УДК 6:539.1-022.532 Профессор Г.В. Абрамов,
(Воронеж. гос. ун-т инж. технол.) кафедра информационных технологий моделирования и управления, тел. (473) 255-38-75 доцент А.Н. Гаврилов
(Воронеж. гос. ун-т инж. технол.) кафедра информационных и управляющих систем, тел. (473)-255-55-57
Математическое моделирование движения взаимодействующих частиц на основе функций распределения в плазме электродугового синтеза УНС
Представлена модель движения частиц в плазме электродугового разряда с учетом парных столкновений в процессе синтеза углеродных наноструктур таких, как фулле-рены и нанотрубки. Рассмотрено решение системы безразмерных уравнений Власова-Пуассона по нахождению функций распределения частиц в плазме.
The model of the motion of particles in a plasma arc discharge with binary collisions in the synthesis of carbon nanostructures such as fullerenes and nanotubes Rena. The solution of the system of dimensionless equations of the Vlasov-Poisson equations for the determination of the distribution functions of particles in the plasma.
Ключевые слова: электродуговой синтез, углеродные наноструктуры, моделирование, интеграл столкновений, функция распределения.
Открытие углеродных наноструктур (фуллеренов, нанотрубок, нановолокон) поставило задачу поиска наиболее производительного и эффективного метода их синтеза. К настоящему времени разработано значительное количество методов получения УНС, одним из которых является метод термического распыления графита в плазме электродугового разряда.
В межэлектродном промежутке графитовых стержней, находящихся в среде инертного газа (гелий, аргон), поддерживается низкотемпературный анизотропный плазменный дуговой разряд со средней энергией 0,340,43 эВ, внутри которого происходит за счет испарения перенос вещества с анода на катод.
В зависимости от режима ведения синтеза ионы углерода могут осаждаться на катоде образуя депозит, содержащий однослойные и многослойные УНТ, а могут отражаться или выбивать уже осажденные частицы из катодного депозита, формируя на стенках реакционной камеры фуллерены ряда Сб0, С70 и т.д. с достаточно высоким выходом [1].
Определение необходимых условий и механизма образования углеродных кластеров в плазме, формирующих заданные УНС, позволит более эффективно и рационально управлять этим процессом.
© Абрамов Г.В., Гаврилов А.Н., 2012
Использование для математического моделирования данного процесса синтеза теории ионного распыления предполагает парные столкновения частиц в плазме, которые могут иметь упругий и неупругий характер. Считается, что плазма состоит из электронов и однозарядных катионов углерода и буферного газа (гелия).
В основу модели, описывающей движения частиц в плазме с взаимодействием между ними, положены уравнения Власова, дополненные условием парных столкновений между частицами:
д^ + Зд^-^{Ё+1-[1в])дЛ = 0,
Э/ дг те с д&
dt дг тп с дЗ dt
(1)
dt
dr
mh с д& dt
где {в, /о, /к - функции распределения компоненты плазмы (в - электрон, о - ион гелия, к - ион углерода); Е, В - напряженность электрического и магнитного полей; qa,та - заряд и масса частицы (а = в,о,к); 3- поле скоростей частицы; г - координаты частицы.
NO
NO
Допуская, что в плазме электродугового разряда столкновения происходят только между частицами углерода и частицами буферного газа, интегралы парных столкновений запишем:
дА дt
СТ V
Я (//; - //)|3-3'
+
dad3,
х
dt
+
íí/х -/х)|3-3'
íí(/I/I, -ЛД)|3 -3'dads'
V
íí (/х -//)l¿ dadS',
+
СТ V
где /a /a; - функции распределения частиц до столкновения; /'a /'а; - после столкновения;
3,3' - скорости до столкновения и после столкновения молекул соответственно; da = 4R;R2 cos OdQ. - дифференциальное эффективное сечение рассеяния частиц в телесный угол dQ, зависящее от закона взаимодействия молекул; в - угол между скоростью сталкивающихся частиц и линией движения. Начальные условия при t=0:
fe{r,3,o)=f:,fc{r,s,o)=f:. Граничные условия (на аноде - А):
ге|а : /(r,3,t) = /rhv, /с(r,3,t) . = rh\
r| , re| „
\А \А
tu (fÁt) r| = /O,
r| А
rmaksv rmaksv rO _,
где je , jc , jh - начальные распределения
для электронов, ионов углерода и буферного газа. Функция распределения Максвел-
rmaksv .
ла Та :
maksv
m„
3 ^ 2
^ 2лкТ
■ exp
ma-3
2nkT
где k - постоянная Больцмана; Т - температура частиц в плазме.
При переходе к безразмерным величинам используется соотношение X = Ых • Хг,
где Мх - масштаб размерной величины X;
Хг - безразмерная величина X. В качестве масштабов было выбрано следующие: радиус Дебая, скорость теплового движения частиц, концентрация частиц в невозмущенной плазме, потенциал, возникающий при разделении зарядов в дебаевской сфере, и производные от них величины.
Уравнения (1) в декартовой системе координат с учетом сделанных предположений в работе [2] можно записать в виде:
+ Za E d/
dr 2sa
Er
д3„
= Q/a,
(2)
fa
dt , , ,, где
Q/a= K a 1 1 G'^a + С ^ + Ra\'= e, i, h
Ga =
2 u d3¿
d2 gei , ПТ d2 gu
d32 2
■ +
8 ■
d33
2
d3
a = e,
d2 gti , ; d2g
■ +
Ca =
d33 8 d33'
d2ghh + _L d2gu d33 4s~e d32
; dca
a = e,
a = i,
a = h,
Se d3r
; dc„
vs d3r
; dca
Js. d3r
a = i,
a = h,
Ca =
z2(;-_) с /
_ Jl 3r-3'r (; - у) f fe
-,d3', a = e,
z2 J|3r -31 (; - у) г /
Z2 ^h
3 -3'
d3'r, a = i,
d3', a = h,
Ra =
- 4k
(
" 1 - k+_)f f 8. У J 1 S ^
L ,a = e
4ж
4к
Ka =■
_■ / In Da
+ / i
+ /„
Ji, a=i,
Jh, a = h
пп = М3Мп,
1 У 'О Ь п'
где Хр = д, XI - заряд иона, е - заряд электрона; та - масса частицы сорта а; т„
У = —, Р = и h . те
Уравнения (1) с целью нахождения параметров электромагнитного поля были дополнены системой уравнений Максвелла, описывающих самосогласованное поле [3].
Для решение исходной системы уравнений (1) применяется модификация метода расщепления [4,5], согласно которой исходная задача разбивается на две вспомогательных. Данное разбиение можно осуществить, переписав уравнение (2) в следующем виде:
./'а
дг
где
= Qlfa + Q2fa ,
(3)
Q2.fa=KA-Gí
д3г
IS E f 2s„ r d3
1
2 ад32.
■С
63„
IL
Правая часть уравнения (3) представляет собой сумму двух операторов, первый из которых Q1 /а - отвечает за перенос частиц, второй
Q2/а - за столкновения заряженных частиц. В
результате образуются следующие задачи, которые решаются последовательно: - первая задача:
(г А, О
dt
wa(r,3, t) = fa(r,3, tn ), n = 0,...N -1,
fa(r,3r, tn ) = f^ ,a= e, i, h,
(4)
вторая задача:
dsa(r,3r, t) dt
= Q2Wa{rA-t)-a=e-í-¡
8а(г,3, ^ ) = *а(г,Эг, П = 0,..Х-1. (5)
Первая задача (4) представляет собой систему безразмерных уравнений Власова-Пуассона. Для ее решения применяется метод крупных частиц [б]. Вторая задача (5) решается с использованием метода сеток [5, 7].
Решением первой задачи является функция У>а(г,3г, ), п = 0,...М, которая дает
начальное условие для второй задачи. Решая вторую задачу, находим функцию яа(г,3г,^п),п = 0,...М, которая определяет решение /'а (г, 3г,1п ), а = в, /, п исходной системы
для рассматриваемых моментов времени п = 1,...У,
Блок-схема алгоритма численного решения рассматриваемой задачи представлена на рис. 1.
Рис.1. Алгоритм численного решения
Для реализации данного алгоритма была разработана программа «Cadpic» [8] на языке программирования Python 2.6 для операционных систем семейства GNU Linux. Разработанная программа позволяет проводить параллельные вычисления с целью сокращения времени расчета.
Пример графического представления расчета распределения скоростей ионов углерода и гелия для заданного момента времени на разных поперечных сечениях оси межэлектродного пространства представлен на рис. 2.
а)
г~
500
д-да V*, м/с
б;
щ
т-П"
150
"П
300
м/с
Рис. 2. Функции распределения ионов углерода (а) и ионов гелия (б) в поперечном сечении оси электродугового разряда при: х = 410-4 м и Х2 =8^10-4 м
Анализ приведенных зависимостей показывает, что ионы углерода в плазме имеют более высокие скорости, чем частицы гелия. При этом максимум функции распределения у частиц углерода при движении вдоль оси х смещается к максимальной скорости частиц в плазме, а у ионов гелия максимум функции распределения приходится на скорости меньше средних.
С точки зрения синтеза углеродных наноструктур наибольший интерес представляет определение зон возможного их формирования. Углеродные нанотрубки получают из катодного депозита, а фуллерены образуются в межэлектродном зазоре.
Исследование изменения функций распределения углерода в прикатодной области (рис. 3) показало, что при синтезе нанотрубок условия в начальный момент (первая секунда) могут образовываться в центре катода, а затем зона возможного формирования образуется в виде кольца с внутренним диаметром 0,4а?эл и внешним 0^эл ^эл - диаметр электрода). При синтезе фуллеренов такого кольца не образуется.
IV, 1 М -0,16 ■ 0.14
о;12 -0,1 ■ 0.00 ■ 0,06 ■ 0;04 ■
о,ог -
тб
ада
йде
&Д2
Щ -
ЙР
3-,06 -
0М оЩ* о
б)
—г~ -4
-2
® 2: 4 6
IV, 10~3 м
Рис. 3. Функция распределения ионов углерода в прикатодной области по радиусу электрода для режима синтеза нанотрубок (а), фуллеренов (б) и времен синтеза, с: /1 = 0,5; /2 = 1; tз = 1,25 ; /4 = 50
После минуты с начала процесса зоны возможного образования наноструктур практически не изменяются, и процесс является установившемся.
По функции распределения ионов углерода можно определить зоны вероятного формирования кластерных групп в плазме, образующих УНС, путем расчета концентрации ионов:
N (г, /) = { /с (г ,3, X)di,
V
где V - скорости ионов углерода, удовлетворяющие энергетическому условию образования связей между ионами углерода.
По концентрации ионов углерода можно определить зоны, в которых расстояния межу атомами достаточно для образования связи С-С или С=С, так как эти ковалентные связи отличаются длиной и энергией связи, то должно выполняться условие:
Nc (7, /) > 4т,
Я
Фестнщ<ВТУМЩ№2, 2012
где Н - единица объема межэлектродного пространства; R - длина связи между атомами углерода.
Исследование параметров модели показало, что вероятность образования кластерных групп в плазме при синтезе фуллеренов на порядок выше, чем в режиме синтеза нано-трубок.
Анализ модели позволяет оценивать влияние таких параметров, как сила тока, давление и род буферного газа на скорость роста катодного депозита.
ЛИТЕРАТУРА
1. Абрамов, Г.В. Влияние газоплазменной струи в процессе электродугового испарения графитового электрода на формирование углеродных нанотрубок [Текст] / Г.В. Абрамов, А.Н. Гаврилов, Е.С. Татаркин // Вестник ВГТА. - 2010. - № 2(44). -С.60-63.
2. Кудрявцева, И.А. Моделирование динамики двухкомпонентной плазмы с учетом столкновений между заряженными частицами в случае плоского зонда [Текст] / И.А. Кудрявцева, А.В. Пантелеев // Вестник МАИ. Прикладная математика, механика, физика. - 2009. - Т. 16. - № 2. - С. 114-120.
3. Абрамов, Г.В. Уравнения Власова-Максвелла в моделировании динамики движения заряженных частиц в плазме электродугового разряда при синтезе углеродных наноструктур [Текст] / Г.В. Абрамов, А.Н. Гаврилов, Е.С. Татаркин // Вестник ВГТУ.- 2011. -Т. 7. - № 4. - С. 209-212.
4. Ковеня, В.М. Метод расщепления в задачах газовой динамики [Текст] / В.М. Ковеня, Н.Н. Яненко. - Новосибирск: Наука, Сиб. отд-ние, 1981. - 304 с.
5. Киреев, В.И. Численные методы в примерах и задачах [Текст] / В.И. Киреев, А.В. Пантелеев. - М.: Высшая школа, 2006. - 480 с.
6. Белоцерковский, О.М. Метод крупных частиц в газовой динамике. Вычислительный эксперимент [Текст] / О.М. Белоцерковский, Ю.М. Давыдов. - М.: Наука, Физматгиз, 1982.
7. Вержбицкий, В.М. Основы численных методов [Текст] / В.М. Вержбицкий. - М.: Высшая школа, 2002. - 840 с.
8. Абрамов Г.В., Гаврилов А.Н., Пологно Е.А., Татаркин Е.С. Информационная система управления синтезом наноструктурированного материала методом термического распыления графита. Свидетельство о гос. регистрации программы для ЭВМ № 2011613275, 2011.