МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ДВИЖЕНИЯ МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ МАССЫ m ПО СПИРАЛЬНОЙ ТРАЕКТОРИИ Текст научной статьи по специальности «Физика»

предела и электрических импульсов дает возможность дополнительной пластификации материала за счет двойниковани с увеличением резерва пластичности

References

1. Savenko, V.S. Electroplasticeffect under the simultaneous superposition and magnetic fields/ V.S. Savenko// Journal of applied physics. - 1999. -№5. -Р1-4.

2. Khrushchev M.M., Troitskiy O.A., Stashenko V.I., LevinI.S. (2017), Change in the phase composition of steel under the influence of current pulses and

microwave radiation under deformation, Ferrous metallurgy, 7, 82-87.

3. Krajewski,A.,Wlosinski W., Chmielewski T., Kolodziejczak P. (2012), Ultrasonic-vibration assisted arc-welding of aluminum alloys, Bulletin of the Polish Academy of Technical Sciences, 60 (4),841-852.

4. SavenkoV.S.(2017), The contribution of pon-deromotive factors to the realization of electroplastic deformation / V.S. Savenko, O.A. Troitsky, A.G. Sili-vonets // Izvestiya NAN RB,A series of physical and technical sciences, 1, 85-91.

MATHEMATICAL MODELING OF THE MOTION OF A MATERIAL POINT OF MASS m ALONG

A SPIRAL TRAJECTORY

Gurevich G.,

Doctor in Physics and Mathematics, Institute for Integration and Professional Adaptation,

Israel, Netanya Lutmanov S.,

PhD in Physics and Mathematics, Associate Professor, Perm State University, Russia, Perm

Ilyev O.,

Dr.-Engineer (energetic), Israel, Netanya Institute for Integration and Professional Adaptation,

Russia, Moscow Pensky O.

Doctor of Technical Sciences, Professor, Perm State University, Russia, Perm

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ДВИЖЕНИЯ МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ МАССЫ m ПО СПИРАЛЬНОЙ ТРАЕКТОРИИ

Гуревич Г.С.,

Доктор физико-математических наук, Институт интеграции и профессиональной адаптации,

Израиль, г. Нетания Лутманов С.В.,

Кандидат физико-математических наук, доцент, Пермский государственный национальный исследовательский университет

Россия, г.Пермь Ильев О.И., Др .— инженер (энергетик) Институт интеграции и профессиональной адаптации,

Израиль, г. Нетания Пенский О.Г. Доктор технических наук, профессор, Пермский государственный национальный исследовательский университет

Россия, г.Пермь

Abstract

The first part of the article examines the motion of a material point of mass m along a spiral trajectory.

The interaction with the environment of a material point of mass m, moving along a spiral trajectory, is described.

A vector form of the equation is introduced to describe the motion of a material point of mass m along a spiral trajectory.

The second part of the article provides evidence that a material point of mass m, flying out of the central force field, it moves only along a spiral trajectory.

The solution of differential equations of motion of a material point of mass m and determination of its coordinates at any point of the spiral trajectory depending on time is presented.

Аннотация

В первой части статьи исследуется движение материальной точки массой m по спиральной траектории.

Описывается взаимодействие с окружающей средой материальной точки массы m, движущейся по спиральной траектории.

Вводится векторная форма уравнения для описания движения материальной точки массой m по спиральной траектории.

Во второй части статьи приводится доказательство того, что материальная точки массой m. вылетая из центрального силового поля, движется только по спиральной траектории.

Представлено решение дифференциальных уравнений движения материальной точки массой m и определение её координат в любой точке спиральной траектории в зависимости от времени.

Keywords: material point, spiral trajectory, step, radius - vector, momentum.

Ключевые слова: материальная точка, спиральная траектория, шаг, радиус-вектор, импульс.

В статье [1] теоретически доказано, что материальная точка массы m, вылетая из центрального силового поля под действием внешней силы / , движется по спиральной траектории.

В описании движения материальной точки по спиральной траектории были показаны все взаимодействия материальной точки с окружающей средой [11], [12].

Двигаясь по спиральной траектории и находясь в любой точке этой траектории движения, материальная точка массы m, взаимодействует с окружающей средой активными Рс и реактивными импульсами Рис.1.

Рис.1

Взаимодействие материальной точки массы m с окружающей средой

На Рис.2 активный Рс импульс и реактивный импульс разложены на составляющие по осям системы координат Х1У121, связанной с материальной точкой массы m, расположенной в точке «а» спиральной траектории

Рис.2

Разложение активного импульса Рс и реактивного импульса Рм на составляющие В статье [1] показано, что активный Рс и реактивный импульсы раскладываются на продольные активный РрГ(аа) и реактивный Ррг(гал) импульсы, поперечные активный Ррор(ал) и реактивный Рр0р(гас1) импульсы и касательные активный РкаБ(гаа) и реактивный РкаБ^гась) импульсы.

Рис.3

Образование продольных импульсов, поперечных импульсов и механического момента М

Материальная точка массы, m двигаясь по спиральной траектории, создаёт в среде продольные импульсы, поперечные импульсы и механический момент М относительно асимптотической оси спиральной траектории.

Рис.4

Образование продольного реактивного момента

Механический момент М и продольный реактивный импульс Ррг(гась) Рис.4 создают продольный реактивный момент Мгас(. материальной точки, движущейся по спиральной траектории Рис4.

Мы исследовали взаимодействие материальной точки массы m с окружающей средой при движении точки по правосторонней спиральной траектории.

При движении материальной точки массы m по левосторонней спиральной траектории, продольные импульсы, поперечные импульсы и механический момент М поменяют направление взаимодействие со средой на противоположные [5], [6].

Дадим математическое описание движения материальной точки массы m по спиральной траектории.

Положение материальной точки массы m в любой точке D спиральной траектории определяется радиус -вектором г® Рис.5.

Для доказательства рассмотрим движение материальной точки массы m в пределах одного вин-товитка.

Треугольник OAD является прямоугольным треугольником [1] .

Положение материальной точки массы m в любой точке D винтовитка спиральной траектории

определяется двумя векторами Д и Хрг.

Y

Рис.5

Вектор Я (АО) определяет движение материальной точки массы m по окружности радиуса R с центром, находящемся на асимптотической оси спиральной траектории W.

Радиус окружности R всегда перпендикулярен асимптотической оси спиральной траектории W .

Вектор Хрг(ОА) определяет движение материальной точки массы m вдоль асимптотической оси Х спиральной траектории W в пределах одного вин-товитка.

Лрг определяет шаг винтовитка спиральной траектории W. Продольный шаг спиральной траектории является величиной постоянной, следовательно, справедливо равенство ОА = DD

ОА является модулем продольного шага Хрг Таким образом, положение материальной точки массы m в любой точке D, D и т.д. спиральной траектории определяется радиус - вектором r(t) в зависимости от времени t Рис.6

r(t) = lpr(t)+lpop(t)

Рис.6

Движение материальной точки m массы по спиральной траектории W

Перейдём к описанию движения материальной точки массы m с помощью дифференциальных уравнений движения [3, 4].

O

y

Обозначения:

r =

У

V Z У

радиус -вектор точки,

V = г =

У

скорость точки.

W = r =

У

vzy

- ускорение точки.

Дифференциальные уравнения движения: второй закон Ньютона [7 - 15]

f ^ f fx; ^

mr = F + f m У = К + fy

lzy v j

f \ (Fx) (f.A

m У = к - ь fy

J J [FJ v fz J

Промежуток времени движения

пгх = К+fx,

my = Fy+fy, mz = F:+f:.

[О, Т ].

* = UFx+fx), m

Начальные условия Jo

r = 'О

— начальное положение точки,

V0 =

V Zo J fx ^

о

Jo

V zo J

- начальная скорость точки.

Предположения относительно силы F Сила, действующая на точку, является

1. центральной;

2. притяжения;

3. по величине равной

mv2

~R

где

m—масса точки, v — скорость точки, R = const > 0. Тогда

F =

- г m|v|

m(x2+y2+z2)

Rjx2 + y2 + z2

\г\ R

Частные случаи силы f.

У

v z j

1. Случай f = 0

m

mx =-х-

my = -y-

(v • v •=)

R^Jx2+y2 + z2 m(x2 + y2 + i2) R^x2+y2 + z2

^ <

m

mz = -z-

(v • v •=)

R^x2+y2+z2

x = -x-

y = -y-

z = -z-

(x2+y2+z2) R-\jx2 +y2 +z2

R-\jx2 +y2 +z2

R-\jx2 +y2 +z2

(1)

2

Траектория точки

Известно, что траектория точки, движущейся под действием только центральной силы, будет плоской при любых начальных условиях. Полагаем, например

(0) = Г =

R = 1,

(Л 1 Л0 ( 0.5 1

У0 = -0.5

v z0 j v 1 j

Г(0 ) = =

Л0

Уо

Vzo J

'П -1

vly

(2)

Интегрируем (1) с начальными условиями (2).

Траектория получилась плоская, но не окружность с центром в начале координат и радиуса Я . Для того, чтобы точка двигалась по сфере радиуса Я с центром в начале координат (на самом деле по окружности радиуса Я с центром в начале координат) необходимо, чтобы в начальный момент точка находилась на поверхности сферы, а ее скорость была бы направлена по касательной к сфере. Например,

7(0 ) = Го =

Л0

У0 v zo j

fo 1 0 v1j

Г( 0 ) = v0 =

f jr Л

Л0

Уо

VZo J

1

vOy

Траектория движения точки для этих начальных условий изображена ниже:

2. Случай f = const. Пусть, например

f =

( 0 1

v 02 j

= const

Дифференциальные уравнения движения принимают вид

(х2 + у2 +2

x = -x-

R^Jx2+y2 + z2

y = -y-

(i2 + y2 + z

z = -z-

Ryjx2+y2+z2 (Л2 + У2 + z2) R\]x2 +y2 +z2

+ 0.2

Начальные условия возьмем такими же, как в случае движения по окружности

:(0 ) = Г =

41 (01 У0

v z0 j

v1j

Г(0 ) = v0 =

^ x0 ^ Г(Л Уо

\z0 J

vOy

Время движения полагаем Траектория движения точки

T = 20.

<

Траектория получилась спиралевидной. 3. Случай / ^ Г . Пусть, например

f =

Л

V 0 J

Проверка ортогональности f ^ Г . Действительно,

f ■ r =

Л

У

V 0 J Vz J

= - ул + ЛУ = 0.

Дифференциальные уравнения движения принимают вид:

(х2 + у2 +2

х = -х-

R-Jx^+y2 + z2

У

У = -У-

z = —z ■

(i2 + у2 + z

)

R^x2 + у2+z2

+ Л

(i2 + у2 + Z

R-\jx2 + у2 +z2

Начальные условия возьмем такими же, как в случае движения по окружности

Г(0 )= Г =

сЛ ^ Л0

У0

v z0 j

01

v1j

Г(0 ) = v0 =

(х ^

Л0

Уо

VZo J

'0\

vOy

Время движения полагаем

T = 20

Траектория движения точки изображена ниже:

<

Траектория получилась спиралевидной.

4. Случай / ^ Г . Сила / берется как в предыдущем случае. Дифференциальные уравнения дословно повторяют уравнения предыдущего пункта. Начальные условия другие

(X Л Л 0 ( 0 л fx Л л0

r (0) = r = Jo = = 0 , V (0)= Vo = У о = = -1

v z 0 1 1 у VZo J 1<>,

Траектория движения точки:

20 TjJl

Траектория получилась спиралевидной.

Заключение

На основании проведенного теоретического исследования доказано, что материальная точка массой т, покидая центральное силовое поле, движется только по спиральной траектории [1].

Показаны все взаимодействия материальной точки массой т с окружающей средой при её движении по спиральной траектории.

Приведены уравнения движения материальная точка массой т в координатах ХУ2 в зависимости от времени 1 в векторной форме.

Представлено решение векторных уравнений движения материальная точка массой т в виде системы дифференциальных уравнений, которые определяют координаты точки в зависимости от времени 1 .

Решение дифференциальных уравнений доказывает справедливость выводов проведенного теоретического исследования траектории, Из расчётов следует, что траекторией точки является спираль, а координаты точки определяются радиусом - вектором г(Г).

References

1. Mathematical modeling of processes of motion of a material point emissing from a central force field. Determination of the parameters of a virtual micropar-ticle on the basis of the presented mathematical model. German International Journal of Modern Science №17 , 2021, Cc.43-53.

2. Landau L. D., Lifshits E. M. Mechanics. 5th ed. ("Theoretical Physics", vol. I). Moscow: Fizmatlit, 2012.224 p. ISBN 978-5-9221-0819-5.

3. Zhuravlev V.F. Foundations of theoretical mechanics. M. Fizmatlit. 2008. ISBN 978-5-9221-09079.

4. Aleshkevich V. A., Dedenko L. G., Karavaev V. A. Mechanics 2011 ISBN 978-5-9221-1271-0.

5. Demidenko VN, Discrete structures of the mi-croworld. CD Librikom. 2019. ISBN 978-5-397069168.

6. Blokhintsev I. D. Space and time in the mi-croworld. M. Leland 2015. ISBN 978-5-9710-1719-6.

7. Shorokhov A. V. Kinematics. Saransk 2010. ISBN 978-5-7103.

8. Nikitin N.N. Theoretical Mechanics Course. Doe2020. ISBN 978-5-8114-6755-6.

9.. Olkhovsky II A course of theoretical mechanics for physicists. 4th ed. SPb .: Lan, 2009 576 p. -ISBN 978-5-8114-0857-3.

10. Golubev Yu. F. Fundamentals of Theoretical Mechanics. M .: Moscow State University, 2000.S. 160.720 s. ISBN 5-211-04244-1

11. Gurevich G.S., Kanevsky S.N. Elementary particles. M .: IPO "At Nikitskiye Vorota", 2016 172s. ISBN 978-5-00095-170-5

12. Landau L.D., Lifshits E.M. Theoretical Physics Vol. 3. Quantum Mechanics M. Fizmatlit. 2001. ISBN 5-9221-0057-2

Список литературы

1. Гуревич Г.С., Пенский О.Г. Математическое моделирование процессов движения материальной точки, вылетевшей из центрального силового поля. Определение параметров виртуальной микрочастицы на базе представленной математической модели. German International Journal of Modern Science №17 , 2021, Сс.43-53.

2. Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Механика. 5-е изд. («Теоретическая физика», т. I). М.: Физматлит, 2012. 224 с. ISBN 978-5-92210819-5.

3. Журавлев В.Ф. Основы теоретической механики. М. Физматлит.2008. ISBN 978-5-9221-0907-9.

4. Алешкевич В. А., Деденко Л. Г., Караваев В. А.. Механика 2011 ISBN 978- 5-9221-1271-0.

5. Демиденко В. Н., Дискретные структуры микромира. КД Либриком.2019. ISBN 978-5-39706916-8.

6. Блохинцев И. Д. Пространство и время в микромире .М. Леланд 2015. ISBN 978-5-97101719-6.

7. Шорохов А. В. Кинематика. Саранск 2010. ISBN 978-5-7103.

8. Никитин Н.Н. Курс теоретической механики. Лань2020.ISBN 978-5-8114-6755-6.

9. Ольховский И. Курс теоретической механики для физиков. 4-е изд. СПб.: Лань, 2009.576 с. — ISBN 978-5-8114-0857-3.

11. Гуревич Г.С., Каневский С.Н. Элементарные частицы. М.: ИПО «У Никитских ворот», 2016 172с. ISBN 978-5-00095-170-5

12. Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Теоретическая физика т. 3. Квантовая механика, М. Физмат-лит.2001. ISBN 5-9221-0057-2