CC BY
92
УДК 533.95
УРАВНЕНИЯ ВЛАСОВА-МАКСВЕЛЛА В МОДЕЛИРОВАНИЯ ДИНАМИКИ ДВИЖЕНИЯ ЗАРЯЖЕННЫХ ЧАСТИЦ В ПЛАЗМЕ ЭЛЕКТРОДУГОВОГО РАЗРЯДА ПРИ СИНТЕЗЕ УГЛЕРОДНЫХ НАНОСТРУКТУР Г.В. Абрамов, А.Н. Гаврилов, Е.С. Татаркин
В статье представлена математическая модель динамики движения заряженных частиц в плазме электродуго-вого разряда с численным её решением методом крупных частиц. Приведен график изменения модуля средней скорости ионов углерода в зависимости от положения в межэлектродной зоне
Ключевые слова: плазма, нанотрубка, фуллерен, ионов углерода, кластер
Моделирование движения заряженных частиц в плазме электродугового синтеза углеродных наноструктур, позволит приблизится к понятию механизма формирования таких структур как фуллерены, нанотрубоки.
Для описания динамики плазмы заряженных частиц в основном используются две модели разных уровней детализации - магнитогидродинамическая (МГД) теория (рассматривающая плазму как проводящую жидкость) и кинетическая теория (оперирующая с функцией распределения заряженных частиц по координатам и импульсам).
МГД описание в основном используется при равновесном распределение частиц, например при моделирование динамики плазмы в плазменных ускорителях, при моделировании космической плазмы и т.п.
Кинетическое описание используется для моделирования коллективных явлений, таких как колебания в плазме, неустойчивости и т.п. В основе кинетической теории лежит уравнение Больцмана [1]:
+if, с«
dt dr m dr ^ dt )ст
где f (r ,3, t) - функция распределения
частиц, m - масса частицы, i - сила действующая на частицу,
f] =fl(/ f'-Ж )\3-$dadSi
(2)
Здесь /, / и //1 - функции распределения молекул до столкновения и после столкновения соответственно, 3,31 - скорости молекул до столкновения, Сс = С(СО - дифференциальное
Абрамов Геннадий Владимирович - ВГТА, д-р техн. наук, профессор, тел. (473) 255-25-50, e-mail: agw@vgta.vm.ru
Гаврилов Александр Николаевич - ВГТА, канд. техн. наук, доцент, тел. (473) 275-62-09, e-mail: ganivrn@mail.ru Татаркин Евгений Сергеевич - ВГТА, аспирант, тел. (473) 255-25-50, e-mail: tatarkin.evg@gmail.com
эффективное сечение рассеяния в телесный угол dQ, зависящее от закона взаимодействия молекул. Для модели молекул в виде жёстких упругих сфер
(радиуса R) О = 4R2 cos U , где U - угол между относительной скоростью сталкивающихся молекул и линией, соединяющей их центры.
Уравнение Больцмана трудно применимо для описания плазмы заряженных частиц с куло-новским взаимодействием вследствие дальнодейст-вующего характера кулоновских сил. Поэтому для описания плазмы с кулоновским взаимодействием используется уравнение Власова с самосогласованным электромагнитным полем, созданным заряженными частицами плазмы.
Уравнения Власова записывается в виде:
dfa | ndfa 5 , 1 3 5ЪС
^ + 3^--q (E + -dt dr c
з,в )^а=о, (3)
-1 др
С целью нахождения взаимодействия заряженных частиц в плазме уравнение Власова для самосогласованного поля, необходимо дополнить следующей системой уравнений (уравнения Максвелла):
5 4nj 1 dE
rotB =—- + -
c dt
rotE = --1 —, c dt
(5)
сНуВ = 0, (6)
С1\Е = 4пр, (7)
Р = е|(/г - /е )ср , (8)
1 = е| (/г - /е )3Ср , (9)
где /а(г ,3,1) - функция распределения для каждой компоненты плазмы; г - ко ординаты частицы; р - поле импульса частицы; 3 - поле скоростей частицы; Е, В - напряженность электрического и магнитного поля; р - плотность заряда; ] - плот-
ность тока; д - заряд частицы; д(Е +— 3, В ) -
с л
сила Лоренца.
Для решения полученной системы уравнений Власова-Максвелла (3-9) использовался численный метод крупных частиц.
Использование метода крупных частиц состоит в том, что фазовое пространство для каждой компоненты в начальный момент времени разбивается на ячейки. В соответствии с начальной функцией распределения каждой компоненты
/ (г ,3,0) считается число частиц в каждой ячейке. Затем суммируются заряды всех частиц данного сорта, содержащиеся в одной ячейке, суммарный заряд присваиваются одной модельной частице данного сорта, которую помещают в узел сетки (рис. 1). Таким образом, получается не только начальное распределение макрочастиц, но и задается в каждом узле начальное значение плотности заряда и тока. Далее рассчитываются электрическое и магнитное поле по имеющимся значениям заряда и тока в узлах. После этого рассчитывается траектория движения частиц, их новое положение в фазовом пространстве в последующий момент времени. Таким образом, определяется текущая функция распределения [2].
Условия сходимости и адекватности решения методом крупных частиц [3] определялись следующим образом:
1) Шаг интегрирования должен быть много меньше минимального характерного времени процессов в плазме, то есть времени электронных колебаний (колебаний плазмы - Ленгмюров-ские волны):
л о „ 1
At < 3.4—, (10)
2) Шаг сетки должен быть меньше радиуса Дебая:
h < 0.2Ad , (11)
Суммирование заряда макрочастицы в узлах сетки может происходить по разным алгоритмам:
а) Ближайший к узлу (NGP - nearest grid point) на рис 3.
б) Облако в ячейке (CIC - cloud-in-cell)
t
O; O' О;; О.: O .O;; O
Анод
- h+ = h - - ■ = ■ ■ --•O—O......о....О.....О :: 0.....О.
' є : . + ї - ! -•
"О....;6 -:0---6---.Q.......О. 6
І Є h і h І , + і і , +е і h Iе
■ їр ■ п S _ «ГІ + Р»
о.....о о.......ой о........о о
Катод
Рис. 1. Расчетная сетка (е - электрон, с+ -катион углерода, Ь+ - катион гелия)
Расчетная схема выбранного метода решения представлена на рис. 2.
Рис. 2. Расчетная схема метода крупных
частиц
Рис. 3. Методы суммирования, черная точка - частица, белая точка - макрочастица.
N0? алгоритм заключается в том, что заряд частицы суммируется в ближайший узел сетки (макрочастица). С1С алгоритм заключается в разнесение заряда частицы по узлам с помощью линейной интерполяции. В двух мерном случае заряд разносится по узлам пропорционально площади прямоугольника, дальнего от узла решетки.
Рис. 4. Суммирование по С1С методу
5, 52 53
д = я5; ъ = ; ъ = ^5;
Ъ = 5 = 5 + 52 + 53 + 54, (12)
где д,, ъ2, ъ3, д4 - заряд макрочастицы; - заряд
частицы; 5,, 52,53,54 - площадь прямоугольников показанных на рис. 4.
В трехмерном случае взвешивание происходит пропорционально объему ячейки, а не площади.
Уравнения Максвелла (4-9), выраженные через скалярный потенциал ф и векторный потенциал А примут следующий вид:
УЁ = -Аф = 4пр, (13)
У В = Ах А = /л01, (14)
где р - плотность заряда определяется как сумма разнесенных в звешенных зарядов частиц Рк =£ Чг , 1 - плотность тока определяется как
г
1 к =£ Чг9г .
І
Расчет скалярного потенциала ф в узлах сетки можно провести, используя уравнение Пуассона [2]:
д2ф д2ф д2ф л ,
+ ^Г +ГГ = —4пР( х ^, ;) (15)
дх ду д;
Ф\гр = ФР (X, ^ 2) (16)
О < х < Ьх ,0 < у < Ьу ,0 < г < Ьг (17)
где Ьх, Ьу, Ьг - размер сетки по координатам,
р( X, у, г) - плотность заряда, в к-м узле сетки.
Конечно-разностный вид уравнений 15-17 имеет вид:
фк+1, і ,г — 2фк, і , і + фк—1, і ,і +
^х
фк, і+1,г — 2фк, і ,г +фк, і-1,г
и.
, фк, і ,г +1 2фк, і ,і +фк, і ,г —1 4
+ -------------^----------- = — Р^’г'
(18)
0 1 = ф1 , фп+1, і ,і ф2 , (19)
фк ,0,і = ф3,фк ,т + 1,г = ф4 , (20)
фк, і ,0 = ф5 , фк, і ,Ь + 1 = ф6, (21)
где к = 0..П, і = 0..т, і = 0..Ь - индексы узлов
сетки,
ки.
и =и =—?— и =
X , 1 ’ у , 1 ’ ; 7,1
п +1 т +1 Ь +1
шаг сет-
При Их = Иу = Иг = И легко привести конечно-разностное уравнение к виду [2]:
фк+1, і г +фк—1, і г +фк, і+1,г +
+фк, і—1,і + фк, і ,г+1 + фк, і і—1 — (22)
—6фк,;, г = — 4пРк, 1ііИ 2
Для решения этого матричного уравнения применяется метод установления [2], заключающегося в том, что решение уравнения (13) рассматривается как установившееся (стационарное) решение уравнения диффузии с коэффициентом диффузии, дф
равным единице -------= Дф + 4пр , то есть на
дг
временах, когда уже нет изменения потенциала, то
дф п
есть-----= 0 .
д г
фк,}, ,■(г+д г)=ф, ,■(г) +а(фк+и ,,■(г)+
фк-1,} Л (г) + фк,}+и (г) + фк,}-1,1 (г) +
+ фк, ] ,г + 1 (г) + фк, ] ,г-1 (г) - 6фк, ] ,г (^) +
(23)
+ 4 ПР к, і, і И 2 ) где а =
к, і, і А ї И2
Условие выхода потенциала на стационар можно выразить следующим образом:
^фк,іг (ї + Аї) — Ефк,і,і (ї)
к, і ,і к, і ,і
где £п - задаваемая погрешность.
Значение электрического поля в узлах вычисляется следующим образом:
фк-1, ] ,1 фк+1, ] ,1 ;
Ёх = ■
хк, і
Ё =
ук, і ,і
фк, і—1,і — ф
к, і+1,і .
2И„
2Их
Ёг =
гк, і ,і
фк, і г—1 — ф
к, і ,і+1 .
2И
Значения магнитного поля в узлах сетки определяется аналогично электрическому полю но для уравнения 14.
Расчет силы действующей на частицу:
1 ггг1)
9, В,
*і = Ч г (Ё г +
С
Ё = ( ёх , Ёу, Ё\)
В = (вх, ву, в; )
Значение полей 1-ой частицы определяется интерполированием к месту её расположения, как и для взвешивания заряда для макрочастицы.
Изменение скорости и перемещения 1-ой частицы:
4=4+—Дг щ
Г = Г+4Дг
Количество электронов в плазме электроду-гового разряда
I Дг пе = —, е
где I - сила тока дуга (А); Дг - шаг интегрирования по времени (с); е - заряд электрона (Кл).
Количество положительных ионов углерода в плазме можно получить из экспериментальных данных скорости испарения анода:
4
п = —, с Дг
где 4а - скорость выгорания анода по экспериментальным данным (кг/с)
Из условия квазинейтральности плазмы, количество положительных ионов гелия: п, = п - п
пес
Общее количество атомов гелия в межэ-лектродном объеме можно определить из уравнения Менделеева-Клапейрона.
Использование представленной модели позволило произвести расчет изменения модуля средней скорости ионов углерода в межэлектрод-ном пространстве (рис. 5). В качестве исходных данных принималось межэлектродное расстояние 1 мм, диаметр электродов 10 мм, сила тока 150 А [4], количество расчетный точек 1000.
Модуль вектора скорости м/с
Рис. 5. График изменение модуля среднего скорости ионов углерода от анода к катоду.
Численное решение полученной системы уравнений Власова-Максвелла методом крупных частиц, позволяет провести исследование механизмов роста кластеров при взаимодействий частиц в плазме, рассмотреть динамику прикатодных и при-анодных процессов с учетом формы выгорания анода (форма определяет конфигурацию потока атомов углерода), а также определить влияние параметров синтеза на скорость роста и состав депозитного осадка [5].
Использование данного метода моделирования требует значительных затрат машинного времени для расчетов, поэтому для ускорения вычислений использовалась техника распараллеливание вычислений с привлечением объединенных вычислительные комплексов.
Литература
1. Алексеев Б.В. Физические основы обобщенной больцмановской кинетической теории газов / УФН, 2000, № 170, С. 649-679
2. Цветков И.В. Применение численных методов для моделирования процессов в плазме: учебное пособие. М.: МИФИ, 2007. 84 с.
3. Хокни Р., Иствуд Дж. Численное моделирование методом частиц: Пер. с англ. - М.: Мир, 1987. - 640 с.
4. Абрамов Г.В., Гаврилов А.Н., Татаркин Е.С. Влияние газоплазменной струи в процессе электродугового испарения графитового электрода на формирование углеродных нанотрубок. Вестник Воронежской государственной технологической академии. Серия: Информационные технологии, моделирование и управление / Воронеж: ВГТА, 2010, № 2(44). С.60-63
5. Абрамов Г.В., Гаврилов А.Н., Пологно Е.А., Татаркин Е.С. Исследование свойств углеродного депозита получаемого при распылении графитового электрода в плазме электродугового разряда // Кибернетика и высокие технологии XXI века. X международная научно-техническая конференция. Том 2 / Воронеж: ВГУ, 2009. С.785-709.
Воронежская государственная технологическая академия
VLASOV-MAXWELL EQUATIONS IN MODELING THE DYNAMICS OF CHARGED PARTICLES IN PLASMA BY ARC DISCHARGE SYNTHESIS OF CARBON NANOSTUCTURES G.V. Abramov, A.N. Gavrilov, E.S. Tatarkin
The article presents a mathematical model of the dynamics of motion of charged particles in the plasma-wave electric arc discharge with the numerical solution by “particle-in-cell” method. The schedule of change of the module of average speed of ions of carbon depending on position in an interelectrode zone is resulted
Key words: plasma, nanotube, fullerene, carbon ions, cluster
