CC BY
19
ш
УДК 519.853, 535.3, 51-73 Илларионов Анатолий Ильич,
д. ф.-м. н., профессор, Иркутский государственный университет путей сообщения,
e-mail: illarionov_a@irgups. ru Горева Ольга Валерьевна,
к. ф.-м. н., доцент, Иркутский государственный университет путей сообщения,
e-mail: gorevd@yandex.ru Горев Дмитрий Владимирович,
аспирант, Иркутский государственный университет путей сообщения, e-mail: gorevdima@gmail.com
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ И КОМПЬЮТЕРНОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ПРОСТРАНСТВЕННО-УГЛОВОЙ СТРУКТУРЫ ВТОРОЙ ОПТИЧЕСКОЙ ГАРМОНИКИ С УЧЕТОМ СФЕРИЧЕСКОЙ АБЕРРАЦИИ ФОКУСИРУЮЩЕЙ ЛИНЗЫ
A.I. Illarionov, O. V. Goreva, D. V. Gorev
MATHEMATICAL AND COMPUTER MODELING OF SPATIAL-ANGULAR STRUCTURE OF THE OPTICAL SECOND HARMONIC TAKING INTO ACCOUNT SPHERICAL
ABERRATION FOCUSING LENS
Аннотация. Представлена математическая модель расчета пространственно-угловой структуры второй оптической гармоники при фокусировке основного излучения в кристалл-преобразователь линзой, неисправленной от аберраций. На основании математической модели разработана универсальная компьютерная программа, позволяющая прогнозировать структуру второй оптической гармоники для различных прикладных задач.
Ключевые слова: генерация второй гармоники, сферическая аберрация, детерминированная математическая модель, метод исключения Гаусса, компьютерная модель.
Abstract. A mathematical model for calculating the spatial-angular structure of the optical second-harmonic of the basic radiation is focused into the crystal-converter lens aberrations is presented. On the base of a mathematical model, a universal computer program allowing to predict the structure of the second optical harmonic for various applied problems.
Keywords: generating of the second harmonic, spherical aberration, deterministic mathematical model, Gaussian elimination, computer model.
Математическое и компьютерное моделирование пространственно-углового распределения излучения второй оптической гармоники, генерируемой нелинейным кристаллом при накачке лазерным излучением, искаженным аберрациями реальной фокусирующей системы, является акту-
альной задачей прикладной физики (нелинейной спектроскопии, диагностики быстрых процессов, лазерного термоядерного синтеза и т. д.). Практические приложения требуют разного объема вычислений в зависимости от пространственно -углового распределения основного излучения, параметров фокусирующей системы и кристалла-преобразователя.
Целью настоящей работы является разработка универсальной математической модели нелинейного взаимодействия лазерного излучения со сложным волновым фронтом с одноосными кристаллами и методики её численного представления. Рассматривая в геометрооптическом приближении фокусировку в нелинейный кристалл гауссова пучка радиально-симметричной линзой (показатель преломления материала линзы п, радиус кривизны линзы ё , радиус линзы а , главное фокусное расстояние Я, толщина линзы на оптической оси I), неисправленной от сферической аберрации, можно определить расстояние x от оси оптической системы до места падения лучей на переднюю грань нелинейного кристалла [1]:
( , А
х =
d • n
2•n •cos а„
d2 - a2 - (R +1)
tga0g, (1)
где аЦ - угол между световым лучом, исходящим из определенной кольцевой g -й зоны линзы, и оптической осью системы. Угол между лучом ат (т = ), исходящим из определенной g -й
кольцевой зоны фокусирующей линзы, и осью оптической системы в одноосном кристалле определится как
am = arcsin(sinаg /n'w); (2)
п0 - показатель преломления кристалла для волны обыкновенной поляризации.
В результате взаимодействия нелинейного кристалла и световых волн на основной частоте а в кристалле генерируются световые волны с частотами 2а, распространяющиеся под углами
2ю ,т 2а
аг к оптической оси системы. Углы аг определяются следующим образом [1]:
а + а.
а =
2
■; j
(3)
Рис. 1. Направление волнового вектора световой волны в одноосном нелинейном кристалле, вырезанном в направлении коллинеарного синхронизма
Тогда направляющие косинусы волнового вектора световой волны относительно кристалло-физических осей одноосного кристалла определятся из следующих формул: cosp = cos cos а™,
cosg = 1 - cos2 а™(1 + cos2 £,) • sin 9c + + cosа™ • cos9c
cos а = tJ 1 - (cos2 p + cos2 g).
Если направления волновых векторов световых волн частоты ш , взаимодействующих с нелинейным кристаллом, заданы относительно его кристаллофизических осей направляющими косинусами
(cosa, cosp, cos gj),
(cosa, cosp, cosу2) , то направляющие косинусы волнового вектора световой волны частоты 2ш, генерируемой кристаллом в результате этого взаимодействия, определяются из выражений
cos а =
cos p =
cos (ф /2) +1 - 2(1 - cos а2 - (1 - cos ф)/2) 2cos^ /2)
cos2^/2) +1 - 2(1 - cos p- (1 - cos ф)/2) 2cosfa /2) :
Рассмотрим оое-взаимодействия световых волн с одноосным кристаллом, вырезанным в направлении коллинеарного (скалярного) синхронизма вс (передняя грань кристалла перпендикулярна прямой, образующей с оптической осью кристалла угол вс), находящегося в плоскости ТХ, образованной соответствующими кристаллофизи-ческими осями (рис. 1).
cos2 (ф /2) +1 - 2(1 - cos у2 - (1 - cos ф) / 2)
cos у, =-——-----—--——1, (5)
2cos^/2)
где
cos ф = cos a cos а + cos Р cos Р + cos у cos у2, ф - угол между световыми взаимодействующими волнами основной частоты.
Вследствие сложности вида волнового фронта основного излучения, обусловленного наличием сферической аберрации в основном излучении, кристалл взаимодействует со световыми волнами, распространяющимися под различными углами относительно его кристаллофизических осей. Углы <фвз между волновыми векторами световых волн, взаимодействующих с кристаллом в кольцевом фокусе линзы, определяются из выражения [1]
ф» =Фу -Фj • (6)
Углы фет между волновыми векторами световых волн, взаимодействующих с кристаллом в фокусе линзы, на оси оптической системы определяются из выражения [1, 2]
cos2 = cos2 amn(1 + tg2(a2w)), (7)
где amin - минимальный угол наклона лучей w относительно оптической оси системы в кристалле, при котором ещё возможны векторные взаимодействия в кристалле (взаимодействия кристалла и неколлинеарных световых волн) в фокусе на оси оптической системы.
Для эффективного преобразования лазерного излучения по частоте (генерация второй оптической гармоники) необходимо выполнение условий волнового синхронизма (закон сохранения импульса и энергии при взаимодействии световых квантов в нелинейном кристалле). Условие реализации коллинеарного синхронизма (преобразуемые и преобразованные световые волны кол-линерны и сонаправлены) записывается в следующем виде [3]:
nW= nf (a2ffl) , (8)
2® / 2®\
где п (а ) - значение показателя преломления кристалла для волны необыкновенной поляризации частоты 2ш , распространяющейся в нелинейном кристалле под углом а2и . Значение этого показателя преломления определится из формулы Френеля для волновых нормалей:
1
2 2w 2 2w
sin a,. cos а,.
(nf (a2w ))2 (ne2w)2 ■ (nf )2
(9)
(10)
Для одноосного отрицательного кристалла независимо от класса симметрии также условие векторного синхронизма, учитывая выражения (2)-(5) можно записать в виде
cos
Фю 2
n
>(a2w)
n
(11)
Исходя из основных законов распространения излучения в одноосном кристалле и учитывая начальные параметры ориентации кристалла относительно сфокусированного излучения, пространственно-угловую структуру второй гармоники на выходе из нелинейного кристалла можно задать в полярных координатах выражениями
2w •
IX =a< sin С.> ly. = a2w cos
(12)
Ш
2ffl
где ne - главное значение показателя преломления кристалла для световой волны необыкновенной поляризации удвоенной частоты, n - главное значение показателя преломления кристалла для световой волны обыкновенной поляризации удвоенной частоты. Преобразованное по частоте излучение при выполнении условия коллинеарно-го синхронизма распространяется в кристалле в плоскостях коллинеарного синхронизма (плоскости образуются направлениями коллинеарного синхронизма и оптической осью Z кристалла).
Для эффективной генерации второй гармоники при векторном взаимодействии световых волн (световые волны неколлинеарны) необходимо выполнение условий векторного фазового синхронизма, которое для случая генерации второй оптической гармоники можно записать в виде
nW (cos a + cos a2) = 2ne2ffl (9) cos a3 noffl (cos Pj + cos p2) = 2nf (9) cos p3 nW (cos g + cos g2) = 2ne2ffl (9) cos y3
где угол a отсчитывается в плоскости, расположенной под углом V относительно плоскости синхронизма (рис. 1). Связь между a2w и с определяется соотношением
cos g- cos(9 +P) • cos a2w ,,„4
cos с =---^—^—--, (13)
sin^ +P) • sin(a )
где P - угол в плоскости синхронизма между осью сфокусированного пучка основного излучения и направлением коллинеарного синхронизма в нелинейном кристалле.
Для визуализации пространственно-угловой структуры второй оптической гармоники при накачке лазерным излучением, искаженным сферической аберрацией, была разработана компьютерная программа. Разработанная программа (интерфейс исходных данных приведен на рис. 2) представляет собой комплекс компьютерных кодов и данных (показатели преломления двенадцати широко известных одноосных отрицательных кристаллов различных групп симметрии для всего спектрального диапазона прозрачности кристалла), предоставляющих пользователю программные средства и данные для прогнозирования пространственно-углового распределения излучения второй оптической гармоники на выходе из нелинейного кристалла. Стандартным методом решения представленной математической модели является метод исключения Гаусса [4]. Численное представление разработанной математической модели реализует расчеты параметров нелинейного взаимодействия лазерного излучения с одноосным кристаллом для различных практических приложений с регулируемой точностью, задаваемой пользователем, в том числе расчеты с предельной точностью (дифракционный предел) и с оптимальной точностью для конкретной прикладной задачи (задается пользователем). Кроме того, численное моделирование производится при ограничении решений критериями «физичности» (установка таких критериев, как невозможность существования отрицательного показателя преломления, распространения излучения назад и др.), т. е. отсутствуют решения, не имеющие физического смысла. Численное представление математической модели посредством разработанной компьютерной программы инвариантно относительно исходных данных оптической системы, т. е. реализуется адекватный расчет с помощью одного и того же компьютерного кода, численного алгоритма при различных начальных (физических) условиях.
Рис. 2. Интерфейс ввода исходных данных
Рис. 4. 3Б-модель экспериментальной установки: 1 - лазер YAG: Nd (I = 1,064 мкм); 2, 3 - телескопическая система для получения лазерного излучения широкого поперечного сечения; 4 - плосковыпуклая линза, фокусирующая излучение в кристалл; 5 - светофильтр ИКС - 1; 6 - светофильтр ЗС-15; 7 - одноосный нелинейный кристалл; 8 - экран; 9 - ПЗС-приемник изображения; 10 - ЭВМ
На рис. 3 представлены результаты расчета пространственно-угловой структуры второй оптической гармоники на выходе из нелинейного кристалла.
Зарегистрированное пространственно-
угловое распределение второй оптической гармоники на выходе из кристаллов ниобата лития и иодата литии при их накачке основным лазерным излучением, сфокусированным реальной плоско-выпуклой линзой представлено на рис. 5.
б)
Рис. 3. Пространственно-угловая структура второй оптической гармоники при накачке основным излучением, искаженным сферической аберрацией линзы, при преобразовании в кристалле: а) иодата лития; б) ниобата лития
Верификация компьютерного кода включала сравнение результатов расчетов с экспериментальными данными, а также с данными, полученными различными авторами.
3Б-модель экспериментальной установки представлена на рис. 4.
б)
Рис. 5. Пространственно-угловая структура второй оптической гармоники на выходе нелинейного кристалла: а) иодата лития; б) ниобата лития
Из рис. 3, 5 видно, что смоделированное пространственно-угловое распределение второй оптической гармоники, являющейся результатом математического и компьютерного моделирования, совпадают с экспериментальными данными,
что говорит об адекватности разработанной математической модели и оптимальной работе компьютерной программы.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Илларионов А. И., Янчук О. В. Нелинейное преобразование излучения по частоте сфокусированного гауссова пучка // Изв. ВУЗов. Физика. 2007. Т. 50. -№ 12. С. 14-19.
ш
2. Янчук О. В., Илларионов А. И. Влияние сферической аберрации волнового фронта основного излучения на процессы генерации второй гармоники в одноосных кристаллах : сб. докл. IX межд. шк-семин. по люмен. и лазер. физики. (Иркутск, 2-6 окт. 2005 г.). Иркутск : Изд-во Иркут. гос. ун-та, 2006. С. 212-219.
3. Дмитриев В. Г., Тарасов Л. В. Прикладная нелинейная оптика. М. : Физматлит. 2004. 512 с.
4. Васильев Ф. П. Численные методы решения экстремальных задач. М. : Наука. 2002. 415 с.
УДК 550.343 Лопатин Максим Николаевич,
аспирант, ИЗК СО РАН, г. Иркутск, тел. 89041369108, e-mail: flamewolf@mail.ru
Семенов Рудольф Михайлович,
д. г.-м. н., профессор, Иркутский государственный университет путей сообщения, в. н. с., ИЗК СО РАН,
тел. 89086607683, e-mail: semenov@crust.irk.ru
ПОДЗЕМНЫЕ ВОДЫ ЮЖНОГО ПРИБАЙКАЛЬЯ -ИСТОЧНИК ИНФОРМАЦИИ ДЛЯ ПРОГНОЗА ЗЕМЛЕТРЯСЕНИЙ
M.N. Lopatin, R.M. Semenov
SOUTHERN BAIKAL REGION UNDERGROUND WATER -INFORMATION SOURCE FOR EARTHQUAKE PREDICTION
Аннотация. Рассмотрены вариации содержаний растворенного гелия в подземных водах Южного Прибайкалья накануне некоторых землетрясений в 2012 году, которые могут служить в качестве прогнозных признаков времени возникновения подземных толчков.
Ключевые слова: подземные воды, гелий, землетрясения, условная энергетическая характеристика землетрясений, прогноз землетрясений.
Abstract. We consider the variation of dissolved helium in Southern Baikal groundwater on the eve of some earthquakes in 2012, which may serve as a predictive sign earthquakes occurrence time.
Keywords: ground water, helium, earthquakes, conventional energy characteristic of earthquakes, earthquake prediction.
Введение
Сложности с предсказанием времени возникновения землетрясений общеизвестны. Несмотря на усилия исследователей всего мира, успешных прогнозов в этом отношении насчитываются единицы [1]. Объясняется это многими причинами. Во-первых, индивидуальностью моделей подготовки и реализации очагов землетрясений, во-вторых, своеобразностью реакций различных геолого-геофизических и других полей на эти многочисленные модели. Когда происходит ана-
лиз геолого-геофизических данных, которые отмечались перед землетрясением, обнаруживается следующее. Одни из них чутко отреагировали на приближение подземного толчка, другие проявились во время или же после землетрясения, третьи вообще не прореагировали на приближение землетрясения и т. д. В результате создается впечатление, что подготовка землетрясения никак не отразилась в его предвестниках. «Поскольку данные по предвестникам анализируются «кучей», без отсева, то неудивительно, что начинает укрепляться мнение об отсутствии предвестников землетрясений вообще» [2, с. 126]. Именно поэтому, на наш взгляд, необходимо анализировать раздельно поведение тех или иных изменений геолого-геофизических и др. показателей, предшествующих землетрясениям. Только изучив, как ведет себя тот или иной показатель, можно использовать их в совокупности. И в этом случае естественно ожидать более надежных прогностических результатов.
Известно, что растворенный в подземных водах гелий может использоваться в качестве краткосрочного предвестника землетрясений [3, 4, 5, 6]. В настоящее время во многих сейсмоактивных регионах как в России, так и за рубежом ведутся гидрогеохимические исследования с целью предсказания времени возникновения землетрясений. В Прибайкалье - одном из наиболее сейсми-
