Математическое моделирование диффузионного растворения оксидных включений в медной матрице и роста дисперсных частиц упрочняющей фазы Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 621.762:669.71

Г. Ф. Ловшенко, канд. техн. наук, доц., Б. Б. Хина, д-р физ.-мат. наук

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ДИФФУЗИОННОГО РАСТВОРЕНИЯ ОКСИДНЫХ ВКЛЮЧЕНИЙ В МЕДНОЙ МАТРИЦЕ И РОСТА ДИСПЕРСНЫХ ЧАСТИЦ УПРОЧНЯЮЩЕЙ ФАЗЫ

Разработан численный метод решения новой, нетривиальной задачи о внутреннем окислении в трехкомпонентной системе - диффузионно-контролируемое растворение сферического включения оксида меди Си20 в твердом растворе Си(А1), сопровождающееся образованием и ростом дисперсных частиц упрочняющей фазы (оксида А1203) в медной матрице в процессе отжига. Разработанная математическая модель позволяет оценить время полного растворения частиц Си20, которые являются источником кислорода при внутреннем окислении, а также оценить размер и пространственное распределение дисперсных включений упрочняющей фазы (А1203) в матрице.

Уточненная математическая формулировка задачи

Математическая модель о диффузионно-контролируемом растворении сферического включения оксида меди Си20 в матрице твердого раствора Си-А1 (задача типа внутреннего окисления в трехкомпонентной системе) имеет следующий вид [1]. В твердом растворе на основе меди (фаза 2) в сферической области [^(1),^] протекает диффузионный массоперенос атомов кислорода и алюминия и рост дисперсных включений стехиометрического соединения А1203 (фаза 3). Диффузия в фазе 2 описывается уравнением

(і - V) %=-2 д

ді

г

дг

г2(1 - v)X Б

дск

ік '

дг

( 0

- (стз - Сі)

і,к = О, А1,

где V - объемная доля включений фазы 3 (А12Оз); г - радиальная координата; сіз і = О,А1 - массовая концентрация диффундирующих элементов в фазе 2; Бік - коэффициенты диффузии в фазе 2 с учетом перекрестного влияния диффузионных потоков атомов О и А1;

0

с [і]3 - массовая концентрация і-го элемента в фазе 3, т. е. в соединении А12О3 (С0[О]3 = 0,4706, с0[А1]3 = 0,5294).

Растворение сферического включения фазы 1 (Си2О) в медной матрице определяется диффузионным отводом ато-

мов кислорода от поверхности Си2О вглубь твердого раствора (фазы 2). Поэтому к уравнению (1) ставится граничное условие на поверхности 2/1 (т. е. при г = Ко©) в виде диффузионной задачи Стефана:

[(р1/р2)с[О]1 с[О]21] н+° - -МК0(і);

5с

*о =-Х Б

Ок

J

дг

&

к- к = О, А1,

(2)

где с [0]1 - массовая концентрация кислорода в фазе 1 (Си20) на границе с фазой 2 (с0[0]1 = 0,111); с0[0]21 - равновесная массовая концентрация кислорода в твердом растворе (фаза 2) на границе с Си20; Я0(1) - текущая координата границы фаз 2/1; р1 - плотность Си20 (р1 « 6), (1) г/см ; р2 - плотность меди (р2 = 8,93), г/см3; 10|щ1) - диффузионный поток кислорода в фазе 2 на границе 2/1.

Для атомов алюминия на движущейся границе Си20/Си (т. е. 2/1) возможны два варианта. Исходя из условия термодинамического равновесия, на ней

должна постоянно поддерживаться рав-

0

н о в е с н ая к онцентрация алюминия с [А1]21, которая близка к нулю:

с I = с0

сА1ІК0(і) _с[А1]2Г

(3)

Однако применительно к уравнению диффузии (2) выражение (3) означает, что

к

на границе 2/1 происходит постоянный «отсос» атомов А1 из твердого раствора, что приводит к нарушению закона сохранения массы. Алюминий практически нерастворим в оксиде меди Си20 (фаза 1), поэтому на границе фаз Си/Си20 для диффузии атомов алюминия необходимо поставить условие II рода (равенство нулю потока А1), которое означает отсутствие взаимодействия между частицей Си20 и атомами алюминия, растворенными в медной матрице:

I

А1ІК)(1)

= -! Б

А1к

дг

- 0;

г-Я0(і)

(4)

На внешней границе сферической области г = К, задается условие симметрии, т. е. отсутствие диффузионных потоков атомов кислорода и алюминия:

Эс

А1

Эг

Эсг

Эг

- 0;

понент; Я - универсальная газовая постоянная. Значения Е и Б0 для самодиф-фузии алюминия и кислорода в меди приведены в справочной литературе [2].

В любой точке оси 0г объемная доля сферических частиц фазы 3 (у) и ее производная по времени имеют вид:

4 3

V -— пК3п; 3 3

— - 4пЯ2п^К3, (8)

ді 3 ёг

где п - число зародышей фазы 3 (А1203) в единице объема; Я3 - их локальный радиус в данный момент времени, Я3 = Я3(г, 1).

Рост сферической частицы А1203 в твердом растворе, т.е. зависимость Я3(1) определяется из условия баланса массы на поверхности частицы

(р3с[і]3 Р2с[і]23)^К:

ёК3

- р2Іі -р2 X Бік(ск с[к]23);

і,к = О, А1,

(9)

(5)

Таким образом, к уравнению диффузии (1) ставятся нетривиальные граничные условия (2), (4) и (5).

Начальные условия включают исходную координату границы фаз 1/2 (при і = 0) и состав фазы 2:

К>(1 = 0) = Я00;

со(г > Я00, і = 0) = 0; см(г > Я00, г = 0) = с0А1; сА1(г < Я00, і = 0) = 0,

(6)

где с А1 - исходная концентрация алюминия в твердом растворе на основе меди

(фаза 1), которая близка к пределу рас-

0

творимости; К 0 - начальный радиус частицы Си20.

Коэффициенты диффузии определяются по закону Аррениуса:

(7)

где с [¡]23 - равновесная концентрация 1го элемента (А1 или 0) в фазе 2 на границе с фазой 3 (А1203); IV - диффузионный поток 1-го элемента в окрестности частицы А1203; р3 - плотность фазы 3 (АЬ03) (р3 = 3,96), г/см3.

В уравнении (9) величина ', характеризующая диффузионное взаимодействие дисперсных оксидных частиц в матрице твердого раствора, имеет вид:

-1 —

3(1 + К3(і)/Кс)Я3(і)/К

2[1 + Я3(і)/Кс + (К3(і)/ЯсГ] (2 - Я3(г)/Яс) - (Я3(г)/Яс)2

2[1 + Я3(1)/Яс + (К3(і)/Яс)2],

(10)

где К: - радиус микроячейки в твердом растворе 2, в которой растет включение фазы 3.

Величина К; определяется по формуле

(11)

К = [3/(4пп)]1/3.

где Е - энергия активации; Б0 - предэкс-

Поскольку А12О3 (фаза 3) - стехио-

к

к

г - К

г - К

с

метрическое соединение, для роста этих частиц в фазе 2 на границе 2/3 должно выполняться следующее простое соотношение для диффузионных потоков атомов А1 и 0:

Т' /Т' - с0 /с0 •’ЛГ •’О “ЧАЦ3 7 и[О]3 '

(12)

Однако в различных областях матрицы твердого раствора 2 из-за разных концентраций алюминия и кислорода это условие не соблюдается, т.е. рост может лимитироваться потоком либо атомов 0, либо атомов А1, в зависимости от того, который из них оказывается меньше в данной точке оси 0г. Тогда, суммируя по 1 в уравнении (9), получим

,0 , „0 Ч1Л1Г. ёг3

[(р3 / р2 - (с[О]23 + с[А1]23)Т^г3

- ТА1(1 + с[О]3 / c0Л1]3 ) ПРИ

- ТО(1 + c0Л1]3 / с[О1]3 ) при

ТА1 < ТО

ТО < ТА1

,(13)

где

51 _ XБ1к(ск с[к]23); 1,к - °,А1- (14)

к

Обыкновенное дифференциальное уравнение (13) совместно с выражением (10) для величины ' может быть решено численно (например, методом Рунге-Кутта) относительно г3 в каждой точке оси 0г. Но прежде всего необходимо решить уравнение диффузии (1) с граничными условиями (2), (4), (5) и начальными условиями (6). Поскольку сформулированная задача является существенно нелинейной, ее решение может быть найдено только с использованием численных (конечно-разностных) методов.

Диффузионная задача в матричном безразмерном виде

Для численного решения запишем уравнение диффузии (1) в матричном виде:

(1 - V)

ас

ді

г

1 д

2 дг

г2(1 - ^Б

дг

- (С3 - С)

3 ді

(15)

где С - вектор концентраций диффундирующих элементов в фазе 2, С = (с0 сА1)т;

0

С 3 - вектор концентраций элементов в фазе 3 (А1203), С03 = (с0[0]3 с0[А1]3)т;

Б - матрица коэффициентов диффузии в фазе 2, Б = (Б1к), 1, к - 0,А1; Т - символ транспонирования.

Задачу необходимо обезразмерить. Для этого зададим масштабы величин: Б0 - характерное значение коэффициента диффузии при температуре отжига; Ь ~ К, - характерное расстояние; 1:0 - характерное время диффузии, ^ = Ь2/Б0. Тогда, вводя безразмерные переменные и параметры:

т = 1 / 10; х = г / Ь; г0 = К / Ь; г3 = Я.3 / Ь; гс = К / Ь; Б = Б / Б0;

(16)

запишем уравнение (15) в безразмерном виде:

) 5С ш д

(1-V)— -—----------

дт х2 дх

х2(1-у)Б

дС

дх

- (С[ - С)д". (17)

3 дт

Перепишем уравнение (17) в виде, включающем диффузионные потоки:

о дС дТ о п ^ *

х2(1 -V)■дт--дх-х2(С[ -С)—; (18)

дт

дТ

дх

ду

дт

Т--шх2 (1 - v)Б

дС

дх

(19)

где I - вектор безразмерных диффузионных потоков атомов 0 и А1,

5 = (50 - ?А1)Т-

Тогда граничные условия (2) и (4) целесообразно записать в следующем виде:

г02 (1 - v(го))[(Pl/ р 2 )с[О]1- с0О]21]^:;г[г-

--I

А1

X-Г[(т)

- 0.

(20)

(21)

Построение разностной схемы

Для численного решения задачи воспользуемся конечно-разностными методами решения нелинейных уравнений в частных производных параболического типа [3-5].

В области пространства г0 < х < Я^/Ь построим неравномерную сетку {х1, 1 = 1, ..., N1 с переменным шагом Ь1, 1 = 1, ..., N-1 по координате х. Точка х1 соответствует г0(т) - текущей координате границы фаз 2/1, а точка х>) = Я» / Ь - правому краю сферической области. Вместо непрерывного времени т введем дискретное т; с переменным шагом Дт;. Перейдем от непрерывных функций С, V и Б к дискретным, заданным на этой сетке.

Для построения разностных аналогов уравнений (18)—(21) воспользуемся универсальным интегроинтерполяционным методом, или методом баланса [3-5], который обеспечивает выполнение условия сохранения массы, лежащего в основе уравнения диффузии, на дискретной сетке.

Разностная аппроксимация диффузионного уравнения

Проинтегрируем уравнение диффузии (18) по элементарной ячейке пространственной сетки, т. е. от х1-1/2 до х1+1/2:

х1+1 / 2 ЯГ1

Г х2(1 -V)—ах =

х •' дт

х1-1 / 2

—V

1

= 5 - 5

х1-1 / 2 х1+1 / 2

х1+1/2 -V

1 х2(С0 - С) — ах;

Л. —т

х1±1/2

1±1/2-

(22)

Аппроксимируем интегралы в уравнении (22) простыми квадратурными формулами и возьмем чисто неявную разностную схему:

х1+1/2 ЭС 1

1 х2(1 - V)ах -1(1 - V;*1) х

х,-1.., Эт 3

с;*1 - с

х сс. (х3+1/2- х3-1/2); (23)

| х2(с0 - с)—ах «-(С3 - С)

у!*1 - V Дт,

Эт 3

-• (х1+1/2- х3-1/2)- (24)

Поскольку х1+1/2 = х1 + ! / 2, х1-1/2 = = х1 - Ь1-1 / 2, последний сомножитель в правой части выражений (23) и (24) выразится в виде:

3 3 3 2

х1 + 1/2 - х1 -1/2 = 2х1 (! + ! -1) +

+^(^ -ь2-1)+^ + Ь?-1) -

4 8

(25)

(с точностью до членов первого порядка малости).

С учетом выражения (25) интегралы (23) и (24) запишутся как

х1+1/2 ЯР

( х2(1 - у)-дСтах - х2(1 - у;*1) х

*¡-1/2 —'

х (с;*1 - с;) • .

2Дт;

х 1*1/2 —V

| х2(с30 - с) —^ах - х2(с0 - с)

хм/2 Эт

х (у1*1 - у;) • ! * ¡1-1 .

1 1 2Дт;

(26)

(27)

Для определения конечноразностных выражений для потока 11-1/2, входящего в уравнение (22), проинтегрируем формулу (19) от х-1 до х:

х х

1_ 1

Г Мх = - т [ х2 (1 -у)^^Сах. (28)

Эх

ч-1

Аппроксимируя интегралы, входящие в формулу (28), получим

_ _ х1 J¡-1/2h¡-1 --т(1-V¡-+11,2)Бi,-+,1/2 1 х2аС' (29)

Дт;

х1+1/2

х

х1-1/2

х

х

х

1-1

Интеграл в правой части выражения (29) определим методом интегрирования по частям:

|х2ёС - х2СІ+1 - х^СІ-1 -

І-1

хі

- IСёх2 « х12С1+1 - хІ?_1СЙ

- СІ-1/2 (хі2 - хі2-1).

(30)

В силу непрерывности диффузионного потока С1-1/2 - (С1-1 + С1) / 2. Последний член в правой части формулы (30) имеет вид:

х21 - х21-1 = 2х1Ь1-1 - Ь21-1 - 2х1Ь1-1 (31)

(с точностью до членов первого порядка малости).

Тогда из формул (29)-(31) получим выражение для диффузионного потока 11-1/2:

Ті-1/2 --х>(1 -Vl+l1/2)БІ

І - І х X Сі Сі-1 хі-1

Ьі-1 хі

»І+1

-1/2

(32)

Интегрируя формулу (19) от х до х+1 и проводя аналогичные выкладки, получим выражение для потока 11+1/2:

Ті +1/2 --х2ш(1 - Х

Н+1 - Н+1 1_1_1 і 1

Х Б-'+1 ^+1

ХБі +1/2

х

і +1

Ь;

х

(33)

Значения функции V в полуцелых точках определяются как полусумма значений в соседних целых точках: v1±1/2 = (v1 + v1±1)/2. Для коэффициентов диффузии, зависящих от концентрации, аналогичные величины определяются по следующей формуле [3, 5, 6]:

Б^+1 - Б((С',+1 + С',+ Бі±1/2_Б\(Сі + Сі±

і+1)/2).

(34)

Введем обозначения:

О-^1 -

^і±1/2 _

1 - у>+1

А V: і і /о —

±1/2 бІ+1 •

І+1 і±1/2’

— І+1 і ■ ,, V - у!

^ - і і ^

Ю: -■

-V

й - Ьі + Ьі-1 ; П і 2 ;

аі- 2^- (35)

2Ат і

Подставляя выражения (26), (27), (32) и (33) в формулу (22) и используя обозначения (35), после преобразований получим разностную схему для внутренних точек сетки, которую запишем в каноническом трехточечном виде:

А^С^ - ВІ+1СІ+1 + ГіІ+1СІ+1 - АІ+1; і - 2, ..., N -1,

(36)

где

А1+1 = т^х^а^; Г?*1 = тх ^а^; В1+1 = А1+1 + Г1>+1 +СТ1х1(1 - £1;+1)Е;

Д;*1 = а1х1^;+1С30 - С1), (37)

где Е - единичная диагональная матрица: Е = (е1к), е1к = 51к, где §1к - символ Кронекера (1 - при 1 = к, 0 - при 1 ^ к).

Тем самым уравнения диффузии (18) аппроксимированы конечными разностями.

Разностная аппроксимация граничных условий

Поскольку диффузионные потоки в разностном виде 11±1/2 заданы в полуцелых точках (формулы (32), (33)), для аппроксимации граничных условий необходимо определить потоки в точках 1 = 1 и 1 = N.

В точке N т. е. на границе сферической области х]^ = Я» / Ь, поставлено условие (5). Выразим связь между потоками в точках N и N-1/2 путем разложения в ряд Тейлора, ограничиваясь членами 1го порядка малости:

Т - т - ^-1 дТ - 0

•^-1/2 ^ 2 дх °

х

х

і-1

X

х

N

где поток ^-1/2 задан формулой (32), в которой надо положить 1 = N.

Из уравнения (18)

_дт

дх

-- х2

(1 -

дС

дт

+ (С0 -

дт

. (39)

Аппроксимируем производные в точке N в выражении (39):

дС

дт

Сі+1 - С

. N N

Ат ■

д¥

дт

Л^1 vN . (40) Аті

Используя (38)-(40) и (32) и вводя обозначение Ок = Ь2м-1/(2Дт;), получим разностную аппроксимацию граничного условия в точке 1 = N которую запишем в удобном для последующего анализа двухточечном виде:

[шх^-1^К-1/2 І1

+ +о NXN(1 - fN*1)E]CN*1 -

> І+1

- шхК-10^.11/2С^11 + акх^ -^ Ч). (41)

Необходимо представить в разностном виде условия (20) и (21) на границе фаз 2/1. Связь между известным диффузионным потоком в точке і = (формула

(33)) и неизвестным потоком в точке і = 1 определим аналогично выражению (38) с помощью разложения в ряд Тейлора:

Т112 - Т1

+

ь1 дТ

2 дх

- 0.

(42)

Используя уравнения (39) и (40), в которых хм надо заменить на х1, из выражений (42) и (33), вводя параметр а1 = Ь 1/(2Аі]) и применяя обозначения (35), получим в точке і = 1 разностную аппроксимацию вектора диффузионных потоков Т1, которую удобно записать в виде:

-- х12шо,1;1

1 - V!-1 1 1 112

(СГ - СГ>2 +

+ х3ст1(СГ1 - С1) + х3а1£/+1(С0 - С1+1), (43)

где а - матрица размером 2х2; С - вектор концентраций в фазе 2, С = (с0 сА1)Т; I - вектор размера 2.

На движущейся границе фаз 2/1 х = г0(т), т. е. в точке 1 = 1 (х = х1), как видно из условия (20), поддерживается постоянная концентрация кислорода, соответствующая равновесному пределу растворимости кислорода в Си. Тогда в дискретном виде запишем

сІ+1 - сІ - с0 '-'ОД '-'ОД [О]21 •

(44)

Выразив из (43) поток атомов кислорода, подставим его в граничное условие (20). С учетом (44) и помня, что ! = х2 - х1, получим дифференциальноразностное уравнение

х1(х2- х1) р;+1(с0 - с0 ) +

2Д^ 1 ^ [0]3 [0]21 /

+ х1(х2 - х1)( —с°О]1 - с

0 )ёх1 -

ёт

х2ш[0(00),1^/(сО,2 с[О]21) +

+ О

І+1 (сі+1 - сі+1 )]

(ОА1),1)2^ А1,2 *-41,1 Л

,І+1

І+1

(45)

где О(+\ 1^; і, к = О,А1 - соответствую-

(ік),1/2

щий компонент матрицы О в полуцелой точке на (і+1)-м слое по времени.

Решая уравнение (45), получим новую координату границы фаз 2 и 1 на (]+1)-м слое - величину х^1.

Далее, из (43) с использованием (44) выразим поток атомов А1 и, подставив его в граничное условие (21), получим разностную аппроксимацию условия по алюминию на границе фаз 2/1, которое запишем в двухточечном виде:

[х2шО(Аш),1х + °1х1(1 - ґГ1)]сАи -

х2шО(Д1О) 1 1/сО.2 + х 2шО,

І+1

2lllvJ(AЮ),1í22 О,2 ^ Л 2*11'^ (А1А1),11^ А1,2

сі+1 -

^А1.2

х2шО(АЮ),1)2с[О]21 + °1х1(сА1,1 ^1 с[А1]3). (46)

І+1

ІН„0

[А1]37

Таким образом, все граничные условия выражены в разностной форме.

х

х

х

N

N

N

х

х

N

N

Р

2

х

Метод прогонки

Для численного решения системы полученных разностных уравнений (36), (37), (41), (44) и (46) будем использовать эффективный и экономичный метод векторной (или матричной) прогонки [3-5]. Формула прогонки для вычисления значений вектора концентрации на новом (/+1)-м слое в точке 1-1 по его значению в точке 1 имеет вид:

с1*1 = Оы^*1 + ^_1/2, 1 = 2,...,^ (47)

где О - матрица прогоночных коэффициентов размером 2х2; Б - вектор размера 2, которые по своему смыслу относятся к полуцелым точкам 1±/.

Значения О и Б определяются по изложенной ниже процедуре.

Подставив формулу (47) в разностную схему (36) для внутренних точек 1 = 2, ..., N-1, получим рекуррентные выражения для вычисления прогоночных коэффициентов:

о 1+1/2=(в;*1 - а/*^)-1 г г1.

ничные условия заданы по-разному для атомов 0 и А1 (см. формулы (44) и (46)), значения матриц О1/2 и можно опре-

делить только поэлементно.

Распишем формулу прогонки (47) в поэлементном виде для 1 = 2:

с0,1 = О(11)Д^с0,2 + °(12)ДХсА1,2 + Б(1),1 Х; (50)

сА,1 = О(21)Д//с0,2 + О(22),1 ;2сА,2 + Б(2),1>/, (51)

где О(1к),1%, Б(1)Д1/2 - соответствующие элементы матриц О и Б в точке 1/. Тогда, сравнивая выражения (50) и (44), получим

°(11)дХ = 0; °(12),1)2 = 0; = с[0]21' (52)

Сопоставляя формулы (51) и (46), получим выражения для остальных элементов матриц О и Б в точке 1/:

и1=тх2а)А|А|).1^2+01х;*‘<1 - г!1*1),

= тх2а(Аю),1}</и1;

- (BІДl - А^Ом,,)-1 X X (АІХи - ДІД1), і - 2,...,N -1. (48)

Подставляя выражение (47) в разностную аппроксимацию граничных условий на правом крае счетной области (41), получим формулу для вычисления значений концентраций на (і + 1)-м временном слое в точке і = К:

^ - -1О:м-1/2(Е - QN-1/2 ) +

+ ° NXN(1 - 1;

СІ+1 - UN[шxN-^^-Ш^-1/2 +

+ оNXN(CN - f1І;1C0)]. (49)

Осталось определить прогоночные коэффициенты и Б1^ на левом крае счетной области. Поскольку здесь гра-

О(22),1>/ - шх2О(УА1А1),1>//и1; 8(2),1>/ - [- х2ш°(Аю),1>2с0О]21 +

+ Olxll+1(cЛl,l - f!+1c0лl]з)]/ul. (53)

Таким образом, определены все прогоночные коэффициенты вдоль оси х, а также концентрации диффундирующих элементов на правом крае счетной области С^1.

Алгоритм расчета

Расчет по описанной выше конечно-разностной схеме производится в следующей последовательности. Вначале по формулам (48), (52), (53), где матрицы А, В, Г, А заданы выражениями (37), на основе известных концентраций

элементов на предыдущем (]-м) временном слое вычисляются прогоночные коэффициенты во всех точках оси х (так называемый «прямой ход» прогонки). Затем по формуле (49) рассчитывается вектор С^,+1 - концентрации О и А1 на новом (] + 1)-м слое по времени в точке 1 = N. После этого по выражению прогонки (47) вычисляются значения концентрации кислорода и алюминия С^1 в фазе 2 на (] + 1)-м временном слое во всех точках 1 = N - 1, ..., 1 (так называемый «обратный ход» прогонки). Затем путем численного решения обыкновенного дифференциального уравнения (45) относительно величины х1 с использованием стандартного метода Рунге-Кутта 4-го порядка точности определяется новая координата границы фаз 2/1 на (] + 1)-м слое - значение х^1. Кроме того, на данном слое по времени в каждой точке оси х методом Рунге-Кутта решается обыкновенное дифференциальное уравнение (13) (с учетом формулы (10)) относительно величины г3 - радиуса включений фазы 3 (А12О3) в матрице фазы 2. Далее по формуле (8) вычисляется новое значение объемной доли фазы 3 в каждой точке - величина у^1. Поскольку задача является нелинейной, полученные

значения С, у и х1 подставляются в соответствующие формулы и расчет повторяется, т. е. осуществляется итерационный цикл. Здесь использован метод простой итерации. Расчет на данном временном слое повторяется до дости-ж е н ия сходимости, т. е. до получения заданной относительной точности 8 ~ 10-5 по величинам С, у и х1 на двух последовательных итерациях. После этого происходит переход на следующий слой по времени. Расчет завершается при достижении заранее заданного максимального времени или при полном растворении частицы фазы 1 (Си2О).

Результаты моделирования

На рис. 1 и 2 показаны результаты численного моделирования растворения сферической частицы Си2О в медной матрице при температуре 900 °С (1173 К). Значения коэффициентов диффузии кислорода и алюминия в меди, определенные по [2], приведены в табл. 1.

В связи с отсутствием в литературе сведений о значениях недиагональных (перекрестных) коэффициентов диффузии Боа1 и БА1О в меди, их полагали равными нулю.

Рис. 1. Кинетика растворения сферического включения Си20 с исходным радиусом Ио0 = 0,4Ь (1) Я-о0 = 0,2Ь (2) в твердом растворе на основе меди при Т = 1173 К в безразмерных координатах

т

Рис. 2. Распределение безразмерного радиуса включений фазы 3 (А12О3) вдоль безразмерной сферической координаты в твердом растворе на основе меди при Т = 1173; масштаб Ь = = 100 мкм, без-

размерный исходный радиус фазы 1 (Си2О) г00 = 0,2

Табл. 1. Параметры самодиффузии атомов алюминия и кислорода в меди (фаза 2) [2]

Атом 0*0, см2/с Е, кДж/моль Примечание 0*(Т = 1173 К), см2/с

А1 О 0,61 1,76-10-2 197,5 66,94 Т = 800.1040 °С; сА1 « 5,3 % масс. Т = 800.1030 °С 9,8-10-10 1,84-10-5

Предел растворимости кислорода в меди при Т = 1173 К составляет

с0[о]21 = 1,53-10-3 (1,53-10-5 % масс.) [7]. Исходное содержание алюминия в твердом растворе сА1(х, 1 = 0) принимали равным пределу растворимости при указанной температуре с0А1 = 0,08 (8 % масс.) [8]. Расчеты проводили в безразмерных величинах для разных отношений исходного радиуса частицы Си2О (Я00) к радиусу макроячейки Я» / Ь ~ 1.

Как видно из рис. 1, форма зависимости безразмерного радиуса частицы г0 от безразмерного времени т близка к полученной по приближенному аналитическому решению [9, 10]. Это связано с тем, что лимитирующей стадией растворения в обоих случаях является один и тот же физический процесс - диффузионный мас-соперенос в сферической симметрии. Од-

нако, по сравнению с аналитическим расчетом по формулам [9], время растворения исходной сферической частицы Си2О в медной матрице сокращается более чем на порядок величины. Это связано со стоком атомов кислорода, диффундирующих вглубь меди от границы Си2О/Си, в растущие дисперсные частицы А12О3, которые в данной ситуации играют роль геттера («химического отсоса»). Следовательно, наличие алюминия, растворенного в медной матрице, приводит к существенному ускорению растворения Си2О за счет указанного эффекта.

Как видно из рис. 2, максимальный размер образующихся дисперсных частиц оксида алюминия Я3(тах) приходится на радиальную координату, близкую к исходному положению границы Си2О с медной матрицей Я00. Рост включений

АЬОз во «внешней» области (при г > Яс0) лимитируется диффузией кислорода от движущейся границы Си2О/Си, поскольку содержание алюминия в твердом растворе на основе меди достаточно велико. Во «внутренней» области (при г < Я0с) лимитирующей стадией роста частиц А12О3 является диффузионный массопе-ренос атомов алюминия из медной матрицы, который протекает медленнее, чем встречная диффузия кислорода.

Заключение

Таким образом, разработан численный метод решения новой, нетривиальной задачи о внутреннем окислении в трехкомпонентной системе - диффузионно-контролируемое растворение сферического включения оксида меди Си2О в твердом растворе Си(А1), сопровождающееся образованием и ростом дисперсных частиц упрочняющей фазы (оксида А12О3) в медной матрице в процессе отжига. Указанный метод позволяет синтезировать новые композиционные материалы на основе меди, упрочненные дисперсными оксидными включениями нанометрического размера, и является в последние годы предметом интенсивных экспериментальных исследований

[11-14]. При этом исходную матрицу с относительно крупными включениями фазы Си2О (источник кислорода) получают путем механического легирования, а конечный дисперсно-упрочненный композит формируется при последующем отжиге.

Разработанная математическая модель позволяет оценить время полного растворения частиц Си2О, которые являются источником кислорода при внутреннем окислении, а также оценить размер и пространственное распределение дисперсных включений упрочняющей фазы (А12О3) в матрице. Численными расчетами установлено, что максимальный размер дисперсных частиц А12О3 приходится на исходную границу Си2О с медной матрицей Я0с. Рост включений

АЬОз во «внешней» области (при г > Яс0) лимитируется диффузией кислорода от границы Си2О/Си, а во «внутренней» области (при г < Ясс) - диффузией атомов алюминия из матрицы, которая протекает медленнее, чем встречная диффузия кислорода. Растворение частиц Си2О осуществляется существенно быстрее, чем в отсутствии алюминия в твердом растворе, когда не образуются дисперсные включения А12О3 в матрице, т.е. рост последних, контролируемый диффузией кислорода, играет роль геттера по отношению к исходной частице Си2О.

Полученные результаты могут быть использованы при создании новых дисперсно-упрочненных композиционных

материалов на основе контролируемого сочетания механического легирования и диффузионного отжига, для выбора оптимального режима отжига, при котором протекает внутреннее окисление, для предсказания структуры (максимального размера и пространственного распределения дисперсных включений по размерам) и, следовательно, свойств конечного продукта.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Ловшенко, Г. Ф. Макрокинетическая математическая модель внутреннего окисления сплавов на основе меди при отжиге механически легированных композиций системы Си-А1-СиО / Г. Ф. Ловшенко, Б. Б. Хина // Вестн. Белорус.-Рос. ун-та. - 2006. - № 4. - С. 139-148.

2. Смитлз, К. Дж. Металлы : справочник : пер. с англ. / К. Дж. Смитлз. - М. : Металлургия, 1980. - 447 с.

3. Самарский, А. А. Введение в теорию разностных схем / А. А. Самарский - М. : Наука, 1971. - 552 с.

4. Годунов, С. К. Разностные схемы. Введение в теорию / С. К. Годунов, В. С. Рябенький. - М. : Наука, 1977. - 400 с.

5. Калиткин, Н. Н. Численные методы / Н. Н. Калиткин - М. : Наука, 1978. - 512 с.

6. Вороиипт, Л. Г. Диффузионный мас-соперенос в многокомпонентных системах / Л. Г. Ворошнин, Б. М. Хусид. - Минск : Наука и техника, 1979. - 255 с.

7. Фромм, Е. Газы и углерод в металлах / Е. Фромм, Е. Гебхардт. - М. : Металлургия,

1980. - 456 с.

8. Двойные и многокомпонентные системы на основе меди : справочник / Под ред. М. Е. Дрица. - М. : Наука, 1979. - 248 с.

9. Любов, Б. Я. Диффузионные процессы в неоднородных твердых средах / Б. Я. Любов. -М. : Наука, 1981. - 295 с.

10. Ловшенко, Г. Ф. Моделирование растворения металлических включений при отжиге механически легированных сплавов / Г. Ф. Ловшенко, Ф. Г. Ловшенко, Б. Б. Хина // Вестн. Бело-рус.-Рос. ун-та. - 2006. - № 1. - С. 112-124.

11. Internal oxidation of dilute Cu-Al alloy powers with oxidant of Cu2O / Kexing Song [etc.] // Materials Science and Engineering A. - 2004. -

Vol. 380, № 1-2. - P. 117-122.

12. Fabrication of the nanometer Al2O3/Cu composite by internal oxidation / Li Guobin [etc.] // Journal of Materials Processing Technology. - 2005. -Vol. 170, № 1-2. - P. 336-340.

13. Shuhua, Liang. Internal oxidation of Cr in Cu-Cr/Cu2O composite powder prepared by mechanical activation / Liang Shuhua, Fang Liang, Fan Zhikang // Materials Science and Engineering A. -2004. - Vol. 374, № 1-2. - P. 27-33.

14. Kinetic analysis on Al2O3/Cu composite prepared by mechanical activation and internal oxidation / Shuhua Liang [etc.] // Composites A : Applied Science and Manufacturing. - 2004. - Vol. 35, № 12. - P.1441-1446.

Белорусско-Российский университет Материал поступил 24.01.2007

G. F. Lovshenko, B. B. Khina Diffusion dissolution oxide insertions within copper matrix and strengthening phase dispersion particles upsurge mathematic modeling Belarusian-Russian University

The method for solution of a new, non-trivial task of internal of internal oxidation within three-component system, i. e. diffusionally-controlled dissolution of spherical insertions of Cu2O copper oxide within Cu(Al) solid solution along with creation and subsequent increase of dispersion particles of Al2O3 (aluminum oxide) strengthening phase within copper matrix in the process of annealing has been developed. The model developed allows estimating the time of complete dissolving Cu2O particles which are the source of oxygen during internal oxidation and also to assess the dimensions and space distribution of dispersion insertions of Al2O3 strengthening phase within the matrix.