгиб трубопровод испытывает сложное напряженное состояние. Входной и выходной участки трубопроводов подвергаются одновременно растяжению и изгибу. Сила ЯX создает на входном участке изгибающий момент, а ЯУ - растяжение; на выходном участке ЯX растягивает, а ЯУ создает изгибающий момент. В зависимости от конфигурации входного и выходного участков труб и степени крепления их в опорных точках могут быть определены напряжения в опасных сечениях и рассчитан запас прочности трубопроводных магистралей.
Список литературы
1. Попов Д. Н. Механика гидро- и пневмоприводов. - М.: Изд-во МГТУ им. Баумана, 2002.
2. Ибрагимов А. И., Фарзане Н. Г., Иля-сов Л. В. Элементы и системы пневмоавтоматики. Учебное пособие для вузов. - М.: Высшая школа, 1975.
3. Шорин В. П. Устранение колебаний в авиационных трубопроводах. - М.: Машиностроение, 1980.
4. Башта Т М. Гидропривод и гидропневмоавтоматика. - М.: Машиностроение, 1976.
5. Прандтль Л. Гидроаэромеханика. -М.: Издательство иностранной литературы, 1951.
6. Шорин В. П., Гимадиев М. А. Алгоритм расчета гидродинамических параметров частично заполненной воздухом трубопроводной магистрали // Вестник СГАУ. - Самара, 2006. № 1(9). - С. 214-218.
MATHEMATICAL MODELING OF HYDRODYNAMIC PROCESSES IN A PIPELINE PARTIALLY FILLED WITH AIR
© 2006 V. P. Shorin, M. A. Gimadiyev Samara State Aerospace University
The papers present the procedure of calculating hydrodynamic parameters for liquid column motion in a plastic pipeline partially filled with air and connected up to a tank with an air cavity over the liquid. The liquid starts moving at the moment the eiectropnevmatic gate is opened. End the motion depends on the pressure in the tank, pipeline parameters and the number of bends in the pipeline. Hydrodynamic parameters are calculated on the basis of solving non - linear integral and differential equations by the finite difference method. The results of calculation make it possible to define the liquid velocity, the forces of liquid reaction in pipeline bends and to analyse the influence of the factors affecting them.
