Математическая модель аутостабилизации температуры в клеточной ткани Текст научной статьи по специальности «Математика»

Секция: КОМПЬЮТЕРНОЕ И МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ

УДК 519.95

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ АУТОСТАБИЛИЗАЦИИ ТЕМПЕРАТУРЫ В КЛЕТОЧНОЙ ТКАНИ

© А. А. Арзамасцев, Е.Н. Альбицкая, Д.В. Тепляков

Ключевые слова: математическая модель; аутостабилизация; система дифференциальных уравнений; разностная схема.

Разработана математическая модель аутостабилизации температуры в клеточной ткани с распределенными параметрами. Модель включает в себя уравнения для расчета температуры, концентрации субстрата и растворенного кислорода, дополненные соответствующими граничными условиями. Составлены разностные схемы для решения данной системы уравнений.

В работах [1-2] изучались процессы аутостабилизации температуры в биообъектах с помощью метода математического моделирования. Было показано, что при наличии двух биологических объектов один из них может подавлять рост другого посредством температурного канала. Поскольку данный вывод может быть весьма полезным для медицинских целей (например, для ограничения роста опухоли), естественным продолжением исследований [1-2] является моделирование явлений аутостабилизации температуры в распределенной живой ткани.

Целью данной работы является разработка математической модели аутостабилизации температуры в распределенной живой ткани. При этом предполагается, что будут моделироваться два типа биообъектов: представляющий собой однородную клеточную ткань (рис. 1 а) и содержащий включенный биологический объект другого типа (рис. 1Ь).

Математическая модель, разработанная при достаточно общих допущениях, имеет следующий вид:

дТ (х, у, 2, /) _

_Х_

ср

+

+ w.

д 2Т (х, у, 2, і) + д 2Т (х, у, 2, і) + д 2Т (х, у, 2, і)

дх

ду2

(1)

дТ (х, у, 2, і) дТ (х, у, 2, і)

дх

дТ {х, у, 2, і) д2

- + w

ду

+ ^>Т

Ь)

Рис. 1. Моделируемые фрагменты биологической ткани: однородный объект - а); объект, содержащий включенный биообъект второго типа - Ь)

Вестник ТГУ, т.15, вып.1, 2010

дS х, у, 2, і ) ді _

д2S {х, у, 2, і) д23 {х, у, 2, і) д23 {х, у, 2, і)

_ В

+ wx

+ w,

дх2 ду2

дS(x, у, 2, і) дS {х, у, 2, і)

д22

(2)

дх

дS х, у, 2, і) д2

ду

Я

дС{х,у, 2, і) _ ді “

д2С {х, у, 2, і) д2С{х, у, 2, і) д2С {х, у, 2, і)

_ В,

+ w,

+ w,

ду2

д22

(3)

дС{х, у, 2, і) дС{х, у, 2, і)

дх

дС{х, у, 2, і) д2

ду

Яс

Дифференциальные уравнения (1) - (3) описывают динамику температуры, обобщенного субстрата и обобщенного кислорода. В этих уравнениях: Т(х, у, 2, і), 3(х, у, 2, і), С(х, у, 2, і) - температура, концентрации субстрата и растворенного кислорода в точке с координатами х , у , 2 в момент времени і ;

X - коэффициент теплопроводности; с , р - удельная теплоемкость и плотность клеточной ткани; В^ Вс -коэффициенты диффузии для субстрата и кислорода, wx, wy, wz - скорости конвективного переноса,

ЯТ , Я3, ЯС - распределенные функции источников для температуры, субстрата и кислорода.

С учетом специфики биохимических превращений и макрокинетики реакций выражения для расчета функций источников могут быть записаны в следующем виде:

ЯТ _ V[Тх, у, 2, і)]] ■ 3(х,у-2 0 х

ср 3(х, у, 2, і) + К3

С(х, у, 2, і)

С(х, у, 2, і) + Кс

(4)

Я3 _ -

Vтах Тх, у, 2, і)] 3(х, у, 2, і)

У

3(х, у, 2, і) + Кз

С(х, у, 2, і)

С(х, у, 2, і) + Кс

(5)

Яс _-

3(х, у, 2, і) С(х, у, 2, і)

£(X, у, 2, t) + К£ С(X, у, 2, t) + Кс (6)

X (Vтах [т (х, у, 2, t )]-Р + а),

т т-тах г

где V - максимальная удельная скорость биохими-

ческих реакций; Н - интегральный тепловой эффект биохимической реакции; У , К£ , Кс - кинетические

параметры; а, р - скорость потребления кислорода на эндогенное дыхание и ростовые процессы;

V тах [Т {х, у, 2, і)]_

_ а1 ехр

Е,

КТ (х, у, 2, і)

- а2 еХР| -

Е2 Ї (7)

КТ (х, у, 2, і)

где а, $2 - предэкспоненциальные множители; Ех, Е2 - энергии активации.

Для получения однозначного решения, система (1) - (7) должна быть дополнена краевыми условиями: Начальные условия:

ТX, у, 2,0) _ Т0 3X, у, 2,0) _ 3

СX, у, 2,0) _ С0

Граничные условия: дТ (х, у, 2, і)

(8)

дх х_0

дТ (х, у, 2, і)

дх

дТ (х, у, 2, і)

_ЧТ (0, у, 2, і) - й(і)]

_ \[Т(Ь1,у,2,і) - gl(t)]

ду

дТ (х, у, 2, і)

_^1[Т (х,0,2, і) - g1(і)]

у_0

ду

дТ (х, у, 2, і)

_ Х1[Т(х,Ь2, 2, і) - gl(t)]

дг

дТ (х, у, 2, і)

_МТ (х, у,0, і) - g1(t)]

_ Х1[Т(х, у, Ьз, і) - g1(і)],

где Х1 - коэффициент теплопереноса. В нашем случае gl(t) _ с0П81 _ Т , где Т - температура области;

д3 (х, у, 2, і)

дх

д3 (х, у, 2, і)

_Х2[3(0, у, 2, і) - g2(і)]

х_0

дх

д3 (х, у, 2, і)

_Х2[3(А, у, 2, і) - g2(і)]

ду

д3 (х, у, 2, і)

_Х2 [3(х,0, 2, і) - g2 (і)]

ду

у _0

_Х2[3 (х, Ьг, 2, і) - g2(і)]

у

У

х

х

х

X

dS ( x, y, z, t )

dz

dS ( x, y, z, t )

= A2[S(x, y,0, t) - g2 (t)]

dz

z=0

z = L-

= A 2[S ( x, y, L-, t ) - g2(t )]

где Х2 - коэффициент массопереноса; g2(t) = const = = S *, где S * - концентрация субстрата области;

dC ( x, y, z, t )

dx

dC ( x, y, z, t)

= А-[С (0, y, z, t ) - g-(t )]

x=0

dx

dC ( x, y, z, t )

= A-[C ( Lu У, z, t )- g-(t )]

x=Li

dy

dC ( x, y, z, t )

= А-[С ( x,0, z, t ) - g-(t )]

y=0

dy

dC ( x, y, z, t )

= A-[C ( x, L2, z, t )- g-(t)]

y=L2

dz

dC (x, y, z, t)

= A-[C ( x, y,0, t ) - g-(t )]

z=0

dz

= A-[C ( x y, ^, t ) - g-(t XL

z=L-

где Х3 - коэффициент массопереноса; gз(^) = сош1 =

п* п*

= С , где С - концентрация растворенного кислорода области.

Для решения данной задачи необходимо составить разностные схемы.

Введем следующие замены:

Подставив данные отношения в формулу (1), получим следующую разностную схему:

1 2 к 2 к 2 k wx wy wz

к h12 cp h22 cp h, cp h *2 h-

+ \-LJl+w*. і T +

1 , 2 і і i+1,j,m,n

h12 cp *1 I

1 T і _1_______________________k. w^l T + _1_L T

+ -> T i-1 і m П + I 2 + f ' Ti j+1 m n + -t Ti

' ' 1 h22 cp h2

h12 cp

1 к wz

h22 cp

1 к

+ \ , 2 + і 1 Ti, j,m+1,n ++ , 2 Ti, j,m-1,n + QT

| h32 cp hз J h32 cp

По аналогии из (2), (3) получаем схемы для S, C:

---------гDS------------г-------------г--

к h,2 S Й22 S h-2 S

1 D + Wx I S +

2 DS + , I Si+1,j,m,n +

*i h1 I

+ —f DS Si-1,j,m,n +\ “TDS + “---------------------- 1 Si. >+1-m-n +--------гDS Si

°i,j+1,m,n "l~ 2 S i,j-1,m,n

1 — D — D — D Wx. Wl Wz. I C

, ,2 DC ,2 DC ,2 DC ; ; ? I Ci,j,m,n

к h12 h2 h- h h2 h- I

+ |рГDc + W^l Ci+1,j,m,n

1 і 1 Wy l 1

+ ТГDC Ci-1,j,m,n + \ ~~2 DC + ~, I Ci,j+1,m,n + ~~TDC Ci,j-1,m,n ' h1 l h2 h2

+ \ “f DC + W j Ci,j,m+1,n + + h"!DC Ci,j,m-1,n + QC

Для численного решения математической модели (1) - (7) разработана программа на языке Бе1рЫ.

dL „I(T. T )

dt к j ,m,n+1 i, j, m, nz

dT ^ J_

dx h1

(T+1, j,m,n Ti, j ,m,n )

dL - t )

^ 7 ' i, 1+1,m,n i, і,m,n‘

dy

dT и ±(r, -7^. )

d h ' i,J,m+1,n i,j,m,nJ

d2T 1

¡j (T - 2T + T )

^ , 2 ' i+1, j,m,n i, j,m,n i-1, j,m,n)

dx 2 ~ h 2 h1

d 2T 1

dy 2 h22

d 2T 1

dz h

(T - 2T + T )

2 7 ^ i,j,m + 1,n i,j,m,n i,j,m—\,n>

ЛИТЕРАТУРА

1. Арзамасцев А.А., Альбицкая Е.Н. Математическое моделирование саморегулирования температуры в популяциях микроорганизмов: непрерывный процесс. // Вестн. Тамб. ун-та. Сер. Естеств. и техн. науки. Т. 12. Вып. 6. 2007. С. 709-714.

2. Арзамасцев А.А., Альбицкая Е.Н. Математическое моделирование и исследование саморегулирования температуры в популяциях микроорганизмов: два биообъекта // Вестн. Тамб. ун-та. Сер. Естеств. и техн. науки. 2009. Т. 14. Вып. 2. С. 370-374.

Поступила в редакцию 12 ноября 2009 г.

Arzamastsev A.A., Albitskaya E.N., Teplaykov D.V. Mathematical model of temperature autostabilization in a cellular fabric.

The mathematical model of temperature autostabilization in a cellular fabric with the distributed parameters is developed. The model includes the equations for calculation of temperature, concentration of a substratum and the dissolved oxygen, added with corresponding boundary conditions. Differential schemes for solution of the given system of the equations are made.

Key words: mathematical model; autostabilization; system of the differential equations; differential scheme.

T

Ti, j,m,n+1 к

Si, j,m,n+1 = к

W

W

TTDS +^~ I Si,j,m+1,n +~rDS Si,j,m-1,n + QS

h,2 h- J ' h

Сi,j,m,n+1 к