CC BY
7УДК 621.86
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ДИНАМИКИ КАНАТНОЙ ГРУЗОПОДЪЕМНОЙ МАШИНЫ С УЧЕТОМ ВЛИЯНИЯ ТЯГОВОГО И НЕСУЩЕГО КАНАТОВ
А.В. Химич, И.А. Лагерев
ФГБОУ ВО «Брянский государственный университет имени академика И.Г. Петровского»
В статье рассматриваются вопросы моделирования динамики канатной грузоподъемной машины, рабочий орган которой перемещается вдоль линейно протяженного кабеля с помощью лебедки. Разработана математическая модель, учитывающая колебания рабочего органа на тяговом и несущем канатах, при его движении вдоль склона. Проведено численное интегрирование уравнений движения. Исследование выполнено при финансовой поддержке гранта Президента РФ для государственной поддержки молодых российских ученых-докторов наук № МД-1543.2022.4.
Ключевые слова: математическое моделирование, компьютерное моделирование, кабельная грузоподъемная машина, кабельный кран, лебедка, канат, динамика.
Канатные грузоподъемные машины могут использоваться для проведения погрузочно-разгрузочных работ на склонах. Для создания современных конкурентоспособных грузоподъемных машин необходимо разрабатывать и внедрять эффективные методы исследования. Численное компьютерное математическое моделирование является эффективным методом исследования динамики транспортно-технологических машин [1-4].
Ранее была предложена расчетная схема для исследования рабочих процессов канатной грузоподъемной машины (далее КГМ) показанная на рис. 1. По склону 1 диной Ь и углом наклона к горизонту а между верхней 2 и нижней 3 станциями КГМ натянут несущий канат 7, по которому движется рабочий орган 4, приводимый в движение тяговым канатом 6 с помощью лебедки 5 [1].
2 5 6 4
Рис. 1. Исходная расчетная схема канатной грузоподъемной машины: 1 - склон; 2 - верхняя станция; 3 - нижняя станция; 4 - рабочий орган; 5 - лебедка; 6 - тяговый канат; 7 - несущий канат [ 1 ]
Однако модель [1] не учитывает вклад несущего каната в динамику системы. Поэтому была разработана математическая модель с учетом влияния несущего каната. В исходную математическую модель добавлена вертикальная степень свободы, описывающая вертикальные колебания грузозахватного органа на несущем канате. В рамках исследования рассматриваются только процессы движения рабочего органа с грузом вдоль несущего каната. Рабочие процессы валки леса не рассматриваются.
Уточненная расчетная схема показана на рис. 2. Грузозахватный орган совершает колебательные движения вдоль тягового каната по координате х0, а также в вертикальном
направлении по координате у0. При этом он смещается из точки О в точку 0\ на расстояние
30 (перемещение вдоль тягового каната 30х, вертикальное перемещение 30у ).
Рис. 2. Расчетная схема канатной грузоподъемной машины с учетом влияния тягового и несущего канатов
Математическая модель для расчетной схемы (рис. 2) имеет следующий вид: то Х+(х - *о) - снк Уо *та=-2 - °
т0уо - СнкУо + Стк (Х1 - Х0)зШ« = С + <31па; т1 Х1 + Стк (Х0 - Х1) = Р(
(\)
где х0, у0 и х1 - линейные координаты грузозахватного органа вдоль тягового каната, в вертикальном направлении и привода лебедки соответственно; т0 - масса рабочего органа канатной машины с грузом (кг); т - приведенная к линейному движению тягового каната масса привода и вращающихся частей лебедки (кг); стк- жесткость тягового каната (Н/м); сж - жесткость несущего каната (Н/м); 2 - внешнее воздействие со стороны рабочего органа (Н), которое задается в виде закона или совокупности значений; G - вес рабочего органа с грузом (Н); Р( Х1) - приведенное к линейному движению тягового каната тяговое усилие лебедки (Н), зависящее от скорости ее вращения.
Начальные условия х0 (/ = 0) = х, у0 (/ = 0) = у, Х (^ = 0) = х10, где I - модельное время в ходе численного интегрирования (с); х, у - начальное положение рабочего органа вдоль тягового каната и в вертикальном направлении соответственно (м), х - номинальная скорость вращения лебедки, приведенная к линейному движению тягового каната (м/с).
Параметры рассматриваемой системы можно вычислить следующим образом.
¿0 = 30х + 30у - 230х$0усо( (м); (3 = 0,5ж + а (рад);
¿0х = — + С81па- сте(х1 - х0) - ^у0 вта] (м);
Стк
¿0у = — \с - 231па- сте (х0 - х1)з1па- Снку0 з1па] (м);
с
нк
¿0 = Ь - х -х0 (м); ¿1 = Ь20 +30 - 2^,3, со8(() (м);
у = агссо5\(Ь0 +302 -¿1 )(2Ь030 ] (рад).
Жесткость несущего каната изменяется в зависимости от положения грузозахватного органа между станциями КГМ. Расчетная схема к определению еж приведена на рис. 3. В основу определения жесткости положено вычисление податливостей е{ - деформаций каната (прогибов) при приложении единичной силы в 1-й его точке. Тогда жесткость е^ несущего каната в 1-й его точке можно вычислить как £г-1. При численном интегрировании еж вычисляется на каждой итерации с учетом текущего значения х.
и- 1 --и л
^ик.шах ^
Рис. 3. Расчетная схема к определению жесткости несущего каната
Считаем, что минимальное значение жесткость несущего каната достигается на
середине склона при х = 0,5Ь и равно
48EJ 48Ш
п =-;-при х < 0,5£; =-;-при х > 0,5Д
нк,тш х(3Ь2 - 4х2) Р нк,тш (Ь - х)(3Ь2 - 4(Ь - х)2) Р
где Е - модуль упругости каната (Па), J - момент инерции иссечения каната (м4).
Максимальное значение жесткость несущего каната достигает на краях. С целью обхода сингулярности при вычислении жесткости, считаем, что грузозахватный орган не доходит до станции КГМ = 0,2 м. Тогда
48EJ
е =-
нк'тах 0,2(3Ь2 - 0,16) .
Решение уравнений движения (1) проводилось численно методом Рунге-Кутта в программе собственной разработки. Шаг интегрирования по времени был выбран 0,01 с.
Параметры тестовой модели: ш0 = 500 кг, тх = 126000 кг, етк = 100000 Н/м, енк,т;п = 900000 Н/м, енктах = 2100000 Н/м, £ = 0 Н; О = 4905 Н; максимальное значение
Р = 5396 Н, х = 0 м, = 0 м, х10 = 0,129 м/с, а = 30°. Закон изменения тягового усилия лебедки принят аналогичным закону, приведенному в [5].
Результаты интегрирования уравнений движения показаны на рис. 4 - рис. 5.
а) б)
0,35
0,05 -0,1
> 1 л л
А (V Г —
¿Л) \
2,0
х0,
-0,6
1 1 \ \ [ 1 4 \\1
-2,0
0,4 0,8 1,2 ь, с 2,0 0 0,4 0,8 1,2 и с 2,0
Рис. 4. Результаты расчета подъема грузозахватного органа: а - графики изменения координат; б - графики изменения скоростей; 1 - для лебедки; 2 - для грузозахватного органа
а)
б)
Рис. 5. Результаты расчета вертикальных колебаний грузозахватного органа: а - графики изменения координаты; б - графики изменения скорости
Интегрирование уравнений движения (1) позволяет не только определить координаты и скорости элементов системы, но и оценить параметры динамической нагруженности конструкции, например, усилий в канатах. На рис. 6 показаны динамические процессы изменения усилий в канатах исследуемой КГМ.
Рис. 6. Результаты расчета усилий в канатах КГМ (кН): 1 - тяговый канат; 2 - несущий канат
По результатам проведенного исследования можно сделать следующие выводы. Учет влияния тягового и несущего каната позволяет повысить точность исследования рабочих процессов. Амплитуды и частоты колебательных процессов координат и скоростей вдоль тягового каната выше, чем без учета влияния несущего каната (по данным работы [1]). Для исследуемой КГМ колебания грузозахватного органа в вертикальной плоскости и вдоль тягового каната происходят в противофазе.
Список литературы
1. Лагерев И.А., Химич А.В. Математическое моделирование динамики кабельной грузоподъемной машины // Ученые записки Брянского государственного университета. -2022. - №1.
2. Лагерев А.В., Лагерев И.А. Оптимальное проектирование линий канатного метро в условиях сильно урбанизированной городской среды // Известия Московского государственного технического университета МАМИ. - 2015. - Т.1. - № 1. - С. 57-65.
3. Лагерев А.В., Лагерев И.А, Мильто А.А. Универсальная методика определения напряжений в стержневых элементах конструкций гидравлических кранов-манипуляторов в задачах динамики // Вестник Брянского государственного университета. - 2013. - №4. -С. 21-27.
4. Киютина И.И., Лагерев И.А. Формирование компетенций в области современных сквозных цифровых технологий у обучающихся по направлению «Реклама и связи с
общественностью» // Ученые записки Брянского государственного университета. - 2020. - №2. -С.11-15.
5. Лобов Н.А. Динамика грузоподъемных кранов. - М.: Машиностроение, 1987. -
160 с.
Сведения об авторах
Химич Анна Васильевна - аспирант ФГБОУ ВО «Брянский государственный университет имени академика И.Г. Петровского», e-mail: annahimich14@mail.ru.
Лагерев Игорь Александрович - доктор технических наук, доцент, проректор по инновационной работе ФГБОУ ВПО «Брянский государственный университет имени академика И.Г. Петровского», e-mail: lagerev-bgu@yandex.ru.
MATHEMATICAL MODELING OF DYNAMICS CABLE LIFTING MACHINE WITH THE INFLUENCE OF TRACTION AND LOAD-BEARING ROPES
A.V. Khimich, I.A. Lagerev
Bryansk State University named after Academician I. G. Petrovsky
The article deals with the issues of modeling the dynamics of a cable lifting machine, the working body of which moves along a linearly extended cable with the help of a cable winch. A mathematical model has been developed that takes into account the vibrations of the working body on the traction and load-bearing ropes as it moves along the slope. Numerical integration of the equations of motion is carried out. The study was supported by Presidential Grant for Governmental Support to Young Russian Scientists No. MD-1543.2022.4
Keywords: modeling, simulation, cable lifting machine, cable crane, winch, rope, dynamics.
References
1. Lagerev I.A., Khimich A.V. Mathematical modeling of dynamics cable lifting machine. Uchenye zapiski Bryanskogo gosudarstvennogo universiteta. - 2022. - №1.
2. Lagerev A.V., Lagerev I.A. Optimal design of cable subway lines in a highly urbanized city environment. Izvestiya MGTU "MAMI". - 2015. - Vol.1. - No.1. - pp. 57-65.
3. Lagerev A.V., Lagerev I.A., Milto A.A. Universal technique for stress analysis of beam elements of articulating cranes in case of dy-namic load. Vestnik Bryanskogo gosudarstvennogo universiteta. - 2013. - No.4. - pp. 21-27.
4. Lagerev I.A., Kiyutina I.I. Development and support of advertising websites on the Internet in case of the problem of the browser cache updating. Uchenye zapiski Bryanskogo gosudarstvennogo universiteta. - 2020. - №2. - P. 16-20.
5. Lobov N.A. Overhead cranes dynamics. - M.: Mashinostroenie, 1987. - 160 p.
About authors
Khimich A.V. - Post-graduate Student, Bryansk State University named after Academician I.G. Petrovsky, e-mail: annahimich14@mail.ru.
Lagerev I.A. - Sc. D. in Technical Sciences, Assistant Professor, Vice rector for Innovations, Bryansk State University named after Academician I. G. Petrovsky, e-mail: lagerev-bgu@yandex.ru.
