CC BY
44
электронное научно-техническое издание
НАУКА и ОБРАЗОВАНИЕ
Эл № ФС 77 - 30569. Государственная регистрация №0421100025. ISSN 1994-040S
Вариационный метод наименьшего утомления для расчета оптимальной траектории активного движения
77-30569/330203
# 01, январь 2012 Покровский Л. А.
УДК 51-7 530.1 531 14
Самостоятельный исследователь lpockr@izograph.com
1. Введение
Кони нуждаются в движении каждый день [1]. Поэтому при больших конюшнях обычно имеется прогулочный круг, используемый для выгула коней, если погода неблагоприятна для дальних прогулок. Также на этом кругу берут первые уроки верховой езды начинающие наездники. Излишне объяснять почему, это и так ясно, время от времени конь на кругу должен менять направление вращения. При этом конь сходит с окружности и по некоторой кривой направляется к центру круга. Затем по симметричной кривой он возвращается на окружность в точке, диаметрально противоположной точке схода, и продолжает движение по окружности уже в другом направлении.
Один хороший друг автора, большой любитель верховой езды и восточной мудрости, однажды обратил внимание, что в целом траектория коня при описанном маневре делит круг на две части, похожие на хорошо известные в древней китайской премудрости фигуры Инь-Ян [2, 3, 4]. Качественно совершенно ясно поведение коня при маневре смены направления вращения. Ничего другого, кроме кривой типа Инь-Ян при этом получиться не может. Однако, упомянутый друг автора предложил подвести математическую базу под это явление. В результате появилась на свет настоящая работа. Исходная предпосылка работы состоит в том,
что конь выбирает после многократных повторений маневра оптимальную, наименее утомительную траекторию.
В данной работе предлагается математическая модель утомляемости коня и производится вариационный вывод уравнений движения [5] с помощью этой модели. Уравнения решаются в общем интегральном виде и затем численно с учетом граничных условий типа Инь-Ян в точках выхода на окружность (или схода с нее) и в центре круга. Результаты представлены в графическом виде вместе с их обсуждением.
2. Вариационная постановка задачи и вывод уравнений движения
От чего устает конь? Он устает даже, если ничего не делает, как и прочие живые существа. Просто со временем все нуждаются во сне. Здесь мы пренебрегаем этой усталостью. Мы полагаем, что конь бежит и устает от бега. Он устает и тогда, когда движется по прямой с постоянной скоростью. Но кони выносливы, они способны долго скакать без видимой усталости. Поэтому эта не та усталость, которая нас здесь интересует. Нас интересует усталость от движения с переменной скоростью, т.е. с ускорениеми, как продольным, меняющим скорость по величине, так и поперечным, сообщающим траектории кривизну. В общем случае, как свидетельствует преизбыточный опыт наездников, эти два вида ускорения утомляют коня в разной степени.
Наша задача здесь найти оптимальную, наименее утомительную траекторию бегущего коня при заданных граничных условиях, а именно его начальных и конечных положений и скоростей. С этой целью определим интегрально утомление как функционал от вектора скорости v(t) = { vx (t), vy (t)}, записываемый в виде
ф{у(0}= jp(a(t))dt, (1)
0
p(a(t)) = £^2 (t) + kL a\ (t), a (t) = cos 6(t) • ax (t) + sin 6(t) • ay (t), a± (t) = cos 6(t)ay (t) - sin 6(t) • ax (t),
cos0(t) = , sin0(t) = Vy(t), v(t )' v(t)'
v(t) = |v(t )| = V Vx2(t) + Vy2(t)
где a(t) = { ax (t), ay (t )}= V (t) - вектор ускорения, a,,(t) и aL (t)- его продольная и поперечная компоненты, £ и к1 - коэффициенты утомления от соответственно
продольного и поперечного ускорений, в(*) - угол вектора скорости, отсчитываемый от оси х , Т - полное время движения для половины траектории. Для определенности здесь и ниже рассматривается половина траектории, начиная от центра до точки выхода на окружность. Другая половина, после начала маневра получается преобразованием центральной симметрии г(—) = -г) , у(—) = ), где г(*) - текущий радиус-вектор, - Т < * < Т
Следуя стандартной процедуре [5], вычисляя вариационные производные [6] от функционала (1) по компонентам скорости и приравнивая их нулю по условию экстремума, получаем после несколько громоздких вычислений уравнения движения в виде
кмМ) - к2 = 0, (2)
11 11 у(0
. ^ | а20НО)
а2 (0 +-ТХ- = 0. (3)
При выводе ур-ний (2) и (3) , как обычно, вариации скорости на концах временного интервала полагаются равными нулю.
Из ур-ний (2) и (3) легко получаем
км,< )а« ) + к2 а2 )а2 ) = 0
и далее после интегрирования
к||а,2(Г) к2 а\($ )
+ = Е, (4)
2 2
где Е - интеграл движения, равный половине утомления на единицу времени (см (1)), т.е. если уж утомляться, то лучше это делать равномерно по времени. Величину Е не следует путать с кинетической энергией, мы используем это обозначение лишь как дань традиции.
Ур-ния (3) и (4) удобно решать в частности для нашей задачи Инь-Ян, перейдя в полярную систему координат в пространстве скоростей, т.е. вместо искомых функций ух ) и уу ) решать уравнения для абсолютной величины
скорости и угла в(*) (см (1)). Опять, опуская громоздкие выкладки, приведем получаемые ур-ния. Ур-ние (4) примает вид
V) + к2 V 2(; )в2(;) = Е 2 2'
а вместо (3) приходим к ур-нию
2V(t )в(Г) + v(t )в(*) = 0,
которое легко интегрируется
v2(t)#(t) = M , (6)
где M еще один интеграл движения, аналогичный моменту количества движения, но не являющийся таковым. Как и в случае традиционной задачи движения в поле центральных сил, наличие интеграла движения E вытекает из симметрии системы итносительно сдвигов по времени, а интеграл движения M обусловлен симметрией системы относительно поворотов на произвольный угол (теорема Нётр [7]).
Ур-ния (5) и (6) составляют систему двух диф-ных ур-ний первого порядка. Для ее решения требуется два граничных условия. Запишем требуемые граничные условия для точки выхода на окружность в виде
v, (T) = 0, (7)
v, (T) = -V,
где V - постоянная скорость, с которой конь совершает движение по окружности по или против часовой стрелки, а время T определено в (1). Для полярной системы координат равенства (7) дают
v(T) = V, (8)
п
0(T) = -1.
Начальные условия для v(0) и #(0) пока остаются неопределенными. Эти величины будут определены ниже из начальных и конечных условий для координат , и , .
Прежде, чем перейти к решению ура-ний (5) и (6), удобно переписать их вместе с граничными условиями (8) в безразмерном виде, используя упомянутый выше парметр V и еще один параметр - радиус беговой дорожки R. Запишем переход к безразмерным величинам в виде следующей цепочки равенств:
R
t = т—,
V
x(t) = R£(r), y(t) = Rn(T),
v(t) = Vu(t), v(t) = Vu(t),
V4
II R2
V3
M = /u—,
R
где т, £(т), п(т), и(т), и(т), е, и соответственно безразмерные время, координаты, вектор скорости, скрость по модулю и перенормированные в соответствии с их размерностями (см. (4) и (6)) интегралы движения Е и М . Ур-ния (5) и (6) в безразмерных единицах принимают вид
и2(т) и2(т)в2(т)
—— + к———— = е, (9)
2 2
и2(т)в(т) = и, (10)
где вместо коэффициентов утомления кц и к2 введен один параметр - их отношение к = к2/кц . Во избежание увеличения обозначений под точкой теперь будет пониматься дифференцирование по безразмерному времени т, т.е. например, X(т) = ёХ / ёт.
Вместо граничных условий (8) теперь имеем
и(Т) = 1, (11)
п
в(Т) = --, 2
где под Т понимается теперь безразмерное полное время движения до выхода на окружность.
3. Решение задачи Инь-Ян
Исключая в(т) из ур-ний (9) и (10), получаем ур-ние только для и(т) вида
и2(т)
+ ки — = е, (12)
2и (т)
которое легко решается
и(т) = VU + 2а{т-та)2, (13)
где та - постоянная интегрирования, определяемая условием и(та) = 0. В момент времени та убывание скорости меняется на ее возрастание. Ниже из графика траектории будет видно, что этот момент прохождения через некую вершину траектории, с чем связано ее обозначение индексом 'a' (apex - вершина). Соответствующая минимальная скорость определяется из (12) и равна
и =& (14)
2
Начальная скорость в центре беговой окружности с помощью (13) записывается как
и(0) = д/и2 + 2ета2 . (15)
После подстановки и(т) из (13) в (10), угол в(т) находится простым интегрированием
в(т) = в0 + ИУ), (16)
где в0 = в(0) - начальный угол, а переменная часть у/(т) получается в виде
42е _ ч , ________42е_ Л
К ;
иТ) =sgn и
arctan-(z-za) + arctan-za , у/(0) = 0. (17)
и и
Для рассматриваемой ветви траектории угол в(т) ожидается убывающим. Поэтому ниже полагается / < 0 и соответственно sgn / = -1. Граничные условия (11) приобретают вид ур-ний
и2 + 2s(T -т )2 = 1, (18)
п
во +ИТ) = -|.
Значения четырех величин 2s, иа (или /), та и в0, из коих в силу (18) только две независимы, остаются пока неизвестными. Дополнительные два уравнения определяются из граничных условий для координат £(т) и r¡(r). Запишем их в виде
£(Т) = 1, r¡(T)= 0. (19)
Выпишем выражения для £(т) и r¡(T), получаемые простым интегрированием проекций скорости
Т
¿¡(г) = Jv(z)cose(z)dz , £(0) = 0, (20)
0
Т
п(т) = j v(t) sin e(z)dz n(0) = 0,
0
где функции v(z) и в(т) определены соответственно в (13) и (16) . Далее определим две функции
¿
(z) = |v(z)cos^(z)dz.
0
т
^ (т) = |v(г) у(т)ёт,
(20)
0
где функция у/(т) определена в (17). С их помощью граничные условия (19) можно переписать в удобном для численого решения виде
Таким образом четыре ур-ния (18) и (21) определяют все четыре параметра, а именно 2а, иа (или /), та и 00 как функции полного времени Т, задаваемое, естественно, всадником. Знание численных значений в свою очередь позволяет численно рассчитать траекторию и поведение всех интересующиех нас величин во времени и построить соответствующие графики.
Функции (20) в общем случае, за исключением случая к = 1, не вычисляются аналитически. Поэтому система ур-ний (18) и (21) была решена численно методом Ньютона [8] с помощью компьютерной программы в системе технического программирования Ма^аЬ [9]. Результаты этого решения для различных значений свободных параметров Т и к представлены графически в следующем разделе.
4. Графическое представление решения и его обсуждение
Кони, как и люди, бывают разные, юркие, средние и не очень поворотливые. Кроме того всадник может предоставить коню самому решать, как оптимально совершить маневр, или вынудить его сделать это в заданное время. Поэтому были рассмотрены и получены два множества траекторий.
В первом множестве изменяется параметр к при одинаковом для всех траекторий значении радиуса кривизны на выходе на окружность тс, равным радиусу беговой дорожки, т.е. в безразмерных единицах равным 1. Этот тот случай, когда конь делает маневр свободно, без принуждения. Для каждой отдельной траектории вычисляется время Т и значение а (см. (12)), представленные ниже в
Во втором множестве параметр к держится постоянным для всех траекторий с принятым значением к = 0.1, а изменению подлежит радиус кривизны на выходе на окружность гс < 1 (иначе траектория выйдет за беговую
дорожку). В этом случае конь вынужден на входе и выходе скачком изменить радиус кривизны, чтобы совершить маневр за более кроткое время. Для этого множества время Т задается, а значение а и радиус кривизны гс вычисляются. Эти данные представлены ниже в Таб. 2.
^с (Т) = СС8 00, ^ (Т) = - 8Ш0.
(21)
Таб. 1.
1. Первое множество решений, тс = 1.
Траектории, явно имеющие вид фигур Инь-Ян, представлены на Рис. 1
Значения параметра к на рис. 1 сверху вниз в правой половине равны: 0.2, 0.4, ..., 2.0. Каждая половина кривой с к = 1 (центральная красная линия) -обыкновенная парабола, представляющая равноускоренное движение (подобно полету камня, брошенного под углом к горизонту).
Й
Рис. 1
Особый интерес представляют траектории с малыми значениями к. Поэтому были расчитаны кривые, аналогичные кривым на рис. 1, с к = 0.2, 0.18, ..., 0.02, а также исследован и найден предел к ^ 0. Соответствующие траектории, включая к = 0, показаны на рис. 2. Также, как и на рис. 1, траектории следуют в порядке возрастания к в правой половине окружности сверху вниз. Значения к < 0 не рассматривались как не имеющие отношения к реальности.
На Рис. 3 показано поведение координат % и п во времени для значений к = 0.0, 0.1, 0.2, 0.4, ..., 2.0 (в порядке убывания сверху вниз на левом рисунке, и снизу вверх на правом рисунке в его правой части). Здесь и ниже для удобства сравнения, т.е. чтобы конечные точки совпадали для всех кривых, используются
приведенные времена, т.е. свой масштаб для каждой кривой с базовым периодом ~ = Т(к = 1) = 42:
, Т
т = т —, Т'
где Т' - значение времени Т для данной кривой (см. Таб. 1). Выбор базового
периода в виде Т , не имеет какого-либо специального значения. Просто траектория с к = 1 была при вычислениях первой.
и
5
Рис. 2
Рис. 3
На рис. 4 слева представлены графики поведения скорости по модулю для тех же значений к = 0.0, 0.1, 0.2, 0.4, ..., 2.0 в порядке убывания к сверху вниз вблизи начальной временной точки. Все линии, за исключением линии с к = 0, являются отрезками гипербол, что вытекает из (13). Из этого выражения также следует, что в случае к = 0 график претставляет собой прямую, как это видно на рис. 4 (вырожденная гипербола). Минимальные скорости при прохожднии вершин гипербол достигаются при т = та.
На рис. 4 справа показаны графики траекторий в пространстве скоростей для тех же значений к в порядке возрастания к сверху слева направо. Красная прямая линия соответствует случаю к = 1 - равноускоренное движение.
Рис. 5
На рис. 5 показано поведение проекций скоростей ух и ух во времени снова
для значений к = 0.0, 0.1, 0.2, 0.4, ..., 2.0 (в порядке убывания сверху вниз на левом рисунке вблизи начальной временной точки, и снизу вверх на правом рисунке в его средней части). Опять красная прямая линия соответствует случаю к = 1 -равноускоренное движение.
Полезно отметить, что время прохода через упомянутую выше вершину та (см. (13)) принимает отрицательные значения в некоторой малой области значений к около нуля, включая сам нуль, как это видно в частности для к = 0 из Таб. 1. Поэтому собственно сам проход для таких значений к оказывается вне приведенных рисунков временной зависимости, за их левыми краями, и модуль скорости монотонно возрастает на всей траектории.
Таблица 1
к Т 2е та
0.00 3.04450 0.01169 -6.20421
0.04 2.71159 0.07086 0.23249
0.10 2.44193 0.16853 0.88859
0.20 2.17946 0.35312 1.07132
0.40 1.87734 0.80438 1.08678
0.60 1.68307 1.37735 1.04294
0.80 1.53566 2.09704 0.99257
1.00 1.41421 3.00000 0.94281
1.20 1.30901 4.13774 0.89478
1.40 1.21473 5.58320 0.84840
1.60 1.12808 7.44144 0.80329
1.80 1.04688 9.86756 0.75904
2.00 0.96954 13.09780 0.71520
1. Второе множество решений, к = 0 .1.
По опыту наездников обычно поперечное ускорение на порядок меньше утомляет коня. С этим связан выбор значения к = 0.1. Траектории типа фигур Инь-Ян, представлены на Рис. 6. За исключением верхней и нижних кривых в правой части, остальные кривые вычислены для заданых Т = 1.2, 1.4, ..., 2.4 . На Рис. 6 они следуют в порядке возрастания снизу вверх в правой части. Каждая из них имеет свой радиус кривизны тс < 1 на выходе на окружность, как это видно из Таб. 2. Самая верхняя кривая на Рис. 6 имеет максимальный радиус кривизны гс = 1 и
период Т = 2.44193 (см. Таб. 1). Эта линия присутствует также среди кривых первого множества на Рис. 1.
Как это выяснилось в процессе вычислений второе множество решений ограничено снизу предельным значением Ттт «1.15528 (см. Таб. 2). Ниже этого значения систем ур-ний (18) и (21) при данном значении к = 0.1 не имеет вещественных решений. Предельная кривая также представлена на Рис. 6 - самая нижняя желтая линия. Как можно показать, критерием этого предела является величина
а = 2е • т1 - к , (22)
которая обращается в нуль на этом пределе (см. Таб. 2). Можно показать также, что равенство а = 0 равносильно обращению в нуль продольной компоненты ускорения в точке выхода на окружность, т.е. в этой точке а,,(Т) = -ау (Т) = 0.
г
Рис. 6
На рис. 7 показано поведение координат £ и п во времени для значений Т = 2.44193, 2.4, 2.2, ... , 1.2, 1.15528 (в порядке убывания сверху вниз на левом рисунке, и снизу вверх на правом рисунке в его правой части).
Рис. 7
На рис. 8, аналогичном рис. 4, слева представлены графики поведения скорости. Опять все линии являются отрезками гипербол, и минимальные скорости при прохожднии вершин гипербол достигаются при т = та. Полезно отметить, что, как это видно на этом рисунке, для предельной кривой вершина гиперболы совпадает с точкой выхода, т.е. для значения Т = Гт имеем та = Т.
Рис. 8
На рис. 8 справа показаны графики траекторий в пространстве скоростей, а на рис. 9 показано поведение проекций скоростей ух и ух во времени.
Рис. 9
Обнаружение предельной траектории с Т = Т1П1П явилось неожиданностью. Поначалу это трудно предвидеть, поскольку в (22) как 2а, так и гс подлежат вычислению. С наличием такой предельной траектории возникает вопрос: какова же все-таки оптимальная траектория, если требуемое время Т < Т^ ? Такая траектория должна существовать. Возможный ответ: для Т < Т1П1П кроме скачков поперечного ускорения на входе (или выходе) должен быть еще такой скачок в какой-то промежуточный момент, один или несколько. Но это уже другая постановка, с другой более сложной системой уравнений нежели система (18) и (21). Эта задача здесь не решалась. Педлагаем ее заинтересованному читателю.
Таблица 2
Т 2е Гс о
2.44193 0.16853 1.00000 0.06853
2.40000 0.17316 0.97984 0.06625
2.20000 0.19879 0.88186 0.05459
2.00000 0.23262 0.78104 0.04190
1.80000 0.28013 0.67794 0.02875
1.60000 0.35309 0.57354 0.01615
1.50000 0.40680 0.52131 0.01055
1.40000 0.48018 0.46939 0.00580
1.20000 0.74164 0.36765 0.00024
1.15528 0.83771 0.34550 0.00000
Также, как и классическая фигура Инь-Ян, составленая из двух полуокружностей, в целом линии типа Инь-Ян на рис. 1, 2, 6 не являются едиными аналитическими кривыми. Правая и левая части этих кривых сопряжены в центре, т.е имеют общую касательную, однако кривизна в этой точке меняет знак. Опытные наездники, по их описанию, ощущают проход через центр как приятный момент. Конь, как они это описывают, «меняет ногу» и на «мгновение невесомо повисает в воздухе в свободном падении». При этом наклон коня и всадника меняется на притивоположный.
5. Заключение
Полученные в данной работе траектории в равной степени применимы не только для лошади, но и для других активно движущихся объектов таких, как мотоцикл, велосипед, гоночный автомобиль и т.п.
Предлагаемый в данной работе подход и выведенные здесь уравнения применимы и при других граничных условиях. Траектория типа Инь-Ян не единственный способ поворта вращения в другую стороны. Можно, например,
просто описать петлю. Соответствующую оптимальную траекторию можно найти из тех же уравнений при соответствующих граничных условиях. В самом общем случае эти уравнения позволяют оптимально решить любую смену характера движения. В связи с этим, нам представляется, что предлагаемый здесь подход может оказаться полезным в дорожном строительстве при проектировании, например, развязок дорог при их пересечении, т.н. розеток [10].
Полезно подчеркнуть, что предлагаемый здесь вариацонный подход коренным образом отличается от т.н. принципа наименьшего действия Г11] в классической механике в виде лангранжева или гамильтонова формализмов £12]. Варьируемые аргументы здесь - скорости, а не обобщенные координаты, как в формализме Лагранжа. Поэтому здесь отсутствуют обычные механические понятия такие, как энергия, импульс и т.п. Предполагается однако, что активно движущийся объект обладает достаточной внутренней энергией для поддержания движения. При необходимости, конечно, можно произвести анализ расхода и диссипации этой энергии, но это выходит за рамки данной работы.
Данную работу следует отнести к области науки, пока, видимо, не имеющей названия и которую следует назвать активной механикой. К этой области можно отнести также работы, посвященые исследованию движения микроорганизмов, как например £13], а также механике ходьбы (бега) Г14] и других способов передвижения живых существ. Наш феноменологический подход позволяет исследовать движение в целом отдельно от деталей его механизмов и физиологии усталости, трудно поддающиеся математической формализации.
Сюда также можно отнести работы по реактивному движению с переменной массой, в основе которых лежит известное уравнение Мещерского [15] и которые также предлагают задачи на оптимизацию, например, расчет наиболее эфективного расхода топлива при заданных граничных условиях. .
Активная и, если так можно выразиться, пассивная механика отличаются принципами причинности. В пассивной механике следствие с необходимостью подчиняется причине и действительно неизбежно следут ей мгновенно или с опозданием. В активной же механике, как и в жизни, истиная причина лежит всегда впереди, как определенная цель и задача состоит в оптимальном ее достижении.
Ссылки
1. Уход за лошадью. http://en.wikipedia.org/wiki/Horse care (дата обращения: 15.12.2011).
2. Инь и янь, Википедия - свободная энциклопедия, <http://en.wikipedia.org/wiki/Yin and yang>. (дата обращения: 15.12.2011)
3. Иньянь (инь-янь), Интернет-энциклопедия по философии, http://www.iep.utm.edu/vinyang/ (дата обращения: 15.12.2011).
4. Тайцзи, Википедия - свободная энциклопедия, <http://en.wikipedia.ors/wiki/Taiji> (дата обращения: 15.12.2011).
5. Вариационное исчисление, Википедия - свободная энциклопедия, <http://en.wikipedia.org/wiki/Calculus of variations> (дата обращения: 15.12.2011).
6. Функциональные производные. http://mathworld.wolfram.com/FunctionalDerivative.html (дата обращения: 15.12.2011).
7. Теорема Нетера, Википедия - свободная энциклопедия, http://en.wikipedia.org/wiki/Noether's_theorem (дата обращения: 15.12.2011).
8. Метод Ньютона, Википедия - свободная энциклопедия, <http://en.wikipedia.ors/wiki/Newton's method> (дата обращения: 15.12.2011).
9. MathWorks - Company - Компания MathWorks, < http://www.mathworks.com/index.html> (дата обращения: 15.12.2011).
10. Transport Advice Portal: Junction Design - Транспортный консультационный портал: Разработка развязок, http://tap.iht.ors/ (дата обращения: 15.12.2011).
11. Принцип наименьшего действия, Википедия - свободная энциклопедия, <http://en.wikipedia.ors/wiki/Principle of least action> (дата обращения: 15.12.2011).
12. Лагранжева и гамильтонова механика. http://www.mathpases.com/home/kmath523/kmath523.htm (дата обращения: 15.12.2011).
13. Креншау и др., Анализ трехмерной траектории организмов..., Журнал экспериментальной биологии 203 (6): 961.
14. Клэр Т. Фарлей и др., Биомеханика ходьбы и бега. http://www.scribd.com/doc/35787151/Bio-Mechanics-of-Walkins-and-Runnins (дата обращения: 15.12.2011).
15. Аркадий Космодемьянский, Механика органов переменной массы, Большая Советская Энциклопедия, 3-е изд., 1970-1979.
electronic scientific and technical periodical
SCIENCE and EDUCATION
_EL № KS 77 -3()56'J..VaU421100025. ISSN 1994-jMOg_
The variational method of the least fatigue for calculating the optimum trajectory of active motion
77-30569/330203
# 01, January 2012 Pokrovskii L.A.
Freelance researcher lpockr@izograph.com
1. Introduction
As any horse expert would attest, horses need motion everyday [1]. That is why there are promenade circles at large stables used as paddocks, in case weather is unfavorable for far strolling. These circles are also used for training novice riders at their first lessons. There is no need to explain, for it is clear enough, why a horse on the circle has to change direction of its circular motion from time to time. When doing the change, the horse goes off the circle and moves toward the center of the circle along a certain curve. Then along the symmetric curve it returns to the circle at a point, which is an antipode to the point of leaving the circle. As a result it keeps moving along the circle, but in the opposite direction.
Once a good author's friend, a great enthusiast of riding and admirer of oriental wisdom realized that as a whole the path of the horse at the maneuver divides the circle into two parts similar to Yin & Yang figures well-known in Chinese philosophy [2, 3, 4].
Qualitatively the way a horse moves during the maneuver of changing direction of its circular motion is quite clear. Nothing but a Yin & Yang curve can arise as a result of the maneuver. However the above-mentioned author's friend suggested developing a mathematical basis for the phenomenon. As a result the present work has been born. Here we assume that after many repeated maneuvers a horse learns to choose a least tiresome, optimal path.
In present work we propose a mathematical model of horse fatigability and then using the model we derive motion equations with the help of calculus of variations [5]. The equations are solved in general integral form and then numerically taking in account Yin & Yang boundary conditions at the point of entering (or leaving) the circle. The results are presented in graphic form and supplied with the discussion.
2. Formulation of the Problem in terms of Calculus of Variations and
Derivation of Motion Equations
What does a horse get tired from? It gets tired even from doing nothing, as all other living beings do. Merely all of us need sleeping. We ignore this natural sort of fatigue in the present research. Our premise is that a horse runs and gets tired of running. It is getting tired when runs along a straight way with constant speed. However, horses are enduring and they are able to race long time without visible tiredness. Thus this is neither a sort of tiredness we are interested in. We are interested in tiredness produced by velocity changes, i.e. by accelerations, tangential and radial ones. In general as experience of plenty of riders proves these two types of acceleration tire a horse differently.
Here our aim consists in finding an optimal, the least tiresome trajectory of running horse at given boundary conditions, i.e. its initial and final positions and velocities. Therefore let us define integral fatigue as a functional of velocity vector v(t) = { vx (t), vy (t)}, written as
0{v(t)}= J^(a(t ))dt, (1)
0
cp(a(t)) = ka (t) + kL al (t), a,, (t) = cos 6(t) • ax (t) + sin 6(t) • ay (t), al (t) = cos d(t)ay (t) - sin d(t) • ax (t),
cos0(t) = , sin0(t) = Vy(t), v(t)' w v(t)'
v(t) = |v(t)| ^Vx2(t) + Vy2(t)
where a(t) = {ax(t),ay(t)}= v(t) is acceleration vector, a^(t) u al(t) are its tangential and radial components, k,, and kl are fatigue coefficients for tangential and radial accelerations correspondingly, d(t) is the angle between velocity vector and axe x , T is half of full motion time. For clarity sake we consider here and below only second half of trajectory from center to the point of entering the circle. We derive the first half of it from the start of the maneuver just by assuming that it is center-symmetrical to the second one, r(-t) = —r(t), v(-t) = v(t), where r(t) is a current radius-vector, - T < t < T.
Following the standard procedure [5], calculating functional derivatives [6] of 0{v(t)} with respect of v(t) and putting them to be zero, we arrive after cumbersome calculations at equations
LaM) - k1 = 0, (2)
v{t)
. «1(t)aii(t) n
a! (t) +-"7-= 0. (3)
v(t)
As usually velocity variations at the ends of time interval are put to be zero at derivation of equations (2) and (3).
From equations (2) and (3) we easily obtain
k,,a,, (t)a (t) + k1 a1 (t)ai (t) = 0
and then after integration
kn a|2 (t) k1 a1(t)
+ = E, (4)
2 2
where E is a constant of motion, which is equal to the half of fatigue per time unit (see (1)), i.e. if one has to be tired, it is better making it evenly over time. One should not mix up value E with kinetic energy. We use the designation only as a tribute to tradition.
It is convenient to solve equations (3) and (4), particularly for our Yin & Yang problem, using polar coordinates system in the space of velocities. It means that instead the velocities vx (t) and vy (t), as unknown magnitudes, we have to solve equations for absolute value of velocity v(t) and the angle 6(t) (see (1)). Again omitting cumbersome calculations we write down obtained equations. Equation (4) takes the form
kiiv 2(t) + ki v 2(t )62(t) = E
2 2 , ( )
and instead of (3) we obtain an equation
2v(t )d(t) + v(t )d(t) = 0,
which is easily integrated
v2(t)0(t) = M , (6)
where M is another constant of motion similar to angular momentum in physics and mechanics, but not the same. Existence of the constant of motion E follows from symmetry of the system with respect to the passage of time, the same way as it is in well-known problem of motion in a central force field. In exactly the same the constant of motion M (6) exists due to rotational symmetry (Noether's theorem [7]).
Equations (5) and (6) are the system of two first order differential equations. Two boundary conditions are required for its solution. Let us write it down for the ending point of entering the circle
vx (T) = 0, (7)
vy (T) = -V,
where V is the constant velocity of the horse when it moves along the circle clockwise or counter-clockwise, and time T is defined in (1). The equalities (7) in the polar system look like
v(T) = V, (8)
0(T) = —
Initial conditions for v(0) and 0(0) so far remain undefined. These values will be further defined with the help of initial and ending conditions for coordinates x and y .
Before proceeding to solution of equations (5) and (6), it is convenient to rewrite them together with the boundary conditions (8) in natural units using mentioned above parameter V and another parameter: the radius of the circle R. Let us write down transition to magnitudes in natural units as the following chain of equalities:
R
t = r—, V
x(t) = R№, y(t) = Rn(T),
v(t) = Vv(r), v(t) = Vu(t),
V4
E = s • k,, ——,
II R2
V3
M = /—, R
where t , £(r), r/(r), u(t), u(t), s, /u are correspondingly in natural units time, coordinates, velocity vector, its absolute value and renormalized in accordance with their definitions constants of motion E u M (see (4) and (6)). Equations (5) and (6) have the form in natural units:
u2(t) u2(r)02(r)
—— + k———— = s, (9)
22
u2 (t)0(t) = u, (10)
where a single parameter, the ratio k = kl/ k,, is brought in instead of couple of fatigue coefficients k,, and kl. To avoid excessive designations let us from now on take a dot above a character for derivation with respect to time in natural units t , i.e. e.g. X (t) = dX / dr.
Now instead of boundary conditions (7) we have
u(T) = 1, (11)
n
0(T) = —-, 2
where T designates now corresponding time (see (1)) in natural units.
3. The Solution of Problem Yin & Yang
After excluding 0(t) from equations (9) and (10) we obtain an equation for u(t) only having the form
U2(T) , 2 1
which is easily solved yielding
+ kjuz—— = e, (12)
2 2u (t)
u(t) = ^2 + 2e{z-Ta )2 , (13)
where Ta is a constant of integration, defined with condition u(ra) = 0. At the point of
time Ta decrease of velocity changes for its increase. It will be seen in graphs below that
this point of time is passing a trajectory through an apex. This is why it is marked with index 'a'. Corresponding minimal velocity may be found using (12) and is equal to
U =J|l4 (14)
Beginning velocity at the center of the promenade circle with help of (13) is written as
u(0) = . (15)
The angle 0(t) after substitution u(t) from (13) in (10) can be found with simple integration
e(r) = 00+¥(r), (16)
where 00 = 0(0) is beginning angle and variable part y/(z) is obtained in form sgn p
The angle 0(t) for the trajectory branch under consideration is expected to be decreasing. Therefore we consider p < 0 in (18) below putting sgn /u = -1 in (17). The boundary conditions (11) now take the form of equations
U + 2s(T -za )2 = 1, (18)
00 +¥(T) = -1.
The values of four variables 2s, ua (or p), Ta and 00 remain so far unknown, but two of them only are so far independent by virtue of (18). Additional two equations are provided by boundary conditions for coordinates £(r) and^(r). They are written in the form
£(T )= 1, n(T ) = 0. (19)
Let us write down expressions for £(r) u tj(t) obtained with simple integrations of projections of velocity vector
arctan-(t-t2 ) + arctan-Ta , y/(0) = 0. (17)
т
£(т) = | v(r)cos^(r)dr,
о
^(0)=о, (20)
т
П(т) = | v(t) sin 6(z)dz,
о
n(0)= о,
where the functions v(t) and 6(т) are defined correspondingly in (13) и (16) . Let us define now two functions
т т
(т) = J v(т)cos^(т)dт, (т) = J v(т)sin^(т)dт, (20)
о 0
where the function у/(т) is defined in (17). The boundary conditions (19) with help of these function can be rewritten in convenient for numeric calculation form as following
(T) = cos $о, (21)
(T) = - sin 60.
Thus the four equations (18) - (21) define the all four parameters, i.e. 2s, ua
(или ju), та and 60 as functions of full time T, which is assigned naturally by the rider.
Then knowledge of numeric values allows calculating numerically the trajectories and time behaviors of all magnitudes under interest and to draw down corresponding graphs.
In general the functions (20) are not analytically calculable, except the case к = 1. Therefore the system of equations (18) - (21) was solved numerically with Newton's method [8] using a program written with system of technical programming Matlab [9]. The solutions are presented for different values of T and к in graphs in the next section.
4. Graphical Presentation of the Solution and Discussion
Horses are different the same way people are: brisk, mediocre or not too agile. Besides, rider can allow the horse to choose its own path of maneuvering, or he can compel the horse to make maneuver faster with a desirable time. Therefore two sets of solutions were considered, calculated and presented.
For the first set the parameter к changes and radius of curvature rc at exit point is kept the same for all trajectories equal to the radius of the promenade circle, i.e. in natural units rc = 1. This is the case of free motion of the horse without any enforcing. For every
single trajectory the values T and s (see (12)) are calculated and presented in Table 1.
For the second set the parameter к is kept the same for all trajectories equal to an accepted value, к = 0.1, and the radius of curvature rc at exit point is subject to changes in the range rc < 1 (otherwise the trajectory goes outside of the promenade circle). For
this case the rider compels the horse changing abruptly curvature at the point of entering/exiting the promenade circle to make time of the maneuver shorter. For this set
the time interval T is given for every single trajectory and values of s and radii of curvature rc are calculated (see Table 2 below).
i
Fig. 1
1. The first set of solutions, rc = 1.
The trajectories apparently looking like figures Yin & Yang are shown in Fig. 1 The values of parameter k in Fig. 1 increasing top-down in the right half are: 0.2, 0.4, ... , 2.0. Each half of the curve with k = 1 (central red line) is a mere parabola, representing uniformly accelerated motion (like a flight of a rock thrown up with an angle to the horizon).
i
Fig. 2
The trajectories with small values of к are of a special interest. Therefore curves were calculated similar to ones in Fig. 1 but having values of к = 0.2, 0.18, ... , 0.02. Also the case к = 0 was examined as a limit к ^ 0 (obviously just putting к = 0 in the some formulae above is not allowed). Corresponding trajectories are shown in Fig. 2, including the case к = 0. The same way as in Fig. 1 trajectories go with increasing top-down in the right half of Fig. 2. The values к < 0 were not considered as unreal ones in practice.
Behavior of coordinates £ и n with time for values к = 0.0, 0.1, 0.2, 0.4, ..., 2.0 are shown in Fig. 3 (in the order of decrease top-down in the left picture and down-top in the right one). Here and below for the sake of comparison's convenience, i.e. for ending points were the same for all curves in the pictures, reduced times are used meaning its own scale for every single curve with a base period T = T(к = 1) = 42:
, T
т = т —,
T f
where T' is the value of time T for a particular curve (см. Таб. 1) and т' is its
corresponding reduced time. The choice of the base period in form of T above does not have any specific meaning. Merely the case к = 1 was calculated first as the easiest one.
reduced time & W 0.5 , 1.0 1.5
reduced time i
Fig. 3
Behavior of absolute value of velocity v(t) with time for the same values k = 0.0, 0.1, 0.2, 0.4, ..., 2.0 are shown in Fig. 4 in the left picture in order of decreasing Kup-down near to the beginning time point. The all lines, but the one having k = 0, are segments of hyperbolae according (13). Also, it follows from the same expression that for case k = 0 the graph is a segment of straight line as it is seen in the Fig. 4 (degenerate hyperbola). Velocities' minima at passing hyperbolae's apexes are achieved at t = ra.
Fig. 4
The trajectories in the velocities' space are shown in the right picture of Fig. 4 for the same values of k in order of increasing k on top from left to right. The red straight
line, linear behavior, corresponds to the case k = 1, describing uniformly accelerated motion.
Behavior of velocities' projections vx and vx with time again for values k = 0.0,
0.1, 0.2, 0.4, ..., 2.0 are shown in Fig. 5 (in the order of decrease top-down in the left picture near to the beginning time point and down-top in the right one in its middle part). Again the red straight lines describe uniformly accelerated motion.
It is worthy of noticing, that the time of passing the mentioned above apex Ta (see (13)) takes negative values for a small range values of k near to zero , including zero itself, as it seen particularly for k = 0 in Table 1. Therefore the passages themselves for such values of k occurred outside of shown pictures of time dependencies behind their left edges, and absolute values of velocity increase monotonously along entire motion.
reduced time i reduced time r'
Fig. 5
Table 1
K T 2e ta
0.00 3.04450 0.01169 -6.20421
0.04 2.71159 0.07086 0.23249
0.10 2.44193 0.16853 0.88859
0.20 2.17946 0.35312 1.07132
0.40 1.87734 0.80438 1.08678
0.60 1.68307 1.37735 1.04294
0.80 1.53566 2.09704 0.99257
1.00 1.41421 3.00000 0.94281
1.20 1.30901 4.13774 0.89478
1.40 1.21473 5.58320 0.84840
1.60 1.12808 7.44144 0.80329
1.80 1.04688 9.86756 0.75904
2.00 0.96954 13.09780 0.71520
1. The second set of solutions,, k = 0.1.
Usually radial acceleration fatigues a horse about ten times lesser than tangential one according to riders' experience. This is why the value k = 0.1 is chosen. The trajectories apparently looking like figures Yin & Yang are shown in Fig. 6. Except upper and lower curves in the right parts all other curves are calculated for given values T = 1.2, 1.4, ... , 2.4 . They follow in the Fig. 6 in order of increase down-top in the right part. Every one of them has its own value of radius of curvature rc < 1 at the point of entering the circle as it seen in Table 2. The topmost curve has in the Fig. 6 maximal radius of curvature rc = 1 and period T = 2.44193 (see Table 1). This curve presents also among the curves of the first set of solutions.
The second set of solutions is confined below by a limit value Tmin « 1.15528 (see Table 2) as that was discovered in process of calculations. The system of equations (18) -(21) below this value at given k = 0.1 does not have any real solutions. The limit curve is represented also in Fig. 6. This is the bottommost yellow line. As it can be shown, the criterion of the limit is the magnitude
a = 2s ■ r2 - k , (22)
which turns to be zero at the limit (see Table 2). It can be shown also that equality a = 0 is equivalent turning to zero tangential component of acceleration at the point of entering the circle, i.e. at this point a,,(T) = -a (T) = 0.
i
Fig. 6
Behavior of coordinates £ u n with time for values T = 2.44193, 2.4, 2.2, ... , 1.2 and 1.15528 are shown in Fig. 7 (in the order of decrease top-down in the left picture and down-top in the right one).
Behavior of absolute value of velocity v(t) with time for the same values T = 2.44193, 2.4, 2.2, ... , 1.2 and 1.15528 are shown in Fig. 8 in the left picture in order of decreasing T up-down. Again the all curves are hyperbolae and minima velocities at hyperbolae's apexes are achieved at passing time point t = ta. It is worthy of noticing, that the hyperbola's apex for the limit curve coincides the point of entering the circle, as it is seen in the picture, i.e. for T = Tmin we have ta = T.
reduced time r o.o 0.5 1.0 1.5 2.0
reduced time r'
Fig. 7
The graphs of trajectories in the velocities' space are shown in the Fig. 8, in its right picture. Velocity projections' vx and vx behavior with time are shown in Fig. 9.
reduced time r:
Fig. 8
Limit trajectory's discovery with T = Tmin appeared unexpected. It hardly could be predicted at the beginning, because in (22) both values 2s and rc are subjects of evaluation. Presence of such limit trajectory causes a question: yet what is the optimal trajectory, if the required time T < Tm ? Certainly such trajectories must exist. A possible answer is: for T < Tm besides the radial acceleration's jump at the points of
entering/leaving the circle there must be an additional similar jump at some intermediate point of time (or many of them). But this is another problem having more complicated system of equations, than the system (18) - (21). We did not solve it here. We suggest the problem to an interested reader.
reduced time r reduced time r
Fig. 9
Table 2
T 2e rc <
2.44193 0.16853 1.00000 0.06853
2.40000 0.17316 0.97984 0.06625
2.20000 0.19879 0.88186 0.05459
2.00000 0.23262 0.78104 0.04190
1.80000 0.28013 0.67794 0.02875
1.60000 0.35309 0.57354 0.01615
1.50000 0.40680 0.52131 0.01055
1.40000 0.48018 0.46939 0.00580
1.20000 0.74164 0.36765 0.00024
1.15528 0.83771 0.34550 0.00000
The lines of Yin & Yang type in Fig-s 1, 2, 6 in whole are not unified analytic curves, the same way as the classic Yin & Yang figure, which is compounded from two semicircles. Their right and left parts are conjugated at the circle's center, i.e. they have a common tangent straight line, but curvature at this point changes its sign.
Experienced riders, according their description, feel the pass through this point as a delightful instant. The horse, as a rider used to describe, "changes its leg" and for a moment it hangs weightlessly in air in "free fall". Tilt of the horse and rider changes to opposite.
5. Conclusion
Trajectories, obtained in this paper, are equally applicable not only for horses, but for other actively moving objects such as motorcycles, bicycles, race cars etc.
Approach proposed in this paper and equations that we have obtained are also valid for other boundary conditions. Trajectory of Yin & Yang type is not the only way of changing the direction of circular motion. For example we may just make a loop. The corresponding optimal trajectory can be found from the same equations at proper boundary conditions. In the most general case those equations provide an optimal solution for any change in the nature of motion. In this connection we suggest that proposed approach may be useful in road construction, for example in designing highways junctions [10].
It is worthy to emphasize that variation approach proposed here radically differs from the so called principle of least action [11] in classic mechanics in the form of Lagrangian and Hamiltonian formulations [12]. Here variation arguments are velocities, rather than generalized coordinates as in Lagrangian formulation. Therefore there are no ordinary mechanical notions here such as energy, momentum, etc. However we assume that an actively moving object possesses enough inner energy to sustain its motion. One may analyze energy consumption and dissipation if necessary of course, but it is beyond the scope of this work.
The present work should be attributed to the branch of science, seemingly having no assigned name so far, and which should be named active mechanics. To this branch might be attributed some works devoted to studying locomotion of microorganisms, like
[13], and works on mechanics of walking (running) [14] as well and on other means of locomotion of living creatures. Our phenomenological approach allows us to study motion at large without going into details of its mechanisms of motion and physiology of tiredness, hardly amenable to mathematical formalization.
The works on jet propulsion might be attributed to the branch as well, which are based on Meshchersky's well-known equation [15] and contain optimization problems as well, such as computation of most effective way of fuel consumption for given boundary conditions.
Active mechanics and let us say "passive" one (if one may use such an expression) differ in their causality principles. In passive mechanics consequence is necessarily subjected to its cause and is inevitably consequent either instantly or with certain retardation. As to active mechanics, a true cause always lies ahead, as it is in life, being a specific aim, and the problem is to achieve it in the optimal way.
References
[1] Horse care
[2] Yin and yang - Wikipedia, the free encyclopedia
[3] Yinyang (Yin-yang) [Internet Encyclopedia of Philosophy]
[4] Taiji - Wikipedia, the free encyclopedia
[5] Calculus of variations - Wikipedia, the free encyclopedia
[6] Functional Derivative
[7] Noether's theorem - Wikipedia, the free encyclopedia
[8] Newton's method - Wikipedia, the free encyclopedia
[9] MathWorks - Company
[10] Transport Advice Portal: Junction Design
[11] Principle of least action - Wikipedia, the free encyclopedian
[12] Lagrangian and Hamiltonian Mechanics
[13] Analysis of the three-dimensional trajectories of organisms ...- Crenshaw et al. 203 (6): 961 - Journal of Experimental Biology
[14] Bio Mechanics of Walking and Running ... - Claire T.Farley et al. -
[15] Mechanics of Bodies of Variable Mass. - Arkadii A. Kosmodem'ianskii - The Great Soviet Encyclopedia, 3rd Edition (1970-1979)
