CC BY
24
УДК 519
Н. К. Нуриев, Е. А. Печеный, А. А. Али
ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ ЭФФЕКТИВНОГО УПРАВЛЕНИЯ СИСТЕМОЙ МАССОВОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ В УСЛОВИЯХ СМЕШАННОГО ПОТОКА
Ключевые слова: управление системой, групповой поток, ординарный поток, смешанный поток.
В статье сформулирована задача управления устройством беспроводного доступа в интернет как системой массового обслуживания, куда наряду с групповыми заявками допускаются заявки, поступающие в составе ординарного потока. Показана принципиальная невозможность анализа подобных систем в рамках стационарных математических моделей. Очерчен круг организационно-технических проблем, определяющих содержание задачи эффективного администрирования.
Keywords: system management, group stream, an ordinary flow, mixed stream.
The article defines the problem of administrating a wireless internet access device as a queuing system that accepts ordinary arrivals as well as grouped arrivals. The article argues the principal impossibility of the analysis of such systems within the stationary mathematical models. The article outlines the organizational and technical problems that define the essence of the problem of effective administration.
В работе [1, 2], было предложено математическое описание устройства беспроводного доступа в интернет (УБДИ), функционирующего в режиме группового обслуживания пользователей.
Подобное состояние УБДИ весьма характерно при его использовании для организации современного учебного процесса, например, при общении тьютора с группой студентов дистанционной формы обучения, при проведении разного рода тестовых испытаний при организации массового анкетирования и т.п. Функциональные характеристики УБДИ, как и любых других систем массового обслуживания, в условиях групповых заявок существенно хуже по сравнению с ситуацией ординарного потока.
Этот факт хорошо известен специалистам, которые занимаются проектированием и эксплуатацией таких систем. В связи с этим несомненный интерес представляет поиск путей улучшения эксплуатационных возможностей УБДИ, работающих в условиях группового обслуживания, и создание соответствующих математических моделей.
Естественным ресурсом для решения сформулированной задачи являются «лишние места», возникающие в ситуации, когда численный состав принятой на обслуживание группы оказывается меньше предельно допустимого числа одновременных подключений. В таком случае, если это позволяют технические и организационные условия эксплуатации, функциональные показатели системы могут быть улучшены за счет присоединения к группе некоторого дополнительного количества заявок непосредственно из ординарного входного потока, не помещая их в очередь.
УБДИ, занятые в обслуживании учебного процесса, полностью удовлетворяют этим условиям. Действительно, студенты, опоздавшие на несколько минут к началу зачетного тестирования, при наличии свободных мест вполне могут быть присоединены к основной группе.
Рассмотрим систему массового обслуживания, в частности УБДИ, очередь которой пополняется пу-ассоновским потоком клиентов с интенсивностью X, а подключение может осуществляться двояко: груп-
пой, если обслуживающее устройство полностью свободно, и ординарным потоком заявок, которые, минуя очередь, сразу получают подключенные при наличии свободных мест. Сохраняя символику, принятую в работе [1], обозначим 8т вероятность появления в системе за время ^ новых заявок, тогда 1 ™
8т = -1 | ЩУембУ (О т . 0
где функция распределения потока заявок, покидающих систему. Заметим, что 80 представляет преобразование Лапласа-Стилтьеса функции V(t).
Состояние систем, осуществляющих групповое обслуживание, принято оценивать по количеству заявок в очереди. Следуя этой традиции, обозначим Б/ ситуацию, когда в очереди находится / заявок. Пусть емкость обслуживающего элемента (предельно допустимое число одновременных подключений УБДИ) равно N. Тогда принципиально возможным оказываются два варианта перехода системы из состояний Б/ в состояние Бр,, при условии, что к моменту начала обслуживания группы система находилась в состоянии Б/. При I < N все ожидающие клиенты сразу получают подключение, а за время их обслуживания очередь пополнятся р новыми заявками; при / ^ N в очереди после приема группы остается / - N клиентов, а за время обслуживания в очередь поступает р — / + N заявок.
Обозначая Рр финальную вероятность состояния Бр воспользовавшись формулой полной вероятности, получим
]+Ы ]
Рр = I + ^ = I Р,8Н + Р081
/=N /=0
Частный случай этого соотношения приведен в работе [3]. Выражая Рр в явном виде, получаем рекуррентное соотношение пригодное для выполнения практических расчетов.
Рр = (Рр _1 - Р081 _1 -I Р,8- _1>/ ¿о /=1
Значение Р0, необходимое для запуска процедуры вычислений, находится по хорошо известной из об-
щего курса теории массового обслуживания формуле
P = 1-Хр ,
где tcp - среднее время обслуживания одного клиента.
Полученный результат позволяет определить среднее число заявок, накопившихся в очереди к моменту освобождения обслуживающего устройства. Если ограничения на длину очереди отсутствуют, то
Lq = lim£yp j .
Очевидно, что ряд в правой части этого выражения должен сходиться, в противном случае для обеспечения работоспособности системы необходимо ограничить наполнение очереди. Выполнение условия Lq <N означает, что система обладает техническими возможностями принять на обслуживание дополнительно к заявкам, поступившим в составе группы еще некоторое количество клиентов. Однако, кроме технических аспектов имеются обстоятельства сущностного характера, которые нельзя не учитывать. В основе математического описания процедуры группового обслуживания, как в данной работе, так и работе [4] лежит гипотеза о существовании стационарного состояния, которое система массового обслуживания достигает с течением времени естественным путем. Внешнее вмешательство, каковым несомненно является принудительное пополнение принятой на обслуживание группы пуас-соновским потоком заявок, выводит систему из стационарного состояния, а ситуацию за рамки математической модели.
Это не устраняет возможности улучшения эксплуатационных показателей системы путем комбинирования групповых и ординарных потоков, однако практически исключает использование результатов математического моделирования для выработки управленческих решений.
В случаях подобных данному сформулировать задачу стратегического администрирования чрезвычайно сложно, и основное внимание сосредотачивают на оперативном управлении по материалам текущих наблюдений и измерений.
Обратимся, наконец, к проблемам организационного порядка, с которыми придется столкнуться администратору при реализации рассматриваемой схемы обслуживания. На наш взгляд наиболее существенными являются три проблемы:
1. Определить протяженность временного интервала х, отсчитываемого с момента начала обслуживания основной группы, в течение которого открыт доступ для дополнительных клиентов. Администратор должен выбрать его заранее, ориентируясь на величину интенсивности входного потока заявок Я и среднего времени обслуживания tcp. Поскольку входной поток предполагается пуассонов-ским, вероятность прихода за время х ровно m но-
(Ях)"
вых клиентов равна
m!
. Следовательно,
математическое ожидание, появившихся в течении временного отрезка х будет
.«.л (Ях)" • e-Xt
M (k) = lim -—--
(k -1)!
Ряд в правой части этого выражения сходится, таким образом, если M(k)<N-Lq, то все клиенты, пришедшие в течение интервала х, будут присоединены к основной группе. В противном случае, часть заявок дополняет УБДИ до предельного возможного числа подключений, а другие станут первыми во вновь формируемой очереди.
2. Принять решение о порядке обслуживания дополнительных заявок. Принципиально возможны два варианта: дополнительные заявки покидают систему не позже последней заявки основной группы, или если поток обслуживания вырожденный, вместе со всеми заявками группы; заявки, пришедшие в индивидуальном порядке, задерживаются на обслуживании несколько дольше заявок поступивших в составе группы.
В первом случае имеет место очевидная дискриминация индивидуальных клиентов, получающих меньше время пользования УБДИ по сравнению с основной группой.
Во втором случае интересы пользователей будут соблюдены, но эксплуатационные характеристики системы не претерпят улучшений. Выбор варианта эксплуатации является прерогативой администратора, мы же в дальнейшем будем рассматривать режим, при котором интересы дополнительных пользователей подчинены интересам группы.
3. Разработать порядок управления очередью. Очевидно, что при пополнении обслуживаемых групп ординарным потоком заявок, длина очереди, на момент освобождения обслуживающего устройства, с каждым циклом обслуживания будет уменьшаться в темпе арифметической прогрессии с разностью M(k). Это приведет к быстрому снижению численного состава групп, принимаемых на обслуживание, и может поставить под сомнение экономическую целесообразность самого принципа группового обслуживания. Для предотвращения этого администратор должен приостанавливать время от времени прием заявок на обслуживание, дабы накопить в очереди достаточное число клиентов для формирования полноценной группы. Периоды простоя устройства обслуживания могут быть организованы как по заранее составленному расписанию, так и в соответствии с каким либо случайным законом. В отечественной литературе это явление называется «прогулкой прибора». В последнее время появились работы [5], в которых предложены математические модели систем массового обслуживания с прогулкой прибора, рассматриваемыми как случайный процесс с заданным законом распределения. Таким образом, отыскание оптимального в некотором смысле режима прогулок прибора есть третья частная проблема, которую надо решить для описания процесса эксплуатации УБДИ в условиях комбинированного входного потока пользователей.
Построение математической модели, которая давала бы описание всего комплекса проблем как еди-
ного целого, представляется крайне сложной и трудно выполнимой задачей. Однако в данной работе такая цель и не преследовалась.
Задумывая настоящую публикацию, авторы хотели сформулировать проблему, обосновать ее актуальность для управления эксплуатацией УБДИ, задействованных в обеспечении учебного процесса и очертить круг вопросов непосредственно связанных с ее решением. В дальнейшем предполагается с помощью аппарата имитационного моделирования получить количественные потоки заявок и реализовать результаты практически.
Литература
1. Али А.А., Нуриев Н.К., Печеный Е.А. Математическое моделирование эффективного администрирования груп-
пового потока // Вестник Казанского технологического университета. - №14. - 2015. - С.201-203.
2. Ахметшин Д.А., Печеный Е.А., Нуриев Н.К. Математическое и имитационное моделирование работы системы беспроводной передачи данных с вырожденным потоком обслуживания // Вестник Казанского технологического университета. - 2014. - Т. 17. - № 10. -С. 216-220
3. Рыжиков Ю.И. Теория очередей и управление запасами. - СПб: Питер, 2001. - 384с.
4. Рыжиков Ю.И. Расчет систем обслуживания с групповым поступлением заявок// Информационные каналы и среды. - №2. - 2007. - С.39-49.
5. Гайдамака Ю.В., Зарипова Э.Р., Орлов Ю.Н. Анализ зависимости параметров модели сервера протокола установления сессий с групповым поступлением сообщений от распределения длины группы сообщений// Препринты ИПМим. М.В. Келдыша. - № 27. 2015. - 16 с.
© Н. К. Нуриев - д.п.н., проф., зав. кафедры информатики и прикладной математики КНИТУ, nurievnk@mail.ru; Е. А. Печеный - к.т.н., доцент кафедры информатики и прикладной математики, platova51@mail.ru; А. А. Али - асп. каф. информатики и прикладной математики КНИТУ, преподаватель Аденского университета (Йеменская Республика), anees_aleysai@yahoo.com .
© N. K. Nuriev, Ph.D., Professor, Kazan National Research Technological University, Department Chair information science and applied mathematics, nurievnk@mai.ru; P E. A.echenyi, PhD, Associate Professor, Kazan National Research Technological University, Docent department information science and applied mathematics, platova51@mail.ru; A. A. Sh. Ali, Ph.D. is a research degree in Kazan National Research Technological University, Department Chair information science and applied mathematics, Lecturer in University of Aden(Rep. of Yemen), anees_aleysai@yahoo.com.
