Математическое моделирование динамических режимов электромагнитных демпфирующих элементов Текст научной статьи по специальности «Физика»

Уфа : УГАТУ, 2010

Ъъоьм

Т. 14, № 5 (40). С. 86-90

ЭНЕРГЕТИКА, ЭЛЕКТРИФИКАЦИЯ И ЭНЕРГЕТИЧЕСКОЕ МАШИНОСТРОЕНИЕ

УДК 621.313.01

Ф. Р. Исмагилов, Р. Р. Саттаров, М. Б. Гумерова

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ДИНАМИЧЕСКИХ РЕЖИМОВ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ДЕМПФИРУЮЩИХ ЭЛЕМЕНТОВ

Получена обобщенная математическая модель, позволяющая исследовать динамические процессы в электромагнитных демпфирующих элементах в переходном и установившемся режиме. Показано применение математической модели в ряде частных случаев работы демпфера под действием постоянной внешней силы, в режиме гашения колебаний, а также в режиме гашения кинетической энергии стыкующихся объектов. Электромагнитный демпфирующий элемент; переходные процессы; установившиеся процессы; максимальный ударный момент

ВВЕДЕНИЕ

В настоящее время особое значение приобретает исследование вопросов гашения вредных механических колебаний механизмов. Это связано, с одной стороны, с созданием новых видов транспорта, станков и механизмов, отличающихся большими мощностями и скоростью движения, а с другой стороны - с ужесточающимися требованиями к безопасности, надежности, износостойкости и комфортности в эксплуатации и обслуживании.

Наиболее полно этим требованиям отвечают электромагнитные демпфирующие элементы (ЭДЭ), так как они характеризуются малой инерционностью подвижного элемента при больших величинах демпфирующих сил, отсутствием трущихся частей в отличие от фрикционных тормозов, что обуславливает долговечность работы, их конструкции технологичны, при работе не создают шумов. ЭДЭ лишены недостатков, которыми обладают гидравлические демпфирующие элементы, таких как зависимость свойств жидкости от температуры окружающей среды, необходимость создания масляного хозяйства. Поэтому в настоящее время ЭДЭ нашли применение практически во всех отраслях промышленности: в наземном транспорте в качестве электродинамических тормозов; в испытательных стендах в качестве нагрузочных машин; в амортизационных системах стыкующихся объектов.

1. СОСТОЯНИЕ ВОПРОСА

Вне зависимости от области применения, при работе ЭДЭ всегда возникают электромагнитные и электродинамические переходные процессы (1111). Ранее при изучении ЭДЭ при-

нималось допущение об известном законе изменения скорости движения вторичного элемента [1-5].

В действительности ЭДЭ оказывает влияние на скорость движения ротора, уменьшая ее, поэтому для определения выражения для скорости необходимо записать уравнение движения ротора и далее совместно решать уравнения магнитного поля и уравнения движения проводящей среды.

Целью данной статьи является исследование динамических процессов в ЭДЭ, скорость движения вторичной среды которых не задана изначально, а определяется из уравнения движения. Данный подход позволяет анализировать влияние параметров ЭДЭ на величину момента и скорости, находить значение скорости в установившемся режиме, величину ударных моментов, определять длительность ПП, таким образом повышать эффективность работы, увеличивать срок службы ЭДЭ.

2. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ

Расчет магнитного поля основан на решении системы уравнений Максвелла с учетом ряда упрощающих допущений. На рис. 1 показана расчетная схема ЭДЭ. Постановка задачи для записи уравнения магнитного поля аналогична

[5].

-л у

Контактная информация: (347) 273-77-87

Рис. 1. Расчетная схема ЭДЭ

Тогда для напряженности вторичного магнитного поля в системе координат, связанной с индуктором, можно получить:

ЭЯ,

Э2 И2 дИ2

am о Kdv 2

2

Эх = sm о

Эх

-am о Kd

Эг

ЭИ1 ЭИ1

Эг

+ V-

Эх

(1)

где И1 — напряженность первичного магнитного поля; И2 — напряженность вторичного магнитного поля; v — скорость движения проводящей среды относительно системы координат; a — удельная электрическая проводимость материала ротора; m0 = 4л-10-7 - магнитная проницаемость вакуума; Kd - коэффициент приведения реальной конструкции к модели, у которой отсутствуют зубцы и насыщение стали индуктора, а рабочий воздушный зазор полностью заполнен проводящей вторичной средой [6].

В системе координат, связанной с индуктором, первичное поле не меняется во времени и может быть представлено в виде:

В = ReBm - в-*», (2)

где Blm - амплитуда индукции первичного магнитного поля; а = п / т; т - полюсное деление.

Так как первичное магнитное поле в зазоре изменяется по гармоническому закону вдоль оси х, а также вследствие принятого допущения об отсутствии краевых эффектов, вторичное поле также должно изменяться по гармоническому закону и представлять собой бегущую синусоидальную волну в направлении оси х, т. е.

В2 = Re^m - e—jax, (3)

где 52m - комплексная амплитуда индукции вторичного магнитного поля.

С учетом выражений (2) и (3), перепишем (1) в виде:

dt

(

- +

а

л

■ jav

И2m = j^T Ит. (4)

amo Kd

Суммарное магнитное поле в воздушном зазоре:

в = B + В = (mo + mo KdH2m = mo film (1 + ИИ *2m )e

lm jax

-jax .

(5)

где film =

И-

2m

И1п

K

d ■

В принятой расчетной схеме плотность вихревых токов будет иметь одну составляющую, которая находится как

5 у =■

И dx

(6)

В комплексном виде:

5=5 - e-jax

(7)

„ *2m~im~ - комплексная амплиту-

где 5 ym = jati'

K

да плотности вихревых токов.

Электромагнитная сила, действующая на элемент ротора объемом с!У:

¿ЭМ =(5х В )с1У. (8)

Усредненное значение электромагнитной силы, действующей на элементарный объем [6]:

д!эм = 2 5х вуу, (9)

где В - комплексно сопряженная амплитуда магнитного поля.

Так как плотность вихревых токов имеет только у - составляющую, а индукция магнитного поля в зазоре - только г - составляющую, то электромагнитная сила будет иметь только составляющую в направлении оси х. Тогда интегральное значение силы, действующей на ротор, с учетом выражений (5) и (7):

F = — Re-1 эм _ 2

*аИ *

И1п

v х (m о Ищ, [1+И

dV

jax

(10)

Поскольку при принятых допущениях интегрируемая функция не зависит от координат х, у, г (т. е. не учитываются краевые эффекты), то интегрирование полученного выражения (10) сведется к умножению на объем активной части V.

■Эм = 2Re

jam о

К

к

И * + И *

11 2m ^r1 2m

- V

(11)

Учитывая, что реальная часть от второго слагаемого равна нулю, окончательно получим выражение для электромагнитной тормозной силы:

■Эм = Fm - mj ■

(12)

1 В2

где ^ = — а V - максимальное значение

т г% тг

2 то

электромагнитной силы.

Электромагнитный тормозной момент:

MЭМ = Fmrcp - mj = Mm - mj ,

где гср - средний диаметр ротора.

х

е

2

2

e

Электромагнитный тормозной момент (сила) в относительных единицах:

mj = 2Re{jH *2т}= -2Im|H *2т}. (14)

Данные выражения для силы и момента аналогичны полученным в [5]. Для определения характера изменения скорости необходимо записать уравнение движения, при составлении которого в первом приближении не учитываются силы трения, которые в рассматриваемом преобразователе малы.

d2 X(t)

т-

dt2

" = FЭм + ^Упр + FB,

(15)

где т - суммарная масса подвижных частей; X(t) - закон движения проводящей среды, отражающий зависимость изменения положения ротора от времени; FM - электромагнитная сила; ^упр = -kX(t) - сила упругости пружины; k -жесткость пружины; FB - вынуждающая сила, внешняя по отношению к демпферу, определяющая характер движения ротора. В общем случае она может быть любой, однако далее будет рассмотрен ряд частных случаев, наиболее характерных для демпферов: режим работы при гармонических колебаниях ротора (в этом случае FB изменяется по гармоническому закону), режим движения под действием постоянной вынуждающей силы (FB = const), режим гашения кинетической энергии стыкующихся объектов (Fb = 0).

Скорость движения рабочего элемента можно найти из выражения:

dX(t)

v = -

dt

(16)

Таким образом, выражения (4), (15) и (16) образуют математическую модель для исследования переходных процессов в ЭДЭ.

Далее целесообразно перейти к относительным единицам.

(1 *) Т-Т* * + 1 _ _ ^ I. я = ту;

(17)

dtw \c I2 Y*i

Lw >

d2 X* (t ю)

dtr

2

= -k* X* (tw ) - F*m -2\ш{н *2m }+ FB dX* (tw)

dtw

где V

;=_v_. c = smowo K _

магнитное число

a

Рейнольдса, характеризующее интенсивность электромагнитных процессов во вторичной электропроводящей среде; ю0 = Voa - угловая скорость движения; у0 - базовое значение ско-

рости, в качестве которого примем начальную скорость в момент удара; Х*(/щ)=Х(/)а;

к _ В1 а2

tw = t ■ ®o; k*=-

mm,

2

F* =

m ~ Tr 2 ; P

2m o Kd woP

J0

удельная плотность материала ротора; a

F*b = Fb —

mm,

2

Использованные в статье относительные единицы являются общепринятыми при анализе процессов в демпфирующих элементах. Целесообразность их применения обусловлена необходимостью обеспечить возможность сравнить результаты данного исследования с полученными ранее в работах, посвященных изучению демпферов.

Для решения полученной системы уравнений необходимо задать начальные условия. Будем считать, что в начальный момент времени начала координат систем, связанных с ротором и с индуктором, совпадают, т.е. ротор находится в положении равновесия. В момент времени tm = = o ротор мгновенно разгоняется до некоторой максимальной скорости. В начальный момент вторичное магнитное поле отсутствует, таким образом,

H*m(o ) = o; Х * (o ) = o; v * (o ) = 1. (18)

3. ПРИЛОЖЕНИЕ РЕЗУЛЬТАТОВ

Так как полученная математическая модель (17) представляет собой систему нелинейных дифференциальных уравнений второго порядка, поиск аналитического решения не представляется возможным. Поэтому далее рассмотрены частные случаи с использованием численных методов построения графиков в системе Maple, для различных значений е. Во всех случаях принимается F*m = 1.

1) Режим вынужденных колебаний, реализующийся, например, при использовании ЭДЭ в качестве элемента подвески транспортных средств. При этом FB* = F*Bm cosmtw (F*Bm = = o,5 , при k* = 1), где F *Bm - амплитудное значение вынуждающей силы в относительных единицах; ю - частота колебаний вынуждающей силы. Рис. 2 иллюстрирует зависимость относительного электромагнитного момента от времени. Видно, что ударный момент наблюдается

p

в первом периоде, примерно при tw=—, величина которого тем больше, чем больше е. Переходный процесс заканчивается через два периода колебаний, после чего устанавливается периодический колебательный процесс.

v

o

0,5

ч0,2 У/\Л Ад

Рис. 2. Относительный электромагнитный момент при гармоническом изменении вынуждающей силы во времени

Для исследования этого режима могут быть использованы результаты [5].

2) Режим свободных колебаний = 0, при к* = 1). На рис. 3 приведены графики для электромагнитной тормозной силы.

Рис. 3. Зависимость электромагнитной (тормозной) силы от времени для режима гашения ударной нагрузки

Ротор совершает 4-5 колебаний до полной остановки. Так же, как и в предыдущем случае, величина ударного момента растет с ростом £. Вторичное поле и электромагнитный момент полностью исчезают после прекращения движения.

3) Работа ЭДЭ при действии постоянной внешней силы (F*b = const = 0,5, k* = 0). Этот режим реализуется, например, в демпферах -замедлителях. Далее приведены графики для электромагнитной тормозной силы (рис. 4), а также скорости движения ротора (рис. 5).

при F*b = const

Рис. 5. Зависимость скорости движения ротора от времени при F*b = const

Анализируя полученные графики, можно сделать вывод о том, что с увеличением £ уменьшается значение скорости в установившемся режиме, однако при больших значениях £ >1 наблюдаются колебания ротора (рис. 5). Дальнейшее увеличение £ приводит также к увеличению ударного момента (силы). Таким образом, предпочтительно принимать £ близким к 1, в этом случае демпфер работает эффективно. В установившемся режиме при любом значении £ относительный электромагнитный момент имеет одно и то же значение, это связано с тем, что он должен в точности уравновешивать приложенную внешнюю постоянную силу.

ВЫВОДЫ

Полученная математическая модель позволяет анализировать динамические режимы в ЭДЭ, подбирать оптимальные параметры демпфера для достижения требуемых выходных характеристик.

Характер изменения относительной электромагнитной силы (момента) и скорости во

времени определяется законом изменения вынуждающей силы Ев.

Длительность переходного процесса и величина ударного момента обратно пропорциональны е.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Хайруллин И. Х., Исмагилов Ф. Р. Электромагнитные переходные процессы в малоинерционных явнополюсных тормозах и муфтах // Электричество. 1998. № 5. С. 37-40.

2. Исмагилов Ф. Р., Саттаров Р. Р. Электромеханические преобразователи для вибрационной техники. М.: Машиностроение, 2008. 276 с.

3. Хайруллин И. Х. Электромагнитные переходные процессы в неявнополюсном магнитоэлектрическом тормозе с полым ротором // Электричество. 1978. № 10. С. 85-87.

4. Исмагилов Ф. Р. Электромагнитные элементы систем управления со сложной геометрией ротора. Уфа: УГАТУ, 1997. 139 с.

5. Исмагилов Ф. Р., Саттаров Р. Р. Электромагнитные процессы в электромеханических демпфирующих элементах // Электричество. 2008. № 10. С. 46-52.

6. Вольдек А. И. Индукционные магнитогид-родинамические машины с жидкометаллическим рабочим телом. Л.: Энергия, 1970. 272 с.

ОБ АВТОРАХ

Исмагилов Флюр Рашитович,

проф., зав. каф. электромех., проректор УГАТУ. Дипл. инж.-элетромех. (УАИ, 1973). Д-р техн. наук по элементам и устройствам управления (УГАТУ, 1998). Иссл. в обл. электромех. преобразователей энергии.

Саттаров Роберт Радилович,

доц. той же каф. Дипл. физик-геофизик (БГУ, 1996). Канд. техн. наук по элементам и системам управления (УГАТУ, 1999). Иссл. в обл. электромех. преобр. энергии.

чУ/Ц,

■ЖШ

МШШ'МШ,™** энергии.

Гумерова Марина Булатовна,

асе. той же каф. Магистр техники и технологий (УГАТУ, 2004). Готовит диссертацию об элек-■.тромеханических преобразова-