Математическое моделирование эффективного администрирования группового потока Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 519

А. А. Али, Н. К. Нуриев, Е. А. Печеный

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ЭФФЕКТИВНОГО АДМИНИСТРИРОВАНИЯ

ГРУППОВОГО ПОТОКА

Ключевые слова: система массового обслуживания, беспроводной доступ в интернет, вложенные цепи Маркова, вырожденный поток обслуживания, групповой поток обслуживания.

В работе предлагается математическое описание устройства беспроводного доступа сети Internet, функционирующего в режиме группового обслуживания пользователей. Для построения модели использован аппарат теории массового обслуживания и понятие о вложенных цепях Маркова. Приведены выражения для производящих функций вероятностей состояния системы. Рассмотрено несколько частных случаев.

Keywords: Queuing system, wireless internet access, embedded Markov chain, degenerate feed service, group stream service.

We propose a mathematical description of the wireless device on the Internet, in the mode of functioning of the group of service users. To construct a model of the device used in queuing theory and the concept of embedded Markov chains. Expressions for the probability generating functions of the state. We consider some special cases.

В [1,2] было показано, что работа устройств беспроводного доступа к интернет (УБДИ) может быть адекватно описана в терминах теории массового обслуживания. Отличительной особенностью предложенных моделей является то обстоятельство, что каналы обслуживания в них не существуют как независимые физические объекты, а формируются подключенными пользователями, каждый из которых отбирает часть ресурсов УБДИ под обеспечение своего трафика. В этих моделях входимые потоки требований и потоки обслуживания (отключение пользователей от УБДИ) предполагались ординарными, однако в ряде случаев подобное предположение оказывается не реалистичным. В частности, гипотезу ординарности нельзя признать правдоподобной при использовании УБДИ для обслуживания массовых тематических мероприятий: конференций, семинаров, симпозиумов или в организации образовательного процесса при проведении разного рода тестирования и т.п. Самым существенным следствием нарушения ординарности потока является утрата свойства марковости процессом обслуживания в целом, что в свою очередь, несет изменения, как в постановку задачи, так и в аппарат, привлекаемый для ее решения.

Прежде всего, заметим, что если УБДИ эксплуатируется в режиме группового обслуживания пользователей, то выделять в его составе отдельные каналы совершенно нецелесообразно.

Смыслу задачи больше соответствует представление устройства, как одного канала способного одновременно принять не более N пользователей. Подключение новой группы пользователей к сети Internet производится одномоментно при обязательном условии полного освобождения системы всеми пользователями предшествующей группы.

Анализ подобных структур базируется на понятии вложенных марковских цепей впервые использованном Кендаллом [3]. Им было замечено, что если рассматривать систему с пуассоновсим потоком накопления заявок в очереди и групповым обслуживанием в моменты освобождения канала, то все признаки отсутствия последствия присутствуют, хотя процесс обслуживания в целом марковским,

конечно, не является. В случае произвольного вида функции распределения потока накопления заявок невозможно гарантировать, как справедливо замечает Саати [4], независимость числа заявок, поступающих в течение последовательных циклов обслуживания.

Описанный подход принято считать классическим, и именно он принят нами для построения математической модели УБДИ, функционирующего в режиме группового обслуживания. Следует отметить, однако, что этот подход не является единственно возможным. Известны работы, опубликованные совсем недавно [5], где вопрос независимости соответствующих случайных величин не обсуждается, а численный состав группы заявок рассматривается как независимая случайная величина.

Рассмотрим УБДИ, как одноканальную системы массового обслуживания, очередь которой формируется пуассоновским потоком требований с интенсивностью X, а поток пользователей, покидающих систему, описывается произвольной функцией V(t) и имеет интенсивность с ц. Поскольку пользователи, подключенные к сети Internet в составе группы, обезличены, будем оценивать состояние системы по числу заявок в очереди, а факт наличия в очереди i клиентов, ожидающих подключения, обозначим S/. Руководствуясь принципом вложенных цепей Маркова, будем фиксировать состояние системы в моменты освобождения УБДИ и приема новой группы пользователей, обозначим r/j условную вероятность перехода системы в состояние Sj. при условии, что предшествующим состоянием было S/..

Обозначим Pj. вероятность того, что на момент подключения очередной группы пользователей система будет находиться в состоянии Sj.. Тогда, если ограничения на длину очереди не предусматриваются, имеем

да

P =Е Pn

/=0 , (1) стандартную формулу для однородных цепей Маркова.

Естественно, что для применения этого соотношения необходимо решить задачу отыскания Г/.

Поскольку поток клиентов, формирующих очередь, пуассоновский, то вероятность прихода т новых клиентов за интервал времени t будет равна Щ )те -Х

т! . Тогда, предполагая независимость продолжительности времени обслуживания двух последовательных групп пользователей, можно получить выражение для вычисления вероятности появления в системе т новых клиентов

1 да

дт _ — | Щ)те-ХtdV(t)

т • п

(2)

Введем в рассмотрение производящую функцию последовательности {5т}

да

А(2) = Тдт?т

т=0 , (3)

И, учитывая возможность представления экспоненты бесконечным степенным рядом, получим

А(2) _}<

.-(1-2 )М

dV (t)

, (4)

Умножая обе части соотношения (1) на 2>, и, выполняя суммирование, получим выражение для производящей функции вероятностей состояния, характеризующих систему

Р (2) = Х =12' IР^

]=1 '=1 ¡=1

(5)

Установим связь между элементами матрицы пере-

„ Г-

ходных вероятностей ¡' и последовательностью

{5т}. Для этого рассмотрим все варианты возможных переходов из состояния Б,. в состояние 5/. в моменты освобождения канала. Из всего три:

1. Ситуация, возникающая при 0 —i — ^ -1, когда пользователи обслуживаются в составе одной группы, а в это время в очереди накапливаются / новых клиентов - в соответствии с введенными обозначе-

г _д

ниями в этом случае ¡' '.

л ^ N —, — / + N

2. Ситуация, возникающая при , когда

подключение получают максимально возможное число пользователей N, при этом i-N клиентов остается в очереди, а в состояние Б/. систему переводит входной поток заявок в количестве (/-М) - в этом

г _д

случае, очевидно ¡' ).

3. Ситуация, при которой i > ' +N не позволяет осуществить переход из состояния Б,. в состояние Б-., т.к. при любом допустимом числе подключений

оказывается, что

, > /

т.е.

г,, _ 0

Это позволяет уточнить вид расчетного выражения для производящей функции Р(2), исключив из ее состава нулевые слагаемые

да N-1 J+N

Р(2) 2' ЦР 5, + IР д]-,+„)

/_0 ¡_0 i_N (6)

Меняя местами порядок суммирования в выражении (6) выявляем связь между производящими функциями Р(2) и А(2)

Р(2) _ А(2)IР +12' Р 5 + PN+1 5-1

■PN+J 50)

' _0

(7)

Вторая сумма в правой части формулы (7) представ-

б - - 5}

ляет собой свертку последовательностей ' и

{Р }

м+' , производящая функция которой вычисляется как произведение их производящих функций, следовательно

I2'(Рд РА-1 +... + Р^д _ А(2)±Рм2< _ А(2)1да

/_0 '_0 i_N

, (8)

Выполняя элементарные преобразования, получим

А(2)2-" IР2 _ А(2)2-" [Р(2) - £ Р,Т ]

Объединив результаты формул (6) - (9) имеем:

N-1

Р(2) _ А(2)2-" [Р(2) + 1Р (2' - 2')]

(9)

(10)

Выразив Р(2) в явном виде, приходим к расчетной формуле

IР(2Ы - 2)

Р (2) _ ¡ _0

(11)

2Г

А (2)

-1

Основным назначением этого соотношения является

{Р}

отыскание элементов последовательности 1 ^ , при этом обязательным условием является сходимость ряда производящей функции Р(2) в единичном круге 2 — 1. Это гарантирует, что коэффициент за-Хт

< 1

Ут _ 1, N

со _-< 1

№

грузки системы для , где т -

число пользователей в составе группы, обслуживаемой УБДИ. Существенным же является то, что для обеспечения сходимости нули числителя соотношения (11) должны совпадать с нулями знаменателя в указанной области. Отыскание этих нулей задача не простая, а для общего вида функции распределения V(t) она может оказаться вообще не имеющей аналитического решения. Поэтому наиболее надежным, а по сути дела, единственным способом получения практических результатов при исследовании подобных объектов остается имитационное моделирование.

Для некоторых известных и хорошо изученных функций распределения аналитическое выражения для производящей функции А(2) могут быть получены, что также представляет определенный интерес.

¡ _0

1. Экспоненциальная функция распределения. Плотность вероятности экспоненциального распре-

За) = —е-—

деления задается формулой к' И .

Подставляем в (4) и интегрируем в указанных пределах

да да

А(г) = — е-(1-г)М ■ е-—Л = — е-[(я+—-яг]'сЛ =-—-

0 0 Х+—-Х2

Введем обозначение у= М— и, разделив на — числитель и знаменатель, получим 1

А(2) = '

Г(1 - Z) +1

2. Функция распределения % с числом степеней свободы 2т. Плотность вероятности этого распределения задается формулой

ит

3(0 = —- Г-1 е-— Г (т)

Вновь воспользовавшись соотношением (4) получим

А(Т) = дае-■ е-/ ■Г-1*=1е-[(л+—)-яг]' тЛ (т-1)! { (т-1) ! }0

С учетом уже введенных обозначений 1

А(Т) =-!-

' у [И1- г)+1]т

3. Вырожденный поток обслуживания. Ситуация, возникающая, когда время обслуживания группы не зависит от ее численного состава. В этом случае

с = — Т

коэффициент загрузки N , где Т- фиксированное время обслуживания группы. Это типично при эксплуатации УБДИ в организации учебного процесса, например, произведения тестирования, когда по истечении контрольного срока все пользователи принудительно отключаются. Действия администратора здесь должны включать в себя введение ограничений на длину очереди при достижении интенсивности входного потока X некоторого порогового значения, или сокращение времени подключения группы Т за счет уменьшения количества предлагаемых тестовых заданий.

Литература

1. Нуриев Н.К., Печеный Е.А., Ахметшин Д. А. Математическое моделирование эффективного администрирования системы доступа в интернет // Фундаментальные исследования - 2014. № 9-12. - С. 2650-2654.

2. Ахметшин Д.А., Печеный Е.А., Нуриев Н.К. Математическое и имитационное моделирование работы системы беспроводной передачи данных с вырожденным потоком обслуживания // Вестник Казанского технологического университета. - 2014. - Т. 17. - № 10. -С. 216-220.

3. Kendall D.G. On the Generalized "Buth and Death", Ann. Math. Statist., vol. 19, P.1, 1948.

4. Саати Т. Л. Элементы теории массового обслуживания и ее приложения. - М., Советское радио,1971. - 520 с.

5. Гайдамака Ю.В., Зарипова Э.Р., Орлов .Н. Анализ зависимости параметров модели сервера потока установления сессий с групповым поступлением сообщений от распределения длины группы сообщений // Препринты ИПМ им. Келдыша, 2015. - № 27. - 16 с.

© А. А. Али - асп. каф. информатики и прикладной математики КНИТУ, препод. Аденского ун-та (Йеменская Республика), anees_aleysai@yahoo.com; Н. К. Нуриев - д.п.н., проф., зав. кафедры информатики и прикладной математики КНИТУ, nurievnk@mail.ru; Е. А. Печеный - к.т.н., доцент той же кафедры, platova51@mail.ru.

© A A Ali, Ph.D. is a research degree in Kazan National Research Technological University, Department Chair information science and applied mathematics, Lecturer in University of Aden(Rep. of Yemen), anees_aleysai@yahoo.com; N. K. Nuriev, Ph.D., Professor, Kazan National Research Technological University, Department Chair information science and applied mathematics, nurievnk@mai.ru; Е. A Pechenyi, PhD, Associate Professor, Kazan National Research Technological University, Docent department information science and applied mathematics, platova51@mail.ru.