Математическое моделирование аутостабилизации температуры в клеточной ткани Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 519.95

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ АУТОСТАБИЛИЗАЦИИ ТЕМПЕРАТУРЫ В КЛЕТОЧНОЙ ТКАНИ

© А.А. Арзамасцев, Е.Н. Альбицкая, Е.В. Черемисина

Ключевые слова: математическая модель; аутостабилизация; система дифференциальных уравнений в частных производных; разностная схема.

Разработаны математическая модель с распределенными параметрами для описания процесса аутостабилизации температуры в клеточной ткани, алгоритм расчета системы уравнений на основе разностной схемы. Результаты проверки модели в вычислительном эксперименте показали ее пригодность для описания основных закономерностей данного феномена.

В работах [1, 2] изучались процессы атутостабилизации температуры биообъектами с помощью метода математического моделирования. Было показано, что при наличии двух биологических объектов один из них может подавлять рост другого посредством температурного канала. Поскольку данный вывод может быть весьма полезным для медицинских целей (например, для ограничения роста опухоли), естественным продолжением исследований [1, 2] является моделирование явлений аутостабилизации температуры в распределенной живой ткани.

Математическая модель, разработанная при достаточно общих допущениях, имеет следующий вид [3]:

дТ(х, у, г, г) __Х_ ф

дг

д2Т(х, у, I, г) д2Т(х, у, I, г) д2Т(х, у, г, г)

дх

+ Ж

дТ (х, у, г, г)

дх

+

дТ(х, у,г,г) , дТ(х, у,г,г)

(1)

ду

дг

д£ (х, у, г, г)_

-------------------_ п?

дг

д2 £ (х, у, г, г) + д2£ (х, у, г, г) + д2£ (х, у, г, г)

ду2

д£ (х, у, г, г)

дх

+

д£(х,у,г,г) , д£(х,у,г,г)

(2)

ду

дС (х, у, г, г) дг

дг

+о? ,

_ п

С

д 2С (х, у, г, г) + д2 С (х, у, г, г) + д 2С (х, у, г, г)

ду2

дС х, у, г, г)

дх

дС (х, у, г, г) + дС (х, у, г, г)

(3)

ду

дг

+ Ос .

Дифференциальные уравнения (1)-(3) описывают динамику температуры, субстрата и кислорода. В этих уравнениях: Т (х, у, г, г), £ (х, у, г, г), С (х, у, г, г) - температура, концентрации

1843

субстрата и растворенного кислорода в точке с координатами x, у , 2 в момент времени t; X -коэффициент теплопроводности; с, р - удельная теплоемкость и плотность клеточной ткани; Бц, Бс - коэффициенты диффузии для субстрата и кислорода; п,х, wy , wz - скорости конвективного переноса; Qт, Qs, Qc - распределенные функции источников для температуры, субстрата и кислорода.

С учетом специфики биохимических превращений и макрокинетики реакций выражения для расчета функций источников могут быть записаны в следующем виде:

Qт = V тах [Т (х, у, 2, X)]]

Н Б(х, у, 2, t) С (х, у, 2, t)

ср Б (х, у, 2, t) + К5 С (х, у, 2, t) + Кс

(4)

= _ Vтах [Т (х, у, 2, t) _ Б (х, у, 2, t)

С(х, у, 2, t)

У

Б(х, у, 2, X) + Кб С(х, у, 2, X) + Кс

(5)

Qc =

^(х.у.М)--С ( х-у.2- > > , (V тах [т (х, у, 2, ,)]• в + а),

Б(х, у, 2, t) + Кб С (х, у, 2, X) + Кс

(6)

где Vтах - максимальная удельная скорость биохимических реакций; Н - интегральный тепловой эффект биохимической реакции; У, К б , Кс - кинетические параметры; а, в - скорость потребления кислорода на эндогенное дыхание, ростовые процессы;

V тах [Т (х, у, 2, X )] = «1 ехр

(

Ел

ЯТ (х, у, 2, X)

^ Г

а2 ехр

Е2

л

ЯТ (х, у, 2, X)

(7)

где а1 , а2 - предэкспоненциальные множители; Е1 , Е2 - энергии активации.

Для получения однозначного решения, система (1)-(7) должна быть дополнена краевыми условиями.

Начальные условия:

Т (х, у, 2,0) = Т

Б {х, у, 2,0) = Бс

С{х, у, 2,0) = С0. (8)

Граничные условия:

дТ (х, у, 2, X)

дх

дТ (х, у, 2, X)

:П1[Т (0, У, 2X) _ gl(x)]

х=0

ду

дТ (х, у, 2, X)

= П1[Т (x,0,2, X) _ gl(x)]

у=0

д2

П1[Т (x, У,0, X) _ gl(x)]

дТ (х, у, 2, X)

дх

дТ (х, у, 2, X)

= _П1[Т (^ ^ 2, X) _ gl(X)]

ду

дТ (х, у, 2, X)

= _П1[Т(x,L2, 2X) _ gl(x)]

у = ^2

д2

= _П1[Т (x, У, L3, x) _ gl(x),]

г=Ь3

где п - коэффициент теплопереноса. В нашем случае gl (X) = сош! = Т , где Т - температура области;

1844

дБ (х, у, 2, X)

дх

дБ (х, у, 2, X)

П2[Б (0, У, 2x) _ 82^)]

дБ (х, у, 2, X)

х=0

ду

дБ (х, у, 2, X)

= П2[Б (хА 2x) _ 82О)]

дх

дБ (х, у, 2, X)

х=

у=0

д2

= П2[Б(x, У,0, X) _ 82О)]

ду

дБ (х, у, 2, X)

= _П2[Б(—Ьy,2,x) _ §2(Х)]

= _П2[Б(x, ^ 2, X) _ 82 ^)]

У=—2

д2

= _П2[Б (x, ^ ^, x) _ 8 2О)].

2=L3

где П2 - коэффициент массопереноса; 82(X) = сош! = Б , где Б - концентрация субстрата области;

дС (х, у, 2, X)

дх

дС (х, у, 2, X)

Пз[С (0, У, 2x) _ 8 3(X)]

х=0

ду

дС (х, у, 2, X)

= Пз[С(хА 2, x) _ 8з(x)]

У=0

д2

я=0

дС (х, у, 2, X)

дх

дС (х, у, 2, X)

= _Пз[С (К ^ 2x) _ 8 зО)]

= Пз[С (х У,0, x) _ 8з0)]

ду

дС (х, у, 2, X)

х=—1

У=—2

= _Пз[С(x, —2 , 2, X) _ 83(X)]

д2

= _Пз[С (x, У, —з, t) _ 8 з(t)],

2=—з

где Пз - коэффициент массопереноса; 8з(X) = сош! = С , где С - концентрация растворенного кислорода области.

Для решения данной задачи необходимо составить разностные схемы.

Введем следующие замены:

— ~ 1(Т _ Т. )

д^ ~ ^ , 1,т,п+1 ,/,т,п ),

дТ „ 1(Т _ Т )

~ ~ 7 V / +1,/,т,п /, /,т,п/’

дх к,

дТ ~ 2.

ду ^2

дТ ~ _1

д2 кз

(Т/,/+1,т,п Т/,/,т,п ).

~ (Т/,/,т+1,п Т/,/,т,п),

д 2Т 1

"Т ^ ~ 2(Т/+1, /,т,п 2Т/, /,т,п + Т_1, /,т,п ),

дх2 к,2

д 2Т 1

Л 2 ~ , 2 (Т/, /+1,т,п 2Т/, /,т,п + Т/, /_1,т,п

ду2 к22

2Т- ■ + Т

-*■ I » ги и 1 -1 I

),

д 2Т 1

д2 к

2Т + Т )

/, /,т,п /, /,т_1,п/‘

з

1845

Подставив данные соотношения в формулу (1), получим следующую разностную схему:

Ті,7 ,т,п+1 к

к И2 ср Л22 ср И32 ср И1 к2 И3 у

Т ■ +

^і,у ,т,п 1

Т

і+1,7,т,п +

±_ _х Т

+ 2 Ті-1,7,т,п +

и12 ср

и22 ср и2

ГГ-1 1 X ГГ-1

Ті, 7+1,т,п + ~ 2 Ті, 7-1,т,п +

и22 ср

Г 1 л >

1 X м.

+ .

Из2 ср и

V 'з

Ті, 7 ,т+1,п +

J

1 X

+ , 2 Ті, 7,т-1,п + 6т

из2 ср

По аналогии из (2), (3) получаем схемы для Б, С:

5і, 7,т,п+1 к

1 ----22--------22П5 - ^ ^ ^

к И2 И? И32 И1 И2 И3

^ ,

Л «5 + Мх V И12 5 И

Л

5 +

і +1,7,т,п _г

+ , 2 П5 5і-1,7,т,п +

И12

И2

2 5

И

2

5 + 1 П 5 +

і,7+1,т,п' 2 5 і,7-1,т,п _г

И2

1

V И3

2^5

5 +

і, 7,т+1,п

+ 2 П5 5і,7,т-1,п + 65

^',7,т,п+1 _ к

^ 1 2 П 2 П 2 П МУ ^

-----------— ІУг'-----------— 1Уп---------— 1Уп-------------------------------

к И12 И22 И32 И1 И2 И3

Сі, 7,т,п +

1 ^

7Т пс +

V и12 И1 .

Сі+1,7,т,п +

+ , 2 ПС Сі-1,7,т,п +

И12

^ 1 Му ^

~^ПС +-£

V И22 С И2

С і ПС +

і, 7+1,т,п 2 С і, 7-1,т,п

^ 1 ^ Дт- ПС + ^

V И32 С и3

С +

і, 7,т+1,п

+ ПС Сі, 7,т-1,п + 6С

И

Вышеприведенные схемы применяются для вычислений значений температуры, концентрации субстрата и растворенного кислорода во всех точках за исключением граничных. Примеры расчета значений в таких точках приведены ниже:

Т

Т1,7 ,т ,п+1 + 81О )П1И

0,7 ,т,п+1

1+ П1И1

Т

Т

Мх, 7,т,п+1

Мх-1,7 ,т,п+1

- §1(х )П1И1

1-П1И1

Т

0,0,т,п+1

Т1,0,т,п+1 + 81(Х)Л1И1 . Т0,1,т,п+1 + )П1И1

1+ П1И1

1+ П1И1

Т

0, Му,т,п+1

2

Т1,Му,т,п+1 + <§1(Х)п1И1 . Т0,Му-1,т,п+1 + 81(Х)п1И

1п1 А0,Му-1,т,п+1

1+ П1И1

■ +

11

1+ П1И1

г

И

3

3

2

1

1

1846

т

0,0,Ш,п+1

Т1,0, Ш,п+\ + gl(t )пА , Т0,1, Ш,п+\ + gl(t )Л1^1 , Т0,0,N2—1,п+1 + gl(t

1 + лЛ

1+чА

+-

1 + лЛ

1

3

где Nx, ^, N2 - количество клеток.

Для численного решения математической модели (1)-(8) разработана программа на языке Бе1рЫ.

С помощью модели изучены следующие ситуации: одномерный случай с граничными условиями первого рода, а также трехмерный с граничными условиями первого и второго рода (рис. 1 и 2).

Результаты проверки модели показали ее пригодность для описания основных закономерностей процесса аутостабилизации температуры в клеточной ткани. Однако модель еще нуждается в параметрической идентификации и проверке ее адекватности для реального объекта.

Рис. 1. Трехмерный случай, граничные условия первого рода. Динамика изменения температуры во внутреннем (2-м) слое: при g1(t) = 37 °С, Т0 = 35,35 °С: а) - ( = 0,00016 мин.; Ь) - ( = 55 мин.;

с) - / = 75 мин.; ф - / = 120 мин.

1847

Рис. 2. Трехмерный случай, граничные условия второго рода. Динамика изменения температуры во внутреннем (2-м) слое. Трехмерный случай при g1(t) = 37 °С, Т0 = 35,35 °С: а) - t = 0,00016 мин.; Ь) - t = 55 мин.; с) - t = 75 мин.; ф - t = 120 мин.

ЛИТЕРАТУРА

1. Арзамасцев А.А., Альбицкая Е.Н. Математическое моделирование саморегулирования температуры в популяциях микроорганизмов: непрерывный процесс // Вестн. Тамб. ун-та. Сер. Естеств. и техн. науки. Тамбов, 2007. Т. 12. Вып. 6. С. 709-714.

2. Арзамасцев А.А., Альбицкая Е.Н. Математическое моделирование и исследование саморегулирования температуры в популяциях микроорганизмов: два биообъекта // Вестн. Тамб. ун-та. Сер. Естеств. и техн. науки. Тамбов, 2009. Т. 14. Вып. 2. С. 370-374.

3. Арзамасцев А.А., Альбицкая Е.Н., Тепляков Д.В. Математическая модель аутостабилизации температуры в клеточной ткани // Вестн. Тамб. ун-та. Сер. Естеств. и техн. науки. Тамбов, 2010. Т. 15. Вып. 1. С. 284-286.

Поступила в редакцию 20 августа 2010 г.

Arzamastsev A.A., Albitskaya E.N., Cheremisina E.V. Mathematical modeling of temperature autostabilization in cellular tissue

Mathematical model with apportioned parameters for the description of autostabilization process of temperature in cellular tissue, the algorithm of equation system computation on the base of differential scheme were developed. The results of model check in computative experiment showed its convenience for main regularities description of the given phenomenon.

Key words: mathematical model; autostabilization; system of differential equations; difference scheme.

1848