CC BY
37
УДК 621.313
Р.Р. Саттаров, И.Х. Хайруллин, Ф.Р. Исмагилов, М.Б. Гумерова
ИССЛЕДОВАНИЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ПРОЦЕССОВ В ДВУХРОТОРНОМ
ДЕМПФИРУЮЩЕМ ЭЛЕМЕНТЕ
Рассмотрены установившиеся электромагнитные процессы в демпфирующих элементах с двойным ротором, вторичная среда которых движется с одинаковой угловой скоростью. Получены выражения для определения напряженности вторичного магнитного поля, плотности вихревых токов, а также электромагнитного момента.
Двухроторные демпфирующие элементы, установившийся режим, постоянная скорость, электромагнитный момент
R.R. Sattarov, I.H. Hairullin, F.R. Ismagilov, M.B. Gumerova
INVESTIGATION OF ELECTROMAGNETIC PROCESSES IN DOUBLE-ROTOR
DAMPING ELEMENT
The steady-state electromagnetic processes in the damping elements with a double rotor, which secondary substance moves with the same angular velocity, are considered. Expressions for determining the intensity of the secondary magnetic field, the density of eddy currents and electromagnetic torque are received.
Double-rotor damping elements, steady-state mode, constant speed, electromagnetic torque
Электромеханические демпфирующие элементы (ДЭ) находят широкое применение в различных амортизационных системах. Анализ существующих конструкций ДЭ, требования к ним и вопросы расчета детально рассмотрены в [1, 2]. Принцип действия ДЭ заключается во взаимодействии индуцированных в роторе токов с магнитным полем, что обусловливает возникновение магнитной силы, действующей в сторону, противоположную направлению движения ротора. В результате происходит уменьшение относительной скорости движения вторичной среды.
Общий недостаток существующих в настоящее время конструкций - нелинейность статической (механической) характеристики, в качестве которой при исследовании ДЭ принято рассматривать зависимость электромагнитного момента от скорости вращения. В [1-
4, 8] был определен электромагнитный момент ДЭ с одним ротором. Механическая характеристика этих элементов показывает возрастание момента с увеличением скорости вращения до некоторого максимального значения, после чего при более высоких скоростях вращения электромагнитный момент уменьшается. Таким образом, в установившемся режиме работа ДЭ эффективна на линейном участке кривой механической характеристики в диапазоне скоростей от нуля до некоторой критической скорости, при которой момент достигает максимума. Это налагает ограничения на области применения ДЭ. Поэтому дальнейшее развитие ДЭ связано с созданием таких конструкций, которые позволяли бы
105
управлять механической характеристикой, расширяя тем самым их функциональные возможности, что наиболее полно обеспечивают двухроторные ДЭ (ДДЭ). Их отличают высокая эффективность и широкие возможности управления процессом торможения благодаря специальной механической характеристике, а также широкий диапазон рабочих скоростей.
Исследованию ДЭ с двойным ротором посвящена работа [5]. В ней получены механические характеристики ДДЭ при встречном движении роторов. Однако предложенная конструкция, реализующая эффект встречного движения, сложна в исполнении и не отвечает требованиям технологичности.
В статье определены электромагнитные поля и токи в двухроторном ДЭ при согласованном движении роторов с целью получения уравнения электромагнитного момента на основе решения уравнений Максвелла для медленно движущихся сред с использованием допущений, являющихся общепринятыми при теоретическом исследовании ДЭ [1-4, 6, 8].
На рис. 1 представлена расчетная схема ДДЭ с полыми цилиндрическими роторами из немагнитных проводящих материалов. В такой конструкции отсутствует продольный краевой эффект, поперечный краевой эффект будет учтен позже введением поправочного коэффициента [6].
цс=°°
Рис. 1. Расчетная схема двухроторного демпфирующего элемента
По сути, ДДЭ относятся к электромагнитным устройствам с неоднородной проводящей средой. Работа [7], посвященная исследованию электромагнитного поля в слоистых средах, применительно к настоящему исследованию содержит обоснование применения метода суперпозиции. Этот принцип справедлив, когда характеристики среды не зависят от электромагнитного поля, что позволяет считать уравнения Максвелла в такой среде линейными.
При этом результирующее магнитное поле можно представить в виде суммы первичного и вторичных полей
Н = Н0 + Н1 + Н2;
В = В0 + В1 + в2,
где Н, В - векторы напряженности и индукции результирующего магнитного поля; Н0,
В0 - векторы напряженности и индукции первичного электромагнитного поля; Н1, В1 -векторы напряженности и индукции вторичного электромагнитного поля, создаваемого
(1)
токами I ротора; Н 2, В2 - векторы напряженности и индукции вторичного
электромагнитного поля, создаваемого токами II ротора.
С учетом вышесказанного система уравнений электромагнитного поля, описывающая поведение проводящих сред в магнитном поле, относительно неподвижной системы координат записывается в следующем виде:
гоН1 = д1, гоН2 = д2,
\ = <зх (Е+К X В ]+КхВ2]+[Я хВ ]),_____________
^2 =а2 (Е + [/2 х В1 ]+[^2 х В2 ]+[^2 х В0 ]), (2)
ГОІЕ = - — ,
_ дІ _ где 51 - плотность вихревых токов в первом роторе (зона I); 82 - плотность вихревых токов
во втором роторе (зона II); Е - напряженность электрического поля; о1, о2 - электрическая проводимость роторов I, II.
В данной работе индукция первичного магнитного поля считается известной [4].
В общем случае зоны I и II могут отличаться не только диаметрами роторов, но и
удельными электрическими проводимостями материала ротора, величинами полюсного деления. Одинаковой будет угловая скорость вращения й1= О2=О. Следовательно, различной будет линейная скорость каждого ротора
V А т2
—=—= —, (3)
VI А V
где VI, V2- линейные скорости роторов I, II; О - угловая скорость вращения; А, А -средние диаметры первого и второго роторов; Т1, Т2 - полюсные деления для I и II зон.
Представляется целесообразным ввести в рассмотрение коэффициент Кт, учитывающий разнесенность роторов по оси г и деформацию трубки магнитного потока при прохождении через немагнитный зазор
т а2
Т2
Р Р
где ах = —; а 2 = —.
t ^2
Тогда линейные скорости роторов будут связаны соотношением
-- Ь -
Одинаковой будет угловая частота в электрических градусах или радианах
w1 = w2 = w = Q- p, (6)
где w1, w2 - угловая частота для I и II зон.
В рассматриваемом ДЭ скорость имеет одну составляющую по оси X (рис. 1), а векторы индукции и напряженности магнитного поля имеют только составляющую по оси z
: Vx = V; Vy = 0; Vz = 0; Bz = B; Hz = H . При принятых допущениях плотность вихревых
токов будет иметь одну составляющую вдоль оси у: 51y; 5 2 y .
Произведя дифференциальную операцию rot над уравнениями для плотностей токов из системы уравнений (2), вводя комплексные амплитуды векторов напряженности поля [14]
H 2 = Re H 2me
-ja2x (7)
а также учитывая то, что поле постоянных магнитов является безвихревым rot E = 0, а индукции и напряженности связаны соотношением
B1 =^0 Kd1H 1 ;
В2 — ^0 Kd 2 Н2 ,
где ^ 1, Кл 2 - коэффициенты приведения для зон I и II [1-4]. Вместо (2) получается
(8)
a2 H1 = - ja^ 0 o1V1 K
0 1 1 d1
Hx + H2^d± +
V Kd1 Д 0 Kd1 J
rH, KiL+h 2 + B' л
(9)
a 2 H 2 =- ja 2m 0 S 2 V2 Kd 2 ! 2 K
V Kd2 m0 Kd2 J
Далее представляется целесообразным ввести безразмерные критерии
e = a 1V1m0 Kd1 .
(10)
характеризующие интенсивность электромагнитных процессов (магнитное число Рейнольдса) в зонах I, II.
Влияние поперечного краевого эффекта учитывается следующим образом:
е1 — е10 Кст1;
е -Р К (Ц)
2 20 ст2з
где Кст1, Кст2 - коэффициенты уменьшения электрической проводимости, учитывающие
проявление поперечного краевого эффекта по [6].
Тогда, согласно введенным обозначениям, проводя преобразования, выражения для напряженностей магнитного поля представляются в виде
Н —_В0е1 (е1 + е2 ) — j_______ В0е1______ .
^0^ ] 1
H =__________B0 e 2 (e1 + e 2 ) — j__________B0 e 2________
m 0 ' K d 2 1 + (e1 + e 2 ) ] m 0 ' Kd 2 1 + (e1 + e 2 ) ] Плотности вихревых токов согласно (2)
dH 1
Эх
(12)
51 у -ч ja1 H 1 ;
(13)
5 2 у ^ ja 2 H 2 .
эн 2
Эх
При определении электродинамического тормозного момента ДДЭ наибольший интерес представляет случай, когда роторы связаны с одним валом. Тогда суммарный момент:
М — Мх + М2, (14)
где Мх, М2 - электродинамические моменты, развиваемые в I и II зоне.
Отдельно для каждой зоны можно записать [ 1-4]
a 1
0 0 0
р02 2аА2 (15)
М 2 = —-Яе | 115 2 В р 2 dxdydz ,
4 0 0 0
где В р1, В 2 - сопряженные значения результирующей индукции магнитного поля для каждой
зоны; Ах, Л2 - толщина полого ротора в I и II зонах; 2а - ширина магнитной системы.
Результирующие индукции магнитных полей этих зон определяются следующим образом:
Вр1 — Вр2 — Вр — В1 + В2 + В0. (16)
И окончательно на основании (10) и (14)
В — В0 I / В0(е + £ 2) (17)
Вр —----/------^ + j —1-------^. (17)
1 + (£ + £2 ) 1 + (е1 + £2 )
После подстановки (17) и (13) в (15) выражения для электромагнитных моментов !и II
роторов примут вид
М =
В02 р—12 • 2а •А1а1 е1
4КлД0 1 + (е1 +е2 )2
М=
В02 р— 22 • 2а А 2 а 2 ^ (18)
4Кгі2^0 1 +(е1 +Є2 )2
"й2^0 1 "г Vе-1 т ь2 /
Целесообразно представить выражения для моментов в виде
М1 = М5 • тх;
М2 = М,- т2, (19)
где М 5 - базовая величина электродинамического момента; т1; т2 - относительный
электродинамический момент в I и II зонах.
В качестве базовой величины принимается максимальный электромагнитный момент первого ротора
В02 р—^А1
М.= р 2,,К 1 ■ (20)
2т 0
Тогда относительные электродинамические моменты определяются по выражениям
_ _____________.
1_1 + (£1 +Є2 )2;
к* 2Є2 (21)
т
2 К А К х 1 + (£! +£ 2 )2’
К ‘ — Kd1 К — Л
где — ^-; КА "Т .
^2 Л2
Линейные скорости роторов в I и II зонах V1 и У2 прямо пропорциональны угловой частоте вращения ю. Это также справедливо и для безразмерных величин £1 и £2, что позволяет установить неразрывную связь между ними, которая может быть записана в виде
£2 — * Ту* Ту* т^2 £1, (22)
;* • к* • к; • кт
;* = ;1 V* = К;1
где ; =----------; К; - —
;2 К;2
На рис. 2 представлена зависимость m = f (е) при нескольких фиксированных значениях е2, построенная по формуле (21). Эта зависимость может быть получена, если роторы I и II зон соединены каждый со своим валом так, чтобы не выполнялось условие (22). В таком случае проще выявить влияние электромагнитных процессов, происходящих во II зоне, на аналогичные в I зоне. Это влияние, судя по рис. 2, оказывается размагничивающим. При увеличении е2 от 0 до 4 максимум относительного момента первого ротора снижается с 1 до 0,1 (в десять раз). Одновременно происходит смещение критического числа Рейнольдса при котором т1 достигает максимума, в сторону больших значений (с 1 прие2 = 0 до 4,1 при е2 = 4).
Влияние реакции вихревых токов, наводимых в первом роторе, на электромагнитные процессы во втором роторе также оказывается размагничивающим.
Рис. 2. Зависимость относительного момента первого ротора от е1, при различных е 2
Для относительного суммарного электродинамического момента с учетом (21)
получают следующее выражение:
т =
2е 1
\2
(23)
1+е2 дт
Приравняв нулю частную производную —, можно определить максимальный
де1
электродинамический момент и его положение на механической характеристике, характеризуемое критическим е1К.
е1К =
о * ■ к* ■ к0 ■ КX
1+о* ■ К* ■ К0 ■ КX2 •
(24)
Как видно из этого выражения, критическое значение е1К зависит от соотношения электрических проводимостей роторов II и I, физических свойств материалов магнитопровода, а также геометрии магнитной системы. Максимум суммарного момента запишется в виде
т„
2е
1К
(25)
1 + е
1К
2
2
Таким образом, увеличение а * приводит к увеличению максимального момента при одновременном уменьшении Є1к, что подтверждается зависимостями щ = / (е ), щ = / (е ),
* *
для а = 2, а = 0,5 рассчитанными по формулам (21) и (23) и представленными на рис. 3. Физически возрастание максимума относительного момента объясняется тем, что при увеличении а2 при постоянном а уменьшается размагничивающее влияние внутреннего ротора (II) на внешний ротор (I) и, наоборот, при увеличении а1 при постоянном а2
размагничивающее влияние внешнего ротора на внутренний ротор становится интенсивнее.
Рис. 3. Зависимости относительных моментов от є1 , при а* = 0,5 (пунктирная линия) и
* ^ -^1
о = 2 (сплошная линия) для Ка1 = 1, Кх =—L = 1,5
А
На рис. 4 представлены зависимости ттах = f (о ), т1тах =(о*),
*
наглядно иллюстрирующие влияние О на электродинамический момент.
т
Щ2тах = /(а* ),
Рис. 4. Влияние а на электродинамический момент ДДЭ
G =
При малых значениях О момент создается в основном внутренним ротором; при
2
_ч
V G 2 J
¥ момент создается внешним ротором и £1К = 1; аналогично, при — = 0 m = m1
Аі
А,
£хк = 1, а при — = 0 т = т2, е2к = 1.
А2
Если принять, что О,/О2 = 1, задача сводится к решению задачи для ДЭ с одним ротором и, так же как в рассмотренных выше случаях, хорошо согласуется с результатами, полученными для ДЭ с полым немагнитным ротором [8].
Таким образом, на основании полученных результатов можно сделать вывод о том, что для исключения взаимного размагничивающего влияния роторов необходимо обеспечить конструктивно раздельные, не влияющие друг на друга, пути магнитных потоков, пронизывающих роторы с различной проводимостью, или поэтапное включение в работу этих роторов при одном и том же магнитном потоке.
ЛИТЕРАТУРА
1. Саттаров Р.Р., Исмагилов Ф.Р. Общий метод расчета электромагнитных демпферов с распределенной вторичной системой сложной геометрии // Электричество. 2010. № 5. С. 37-43.
2. Исмагилов Ф. Р., Саттаров Р. Р. Электромеханические преобразователи для вибрационной техники. М.: Машиностроение, 2008. 276 с.
3. Исмагилов Ф.Р., Саттаров Р.Р. Электромагнитные процессы в электромеханических демпфирующих элементах // Электричество. 2008. № 10. С. 46-52.
4. Вольдек А.И. Индукционные магнитогидродинамические машины с жидкометаллическим рабочим телом. Л.: Энергия, 1970. 272 с.
5. Исмагилов Ш.Г., Хайруллин И.Х., Ганиев И.Ф. Исследование выходных характеристик электромагнитных элементов автоматики с двойным ротором // Электротехника. 1990. №3. С. 62-64.
6. Хайруллин И. Х. Электромагнитные переходные процессы в неявнополюсном магнитоэлектрическом тормозе с полым ротором // Электричество. 1978. №10. С. 85-87.
7. Кравченко А.Н., Нижник Л.П. Электродинамические расчеты в электротехнике. Киев: Техшка, 1977. 184 с.
8. Электромеханические демпфирующие преобразователи с распределенными параметрами: учеб. пособие / Р.Р. Саттаров и др.; ГОУ ВПО УГАТУ. Уфа: УГАТУ, 2009. 242 с.
Саттаров Роберт Радилович -
кандидат технических наук, доцент кафедры «Электромеханика» Уфимского государственного авиационного технического университета
Хайруллин Ирек Ханифович -
доктор технических наук, профессор кафедры «Электромеханика» Уфимского государственного авиационного технического университета
Исмагилов Флюр Рашитович -
доктор технических наук, профессор, заведующий кафедрой «Электромеханика»
Sattarov Robert Radilovich -
Candidate of Technical Sciences, Assistant Professor of the Department «Electromechanics» of Ufa State AviationTechnical University
Hairullin Irek Hanifovich -
Doctor of Technical Sciences, Professor of the Department «Electromechanics» of Ufa State Aviation Technical University
Ismagilov Flur Rashitovich -
Doctor of Technical Sciences, Professor, Head of the Department «Electromechanics» of Ufa
Уфимского государственного авиационного State AviationTechnical University технического университета
Гумерова Марина Булатовна - Gumerova Marina Bulatovna -
аспирант кафедры «Электромеханика» Post-graduate student of the Department
Уфимского государственного авиационного «Electromechanics» of Ufa State Aviation технического университета Technical University
Статья поступила в редакцию 20.09.2010, принята к опубликованию 09.03.2011
