CC BY
80
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ И НЕМАТЕМАТИЧЕСКОЕ В ИНФОРМАТИКЕ: ФИЛОСОФСКО-МЕТОДОЛОГИЧЕСКИЙ
АСПЕКТ
А.С. Милославов
Одним из стимулов к этой работе для автора послужило знакомство с примерной программой аспирантской подготовки по курсу «История и философия науки», а точнее, с разделом, именующимся «Философские проблемы информатики». Взглянув на этот документ, разработанный и утвержденный соответствующими инстанциями, читатель может обнаружить следующее.
В этом разделе программы ни слова не говорится о философских проблемах оснований математики, о фундаментальных результатах, полученных К. Геделем, ничего не сказано о теории алгоритмов, ни единым словом не упоминаются ни А. Черч, ни Д. Гильберт. Более того, в тексте ни разу не указываются термины «математика» и «логика». Встречается, правда, упоминание об Алане Тьюринге, но лишь следующим образом: «Кибернетика Н. Винера,...., А. Тьюринга...», т.е. всего лишь мельком.
Что же включено в программу? В ней содержится очень многое, например, «си-нергетический подход к информатике», «психотерапевтические практики», «информационное общество», «конструирование «Я» в Интернете». Количество примеров можно увеличить, но суть останется прежней. В представленном тексте программы встречаются самые разнообразные термины - естественнонаучные и гуманитарные, заимствованные из биологии и социологии, физики и психологии, но отсутствуют термины математические и логические. Таким образом, возникает сразу два вопроса. Первый из них может быть сформулирован так: что является предметом информатики? Второй вопрос непосредственно связан с первым и может быть представлен так: какова роль математики, логики и формальных методов вообще при исследовании информатикой своего предмета? Вспомним слова И. Канта: «В любом частном учении о природе можно найти науки в собственном смысле лишь столько, сколько имеется в ней математики» (цит. по [1, с. 295]). Конечно, указанные выше вопросы провоцируются не только известным изречением немецкого философа, они также связаны с вопросом об обучении информатике, а также собственным преподавательским интересом: о чем говорить в рамках курса «Философские проблемы информатики»? И правомерно ли исключать обсуждение философских проблем математики и логики из этого разговора?
Один из возможных ответов можно почерпнуть из текста упомянутой программы, раздел 10.2 которой озаглавлен так: «Информатика как междисциплинарная наука о функционировании и развитии информационно-коммуникативной среды и ее техно-логизации посредством компьютерной техники».
К величайшему своему огорчению, автор этой статьи не ощущает доверия к термину «междисциплинарная наука» и считает его пустым. Сомнения автора в продуктивности этого термина обусловлены, по крайней мере, следующими обстоятельствами. Во-первых, исторический опыт свидетельствует о том, что периодически появляются «междисциплинарные науки». В качестве примеров приведем: кибернетику, теорию систем, синергетику. При этом некоторые увлекающиеся люди немедленно объявляют, что такие области знания способны решить все проблемы в любой науке или, по крайней мере, большую их часть, а применять новые междисциплинарные понятия, методы и принципы следует во всех областях знания. Однако проходит время, и обнаруживается, что очередная «многообещающая» междисциплинарная наука не способна выполнить все три функции научного знания: описание, объяснение и предсказание. И если описания и объяснения иногда предлагаются в «междисциплинарных» терминах, то с предсказательной функцией дела обстоят чаще всего очень скверно. Объяснение этому факту, на наш взгляд, можно дать достаточно простое. Не составляет особого
труда подобрать для единичных и общих терминов, последовательно связанных между собой, «междисциплинарные» термины, которые либо имеют большую область значения, либо становятся, по сути дела, синонимами. Функция предсказания, в свою очередь, в науке может быть реализована только с учетом конкретных (эмпирических) данных, которые получены и интерпретируются в рамках определенной области знания, поэтому с прогнозами у представителей «междисциплинарных знаний» возникают серьезные проблемы.
Поясним сказанное на примере. «Есть в жизни моменты, когда человек становится перед необходимостью выбора (жизнь теряет устойчивость). Тогда он оценивает возможные последствия выбора на последующем горизонте прогнозирования. Как правило, он это может и должен сделать. Именно в эти, бифуркационные, моменты появляются понятия ответственности за сделанный выбор (т.е. за поступок) и совести» [2, с. 234]. По поводу процитированного текста можно задать такой вопрос. А что, собственно, добавляют использованные в нем синергетические термины («бифуркация», «горизонт прогнозирования») к традиционной, имеющей многовековую традицию этической терминологии? Для любого человека, хоть немного знакомого с историей философии, ответ очевиден: ничего принципиально нового о человеке, находящемся в ситуации выбора, здесь не сказано, и о самом выборе тоже. Здесь осуществляется реализация описательной и объяснительной функции путем замены одних терминов другими, сходными по смыслу.
Но что может спрогнозировать синергетика относительно поведения конкретного человека в конкретных обстоятельствах? И насколько точным будет такое предсказание?
Сама подмена «традиционных» терминов «междисциплинарными» была бы не столь печальным явлением в научной литературе («чем бы дитя ни тешилось, лишь бы не плакало»), если бы иногда не маскировалась за этим приемом безграмотность, а иногда откровенное невежество. И вот мы с удивлением обнаруживаем, что «в строгом математическом виде неполнота системы формальной логики была доказана Геделем» [там же, с. 217]. Тот же автор пишет иначе: «Выяснилось, что система формальной логики не является полной. ... неполнота системы формальной логики был доказана Геделем» [3, с. 6-7].
Автор этой статьи с полной ответственностью заявляет, что обе цитаты являются ложными и безграмотными. Во-первых, великий австрийский математик К. Гедель никогда не доказывал неполноту системы формальной логики. Во-вторых, сама проблема полноты относительно «формальной логики» в науке никогда не ставилась. А вот что пишет тот же автор на историко-философскую тему: «Кант указал на ограниченность чистого разума, но предложить ему логическую альтернативу в рамках естественных наук того времени не мог, хотя современной ему математикой владел профессионально. Будучи человеком религиозным, Кант предложил естественный для того времени выход: управляет миром Бог, а «чистый разум», хотя и силен, но не всемогущ» [2, с. 229]. Человек, серьезно знакомый с философскими взглядами И. Канта, сразу увидит некорректность приведенных утверждений и заподозрит их автора в отсутствии знаний по истории философии.1
Итак, определение информатики как междисциплинарной науки не вселяет особых надежд на продуктивное развитие данной области, поскольку замена одних терми-
1 Здесь, по-видимому, от автора этой статьи требуется объяснить, почему так много внимания уделяет он трудам Д. С. Чернавского. Ответ на вопрос очень простой: работа [2] этого ученого указана в списке основной литературы в упомянутой программе по философским проблемам информатики и является, на наш взгляд, замечательным примером междисциплинарного «исследования». Со своей стороны, автор хотел бы заочно задать вопрос профессору ФИАН Д. С. Чернавскому: «Почему Вы позволяете себе публиковать столь неграмотные утверждения?».
нов другими не увеличивает суммы знаний. Кроме того, «междисциплинарность» может способствовать проникновению в науку невежества и откровенного шарлатанства. Это является следствием смешения в терминологии и в методах исследований, поскольку исследователи в такой ситуации не имеют возможности ни верифицировать какое-либо утверждение, ни фальсифицировать теорию, формируемую из таких утверждений.
В связи со сказанным относительно истории «междисциплинарности» можно указать также на пример кибернетики, которая в свое время также объявлялась междисциплинарной, многообещающей наукой. Однако, как отмечает И. Г. Поспелов, «приходится признать, что как научная дисциплина «кибернетика вообще» так и не сложилась» [4, с. 7]
Наконец, можно вспомнить предостережения, сделанные К. Шенноном и Н. Винером. Первый из них решительно возражал против увлечения теорией информации и стремления бездумно и необоснованно применять эту теорию в любых областях знания. 2 Второй призывал к осторожности в применении принципов кибернетики к социальным исследованиям и не разделял надежд тех, кто полагал, что на основе новой науки можно не только решить технические проблемы, но и вылечить недуги общества [6, с. 40].
Конечно, возражая против «междисциплинарности», автор этой статьи не отрицает возможность диалога и совместного обсуждения проблем между представителями различных отраслей знания. Такое общение может быть весьма полезным и обогащающим стороны диалога. Но не следует обольщаться - совместное обсуждение и взаимовлияние наукой не являются.
Другой встречающийся подход к определению информатики также неудачен. С его примерами можно познакомиться по работе [7], авторы которой составили небольшую коллекцию из дефиниций, обнаруженных как в отечественной, так и в зарубежной литературе. Приведем некоторые из них.
«Информатика - это наука о проблемах обработки различных видов информации, создании новых высокоэффективных ЭВМ, позволяющая предоставлять человеку широкий спектр информационных ресурсов» (Якубайтис Э. А.)
«Информатика - это наука, техника и применение машинной обработки, хранения и передачи информации» (М. Брой, Германия).
«Информатика - это наука об осуществленной преимущественно с помощью автоматических средств целесообразной обработке информации, рассматриваемой как представление знаний и сообщений в технических, экономических и социальных областях» (Французская академия).
«Информатика - это некая синтетическая дисциплина, которая включает в себя разработку новой технологии научных исследований и проектирования, основанную на использовании ЭВТ, и нескольких крупных научных дисциплин, связанных с проблемой общения с машиной и, наконец, с созданием машины» (Моисеев Н.Н.)
Все представленные здесь определения обладают, на наш взгляд, тем недостатком, что в них используется простое перечисление, которое, в свою очередь, носит сугубо эмпирический характер3. Конечно, перечисление в определении использовать допустимо. Также допустимо применять в определении указание на объект или несколько
2 См. напр.: [5]
3 Здесь имеется в виду незамысловатое правило: «Что вижу, то и указываю в определении». Например, если используются в информатике вычислительные машины, то они должны быть упомянуты в определении. Если говорят специалисты о «базах знаний», тогда надо включить в определение термин «знание», и т.д.
исходных объектов4. Но при этом необходимо указать принцип перечисления или установить правило, в соответствии с которым формируется множество объектов на основании исходных. К сожалению, эти простые требования не выполнены в представленных примерах. По сути дела, здесь обнаруживает себя знакомая нам «междисцип-линарность», только провозглашаемая не явно, а через перечисление ее составляющих.
Читатель этой статьи может, конечно, задать ее автору вопрос: «А насколько вообще является важным, как мы определим информатику?» В связи с этим я уже обращал внимание на проблему преподавания курса для аспирантов. Действительно, без внятного ответа на вопросы «Что является предметом информатики?» и «Какие методы используются в этой дисциплине?» невозможно вразумительно говорить о философских проблемах этой области знания. Стоит обратить внимание также и на то, что эти проблемы нередко формулируют сами специалисты в сфере информационных технологий. Так, например, Р. Хемминг в своей лекции по поводу вручения ему премии Тьюринга отмечал, что чаще всего не существует ясного, четкого определения отдельной научной области, но далее он приводит слова Дж. Форсайта5: «Имеет значение, как информатику определяют в Вашингтоне, округ Колумбия» [8, с.241].
Как же Р. Хемминг, со своей стороны, понимает предмет информатики? Во-первых, он требует признать тот факт, что компьютер, обрабатывающий информацию, лежит в основе данной сферы деятельности [там же, с. 243]. Кроме того, отмечается, что информатику нельзя считать похожей на математику, поскольку основным критерием приемлемости в компьютерных науках должен быть «опыт реального мира», а в чистой математике нередко оказываются существенными эстетические соображения [там же, с. 243-244]. Правда, это замечание делается при обсуждении вопроса о финансировании науки. В общем же, американский специалист предпочитает говорить об информатике как о прикладной математике или даже как о технической дисциплине. В частности, он пишет: «На более высоких уровнях информатики требуется не «черно-белое мышление», характерное для большей части математики, но способность к взвешенным субъективным суждениям, учитывающим противоречия между поставленными целями, что характерно для прикладных технических дисциплин» [там же, с.249].
Важными составляющими научных изысканий в случае интерпретации информатики как прикладной математики являются, во-первых, исследование связи между математической моделью и реальной ситуацией и, во-вторых, связи между результатом, выдаваемым этой моделью, и реальной ситуацией [там же, с. 248]. Таким образом, если принять точку зрения Р. Хемминга на информатику, то к философским проблемам данной области относятся проблемы создания, обоснования и применения различного рода моделей.
Несколько иной точки зрения на информатику придерживается Д. Кнут [9]. Между математикой и информатикой существует глубокая связь, которая заключается в том, что «центральное направление информатики действительно представляет собой часть математики» [9, с. 8]. Но, по мнению этого специалиста, как не следует отождествлять математику и информатику, так и нельзя одну область знания включать в другую,
4 Такой прием используется, например, в «индуктивных» определениях математики, когда в начале указывают набор исходных объектов, а затем сообщают принцип построения любого объекта определяемого множества из этих примитивов.
5 Джордж Форсайт - президент АСМ в 1964-1972 гг., организатор и первый руководитель отделения информатики Стенфордского университета. Считается, что именно он ввел в научный лексикон термин «computer science», который получил широкое распространение в англоязычных странах. В нашей стране, как и в некоторых других странах Западной Европы, вместо «компьютерных наук» используют термин «информатика» («informatique» - во Франции; «informatik» - в Германии). В Дании используется термин «datalogi». Комментируя это терминологическое различие, Д. Кнут отмечает, что все эти названия, в отличие от «computer science», отталкиваются от «сырья», обрабатываемого с помощью алгоритмов (информации или данных), а не от собственно алгоритмов [9, с. 6].
поскольку между этими дисциплинами имеется различие как в изучаемых предметах, так и в подходах к исследованию. К предмету математики относят теоремы, бесконечные процессы, статистические отношения. Информатика, в свою очередь, исследует алгоритмы, конечные конструкции, динамические соотношения. В математике специалисты оперируют бесконечностью и доказывают, возможно, неконструктивно, существование объектов. В информатике используют конечные процессы и конструктивные объекты.
Из сказанного можно сделать предположение, что «центральным направлением информатики» является изучение проблем, сходных (как в предмете, так и в применяемых методах исследования) с теми, которые привлекают внимание сторонников конструктивного направления в математике. Но здесь, на наш взгляд, имеет место и существенное различие, ибо то, что для математика-конструтивиста является в большей степени инструментом, для специалиста в области информатики оказывается самим предметом изучения. Такая точка зрения согласуется с определением информатики, которое мы находим в статье Д. Кнута: «Лучший, с моей точки зрения, способ определить информатику - это сказать, что она занимается изучением алгоритмов» [9, с.4-5].
Д. Кнут, вслед за Дж. Форсайтом, настаивает на том, что информатика, наряду с естественным языком и математикой, является универсальным инструментом мышления. По-видимому, с этим утверждением можно согласиться, если признать, что алгоритмы относятся к универсальным инструментам мышления.
Рассмотрим еще одну точку зрения на информатику. Она принадлежит двум достаточно известным специалистам в области «искусственного интеллекта» А. Ньюэллу и Г. Саймону. В одном из своих совместных выступлений американские ученые декларируют, что информатика - это изучение явлений, связанных с вычислительными машинами [11, с. 334]. Поскольку речь идет о явлениях, постольку информатика является эмпирическим исследованием, а каждую новую построенную вычислительную машину можно понимать как эксперимент.
Следует обратить внимание на то, что под вычислительной машиной Саймон и Ньюэлл подразумевают не только традиционные ЭВМ, но любую сущность, попадающую под определение физической символьной системы. Физическая символьная система состоит, во-первых, из набора элементов (символов), являющихся определенными физическими конфигурациями. Во-вторых, она включает в себя набор процессов, действующих на выражения и порождающих новые выражения. Понятно, что под выражениями здесь понимаются конечные цепочки символов.
Принципиальным моментом во взгляде американских ученых на информатику является «гипотеза физической символьной системы». Она формулируется так: «Физическая символьная система обладает необходимыми и достаточными средствами для интеллектуального поведения общего характера» [там же, с. 340]. Иначе говоря, физическая символьная система, определенным образом запрограммированная, может решать задачи для достижения некоторых целей и адаптироваться к условиям внешней среды. Приведенное утверждение является так называемым структурным принципом науки, носит эмпирический характер и может быть подтверждено или опровергнуто только на опыте.
Рассматривая этапы формирования гипотезы символьной системы, Саймон и Ньюэлл среди прочего указывают этап исследования формальных символьных манипуляций, подразумевая под ним логические труды Фреге-Рассела и теорию информации К. Шеннона.
Здесь хотелось бы обратить внимание читателя на то, что логические исследования упомянутых ученых в значительной мере связаны с проблемами оснований математики и имели под собой определенные философские взгляды на онтологический статус математических объектов и познавательный процесс в математике. Поэтому, по
мнению автора этой статьи, было бы неправильно говорить о философских проблемах информатики, избегая при этом обсуждения философских аспектов оснований математики. Без знания философских вопросов, обсуждавшихся выдающимися учеными-математиками в конце XIX - первой половине XX вв., на наш взгляд, невозможно корректно представить идейные истоки современных информационных технологий, грамотно определить предмет информатики и выделить собственные философские проблемы данной области знаний.
Однако вернемся к работе американских ученых. Соглашаясь с тем, что труды Г. Фреге и Б. Рассела следует считать важным этапом в развитии логики, а, следовательно, и предпосылкой современной информатики, по нашему мнению, гораздо большее влияние на формирование информатики оказало конструктивистское направление в математике, сформировавшееся во многом в противовес логицизму Фреге-Рассела. Другим направлением в основаниях математики, влияние которого на информатику невозможно отрицать, является формализм. Постараемся разъяснить нашу точку зрения.
Прежде всего, хотелось бы отметить, что понимание важности формализации и алгоритмизации как инструмента мышления не является открытием компьютерных наук 20-го столетия. Если под «алгоритмизацией понимается «точно заданная последовательность правил, указывающая, каким образом можно за конечное число шагов получить выходную информацию определенного вида, используя заданную входную информацию» [9, с. 5], то указания на существование и необходимость применения некоторой совокупности таких правил можно найти уже в диалогах Платона.6 Самый известный ученик Платона, Аристотель, как известно, считается основателем логики в европейской научной традиции. В своих сочинениях он описал и обосновал некоторое множество правил, пользуясь которыми, можно из одних суждений (исходной информации) получать суждения-заключения (выходную информацию).
С развитием естествознания в эпоху Нового времени тенденция к выявлению набора правил обработки информации усилилась. В качестве примера упомянем два факта. Во-первых, укажем на труды Р. Декарта. Многие считают французского философа создателем аналитической геометрии. Это достаточно спорная точка зрения. Однако несомненно, что сочинение Р. Декарта «Геометрия» было опубликовано в качестве приложения к «Рассуждению о методе» и, таким образом, рассматривалось Картезием в качестве демонстрации эффективности следования определенному набору правил обработки информации. Более того, французский мыслитель подчеркивал, что отличие его труда от исследований древних математиков состоит именно в применении ясных и понятных правил, позволяющих заменить интуитивные догадки строго определенной последовательностью действий.
Говоря об эпохе Нового времени в контексте тематики нашей работы, невозможно обойти вниманием Г.В. Лейбница. Из богатого интеллектуального наследия этого мыслителя обратим внимание на две важные идеи: универсальный научный язык (lingua characteristica) и полный набор логических правил, позволяющих осуществить любой дедуктивный вывод из сформулированных принципов (calculus ratiocinator). Оценивая значимость трудов немецкого ученого, Н. Винер замечает: «Если бы мне пришлось выбирать в анналах истории наук святого - покровителя кибернетики, то я выбрал бы Лейбница. ... И как в арифметическом исчислении была заложена возможность его развития от абака и арифмометра до современных сверхбыстрых вычислительных машин, так и в calculus ratiocinator - исчислении умозаключений Лейбница - содержится в зародыше machine rationatrix - думающая машина» [6, с. 24-25].
В XIX веке усилиями Дж. Буля, Г. Фреге и некоторых других ученых оформился аппарат классической символической логики, которая, как мы видели, может считаться
6 По этой причине Х. Дрейфус в своей известной работе [10] называет Платона «протокибернетиком».
одним из этапов в формировании информатики. Тысячелетнюю традицию исследований в области информатики отмечает также Д. Кнут: «Информатика должна была бы существовать задолго до появления вычислительных машин. В сущности, так оно и было, ее корни теряются в глубинах истории. Так, например, недавно мне пришлось обратиться к древним рукописям, для того чтобы понять, были ли информатиками вавилоняне 3500 лет назад» [9, с. 5].
Можно также обратить внимание читателя на следующее. Почти все необходимое для создания компьютера, хотя бы очень простого, было известно ученым и инженерам уже к концу XIX века7. Существовала булева алгебра. Были известны способы кодирования информации, например азбука Морзе. Люди пользовались телеграфом, основанным на реле и переключателях. Ч. Бэббидж создал проект аналитической машины. Его ученицу Аду Лавлейс некоторые современные специалисты в области информационных технологий называют «первым программистом». Возникает вопрос: в чем причина того, что первые реально работающие ЭВМ появились гораздо позже?
На наш взгляд, одним из возможных объяснений, хотя далеко не единственным, можно считать следующее. Приблизительно до 20-х годов прошлого столетия преобладающей доктриной в философии математики являлся «платонизм»8. Если упрощенно представить этот взгляд на математику, то, согласно ему, ученые имеют дело с нематериальными, вечными сущностями, отличными от того, с чем мы имеем дело в реальности воспринимаемой органами чувств. Законы математики не зависят от человека. Иногда приверженцы «платонизма» математическим законам придавали статус божественных установлений. «Возможность сотворения бесконечного множества есть проявление наивысшего совершенства Господа, исток же этого совершенства в Его безграничной благодати» [13, с. 20]. С точки зрения «платонизма», приемлемой также оказывается идея актуальной бесконечности. Кроме того, данный подход стимулирует ученых-математиков исследовать прежде всего непрерывные объекты. Очевидно, что при такой интерпретации весьма непросто обосновать связь материальных в своей основе физических процессов с математическими понятиями, необходимыми для моделирования процессов обработки информации.
Конструктивизм, возникший в математике не без существенного влияния интуиционизма Брауэра и формализма Гильберта, рассматривает элементарные математические объекты как объекты разума, существующие исключительно в разуме математика, «в нейронах и синапсах математиков, эти объекты порождающих» [13, с.20]. В онтологическом плане объекты математики здесь легко связать с физическими, материальными сущностями. Это и происходит в рассматриваемой доктрине, когда «конструктивисты» доказывают существование объекта через указание на способ его построения или, когда рассматривается некоторая финитная, элементарная модель для интерпретации символических выражений математики и логики. Следовательно, ученые не изучают реальность «божественную», не воспринимаемую нашими органами чувств, но изучают объекты и процессы, которым легко найти аналог в мире физическом, материальном. Так, например, элементам булевой алгебры можно поставить в соответствие релейно-контактные схемы, а идеальную «машину Тьюринга» рассматривать в качестве модели для реально обрабатывающей информацию физической символьной системы. В свою очередь, то, что раньше относилось к нематериальному, прежде всего, информация и процессы ее преобразования, благодаря онтологии математического конструктивизма обретает физическую, материальную интерпретацию и становится предметом технической деятельности, подкрепленной исследованиями естественных наук.
7 На этот факт обращает внимание Чарльз Петцольд в своей замечательной книге «Код». См.: [12, с. 117 и 295].
8 В современной литературе для обозначения этой доктрины иногда используют термин «реализм». См., напр.,: [13].
Таким образом, имеются серьезные основания говорить о существенном влиянии
конструктивного подхода к онтологии математических объектов на формирование современной информатики. Поэтому без рассмотрения философских проблем математики
и логики любой курс «Философии информатики» будет ущербным.
Литература
1. Философия и методология науки: Учебн. пособие для студентов высших учебных заведений / Под ред. В. И. Купцова. М.: Аспект Пресс, 1996.
2. Чернавский Д.С. Синергетика и информатика (Динамическая теория информации). Изд. 2-е, испр. и доп. М.: Едиториал УРСС, 2004.
3. Чернавский Д.С. Налиот В.А. Явление неустойчивости и проблемы логики. М.: Изд-во ФИАН, 2002.
4. Поспелов И.Г. О книге Н. Винера «Кибернетика и общество». / Н. Винер. Кибернетика и общество. М.: Тайдекс Ко, 2002. С. 6-18.
5. Шеннон К. Бандвагон. / К. Шеннон Работы по теории информации и кибернетике. М.: Иностранная лит-ра, 1963. С. 667-668.
6. Винер Н. Кибернетика. М.: Сов. радио, 1958.
7. Кузнецов Н.А., Плотников Р.И., Юсупов Р.М. Состояния, перспективы и проблемы развития информатики. / Теоретические основы и прикладные задачи интеллектуальных информационных технологий. СПб: Изд-во СПИИРАН, 1999. С. 23-31.
8. Хемминг Р. Одна из точек зрения на информатику. / Лекции лауреатов премии Тьюринга / Под ред. Р. Эшенхерста. М.: Мир, 1993. С.240-254.
9. Кнут Д. Информатика и ее связь с математикой. / Современные проблемы математики. Сб. статей. М.: Знание, 1977. С. 4-32.
10. Дрейфус Х. Чего не могут вычислительные машины? М.: Прогресс, 1978.
11. Ньюэлл А., Саймон Г. Информатика как эмпирическое исследование: символы и поиск. / Лекции лауреатов премии Тьюринга / Под ред. Р. Эшенхерста. М.: Мир, 1993. С. 333- 370.
12. Петцольд Ч. Код. М.: Издательско-торговый дом «Русская Редакция», 2004.
13. Шанже Ж.-П., Конн А. Материя и мышление. М.- Ижевск, Ин-т компьютерных исследований; НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2004.
