CC BY
2
УДК 517.958
EDN: DCJWDO
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ЭВОЛЮЦИИ ПРОДОЛЬНЫХ ВОЛН ДЕФОРМАЦИИ В КОЛЬЦЕВОМ КАНАЛЕ С ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТЬЮ, СТЕНКИ КОТОРОГО ИМЕЮТ ДРОБНУЮ ФИЗИЧЕСКУЮ НЕЛИНЕЙНОСТЬ
Л.И. Могилевич1 Е.В. Попова1 М.В. Попова2
mogilevichli@gmail.com
elizaveta.popova.97@bk.ru
mari.popova.2004@internet.ru
1 СГТУ имени Гагарина Ю.А., Саратов, Российская Федерация
2 СГУ, Саратов, Российская Федерация
Аннотация
Предложена математическая модель и выполнено моделирование процесса распространения продольных нелинейных волн деформации в стенках кольцевого канала, заполненного вязкой жидкостью постоянной плотности. Стенки канала рассматриваются как две бесконечно длинные цилиндрические оболочки, продольные оси симметрии которых совпадают. Изучен случай, когда материал оболочек имеет дробную физическую нелинейность. В рамках разработанной модели оценено влияние инерции движения жидкости и ее вязкости на волновой процесс. Проведен асимптотический анализ разрешающих уравнений гидроупругости стенок канала методом возмущений и осуществлен переход к системе двух обобщенных уравнений Шамеля, описывающих эволюцию продольных нелинейных волн деформации в стенках рассматриваемого канала. Для частного случая найдено точное решение этой системы солитонного вида и показано, что в общем случае система требует численного исследования. Для реализации вычислительного эксперимента предложены новые разностные схемы, подобные схеме Кранка — Николсона для исследования распространения теплоты. Моделирование показало, что с течением времени скорость и амплитуда волн деформации остаются неизменными, а скорость волн является сверхзвуковой. При рассмотрении в качестве начальных условий точного решения расчеты показали совпадение численного решения
Ключевые слова
Моделирование, волны дефор-
мации, кольцевой канал, I ная нелинейность, вязкая жидкость, метод возмущений, обобщенное уравнение Шамеля
с точным. Это подтверждает адекватность предложенной разностной схемы для обобщенных уравне- Поступила 25.01.2023 ний Шамеля. Показано, что уединенные волны де- Принята 22.06.2023 формации в стенках канала являются солитонами © Автор(ы), 2024
Работа выполнена при поддержке гранта РНФ (проект № 23-29-00140)
Введение. Фундаментальный задел в вопросах распространения волн в сплошных средах [1] стимулирует развитие волновых технологий, которые находят все большее применение в науке, медицине и промышленности. Например, волновые технологии используются в приборостроении [2, 3], применяются для неразрушающих методов диагностики поверхности [4], контроля состояния упругих конструкций, таких как элементы зданий, сооружений и различных изделий, в том числе стенок трубопроводов [5]. Однако появление современных материалов с существенно нелинейными механическими свойствами требует развития подходов нелинейной волновой динамики, которая активно развивается в настоящее время [6]. Среди первых работ, посвященных исследованию распространения нелинейных волн в стержнях и пластинах, можно указать работы [7, 8]. Достаточно содержательный обзор состояния исследований по нелинейной волновой динамике в стержнях, пластинах и оболочках на начало этого столетия приведен в [9]. Вопросы распространения нелинейных волн деформации в цилиндрической оболочке с конструкционной анизотропией и физической кубической нелинейностью ее материала рассмотрены в [10]. Влияние нелинейности упругой среды, окружающей цилиндрическую оболочку, на волны деформации в оболочке изучено в [11, 12]. Распространение продольных нелинейных волн деформации в бесконечно длинной цилиндрической оболочке с конструкционной анизотропией описано в [13]. Рассмотрена оболочка, выполненная из материала с физически нелинейным законом общего вида, связывающим компоненты тензора напряжения с интенсивностью деформаций, в том числе и в дробной степени. В указанной работе получено обобщенное уравнение Шамеля, описывающее волновой процесс в оболочке, и найдено точное солитонное решение с использованием метода геометрического ряда. Однако в перечисленных работах не изучено влияние на волновой процесс в оболочке жидкости, которая может находиться внутри нее. Различные аспекты проблем гидроупругости пластин и оболочек, взаимодействующих с идеальной жидкостью, рассмотрены в [14, 15]. Взаимодействие оболочки с идеальной жидкостью, но вне волновых процессов, численно исследовано в [16]. Математическое модели-
рование распространения нелинейных волн деформации в двух коаксиальных цилиндрических оболочках с учетом их геометрической нелинейности, содержащих вязкую жидкость между ними и окруженных нелинейно-упругой средой, выполнено в [17]. В этой работе рассмотрен узкий кольцевой канал с ползущим течением и исследован случай окружающей упругой среды с жесткой кубической нелинейностью в продольном направлении. Нелинейные волны деформации в двух коаксиальных цилиндрических оболочках, заполненных вязкой жидкостью, с учетом сил инерции жидкости и кубической физической нелинейности материала оболочек изучены в [18]. Проведенные исследования показали, что в случае содержащих жидкость оболочек использование методов качественного анализа для аналитического исследования нелинейных волн деформации вызывает значительные трудности. Поэтому для этих случаев необходимо проведение вычислительных экспериментов [19]. В предлагаемой работе методом двухмасштабных асимптотических разложений получена система разрешающих уравнений для продольных волн деформации в двух бесконечно длинных цилиндрических оболочках, образующих кольцевой канал, с учетом вязкости жидкости, инерции ее движения и дробной физической нелинейности материала оболочек. Найдено частное точное решение солитонного типа и проведено численное исследование эволюции нелинейных волн деформации в оболочках-стенках кольцевого канала, заполненного вязкой жидкостью.
Вывод уравнений динамики оболочек и постановка задачи гидроупругости. Рассмотрим кольцевой канал (рис. 1). Полагаем, что он бесконечно длинный, а его стенки образованы двумя цилиндрическими оболочками, продольные оси симметрии которых совпадают. Введем в рассмотрение декартову (xyz) и соответствующую ей цилиндрическую (r9x) системы координат. Ось х совпадает с продольной осью симметрии оболочек, а ось z направлена по нормали к срединной поверхности оболочек. Толщина слоя жидкости в канале 5 = - где Rl — радиус внутренней поверхности внешней оболочки; — радиус внешней поверхности внутренней оболочки.
Полагаем, что оболочки выполнены из одного и того же материала с модулем Юнга Е, плотностью ро, коэффициентом Пуассона д0, и обозначаем индексом г = 1 параметры внешней оболочки, а г = 2 — параметры внутренней оболочки. Тогда Ь^ — толщина г-й оболочки, Я(г) — радиус срединной поверхности г-й оболочки. Исследуем эволюцию продольных волн деформаций в материале оболочек, предположим, что
Рис. 1. Схема кольцевого канала, полностью заполненного вязкой жидкостью
с постоянной плотностью
они вызваны некоторым начальным возмущением, изучим осесиммет-ричную постановку задачи гидроупругости.
Материал, из которого выполнены оболочки, рассмотрим в рамках нелинейной теории упругости [20], задавая связь между компонентами тензора напряжений а х, ад, компонентами тензора деформаций г х, вд и интенсивностью деформаций ги согласно деформационной теории пластичности Илюшина [21, 22] в следующем виде:
Oq -
)[1 + (вЦУ2 m/l
1 -W)
)[> + (sUV2
m
еи -
1 -w
2 (щ [ (s(e''))2 + (s«)2 \
We'W)
1/2
(1)
1 + -
Мю
(1 -До)2
=-
1 --
2^о
(1 -До)2
где т — константа материала, определяемая эмпирически при проведении испытания на растяжение или сжатие.
Согласно (1), физический закон, связывающий напряжения и деформации в материале оболочки, имеет дробную степень, т. е. дробную нелинейность (нелинейность Шамеля).
Компоненты тензора деформаций и упругих перемещений для элемента г'-й оболочки связаны между собой следующим образом:
е<° -
ьx ~
dU(i) d2W(i)
dx
--z-
dx 2
> Ьп -
W(i) W(i)
■-z
R(i) R(i )2
при
4 2
h(i) ho
2
0 < z (2)
Здесь Ц® — продольное упругое перемещение г-й оболочки; г — нормальная координата в г-й оболочке (г = 0 соответствует срединной поверхности рассматриваемой оболочки); ТУ(г) — прогиб г-й оболочки, направленный к центру ее кривизны.
Учитывая (2) в (1), получаем связь напряжений и упругих перемещений для г-й оболочки в виде
E f dU(i) d2W(i) f W(i) W(i) ^
1"MO 1 +
dx dx2 1/2
■Mo
- + z
R(i) R(i)2
JJ
2_
E IV3
Mi
f dU(i) d2W(i) ^ --z-
3x
3x2
+ Mi
f W(i) W(i) Y Г dU(i) ö2W(i) ^ f W(i) W(i) ^
I 1/4
■ + z
R(i) R(i)2
+ M2
öx
■-z-
dx2
• + z
R(i) R(i)2
a(i) -ae -
E ff dU(i) 32W(i) ^ W(i) W(i) ^
1 "Mio
Mo
öx
--z-
3x2
--z
R(i) R(i)2
(3)
1 + m +E LV3
1/2
M1
Г aU(i) a2W(i) ^
öx
--z-
dx2
+ M1
f W(i) W(i) Y Г dU(i) ö2W(i) ^ f W(i) W(i) ^
1/4
■ + z
R(i) R(i)2
+ M2
öx
■-z-
3x2
■ + z
R(i) R(i)2
При изучении продольных волн деформации в оболочке в [18] проведен асимптотический анализ, который показал, что интенсивность деформаций, т. е. выражения в фигурных скобках формул (3), можно рассматривать на срединной поверхности при г = 0. С учетом изложенного представим (3) как
ad)
ux
E f dU(i) d2W(i) f W(i) W(i) ^
1 + m + EIV3
1 -mO 1/2
dx
■-z-
dx
Mo
- + z
R(i) R(i)2
M1
fdU(i) Y f W(i) ^
dx
+ M1
R(i)
+ M2
dU(i) W(i) dx R(i)
11/4
(4)
ае -
E ff dü(i) d 2W(i) ^ W(i) W(i) ^
, m I 2
1+mm Ь
1 -^(5 1/2
Д О
dx Z dx2 ) R(i) Z R(i)2
2
Г dü(i) ^ Г W(i) ^ 3ü(i) W(i)
1/4
V 6x J
+ M4
R(i)
V R У
+ ^2'
dx R(i)
(4)
Тогда по (4) усилия и момент в элементе срединной поверхности г-й оболочки определяются формулами:
V2
N(x)- J a(J )dz = 2
- Н0)/2 1
Eh0° ( dü(i) _ W® }
dx 0 R(i)
, m ( 2
1+mm ь
1/2
Ц1
fsu(i)^2 fwа)^ +
2
dx
R(i)
+ Ц 2'
dü(i') W(i) dx R(i)
1/4 Л
h0'V2
N(i)- J ^ )dz = ^ 1
Eh0° ( dü(i) W(i) 1
- h0! V2
ЦО
, m ( 2
1+mm ь
1/2
Ц1
f5ü(i) ^2 f W(i) ^
+
dx R(i) 2 А
(5)
dx
R(i)
+ Ц 2'
dü(i) W(i) dx R(i)
1/4
MX)- ^ a^)zdZ = r^2W (° W(i) ^
" h0!)/2
12(1 -ц<0)
dx2 +Ц0 R('')2
1 + ■
m ( 2
E
1/2 f ffdüа) Y ( w(i) ^2 ^
Ц1
dx
R(i)
+ Ц2
au(i) w(i)
dx R(i)
1/4
В выражении для момента второе слагаемое в квадратных скобках значительно меньше, чем первое, и его можно опустить, учитывая, что момент Мх значительно меньше усилия Ых [18]. Поэтому далее будем рассматривать выражение для момента без данного слагаемого.
Уравнения динамики оболочек запишем в усилиях и моментах с учетом даламберовых сил инерции и напряжений со стороны жидкости в канале:
dx2 dx ^ dx
№ J (i d2ü(i) (i)
dx = poh0 ü "qx R(i) ;
) > 1 (i) , (i) d 2W(i)
-N x° j 1 R(i) N(i) =Poh(i) dt2
-И Г1 п )•
(6)
Здесь qx(i), qn — касательное и нормальное напряжение жидкости; t — время.
С учетом полученных выражений (5) и сделанных замечаний запишем в перемещениях уравнения (6):
/ (
Eh0?) dl dU(i) _ W(i) m 1 - ц0 öx \ öx
R(i) E {yß
1/2
öU(i) W(i) Mo
öx
г w ('')
w
2
M2
dU(i) W(i)
1/4
öx R(i)
У
Eh0° ö2 / h0i)2 fö2W(i)
= Po^']
12(1 öx2
12
öx2
Mo
R(0 _
d2U(i) dt2
W('') >
Rö2
а А
M1
-q«
Ц) V
dx
r(i
Eho 5W(i) 1 - ^x \ 5x
dU(i)
dU(i) W(i) m Mo
Mo
dx W(i)
( W ('')
2
m i 2
M2
M2
1/2
dx ' " R(i) 1/4
dU(i) W(i) dx R(i)
dU(i) W(i)
R(i) E
ff
1/2
M1
dU(i) }
dx
Mo
dU(i) W(i) dx r(0
dx R(i) 1/4
EhO'0 1
1 R(i)
(
Mo
M1
dU(i) W(i)
dx R(i)
2 ^
fdU(i) Y ( W(i) ]
J
V dx У
R(i)
У
, (,.) a2w(i) , V_1 1 = poho) —(-1) qn
\r(>) ■
(7)
Совместно с уравнениями динамики оболочек необходимо рассмотреть уравнения динамики находящейся между ними вязкой несжимаемой жидкости, которые для осесимметричного течения имеют вид [23]:
dVr тг dVr тг öVr 1 dp
■ Vr--h Vx--1---— = v
f d2Vr 1 5Vr a2Vr Vi 1
2
dt
dr
dx p dr
dr2 r dr dx2 r
dVx dVx dVx 1 dp _ ( d2Vx 1 dVx d2Vx }
-T Vr-
dt dr
■ Vx —— +--— = v
dx p dx
dr2 r dr dx2
(8)
1 5 ( v \JVX o
--[rVr) +-= o.
r dr dx
Уравнения (8) дополним краевыми условиями на границах контакта жидкости с оболочками, которые состоят в условиях совпадения скоростей движения жидкости и ограничивающих ее границ:
= dü(i) = dW(i)
dt dt (9)
при r — Ri - W(i).
Здесь Vx, Vr — проекции скорости жидкости на оси цилиндрической системы координат.
Напряжения жидкости в уравнениях динамики оболочек (7) определяются соотношениями
„ V
qn — -p + 2pv ——;
dr (10)
(i) (dVx dVr Л _ (i) ( )
q(x) — —pv ^ ——^ —— I при r = R(i),
у dr dx J
где p — давление жидкости; p — плотность жидкости; v — кинематический коэффициент вязкости.
Асимптотический анализ сформулированной задачи гидроупругости. Для изучения волнового процесса в стенках канала перейдем к рассмотрению безразмерной задачи гидроупругости и введем характерные малые параметры рассматриваемой задачи. Используем следующие безразмерные переменные для уравнений оболочек:
W(i) = WmU('), ü(i) = UmU^, x* = ^ , t* = — t,
l l
■ r h hol l (11)
r = ттг, Wm = ho, Um = —¡TT, R( R(i)
где со = -Е — скорость звука в материале оболочки; I — длина
\Р(1 -^0)
волны, принимаемая за характерный линейный размер. Согласно рассматриваемой постановке, полагаем
l ^
где s — малый параметр задачи.
(i) =s « 1, V = 0(s1/2), = °(1),
dW 12 h(t)
R l h (12)
= 0(1), m = 0(1),
um R(i) m
Учитывая (11), (12), запишем (7) в безразмерном виде
Poho
а / hi )i f du$)
l2 dx* \ R(i)
dx
(i)
X <
, m f 2
1+E Ь
1/2
hLл
R(i),
M1
^ V
dx *
+ M1U31 )2 + M2
auf1']
dx
*r u3i)
\1/4
co hoi)i a2u{:
(i)
Pohoi)c2 (-
=poho £ R(i) ^
k2 d2 (Ш) a2u3i)
1212 ax *2
hoi >
o ^ "3 , .. "o u(i)
^ ^ + ^ RÖ2 U3
Л
1 ho) M) J bt IM) _,, u(o
+ -
l dx
,, m f 2
xn+¥ l V3
1/2
Г h(i) ^
ho R(i)
l dx * {R(i) f Я. ,(i) V
Л
3x
Mou3'
M1
gu{i)
3x *
)2+M2 ^ -(i ] dx
— u3
1/4
1 ^ f du((i) t ,(i) ^
R(i) R(i)
Mo
m ( 2
xU+m \Tb
1/2
( h(i) } ho
R(i)
dx 2
- u
M1
v 5x" У
1/4
^uj)2 +^2
du!)
(13)
У +
dx
i(i) ~ u3
Pohoi) co hf #-(-1Г1 ,„|R(„.
I0 ^ ' '2
Проведем анализ уравнений методом двухмасштабных разложений [24], представляя зависимые переменные в виде асимптотического разложения
u( ) — u(o .., u( ) — u(o ^^ u(
и вводя независимые переменные
l = x* -fi^ot*, ^ = s1/2t
где т — «медленное» время.
(14)
(15)
Подставляя (14), (15) в (13), для первых двух членов разложения получаем систему уравнений:
д du
(i)
10 ДО u30 + S1/2
du®
11 цоиЗ?
Л
m f 2
E IV3
1/2 f с 1/2
3u,(n
10 ДоиЗО
v 5x * У
■ rf+Ц2 иЗО
1/4
(1 -vü)
+ 81/2 (1 -|Д2
Л?2 V / Л
I-Я 2U(i)
-8 —
^Зт Poh0i)c2s
q(i) yx
Я (i)
Цо % - иЗО) +^1/2
' auii» ,0m m Г 2 ^1/2 До —— U31
X 8
1/2
du« (i) Д0—- иЗО
V 5x* У
e lvä
+ ih U(i)2 IM, ди10 u(i) + Ц1иЗ0 + Д2 иЗ0
1/4
(16)
=(1 -и0)
Г R(i) Y а2иЗ0) R(i)
l
НУ"1 q
V " J
3? poh0t)c2e
R(f) •
В нулевом приближении по s из (16) запишем систему
д/дий Wml \ (л 2\ ^2и(0)
10 Мю—— иЗ0 ) = (!-д2 у 10
и,
„R(i)
Д0 ^ - иЗ0 = 0.
(17)
Согласно второму уравнению системы (17), прогиб выражается через продольную деформацию:
(i) ^и«
иЗ0 =
(18)
Первое уравнение системы (17) обращается в тождество, следовательно, продольное перемещения м(0) является произвольной функцией.
В следующем приближении по 8 с учетом связи (18) получим систему уравнений для первого приближения:
С
Д0
' ди[Т П) V m Г 2 л1/2 Мю —— иЗ1
E LVi
(1 -м0)
яи(0 °и10
i 2\(ди10 ^2
(И1+Д2Д0 +Д1Д0 jl
1/4
+ ^ -Д0
- д2и(<) 2 ^ и10
(i)
,З/2
P0h0i)
■q%
0 c0
' R(i) Y аЗи1(0)
R(i) '
И „(i) м ..2 \ 1 R 17 и10
Д0 ——иЗ1 " Мю - ^0 ^71/2"
V l У
R(f)
(-1 У"1 q
,З/2
P0h0i)c
R(f) •
Исключая из (19) иц, иЗ1, получаем систему уравнений
д2и$
m ( 2 Y/2 З г-j, 2 \1/4
7V1 +^2Д0 +Д1Д0 j
а^ат e ^тэ j 4
02иЮ) а4и«
10
(19)
2^1^ ВЗ/2Р0Й0°С(
q« -Д0В1/4 (-1 У
-1 5qn
R(f)
(20)
Уравнения системы (20) представляют собой обобщенные уравнения Шамеля для продольной деформации оболочек 5«$/ дЕ,. В случае исключения жидкости из рассмотрения правая часть системы (20) должна быть принята равной нулю. В этом случае есть два независимых уравнения Шамеля для каждой оболочки.
Далее проведем анализ уравнений гидродинамики для определения правых частей уравнений системы (20), для чего введем безразмерные переменные и параметры
г - Д(2)_ *_ £0 _
; 1 ;
Vr — h0i) ^ Vr; Vx — h0i) Vx; r — ■
l о
* x x — у; p —
hJP
5
pvc0lh0i) 5З
hl R(i)
5 5
X — £1/2; ^ — E; ^ — g5/4; " — E
^ ^ — R(2)
hl — „5/4. S
l " ' 7
— о 1/2 .
с» >
(21)
З/4
l
1
Подставим переменные (21) в уравнения (8) и граничные условия (9). Раскладывая давление и компоненты скорости по степеням малого
1/2
параметра е
р = р0 +81/2Р1 +...; vг = V? +81/2у1 + ...; Ух = vX +81/2у! + ..., (22)
для первых членов разложения (22) запишем уравнения динамики жидкости
дР0 п „ V DPo d2v°x dvo dvox n
-o; Re-4 + — • —r + -4-o
dr * dt * 3x * dr *2
dr dx
(23)
и соответствующие им граничные условия
5м31)
vo--■
dt *
■ • v° - o при r - 1, v° - - -
dt *
vx -o при r* -o, Re =
5 5co l ~
(24)
Подставляя (21) в выражения для напряжений жидкости, действующих на оболочки (10), с точностью до у определяем
Ь(г)с0 ^0 * * *
q(x) = -ру-^--при г * = 1 (для г = 1) или г =0 (для г = 2),
52 5r *
qn =
pvcolhoz) Po
(25)
Проведем решение (23), (24) методом итерации. На первой итерации исключаем из (23) инерционный член, т. е. Re = 0, как принято в гидродинамической теории смазки [23]. В результате
3vo
dt
P °-12j -(
i
du^ 5u31)
*2
r - r
dt *
)6J
dt *
dx
dx
d2u(2) d2^1
(26)
dt *
dt *
dx .
На второй итерации подставляем в инерционный член найденное выражение dvX / dt* и, решая полученные уравнения, находим
p o- Я
12
du(2) du{1)
dt *
dt *
+ - Re 5
a2u32) a2u31) v dt"2 dt"2 yj
dx dx
dvl
dr *
- (2r* - 1)J
f
6
L V
du(2) du(1
Л
dt *
dt *
/
+ — Re
1o
ö2u(2) 52u(1) ^
dt *
dt *
dx*
(27)
Учитывая введенные переменные (15) и разложение (14), при s ^ 1 имеем
P0— J
SP 0
12^1^ (иЗО - иЗ2^ ) - -6 Re(1 -»D
\
пТ^2 (иЗ0) -UQ )-|ке (1 - д0 )
'ul л dt,
JA
d £
<UL_ uq
dvL
dr *
— (2r* " 1)
з^/Т^о (иЗО - иЗО i-
5v0
dr
r*—1
)-rq (1
(иЗО -иЗ2!)-re (1-^2)
dv0
dr
10
dv*
UL-ULл
U0 5иЗ2)
(28)
*—0
dr
п, ди^
С учетом (28), м>т1ы30 = МоЫтЯ(г) —— и в силу малости у, X, полагая
« Я, ^01) _ ^02) « Й0, запишем правую часть первого уравнения (20), т. е. для г _ 1, в виде:
2 п/ V ( Я Л 3 - 6^0
t2 _Р1__
poho Rcos1/2 ^ 5
/
L V
öu(0) Uoл
- —ReJ1 -^0 10 v 1
Г
а2ий) a2u1(0)
Л"
10
JA
(29)
а правую часть второго уравнения (20), т. е. для i — 2, — в виде
- 6^2 pl
poho Rcos1/2 ^ 5
R
Гби^0} аи(0)
10 л/1^^^2
52ug) a2u1Г)
10
(ЗО)
Разрешающие уравнения эволюции волн в оболочках и их исследование. Подставляя найденные выражения правых частей (29), (30) в систему (20), получаем
a2u1ao) + m 3
1/2
m 21 2 ) s 2 \
—7 V1 "М0 (M1 + M2Mo + M1M0J
= "6Mo
1/4 du®
1/2
д^дх E 4* . 52u11o) , Mp d4u1o)
2 pl v Г R
V
3
X
1o
L V
а^ат e 4* 'o ^^л/э
— Re J1 -
1o v
Poho RcosV2 L 5
(d2u1(o) a2uio) ^
,2,(2)
a 2u
1o
m 3 I_( 2 л 1/2
mTV1 "Mo (M1 + M2M0 + M1M0)
yj
1/4 ^u» y/2
Mo a4u(o)
4 = "6Mo
f au(o) öu10)
л
L V
— Re-v/1 -|Д0 1o o
pl v f R Poho Rcos1/2 l 5
a2u!2) a2u1(1)
\ —З J 3
X
f
1o
Ja
Введем обозначения:
u^ - С3Ф(1); u(0^ - С3ф(2); л - t - C2T; С2-6|д2
a/3
2 P
v
P082 5cos
3/4
C1 -
(202! )) •
C3
C2 E
01 m 3^1^°(2/V3)1/2 (m+^2Mo+м1мг0)
P Ф-Mo C1
G1 -6ц0
Pos2 10 C2
(31)
(32)
С учетом (32) и (31) получаем систему разрешающих уравнений для исследования нелинейных продольных волн деформации в оболочках, образующих стенки рассматриваемого кольцевого канала:
фР+< ф(2)+<
ф
(1)
ф
(2)
1/2
1/2
Ф^1) +Ф<Й Л+Ф(1)-Ф(2)-01 -ср®)-0; Ф® + Ф® л + Ф(2) -Ф(1) - 01 (<р® -Ф^1)) = 0.
(33)
В (32), (33) нижний буквенный индекс обозначает соответствующую частную производную.
Система уравнений (33) имеет частное точное решение:
ф(1)^, л) = ф(2)(t, л) = 25к4 (1 + сЬ к(л -4кЧ))"2 , (34)
но для общего случая необходимо численное исследование этой системы. При реализации численного решения системы (33) будем использовать начальные условия при t = 0 в виде решения (34), когда волна деформации возбуждается в каждой оболочке
ф(1) (0, л) = Ф(2) (0, л) = 25 к4 (1 + сЬ кц )"2 (35)
4
или когда волна деформации возбуждается в одной оболочке
Ф(1)(0, л) = 25 к4 (1 + сЬ кл) 2 , Ф(2)(0, л) = 0. (36)
Для моделирования волнового процесса на основе численного решения нелинейной системы (33) разработана разностная схема по аналогии со схемой из [17, 25] в подходе, схожем с построением разностной схемы Кранка — Николсона при моделировании распространения теплоты:
и(1)п+1 _ и(!)п (м(1)3/2п+1 - и(1)3/2п+!) + (и(1)3/2п+1 - и(1)3/2п_1 )
х 4Н
(и(1)п+1 - 2и(1)п+! + 2и(1)п+! - и(1)п+1)
4Н3
(и(1)п+2 - 2и(1)п+1 + 2и(1)"_1 - и(1)п_2 ) и(1)п+1 + и(1)п и(2)п+1 + и(2)п
Ü1
4h3 2 2
'(^ffi -u(1)ff ) + (u(1)n+1 -u(1)n_1) (37)
4h
V
u(2)n++1 -u(2)n+\ ) + (u(2)n+1 -u(2)n_1))
4h
= 0;
u(2)n+1 _ u(2)n /,.(2)3^+1 _ u(2)3/2n+A ,(u(2)3/2n _ u(2)3/2n \
u j u j + 4 У j +1 u j-1) + lu j+1 u j-1) + x 4h
(u(2)n:1 - 2u(2)n+1 + 2u(2)n+1 - u(2)n+1)
4h3
(u(2)n+2 - 2u(2)n+1 + 2u(2)n_1 - u(2)n_2 ) u(2)n+1 + u(2)n u(1)n+1 + u(1)n
4h3 2 2
-<31
f ( u(2)J+1 - uj) + ( u(2)n+1 - u(2)n_1) 4h
(и(1)$ -и(1)п) + (и(1) 1+1 -и(1)п_1) 0_
4й '
у
т = ¿п+1 _ ¿п, ^ = ^1+1 _ ^1,
где и(1)п _ ф(1)(^п, ц 1), и(2)п _ ф(2)(£п, ^ 1) — дискретные сеточные функции.
Присутствие в (37) нелинейности в виде степени 3/2 для последующего момента времени разрешается путем линеаризации следующим образом:
З/2 З/2 V,,,! = V,
-vf2 + v3/2 = К/2 -vP)(V,+1 + v]M2 +v, ) + vf2 =
"к+1 - ук+1 ук ^ук к+1 ук лук+1^ "к+1*к , .1/2 , ^1/2
~(у1/2 -у1/2 Г 'к+1 к (у I ^1/2 у1/2 \у3/2 _
- I Ук+1 Ч ) .1/2 , ^1/2 I ^к+1 + Ук+1 Ук +4) + Ук ~
- ( Vk+1 - Ук ) | ук/2 + У3/2 = 3 V1/2Ук +1 - 2 V3/2.
С использованием разностной схемы (37) проведены вычислительные эксперименты с начальными условиями вида (35) и (36). Результаты численного моделирования волнового процесса при реализации разностной схемы (37) с ах = 0 (без учета влияния инерции жидкости) и задании в начальных условиях к _ 0,2 представлены на рис. 2.
Результаты численного моделирования эволюции волн деформации в оболочках с учетом влияния инерции движения жидкости при 01 _ 0,2 и начальных условия вида (35) и (36) при к _ 0,2 представлены на рис. 3.
Кроме того, представлены результаты численного моделирования для случая, когда в начальный момент времени в оболочках создается возмущение в виде двух волн (35) с различными амплитудами и скоростями, принимая к _ 0,225 для первой волны и к _ 0,2 для второй. Результаты расчетов приведены на рис. 4.
Обсуждение результатов. Согласно расчетам, представленным на рис. 2, а, нелинейные уединенные волны деформации распространяются без изменения скорости и амплитуды. При этом они перемещаются вправо, т. е. их эволюция совпадает с положительным направлением оси х, что указывает на их сверхзвуковую скорость. Численное решение совпадает с аналитическим решением (32), что подтверждает адекватность
-40 -20 0 20 40 60 80 100 ц
-40-20 0 20 40 60 80 100 ц
-80 -60 -40 -20 0 20 40 60 ц
-80 -60 -40 -20 0 20 40 60 ц
Рис. 2. Результаты численного решения системы (33) с начальными условиями (35) (а) и (36) (б) при С1 = 0 и к = 0,2 при г = 0 (—), 36,23 (—), 72,45 (—), 108,68 (—), 144,90 (—)
предложенной разностной схемы и ее программной реализации. Результаты численного моделирования на рис. 2, б указывают на следующее: если в начальный момент времени создано возмущение в виде уединенной волны только во внешней оболочке, то с течением времени наблюдается уменьшение амплитуды волны во внешней оболочке при одновременном зарождении уединенной волны деформации во внутренней оболочке, амплитуда которой увеличивается. В ходе эволюции данных волн в оболочках их амплитуды выравниваются, что свидетельствует о передаче энергии через слой вязкой жидкости между оболочками. Расчеты, представленные на рис. 3, позволяют сделать вывод, что учет инерции движения вязкой жидкости в кольцевом канале существенно не влияет на эволюцию уединенных волн деформации в его стенках. Это можно объяснить солитонным характером полученного решения. Кроме того, представленные на рис. 4 результаты численного моделирования эволюции и взаимодействия двух уединенных волн в стенках канала показывают, что волны деформации упруго взаимодействуют друг с другом без последующего изменения их скорости и формы, это доказывает, что они ведут себя как два солитона.
-80 -60 -40 -20 0 20 40 60 г|
б
-80 -60 —40 -20 0 20 40 60 ц
Рис. 3. Результаты численного решения системы (33) с начальными условиями (35) (а) и (36) (б) при С1 = 0,2 и к = 0,2 при г = 0 (—), 36,23 (—), 72,45 (—), 108,68 (—), 144,90 (—)
ф(!) 0,004 0,003 0,002 0,001 0
ш
-100
о
100 200 а
300
ф(2)
0,004 0,003 0,002 0,001 0
-100
0
100 200 б
300 т|
Рис. 4. Результаты численного решения системы (33) с начальными условиями для каждой оболочки в виде двух волн (35) с к = 0,225 (а) для первой волны и к = 0,2 (б) для второй волны при г = 0 (—), 326,18 (—), 652,37 (—), 978,55 (—), 1304,73 (—)
Выводы. Предложена и исследована новая математическая модель для изучения эволюции нелинейных продольных волн деформации в стенках кольцевого канала, заполненного вязкой жидкостью с постоянной плотностью — когда стенки канала образованы упругими цилиндрическими оболочками с дробной физической нелинейностью материала,
из которого они изготовлены. Mатематическим моделированием показана возможность возникновения и распространения в стенках рассматриваемого канала продольных волн деформации в виде солитонов, а также возможность передачи энергии от одной оболочки к другой через слой вязкой жидкости и отсутствие влияния сил инерции движения вязкой жидкости на эволюцию уединенных волн деформации в рассматриваемых оболочках. Полученные результаты могут рассматриваться как фундаментальный задел для развития волновых технологий неразрушающего контроля и диагностики трубопроводов, выполненных из современных материалов с дробным степенным физическим законом связи напряжений и деформаций в материале.
ЛИТЕРАТУРА
[1] Горшков А.Г., Mедведский А.Л., Рабинский Л.Н. и др. Волны в сплошных средах. M., ФИЗMATЛИT, 2004.
[2] Деменков Н.П., Mочалов И.А., Чан ДЖ. Нечеткие фазовые траектории волновых твердотельных гироскопов. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. Приборостроение, 2021, № 1 (134), с. 78-101.
DOI: https://doi.org/10.18698/0236-3933-2021-1-78-101
[3] Шахтарин Б.И., Федотов A.A., Балахонов К.А. и др. Применение сигналов с ортогонально частотным разделением в гидроакустическом канале. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. Приборостроение, 2015, № 5 (104), c. 30-43.
DOI: https://doi.org/10.18698/0236-3933-2015-5-30-43
[4] Aнтонов A.M., Ерофеев В.И. Волна Рэлея на границе градиентно-упругого полупространства. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. Естественные науки, 2018, № 4 (79), c. 59-72. DOI: https://doi.org/10.18698/1812-3368-2018-4-59-72
[5] Mаксимов И.В., Павелко В.И., Перевезенцев В.В. и др. Mетод выделения полезного сигнала для системы обнаружения свободных, слабозакрепленных и посторонних предметов в главном циркуляционном контуре реакторной установки с водо-водяным энергетическим реактором. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. Приборостроение, 2018, № 1 (118), c. 4-15.
DOI: https://doi.org/10.18698/0236-3933-2018-1-4-15
[6] Кудряшов НА. Mетоды нелинейной математической физики. Долгопрудный, Интеллект, 2010.
[7] Nariboli G.A. Nonlinear longitudinal dispersive waves in elastic rods. J. Math. Phys. Sci., 1970, vol. 4, pp. 64-73.
[8] Nariboli G.A., Sedov A. Burgers's — Korteweg — De Vries equation for viscoelastic rods and plates. J. Math. Anal. Appl., 1970, vol. 32, iss. 3, pp. 661-677.
DOI: https://doi.org/10.1016/0022-247X(70)90290-8
[9] Erofeev V.I., Klyueva N.V. Solitons and nonlinear periodic strain waves in rods, plates, and shells (a review). Acoust. Phys., 2002, vol. 48, no. 6, pp. 643-655.
DOI: https://doi.org/10.1134/L1522030
[10] Zemlyanuhin A.I., Mogilevich L.I. Nonlinear waves in inhomogeneous cylindrical shells: a new evolution equation. Acoust. Phys., 2001, vol. 47, no. 3, pp. 303-307. DOI: https://doi.org/10.1007/BF03353584
[11] Бочкарев А.В., Землянухин А.И., Могилевич Л.И. Уединенные волны в неоднородной цилиндрической оболочке, взаимодействующей с упругой средой. Акустический журнал, 2017, т. 63, № 2, c. 145-151.
DOI: https://doi.org/10.7868/S0320791917020022
[12] Землянухин А.И., Бочкарев А.В., Могилевич Л.И. Уединенные продольно-изгибные волны в цилиндрической оболочке, взаимодействующей с нелинейно-упругой средой. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. Естественные науки, 2018, № 1 (76), c. 47-60. DOI: https://doi.org/10.18698/1812-3368-2018-1-47-60
[13] Zemlyanukhin A.I., Andrianov I.V., Bochkarev A.V., et al. The generalized Scha-mel equation in nonlinear wave dynamics of cylindrical shells. Nonlinear Dyn., 2019, vol. 98, no. 1, pp. 185-194. DOI: https://doi.org/10.1007/s11071-019-05181-5
[14] Paidoussis M.P. Fluid-structure interactions. Vol. 2. Slender structures and axial flow. Elsevier, 2004.
[15] Amabili M. Nonlinear vibrations and stability of shells and plates. Cambridge Univ. Press, 2008.
[16] Бочкарев С.А., Матвеенко В.П. Устойчивость коаксиальных цилиндрических оболочек, содержащих вращающийся поток жидкости. Вычислительная механика сплошных сред, 2013, т. 6, № 1, с. 94-102.
DOI: https://doi.org/10.7242/1999-6691/2013.6.1.12
[17] Блинков Ю.А., Евдокимова Е.В., Могилевич Л.И. и др. Моделирование волновых процессов в двух оболочках с жидкостью между ними и окруженных упругой средой. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. Естественные науки, 2018, № 6 (81), c. 4-17. DOI: https://doi.org/10.18698/1812-3368-2018-6-4-17
[18] Mogilevich L., Ivanov S. Longitudinal waves in two coaxial elastic shells with hard cubic nonlinearity and filled with a viscous incompressible fluid. In: Dolinina O., et al. Recent Research in Control Engineering and Decision Making. ICIT 2020. Studies in Systems, Decision and Control, vol. 337. Cham, Springer, 2020, pp. 14-26.
DOI: https://doi.org/10.1007/978-3-030-65283-8_2
[19] Samarskii A.A. The theory of difference schemes. Marcel Dekker, 2001.
[20] Kauderer H. Nichtlineare Mechanik. Berlin, Gottingen, Heidelberg, Springer, 1958.
[21] Фельдштейн В.А. Упругопластические деформации цилиндрической оболочки при продольном ударе. В кн.: Волны в неупругих средах. Кишинев, Изд-во АН МолССР, 1970, с. 199-204.
[22] Ильюшин A.A. Mеханика сплошной среды. M., Изд-во MГУ, 1990.
[23] Loitsyanskii L.G. Mechanics of liquids and gases. Pergamon Press, 1966.
[24] Nayfeh A.H. Perturbation methods. Wiley, 1973.
[25] Gerdt V.P., Blinkov Yu.A., Mozzhilkin V.V. Gröbner bases and generation of difference schemes for partial differential equations. SIGMA, 2006, vol. 2, art. 051.
DOI: https://doi.org/10.3842/SIGMA.2006.051
Могилевич Лев Ильич — д-р техн. наук, профессор кафедры «Прикладная математика и системный анализ» CTTy имени Гагарина ЮА. (Российская Федерация, 410054, Саратов, Политехническая ул., д. 77).
Попова Елизавета Викторовна — аспирантка кафедры «Информационная безопасность автоматизированных систем» CTTy имени Гагарина ЮА. (Российская Федерация, 410054, Саратов, Политехническая ул., д. 77).
Попова Мария Викторовна — студентка кафедры «Основы медицины и медицинских технологий» СГУ (Российская Федерация, 410012, Саратов, Aстрахан-ская ул., д. 83).
Просьба ссылаться на эту статью следующим образом:
Mогилевич Л.И., Попова Е.В., Попова M^. Mатематическое моделирование эволюции продольных волн деформации в кольцевом канале с вязкой жидкостью, стенки которого имеют дробную физическую нелинейность. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. Естественные науки, 2024, № 1 (112), с. 4-27. EDN: DCJWDO
MATHEMATICAL SIMULATION OF THE LONGITUDINAL STRAIN WAVES EVOLUTION IN THE ANNULAR CHANNEL WITH VISCOUS FLUID AND WALLS WITH FRACTIONAL PHYSICAL NONLINEARITY
L.I. Mogilevich1 mogilevichli@gmail.com
E.V. Popova1 elizaveta.popova.97@bk.ru
M.V. Popova2 mari.popova.2004@internet.ru
1 Yuri Gagarin State Technical University of Saratov, Saratov, Russian Federation
2 Saratov State University, Saratov, Russian Federation
Abstract Keywords
The paper proposes mathematical model of propagation Simulation, strain waves,
of the longitudinal nonlinear strain waves in walls of the annular channel, fractional
annular channel filled with the viscous liquid of constant nonlinearity, viscous fluid,
density, their propagation was simulated. The channel perturbation method,
walls were considered as two infinitely long cylindrical generalized Shamel equation
shells with the coinciding longitudinal symmetry axes. The case was studied, where the shell material had fractional physical nonlinearity. Within the developed model framework, influence of the fluid motion inertia and its viscosity on the wave process was assessed. Asymptotic analysis of the resolving equations for the channel walls hydroelasticity was carried out using the perturbation method, and a transition was made to the two generalized Shamel equations system describing evolution of the longitudinal nonlinear strain waves in the walls of a channel under consideration. For a particular case, an exact solution of this soliton-type system was found, and it was shown that in a general case the system required numerical research. To implement the computational experiment, new difference schemes were proposed, similar to the Crank — Nicholson scheme, to study heat propagation. The simulation showed that over time, the strain waves speed and amplitude were remaining unchanged, and the wave speed was supersonic. When considering the exact solution as the initial condition, calculations showed coincidence between the numerical and exact solutions. This confirms adequacy of the proposed difference scheme for the generalized Received 25.01.2023 Shamel equations. It is shown that solitary strain waves Accepted 22.06.2023 in the channel walls are the solitons © Author(s), 2024
The work was supported by the Russian Science Foundation (project no. 23-29-00140) REFERENCES
[1] Gorshkov A.G., Medvedskiy A.L., Rabinskiy L.N., et al. Volny v sploshnykh sredakh [Waves in continuous media]. Moscow, FIZMATLIT Publ., 2004.
[2] Demenkov N.P., Mochalov I.A., Chan D.M. Fuzzy phase trajectories in hemispherical resonator gyroscopes. Herald of the Bauman Moscow State Technical University, Series Instrument Engineering, 2021, no. 1 (134), pp. 78-101 (in Russ.).
DOI: https://doi.org/10.18698/0236-3933-2021 -1 -78-101
[3] Shakhtarin B.I., Fedotov A.A., Balakhonov K.A., et al. The usage of OFDM-based signals in underwater acoustic channel. Herald of the Bauman Moscow State Technical University, Series Instrument Engineering, 2015, no. 5 (104), pp. 30-43 (in Russ.).
DOI: https://doi.org/10.18698/0236-3933-2015-5-30-43
[4] Antonov A.M., Erofeev V.I. Rayleigh wave on the boundary of gradient-elastic semispace. Herald of the Bauman Moscow State Technical University, Series Natural Sciences, 2018, no. 4 (79), pp. 59-72 (in Russ.).
DOI: https://doi.org/10.18698/1812-3368-2018-4-59-72
[5] Maksimov I.V., Pavelko V.I., Perevezentsev V.V., et al. Valid signal isolation method for loose parts monitoring system in the main circulation circuit of WWER reactor. Herald of the Bauman Moscow State Technical University, Series Instrument Engineering, 2018, no. 1 (118), pp. 4-15 (in Russ.).
DOI: https://doi.org/10.18698/0236-3933-2018-1 -4-15
[6] Kudryashov N.A. Metody nelineynoy matematicheskoy fiziki [Methods of nonlinear mathematical physics]. Dolgoprudnyy, Intellekt Publ., 2010.
[7] Nariboli G.A. Nonlinear longitudinal dispersive waves in elastic rods. J. Math. Phys. Sci., 1970, vol. 4, pp. 64-73.
[8] Nariboli G.A., Sedov A. Burgers's — Korteweg — De Vries equation for viscoelastic rods and plates. J. Math. Anal. Appl., 1970, vol. 32, iss. 3, pp. 661-677.
DOI: https://doi.org/10.1016/0022-247X(70)90290-8
[9] Erofeev V.I., Klyueva N.V. Solitons and nonlinear periodic strain waves in rods, plates, and shells (a review). Acoust. Phys., 2002, vol. 48, no. 6, pp. 643-655.
DOI: https://doi.org/10.1134/L1522030
[10] Zemlyanuhin A.I., Mogilevich L.I. Nonlinear waves in inhomogeneous cylindrical shells: a new evolution equation. Acoust. Phys., 2001, vol. 47, no. 3, pp. 303-307.
DOI: https://doi.org/10.1007/BF03353584
[11] Bochkarev A.V., Zemlyanukhin A.I., Mogilevich L.I. Solitary waves in an inhomogeneous cylindrical shell interacting with an elastic medium. Acoust. Phys., 2017, vol. 63, no. 2, pp. 148-153. DOI: https://doi.org/10.1134/S1063771017020026
[12] Zemlyanukhin A.I., Bochkarev A.V., Mogilevich L.I. Solitary longitudinal-bending waves in cylindrical shell interacting with a nonlinear elastic medium. Herald of the Bauman Moscow State Technical University, Series Natural Sciences, 2018, no. 1 (76), pp. 47-60 (in Russ.). DOI: https://doi.org/10.18698/1812-3368-2018-1-47-60
[13] Zemlyanukhin A.I., Andrianov I.V., Bochkarev A.V., et al. The generalized Scha-mel equation in nonlinear wave dynamics of cylindrical shells. Nonlinear Dyn., 2019, vol. 98, no. 1, pp. 185-194. DOI: https://doi.org/10.1007/s11071-019-05181-5
[14] Paidoussis M.P. Fluid-structure interactions. Vol. 2. Slender structures and axial flow. Elsevier, 2004.
[15] Amabili M. Nonlinear vibrations and stability of shells and plates. Cambridge Univ. Press, 2008.
[16] Bochkarev S.A., Matveenko V.P. Stability of coaxial cylindrical shells containing a rotating fluid. Vychislitelnaya mekhanika sploshnykh sred [Computational Continuum Mechanics], 2013, vol. 6, no. 1, pp. 94-102 (in Russ.).
DOI: https://doi.org/10.7242/1999-6691/2013.6.1.12
[17] Blinkov Yu.A., Evdokimova E.V., Mogilevich L.I., et al. Simulating wave processes in two shells separated by liquid and surrounded by an elastic medium. Herald of the Bauman Moscow State Technical University, Series Natural Sciences, 2018, no. 6 (81), pp. 4-17 (in Russ.). DOI: https://doi.org/10.18698/1812-3368-2018-6-4-17
[18] Mogilevich L., Ivanov S. Longitudinal waves in two coaxial elastic shells with hard cubic nonlinearity and filled with a viscous incompressible fluid. In: Dolinina O., et al. Recent Research in Control Engineering and Decision Making. ICIT 2020. Studies in Systems, Decision and Control, vol. 337. Cham, Springer, 2020, pp. 14-26.
DOI: https://doi.org/10.1007/978-3-030-65283-8_2
[19] Samarskii A.A. The theory of difference schemes. Marcel Dekker, 2001.
[20] Kauderer H. Nichtlineare Mechanik. Berlin, Gottingen, Heidelberg, Springer, 1958.
[21] Feldshteyn V.A. Uprugoplasticheskie deformatsii tsilindricheskoy obolochki pri prodolnom udare [Elastic plastic deformations of a cylindrical shell with a longitudinal impact]. V kn.: Volny v neuprugikh sredakh [In: Waves in Inelastic Media]. Kishinev, AS MolSSR Publ., 1970, pp. 199-204 (in Russ.).
[22] Ilyushin A.A. Mekhanika sploshnoy sredy [Continuum mechanics]. Moscow, MSU Publ., 1990.
[23] Loitsyanskii L.G. Mechanics of liquids and gases. Pergamon Press, 1966.
[24] Nayfeh A.H. Perturbation methods. Wiley, 1973.
[25] Gerdt V.P., Blinkov Yu.A., Mozzhilkin V.V. Grobner bases and generation of difference schemes for partial differential equations. SIGMA, 2006, vol. 2, art. 051.
DOI: https://doi.org/10.3842/SIGMA.2006.051
Mogilevich L.I. — Dr. Sc. (Eng.), Professor, Department of Applied Mathematics and System Analysis, Yuri Gagarin State Technical University of Saratov (Politekh-nicheskaya ul. 77, Saratov, 410054 Russian Federation).
Popova E.V. — Post-Graduate Student, Department of Information Security of Automated Systems, Yuri Gagarin State Technical University of Saratov (Politekhni-cheskaya ul. 77, Saratov, 410054 Russian Federation).
Popova M.V. — Student, Department of Fundamentals of Medicine and Medical Technologies, Saratov State University (Astrakhanskaya ul. 83, Saratov, 410012 Russian Federation).
Please cite this article in English as:
Mogilevich L.I., Popova E.V., Popova M.V. Mathematical simulation of the longitudinal strain waves evolution in the annular channel with viscous fluid and walls with fractional physical nonlinearity. Herald of the Bauman Moscow State Technical University, Series Natural Sciences, 2024, no. 1 (112), pp. 4-27 (in Russ.). EDN: DCJWDO
